|
На главную
costroma.k156.ru |
Евг. Шиховцев
Предисловие
В 2023–2024 годах я, благодаря выложенным в своё время здесь обзорам по инопланентным аэростатам и атмосферам на планетах Солнечной системы, неожиданно оказался вовлечён (скорее как эпизодический сторонний консультант, чем как непосредственный участник) в деятельность Роскосмоса и частных структур, практически и теоретически занимающихся сходными вопросами.
Из того, что я мог предложить, интерес вызвали, в частности, эмпирические формулы, позволяющие по заданной плотности атмосферы и географической (или, если угодно, венусографической) широте найти сравнительно точно высоту, на которой в данной точке будет достигнута эта плотность. (Подобные формулы упрощают некоторые расчёты движения аэростатических аппаратов.)
Меня попросили опубликовать эти формулы, чтобы на них можно было ссылаться в печатных работах, – что я и делаю ниже.
В системе Роскосмоса стандартной моделью атмосферы Венеры является VIRA (я ниже привожу её в Приложении 1), поэтому формулы были нацелены на наилучшее соответствие именно ей. Однако я здесь излагаю всю методику вывода формул, и при появлении более совершенных моделей атмосферы Венеры обновить формулы не составит большого труда. В стандартной базе VIRA я выявил одну очевидную ошибку или опечатку, которую исправил, оговорив это в специальном пояснении в конце Приложения 1.
При поиске любых эмпирических зависимостей Y(X) я часто начинаю с попытки найти какие-то простые (степенные, логарифмические и т. п.) функции от одной или обеих переменных X, Y, так, чтобы перейти к новым координатам X* = f1(X), Y* = f2(Y), в которых зависимость Y*(X*) принимала бы вид, максимально близкий к линейному Y* = a∙X* + b.
На следующем шаге я исследую, как себя ведёт отклонение Δ = (Y* – a∙X* – b) и пытаюсь найти поправку Δ = f3(X*) или Δ = f3(X) или Δ = f3(X**), где Х** – новая функция X** = f4(X) или X** = f5(X*).
Идя по этому пути, я вначале получил нужные формулы, но они отличались достаточной громоздкостью, не окупавшей, на мой взгляд, точности их приближения к стандартным данным VIRA. Поэтому я приведу их здесь лишь справочно, в виде PDF файла (~1 Мб), как они были изначально оформлены в марте 2024 года.
Лучше них мне показалась формула, так сказать, следующего поколения, полученная днём позже несколько более сложным способом, зато сама по себе гораздо более простая и не проигрывающая в точности, если ограничиться рабочей областью высот и широт, представляющих интерес для планов Роскосмоса. Об этой формуле здесь и будет речь.
Подбиралась такая эмпирическая функция преобразования X* = f1(ρ [кг/м3]), чтобы в рабочей области минимизировать сумму квадратов отклонений не от линейной зависимости вида
Σ(Н – a∙X* – b)2 = min; X* = ρn,
а от квадратичной зависимости вида
Σ(Н – a∙X*2 – b∙X* – c)2 = min; X* = ρn.
При этом показатель степени n не искался для каждой широты по отдельности, а принимался единым во всём рабочем диапазоне. Он по результатам оптимизации оказался равным n = 0,592.
Результаты минимизации представлены в табл. 1.
Таблица 1. Параметры уравнений вида Н (ρ[kg/m3]) [km] = a∙ρ1,184 + b∙ρ0,592 + c для разных широт в атмосфере Венеры (модель VIRA).
|
Широта (φ) |
a |
b |
c |
|
0...30° |
4,1340 |
-22,950 |
73,066 |
Зависимость каждого из этих параметров (a, b, c) от широты (φ), как видно из таблицы, заметно нелинейна. В данном случае, ограничившись широтами до 60° включительно, можно было располагать при поиске аналитического выражения данной зависимости не более чем четырьмя точками (это если разбить первую строку таблицы на два ряда одинаковых значений, ряд для широты φ = 0° и ряд для широты φ = 30°). Четырёх точек было слишком мало для решения такой задачи, поэтому я, после ряда неудачных проб, отказался от дальнейших попыток и искал обычным методом наименьших квадратов по четырём точкам простые линейные зависимости вида:
a = pa∙φ + qa ; b = pb∙φ + qb ; c = pc∙φ + qc .
Эти зависимости для широт, выраженных в градусах, φ [°], оказались такими:
a = −0,002760∙φ + 4,133; b = 0,006264∙φ −22,975; c = −0,004560∙φ + 73,106.
Соответственно, искомая единая для всего рабочего диапазона высот и широт аппроксимимрующая эмпирическая аналитическая функция Нapp (ρ[kg/m3], φ [°]) [km] получилась следующей:
|
Нapp (ρ[kg/m3], φ [°]) [km] = |
Её погрешности (отклонения от табулированных данных модели VIRA) показаны на рис. 1:
Рис. 1. Погрешности единой аппроксимимрующей эмпирической функции Нapp для разных высот и широт в рабочей области.
Как видно из рис. 1, в пределах рабочего диапазона высот и широт погрешности укладываются в интервал ±0,125 км. Это может приводить к погрешностям в температурах окружающей атмосферы порядка ±1,3°С.
По-видимому, такие порядки погрешностей при относительной простоте аппроксимирующей формулы можно считать приемлемыми.
К тому же, надо подчеркнуть, что все восемь численных коэффициентов, вошедших в эту формулу, были получены, как выше описано, по отдельности, на этапах, ведущих к получению формулы. Если же провести их 8-параметровую оптимизацию, уже располагая общим видом аппроксимирующей формулы (это, к сожалению, лежит за пределами моих вычислительных возможностей), то погрешности аппроксимирующей формулы могут ещё уменьшиться, хотя трудно предсказать, на сколько именно, и стоит ли такая игра свеч.
Приложение 1
A. Seiff, J. T. Schofield, A. J. Kliore, F. W. Taylor, S. S. Limaye, H. E. Revercomb, L. A. Sromovsky, V. V. Kerzhanovich, V. I. Moroz and M. Ya. Marov. Models of thestructure of the atmosphere of Venus from the surface to 100 kilometers altitude // Adv. Space Res., L., Vol. 5, 1985, No. 11, pp. 3–58, таблицы pp. 25–28
Обновлённые данные (VIRA-II) 2006 года* не содержат данных о плотности, поэтому я пользовался первой моделью 1985 года. Впрочем, в статье 2006 года констатировалось: «Новые данные не привели ни к каким кардинальным изменениям, однако они содержат значительно больше информации о временных и пространственных изменениях в атмосфере».**
_______
* Л. В. Засова, В. И. Мороз(†), В. М. Линкин, И. В. Хатунцев, Б. Майоров. Строение атмосферы Венеры от поверхности до 100 км // Космические исследования, М., т. 44, 2006, № 4, стр. 1–20.
** Ibid., стр. 19.
Замечание по поводу последней таблицы: исправление предположительной опечатки в одном значении плотности атмосферы (на высоте 50 км при широте 85°) в модели VIRA.
К сожалению, довольно уже углубившись в расчёты, я заметил, что вышеуказанная точка необъяснимо выбивается из остального массива данных и сильно искажает все мои построения и вычисления. Плотность в модели VIRA является не измеряемым, а вычисляемым параметром. Вычисляется она по измеренным в атмосфере Венеры данным о температуре и давлении и по некоторым земным данным о свойствах CO2. Табулированная плотность в указанной точке равна 1,684 кг/м3. Но вот как при этом выглядят в окрестностях высоты 50 км на широте 85° профили температуры, давления и плотности атмосферы в таблицах модели VIRA:
Рис. 2. Высотные профили температуры (Т), давления (Р) и плотности (ρ) венерианской атмосферы в модели VIRA для широты 85°. (В относительных единицах к их значениям при высоте 47 км.)
Как видим, при совершенно монотонном виде профилей температуры и давления, точка на профиле плотности при высоте 50 км заметно выбивается из динамики этого профиля. Если взять среднее арифметическое плотностей при высотах 49 и 51 км, получается:
ρ (50) ≈ (1,805 + 1,438)/2 = 1,6215 кг/м3.
Поскольку кривая плотности визуально «вогнутая» (имеет положительную вторую производную), следует ожидать, что истинное значение должно быть несколько ниже среднего арифметического. Так, на таком же интервале 47...49 км значение плотности для 48 км на 0,010 кг/м3 меньше среднего арифметического из значений для 47 и 49 км, а на интервале 51...53 км аналогичное занижение составляет 0,011 кг/м3.
Довольно разумной версией представляется, что в таблицу модели VIRA вкралась опечатка.
Приняв для интервала 49...51 км занижение от среднего арифметического равным 0,0105 кг/м3, получим, что корректным значением плотности в указанной точке будет 1,611 кг/м3. Все расчёты в этой работе проведены с использованием данного исправленного значения.
|
|
23 декабря 2024 г., Кострома
