|
На главную
costroma.k156.ru |
Евг. Шиховцев
Мне поступил вопрос: Насколько будет отличаться собственное время у двоих человек, если один из них простоит внизу у лифта, а второй съездит на некоторый этаж и вернётся?
Это задача для движения в поле гравитации вращающегося массивного тела (Земли), но, к счастью для того, кому надо задачу решать, на много порядков дальше гравитационного радиуса тела с массой Земли. Почти в миллиард раз дальше, ведь гравитационный радиус такого тела – чуть меньше 9 мм, а средний радиус Земли – больше 6 тыс. км. Это гарантирует нам, что вся эйнштейновская магия будет проявляться крайне слабо.
Насколько течение локального времени в каждой точке пространства-времени вокруг вращающейся массы отличается от течения времени бесконечно удалённого наблюдателя (если угодно, от течения абсолютного времени Ньютона или времени Вселенной), – это феноменально решил в 1963 году 29-летний новозеландец Рой Керр, недавно отметивший 90-летие. Его очень сложную формулу можно найти в Википедии и др. местах. Чаще всего (и в нашей задаче это наиболее удобно) её дают в полярных коорлинатах: r – радиальное расстояние точки от центра массы, широта (ѳ, тета), долгота (φ, фи). Локальное время обозначается τ (тау), время Вселенной – t.
Зная, как двигался объект (то есть зная r, ѳ и φ как функции τ), мы это уравнение можем свести к зависимости τ от t. А зная то же для двух (и более) объектов, мы можем найти эти зависимости t(τ) для каждого и в конечном счёте сравнить все локальные интервалы прожитых ими времён ∆τ за один и тот же интервал вселенского времени ∆t и узнать, кто на сколько постарел за одно и то же время Вселенной. (Но корректно это сравнивать лишь в тех случаях, когда объекты и начале и в конце интервала были вместе, в одинаковых точках пространства-времени.) Постарение в общем случае у всех должно быть чуть-чуть разным.
Формула Керра и сама по себе выглядит устрашающе, а если в неё подставить ещё три функции координат от времени, то станет совсем тяжко и неразрешимо аналитически. Однако в условиях нашей задачи мы сможем обойти практически все сложности формулы, оценив порядки величин входящих в неё членов и отбросив те, которые в ответ внесут заведомо малый вклад. То есть уточнят в ответе, который, как заранее ясно, будет крохотным, какие-то там ещё более далёкие десятичные знаки. Нас и без этих тонкостей ответ устроит, а кому важен ответ с высокой точностью, тот пусть ищет суперкомпьютер и решает без поддавков. (Почти без поддавков. Потому что формула Керра выведена не для реального тела таких-то физических размеров, с таким-то внутренним распределением плотности, а для идеального случая, когда вся масса центрального тела сосредоточена в точке. Совсем без поддавков нужно считать по Эйнштейну, а это ужас, ужас, ужас вычислений.) Итак, приступим к упрощениям.
В формулу Керра входит параметр а, который отражает "сплюснутость" гравитационного поля за счёт осевого вращения и для Земли равен а = 3,95 м (сравните с физической сплюснутостью земного геоида: полярный радиус на почти 22 км короче экваториального! плюс физические перепады высот имеют порядок километров в разных точках планеты, – это к вопросу об адекватности идеальной формулы Керра для нашей реальной задачи); и входят ещё две переменные величины, зависящие от радиального расстояния точки (у того, кто ездит на лифте, это расстояние меняется, сперва растёт, затем убывает до исходного значения):
Σ = r2 + a2∙cos2ѳ ;
Δ = r2 – r∙rg + a2.
В условиях нашей задачи первый член в этих выражениях, квадрат радиального расстояния, будет иметь порядок квадрата локального радиуса Земли в точке лифта, т. е. ~4∙1013 м2, тогда как a2 будет составлять 15,6 м2 (а умноженное на квадрат косинуса широты ещё меньше), а вычитаемое в формуле для Δ, произведение радиального расстояния на гравитационный радиус Земли rg = 8,87∙10–3 м, будет иметь порядок 5,65∙104 м2.
Это позволит нам везде, где пренебрежение последующими членами не скажется значимо на точности решения, считать, что
Σ ≈ Δ ≈ r2 ≈ 4∙1013 м2; Σ / Δ ≈ 1 + rg/r ≈ 1 + 1,39∙10–9.
Перейдём к угловым координатам. По широте (вдоль меридиана) движения нет вовсе, поэтому ѳ = const, dѳ = 0. А по долготе (вдоль своей параллели ѳ) оба экспериментатора и лифт движутся лишь пассивно, со скоростью вращения Земли, то есть совершая полный оборот за сутки (2π радиан за 86400 секунд), поэтому dφ/dt = const = 7,27∙10–5 сек–1. Это соотношение позволит в формуле Керра избавиться от переменной φ, заменив её на t. (Строго говоря, надо бы заменять не на t, а на τ, локальное время, но в условиях нашей задачи ясно, что они будут близки с весьма высокой точностью, а замена на t лучше для решаемости уравнения.)
Последнее упрощение внесём, посмотрев, как скажется на точности решения то, что у второго экспериментатора радиальное расстояние будет меняться. Эти изменения мизерны. Если первый экспериментатор стационарно ждёт на радиальном расстоянии у входа в лифт, которое зависит от места нахождения, но с точностью до плюс-минус нескольких километров имеет порядок среднего радиуса Земли, 6,37∙106 м, то второй в точке максимального подъёма окажется дальше от силы на несколько сот метров, если опыт проводят в небоскрёбе. То есть относительное изменение r в условиях опыта составит не более примерно 10–4.
И вот как будет выглядеть относительный вес различных слагаемых в формуле Керра, если внести в неё все вышеописанные упрощения и исключить φ, заменив его на t:
dτ2 ≈ (1 – 1,39∙10–9)∙dt2 – 1,11∙10–17∙(1 + 1,39∙10–9)∙(1 + ~10–4)∙dr2 – 0 –
– 2,38∙10–12∙sin2ѳ∙(1 + 3,81∙10–14 + 5,30∙10–22∙sin2ѳ)∙dt2 + 2,65∙sin2ѳ∙10–21∙dt2
Как видим, практически все члены уравнения в условиях нашей задачи пренебрежимо малы (что интуитивно с самого начала и не вызывало сомнений). Первый член показывает, что, из-за гравитации Земли, на её поверхности время течёт примерно на 0,7 миллиардных доли медленнее, чем во Вселенной (на бесконечности). Второй член показывает замедление времени с ростом радиального расстояния, т. е. при движении вдоль вектора гравитационного поля. Три последние члена отражают в основном замедление времени за счёт вращения Земли вокруг оси. Как видно из численных данных, это замедление составляет порядка одной триллионной доли, уменьшаясь от экватора к полюсу.
Оставив два наиболее значимых члена, мы получаем для решения весьма простое выражение:
dτ2 ≈ (1 – 1,39∙10–9)∙dt2 – 1,11∙10–17∙dr2
Первый член – это темп времени первого экспериментатора, который оставался внизу у входа в лифт и соответственно имел dr = 0.
У второго экспериментатора время будет течь ещё медленнее за счёт ненулевой скорости перемещения вверх и вниз, что отражает второе слагаемое в последнем уравнении. Типичные скорости лифтов в обычных домах составляют около 1-2 м/с, а в небоскрёбах могут достигать 5-7 м/с и даже в рекордных случаях подбираются к 20 м/с. Эта скорость в обозначениях нашей задачи есть dr/dτ, но, как уже говорилось выше, удобнее заменять это на dr/dt. Вносимое ею замедление времени совершенно ничтожно и практически везде, кроме околополярных областей, где лифтов не водится, на несколько порядков меньше того замедления, которое вызвано вращением Земли вокруг оси. Что и неудивительно, ведь скорость этого вращения на поверхности Земли в средних и низких широтах измеряется не метрами в секунду, а сотнями метров в секунду (465∙cosѳ м/с). Это замедление будет, как и в первом слагаемом, одинаковым у обоих экспериментаторов, если пренебречь тем, что второй, поднимаясь выше, чуть быстрее вращался и, соответственно, чуть медленнее (на ~10–20) старел.
Но львиную долю разницы в темпах старения двух экспериментаторов вносила скорость движения лифта. Решив последнее уравнение, получим, что если стоявший у лифта экспериментатор постарел на Х минут, то второй при выходе из лифта, двигавшегося всё это время со скоростью v м/с, сперва вверх, потом вниз, постарел на ~X∙(1 – 5,5∙10–18∙v2) минут.
Так себе омоложение... А ещё Эйнштейн, называется!
6 июля 2024 г., Кострома