Высказаться
To comment
mir.k156.ru
costroma.k156.ru

 


Аэростаты на других планетах
Aerostats on other planets


Введение
Introduction

Постановка задачи
Formulating problem

В земной атмосфере аэростаты, заполненные лёгким газом, летают с 1782 года до наших дней. Облегчение газа в аэростате по сравнению с газом окружающих слоёв атмосферы достигается двумя способами:

а) за счёт разогрева газа в объёме аэростата (при этом можно использовать газ самой атмосферы); этот тип аэростатов называют монгольфьерами в честь избретших его братьев Монгольфье (идея пришла старшему, Жозефу, а практичный Этьен деятельно помогал брату довести её до полномасштабного воплощения);

б) за счёт заполнения аэростата газовой смесью с меньшей плотностью, чем у окружающих слоёв атмосферы; этот тип называют шарльерами, также по имени изобретателя, Жака Шарля.

Можно, конечно, и сочетать оба эти способа, тогда мы (аналогично, по имени автора идеи, Жана-Франсуа Пилатра де Розье) получим розьер.

Жозеф (слева) и Этьен Монгольфье (Joseph-Michel [left], 1740–1810 & Jacques-Étienne Montgolfier, 1745–1799)
Жозеф (слева) и Этьен Монгольфье*

Портрет Ж. Шарля (Jacques Alexandre Cesar Charles, 1746–1823) ок 1783 г. работы Joseph Boze)
Жак Шарль**

Ж.-Ф. Пилатр де Розье (Jean-François Pilâtre de Rozier, 1756–1785)
Ж.-Ф. Пилатр де Розье***

* Жозеф-Мишель (Joseph-Michel Montgolfier, 1740–1810) и Жак-Этьен Монгольфье (Jacques-Étienne Montgolfier, 1745–1799). Миниатюра на слоновой кости конца 18 в. [http://i.imgur.com/I8fSZky.jpg]. Промышленники-изобретатели. Сами поднялись в небо всего несколько раз; их престарелый отец и они были награждены королём потомственным дворянством. Предоставив своё изобретение человечеству, вернулись на свою бумажную фабрику (действующую до сих пор). Жозеф изобрёл фильтровальную бумагу, а Этьен – кальку.

** Жак Шарль (Jacques Alexandre Cesar Charles, 1746–1823). Портрет работы Joseph Boze ок 1783 г. [http://www.artchive.com/web_gallery/reproductions//106001-106500/106371/size1.jpg]. Химик и физик. По поручению и на средства группы энтузиастов, объединённых Б. Фожас де Сен-Фоном (B. Faujas de Saint-Fond, 1741–1819), должен был разобраться, как летает шар Монгольфье, и думал, что воспроизводит их опыт, но фактически открыл собственный метод. Важный вклад, каучуковый лак, резко снизивший утечку водорода сквозь оболочку, внесли братья Роберы, строившие шар под его руководством, Anne-Jean Robert (1758–1820) и Nicolas-Louis (иначе Marie-Noël) Robert (1760–1820). Летал один раз, при первом подъёме своего шара 1 декабря 1783 г., провёл в полёте измерения параметров атмосферы. Позже, в 1787 г., открыл закон расширения газов при нагреве.

*** Жан-Франсуа Пилатр де Розье (Jean-François Pilâtre de Rozier, 1756–1785). Гравюра H. Legrand с портрета работы A. Pujos, 1784. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8509303c]. Химик и физик. Первый человек (с маркизом д'Арландом), поднявшийся в небо (21 ноября 1783 г.). Летал неоднократно. Для перелёта Ла-Манша решил над цилиндрическим монгольфьером с жаровней поставить сферический шарльер с водородом; из-за неисправности клапана шарльер стал быстро терять водород, шар пошёл вниз с 1,5-километровой высоты, в падении искра из жаровни достигла струи водорода из шарльера, и тот взорвался, после чего аэростат рухнул с высоты ок. 450 м, унеся 15 июня 1785 г. жизни де Розье и его спутника, химика Пьера Ромэна (Pierre-Ange Romain, 1751–1785), который с братом построил этот розьер. Это были первые жертвы эпохи воздухоплавания.

Запуск первого монгольфьера в Аннонэ, 5 июня 1783 г. (Ascent of first montgolfier, Annonay en Vivarais, June 5th, 1783)
Запуск первого монгольфьера
в Аннонэ, 5 июня 1783 г.*

Запуск первого шарльера на Марсовом поле в Париже, 27 августа 1783 г. (Ascent of first charlière, Champ de Mars, Paris, August 27, 1783)
Запуск первого шарльера
на Марсовом поле в Париже,
27 августа 1783 г.**

Запуск первого розьера в Кале 15 июня 1785 г. (Ascent of first rozière, Calais, June 15, 1785)
Запуск первого розьера в Кале,
15 июня 1785 г.***

* Парижская гравюра 1784 г.[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b55001583k].

** Парижская гравюра 1780-х гг.[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b55001443j].

*** Гравюра Charles Eschard, P., 1785 [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b85094118].


Заметными атмосферами обладают все, кроме Меркурия, планеты Солнечной системы и крупный спутник Сатурна Титан. У четвёрки газовых планет-гигантов, где гравитация по мере углубления внутрь превращает привычную нам газовую фазу в нечто невообразимое при огромных температурах и давлениях, принято условно проводить границу между «атмосферой» и «планетой» по линии, где давление среды равно 1 атм. Вниз от этой границы считают в отрицательных километрах «глубину», а вверх – в положительных километрах «высоту».

Аэростаты в принципе возможны и в инопланетных атмосферах, но надо в каждом случае решать задачу оптимизации четырёх параметров: минимизировать стартовый вес на Земле и утечку газа в атмосфере планеты; и максимизировать полезный вес и длительность миссии. Решение определит весь план полёта. Везти с Земли Х кг водорода или Y кг радиоизотопа, способного долго и эффективно разогревать своим распадом местный атмосферный газ? Или, используя солнечное тепло, сформировать розьер? Взять более толстую плёнку для оболочки, чтобы газ сквозь неё просачивался меньше, или взять тонкую плёнку, но по мере утечки пополнять газ? А как поведёт себя тонкая плёнка в условиях инопланетных температур, давлений, химических компонентов атмосфер, проникающих излучений разных типов и проч.? Из каких компонентов её сделать для устойчивости ко всем подобным факторам без потери лёгкости и прочности? Везти с Земли лёгкий газ в баллоне под давлением или в химически связанном виде, а на месте выделять? Извлекать лёгкие компоненты из местной атмосферы или химически её перерабатывать, получая лёгкий газ? Выделить вес на солнечные батареи или на аккумуляторные? Или на изотопную энергоустановку? И т. д.

При решении этих главных вопросов химия привлекается так же постоянно, как и конструкторские соображения. Немалую роль играет и математика. C неё и начнём.


Геометрия баллонов
Balloons Geometry

Расчёты плавучести аэростатов и возможности подъёма ими таких-то грузов на такие-то высоты всегда связаны с геометрией баллона: его подъёмная сила (архимедова по своей природе) пропорциональна объёму баллона, а в общий вес, который эта сила должна поднять, входит и вес оболочки баллона, пропорциональный площади её поверхности. (Причём, как правило, вес оболочки намного больше веса гондолы с полезным грузом.) Нередко баллон делают сферической формы (особенно если нужно, чтобы аэростат в ходе суточного цикла нагревания/остывания не менял высоту дрейфа: для этого газ в баллоне держат под небольшим избыточным давлением, и сферическая форма для этого вполне хороша). У сферы объём и площадь поверхности выражаются через её диаметр известными со школы выражениями:

V = (π/6)•D3 = 0,524•D3           S = π•D2 = 3,142•D2           S = (36π)1/3•V2/3 = 4,836•V2/3

Структура майлара [лавсана, полиэтилентерефталата] (Mylar structure)

Запуск шарльера в Тюильри, 1785*

Но сферами аэростаты далеко не ограничиваются. Так, лучшие показатели по прочности при атмосферной закачке (а это классика инопланетной развёртки баллонов) показала форма тыквы, ближайшим геометрическим образом которой может служить сплюснутый сфероид (правда, не поделённый стяжками на дольки). Одни из лучших аэродинамических показателей со времён первых дирижаблей демонстрирует форма сигары или огурца, которую можно примерно описать вытянутым сфероидом. А для монгольфьеров с горелками с точки зрения пожаробезопасности оболочки практика подсказала каплевидную или грушевидную форму, близкую к сочетанию сферы (или сплюснутого сфероида) с конусом. Наконец, в ряде случаев предпочтение отдают форме цилиндра (часто со сферическими или коническими торцами). Если же вспомнить, что помимо полезных научных и промышленных задач воздушные шары с самого начала служили и для развлечения публики, то в последних применениях форма баллона могла быть и бывала самой экзотической, вплоть до показанной на рис. справа.

________

* Баллон в форме 4-метровой фигуры сборщика винограда был изготовлен Ломоном и Роже (Lhomond et Roger) и пущен 13 марта 1785 г. Парижская гравюра 1785 г. [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb421400493].


Выводы уравнений объёмов и площадей поверхности в названных случаях являются более сложной задачей, тем более, что только сферу и правильные многогранники можно задать единственным параметром (диаметром, ребром), а все сфероиды и конусы задаются как минимум двумя параметрами (обычно общей высотой и максимальным диаметром). В силу осевой симметрии почти всегда у аэростатов есть диаметр D. Если мы в общем виде обозначим:

V = kv•D3           S = ks•D2           S = k•V2/3           k = ks/kv2/3,

то для наиболее распространённых в аэростатике форм баллонов, представленных на рисунках ниже, коэффициенты kv, ks, k будут следующими:

Пропорции баллона-тыквы (Proportions of pumpkin balloon)

Аналог: сплюснутый сфероид*

H/D = 1/3...1/2...3/4

kv = 0,174...0,262...0,393

ks = 1,896...2,167...2,632

k = 6,073...5,297...4,910

Пропорции баллона-огурца (Proportions of cucumber balloon)

Аналог: вытянутый сфероид**

H/D = 5...4...3

kv = 0,105...0,131...0,174

ks = 1,658...1,704...1,798

k = 7,464...6,610...5,758

Пропорции баллона-груши (Proportions of pear balloon)

Аналог: сфероид + конус (реже: сфера + конус)***

________

* Илл.: [https://scientificrussia.ru/data/auto/material/large-preview-nasa_pumpkin_balloon.jpg].

** Илл.: [http://img.chefdentreprise.com/Images/Breves/breve44449-0.JPG].

*** Илл.: [https://www.govisitcostarica.com/images/photos/full-hot-air-balloons-near-arenal.jpg].


Пропорции, поверхность, объём и сечения монгольфьера (Montgolfier proportions, surface, volume and cross sections)

Для баллонов-груш, как на последнем рисунке выше, только для малоупотребимой формы сфера + конус можно вычислить параметры kv, ks, k как функции отношения D/H:

D/Н = 0,3...0,4...0,5...0,75

kv = 0,542...0,548...0,552...0,550

ks = 3,764...3,687...3,596...3,322

k = 5,661...5,508...5,343...4,952.

У баллонов же, верхняя часть которых близка к сплющенному сфероиду (а это самый распространённый вид в данном классе), для расчёта коэффициентов надо ещё задать отношение диаметра к собственной высоте сфероида. Если мы, проанализировав реальные пропорции баллонов этого типа, примем его наиболее принятой формой (модельно) сплющенный сфероид с соотношением осей 3:2, стыкующийся с конусом, с общей высотой фигуры, равной 4/3 диаметра сфероида (см. рис. справа), то, из геометрических соображений*:

kv =  0,455;     ks = 3,610;      k = 6,106.

________

* Диаметр основания конуса и расстояние его от главного сечения сфероида замерены по рисунку; фигура разбита условно на три части: 1) верхняя половина сфероида; 2) средний фрагмент, который упрощённо (без большой ошибки) принят за усечённый конус; 3) нижний конус. Указанных на рисунке размеров достаточно, чтобы по формулам для указанных видов тел найти их боковые поверхности и объёмы, а затем и все соотношения, указанные синим цветом. Площадь сечения у аэростатов нужна, когда делаются тепловые расчёты поглощаемого ими теплового излучения.


Коэффициент k имеет смысл удельной поверхности, и для лучшей плавучести важно, чтобы он был возможно меньше. Тогда при равном объёме меньше будет весить оболочка баллона.


Алгебра баллонов
Balloons Algebra

1. Алгебра размеров.


Два других коэффициента важны при расчёте размеров баллона, исходя из закона Архимеда. Согласно этому закону, на баллон объёмом V3) с газом плотностью ρ (кг/м3), в атмосфере, имеющей в данной точке плотность ρа (кг/м3), действует подъёмная (выталкивающая) сила:

F = V•(ρа – ρ)•g = kv•D3•(ρа – ρ)•g,

где g (м/с2) – ускорение свободного падения (его везде, кроме, может быть, малого по размерам Титана, можно считать неизменным по высоте атмосферы). Эта сила облегчает вес, во-первых, оболочки баллона Gоб, и во-вторых, гондолы, которая к баллону крепится и несёт полезный груз G = Mг•g, где Мг – масса гондолы (кг). В аэростатике принято плотность материала оболочки выражать не в объёмных (кг/м3), а в поверхностных единицах ρоб (кг/м2). Так проще выразить вес оболочки через её поверхность:

Gоб = S•ρоб•g = ks•D2•ρоб•g.

Запишем разность выталкивающий силы и веса оболочки (без учёта полезного груза):

Y = F – Gоб = kv•D3•(ρa – ρ)•g – ks•D2•ρоб•g.

Если правую часть последнего уравнения представить графически как функцию Y(D) (см. рис. справа), то при малых диаметрах баллона она будет отрицательна, затем при некотором Dо в точке А станет равна нулю (этот момент, когда подъёмная сила сравнивается с весом оболочки, можно назвать точкой нулевой плавучести), а затем при некотором Dг в точке В численно сравняется с весом полезного груза G, и Dг будет тем искомым диаметром баллона, который обеспечит подъём данного полезного груза G к заданной высоте дрейфа. (Высота здесь задаётся косвенно, через ρa = f(H).)

Dо найти совсем просто. В уравнении Y = 0 сокращаются g и D2, и получается:

Dо = ks•ρоб/[kv•(ρa – ρ)] = (ks/kv)•ρоб/(ρa – ρ).

Но нам не очень важно, чтобы оболочка сама себя поднимала, надо, чтобы она несла полезный груз, и искать следует Dг, а не Dо. Если масса полезного груза и масса оболочки баллона близки, то для нахождения Dг придётся решать кубическое уравнение, которое получается из Y – G = 0 после сокращения одинакового при всех слагаемых множителя g:

kv•D3•(ρa – ρ) – ks•D2•ρоб – Мг = 0.

Однако часто (а в инопланетной аэростатике почти всегда) в этом уравнении одно из двух слагаемых массы заметно меньше другого, и тогда решение упрощается. Начнём со случая, когда масса оболочки намного больше массы полезного груза,

ks•D2•ρоб >> Мг.

При этом разница Dг – Dо весьма мала, и для её нахождения можно в точке А разложить функцию Y (или Y/g) в ряд Маклорена и ограничиться первым (линейным) членом ряда. Или, что то же, воспользоваться тем, что в прямоугольном треугольнике САВ тангенс угла при вершине А, с одной стороны, весьма близок к производной функции Y в точке А, а с другой стороны, геометрически равен отношению ВС/АВ, то есть G/(Dг – Dо). Производная Y вычисляется легко:

dY/dD = 3•kv•D2•(ρa – ρ)•g – 2•ks•D•ρоб•g = kv•D2•(ρa – ρ)•(3 – 2•Dо/D)•g.

Приравняв производную при D = Dо к названным выше отношениям сторон в треугольнике САВ, получим, после сокращения g:

Мг/(Dг – Dо) = kv•Dо2•(ρa – ρ),

откуда выражаем искомый диаметр:

Dг = Dо + Мг/[kv•Dо2•(ρa – ρ)] = (ks/kv)•ρоб/(ρa – ρ) + Мг•kv•(ρa – ρ)/(ks•ρоб)2.

В полученном выражении, если заданы геометрия и материал баллона и масса полезного груза, единственной переменной остаётся величина a – ρ), причём характер зависимости таков, что при некотором значении разницы плотностей диаметр баллона окажется минимальным. Это значение можно найти, продифференцировав Dг по a – ρ) и приравняв производную нулю. Оказывается, что в точке минимума:

ρa – ρ = (k•ρоб)1,5г0,5;          Dг = 2•Мг0,5/(ks•ρоб)0,5.

Таким образом, задав массу полезного груза, материал (ρоб) и геометрию баллона (k, ks), можно узнать и минимальный размер баллона, и плотность газа, которую в нём надо поддерживать для дрейфа в слоях атмосферы с плотностью ρа.


Это был случай небольшого груза при массивном баллоне, для атмосфер со слабой подъёмной силой. Теперь рассмотрим вариант, когда всё наоборот, подъёмная сила хороша (как, например, на Венере, а иногда и на Земле, и на Титане). При этом может оказаться, что

ks•D2•ρоб << Мг.

В таком случае вспомогательной функцией к базовому кубическому уравнению

Y = kv•D3•(ρa – ρ) – ks•D2•ρоб – Мг,

у которого мы ищем Y = 0, лучше выбрать другое выражение:

Y2 = kv•D3•(ρa – ρ) – Мг.

На рис. справа показаны обе функции (Y2 синим цветом) и легко находимый для Y2 = 0 диаметр Do:

Do = {Мг/[kv•(ρa – ρ)]}1/3.

Далее, так же, как в треугольнике АВС в первом случае, находим производную dY/dD в точке С (при D = Do) и приближённо приравниваем её к отношению катетов треугольника:

dY/dD = 3•kv•D2•(ρa – ρ) – 2•ks•D•ρоб;

АС/АВ = ks•Do2•ρоб/(Dг – Do),

где АС является разницей Y2 – Y при D = Do. Отсюда можно выразить:

Dг = Do + 1/[3•(kv/ks)•(ρa – ρ)/ρоб – 2/Do].


Если проанализировать зависимость последнего выражения от разницы плотностей a – ρ) (а от этой разницы зависит и входящий в выражение Do), то выясняется, что минимума в данном случае нет. Диаметр Dг лишь возрастает при уменьшении подъёмной силы a – ρ).


Оба изложенных подхода подразумевают, что из каких-то соображений мы знаем, в каком соотношении находятся в решаемой задаче масса полезного груза и оболочки. Но такое знание заранее есть не всегда. Когда его нет, кубического уравнения не миновать, но можно свести его к более лёгкому в решении уравнению с одним параметром. Это удобно сделать подстановкой новой безразмерной переменной δ:

δ = D•(ks•ρобг)0,5;         D = [Мг/(ks•ρоб)]0,5•δ.

После подстановки уравнение для решения примет вид с одним параметром А:

Основное уравнение аэростата (Main equation of an aerostat)

А•δ3 – δ2 – 1 = 0;         А = (ρa – ρ)•Мг0,5/(k•ρоб)1,5.

Результат его решения показан на рис. справа. При этом погрешность менее 1% дают следующие простые приближения:

а) при A ≤ 0,29:         δ ≈ А + 1/А;

б) при A ≥ 6:         δ ≈ 1/А1/3 + 1/(3А).

Область приближения «а», закрашенная на рисунке зелёным цветом, соответствует первому разобранному выше случаю (оболочка тяжелее аппаратуры), а красная часть линии (область приближения «б») – второму случаю (аппаратура тяжелее оболочки). Между ними остаётся промежуточная область (синяя часть линии; аппаратура и оболочка не слишком сильно различаются по массе), где погрешность не более 1% обеспечивает такое приближение:

в) при 0,29 < A < 6:         δ ≈ 1,473•А0,0826•ln(А) – 0,6292.

В довольно широком интервале значений с высокой точностью (погрешность не более ±0,3%, типичная погрешность ±0,0÷0,2%) можно пользоваться таким эмпирическим уравнением:

г) при 0 < A < 8,5:         δ ≈ А + 1/А – А3/(0,4124 + 0,4783•А + 0,9892•А2).


2. Алгебра температур.


Во многих случаях существенные или хотя бы достаточно заметные коррективы в движение аэростатов вносит нагрев или охлаждение баллона от окружающей атмосферы и потоков излучений. При этом температура газа в баллоне T оказывается не равна температуре окружающей атмосферы Tа. Отношение этих температур θ = Т/Tа задаётся двухпараметровым иррациональным уравнением:

θ4 + A1•(θ – 1)4/3 – A2 = 0,

параметры которого A1 и A2 составляются из физических величин достаточно сложным образом, и здесь, рассматривая алгебраическую сторону вопроса, можно абстрагироваться от этой физики, а желающие вникнуть в неё могут сделать это, заглянув в Приложение 1.

При A2 = 1 от A1 величина θ = 1 не зависит. При A2 < 1 всегда A21/4 < θ < 1, а при A2 > 1 всегда 1 < θ < A21/4. Это можно показать, переписав двухпараметровое уравнение в виде:

К нахождению равновесной ночной температуры солнечного монгольфьера (On finding an equilibrium predawn temperature within a solar montgolfier)

A1•(1 – θ)4/3 = θ4 – A2

и обозначив левую часть у1 (синяя функция на графике справа), а правую – у2 (на графике – у2а жёлтого цвета для случая A2 < 1 и у2б красного цвета для случая A2 > 1). Синяя функция по определению всегда проходит через точку (θ = 1; у = 0) в нисходящем направлении. Жёлтые и красные функции по определению всегда восходящие и пересекают ось θ в точке θо = A21/4, которая играет роль нулевого приближения. Истинным же решением будет θ (на графике – θа и θб) в точке пересечения жёлтой или красной функции с синей. Из рисунка очевидно, что у любой жёлтой функции θоа < θа, а у любой красной – наоборот, θоб > θб. В предельном случае при A2 = 1 кривые пересекутся в точке θ = 1; у = 0, что будет означать равенство температур газа в баллоне и в окружающей атмосфере.

Если не требуется высокая точность, найти θ можно по номограмме (рис. внизу), вычислив параметры A1 и A2 и визуально оценив либо по логарифмической, либо по обычной номограмме (где удобнее и точнее), какое значение θ им соответствует (на номограммах показаны значения θ с шагом 0,05 во всём практически значимом интервале 0,5 < θ < 2; на обычной номограмме область A2 < 0 не имеет физического смысла, и здесь показана лишь для удобства различения значений θ в нисходящем пучке; алгебраический же смысл у неё есть).

Номограмма для нахождения температуры газа в баллоне (Nomogram for finding gas temperature in a balloon)

Номограмма для нахождения температуры газа в баллоне (Nomogram for finding gas temperature in a balloon)

Если нужна точность до сотых долей или выше, придётся делать расчёты. Иногда быстро даёт результат итерационный метод, суть которого в том, что вычисляется или задаётся некое нулевое приближение, а затем оно циклично подставляется в некое выражение, пока не перестанет меняться с точностью до требуемого знака.

Нулевое приближение можно найти по номограмме, а если значение A1 и/или A2 выходит за пределы, охваченные номограммами, то часто даёт неплохой результат приближение:

θо = A21/4.

Подставив это значение θо в двухпараметровое уравнение, мы получим не ноль, а некоторую малую величину Δо:

Δо = θо4 + A1•(θо – 1)4/3 – A2 = A1•(A21/4 – 1)4/3.

Затем мы ищём решение в виде следующего шага итерации:

θ1 = θо – δ1,

где δ1 – малая по величине поправка к θо. Подставив это выражение для θ1 в двухпараметровое уравнение и разложив в нём в биномы оба степенных выражения, пренебрегая всеми степенями δ1, кроме первой (ввиду их прогрессирующей степени малости):

о – δ1)4 ≈ θо4 – 4•θо3•δ1;         (θо – δ1 – 1)4/3 ≈ (θо – 1)4/3•[1 – (4/3)•δ1/(θо – 1)],

мы сможем из этого уравнения выразить:

δ1 = Δо/[4•θо3 + (4•A1/3)•(θо – 1)1/3].

Подставив θ1 = θо – δ1 в двухпараметровое уравнение, получим ещё более малую величину Δ1, и, если она окажется недостаточно близка к нулю, можно повторять аналогичные шаги

δi+1 = Δi/[4•θi3 + (4•A1/3)•(θi – 1)1/3],
или θi+1 = θi – [θi4 + A1•(θi – 1)4/3 – A2]/[4•θi3 + (4•A1/3)•(θi – 1)1/3]

до достижения приемлемого результата. Обычно лучше при этом следить за значениями δi, а не Δi, потому что наша цель – найти θ (точнее, Т = Тa•θ). При этом нет практической необходимости вычислять Т с точностью более ~1 K, и увидев, что очередная поправка δi даёт поправку ΔТi = Тa•δi < ~1 K, можно считать задачу решённой.

Однако даже в сравнительно небольшом объёме вычислений по итерационному алгоритму в Приложении 1 обнаружился случай, когда потребовалось 12 шагов-итераций для получения нужной точности. В такой ситуации быстрее найти решение с помощью электронной таблицы (OpenOffice или любой другой). Алгоритм действий при этом таков:

1) Находим нулевое приближение по номограмме или расчётом (θо = A21/4);

2) Если θо > 1, то истинное значение θ будет меньше θо, и наоборот (см. выше). Поэтому строим столбец из значений θi, соответственно, либо уменьшаемых, либо увеличиваемых в каждой строке на 0,1, так, чтобы покрыть интервал либо от θо до 1 (при θо < 1), либо от 1 до θо. (На практике достаточно весьма небольшого по длине столбца, порядка 10 строк.)

3) Рядом строим столбец значений обнуляемой функции yi = θi4 – A1•(1 – θi)4/3 – A'2. В какой-то строке произойдёт смена знака функции yi, что означает нахождение искомого ответа внутри соответствующего интервала от θi до θi + 0,1.

4) Берём значение θi и, как в п. "2", строим столбец из значений θi, увеличиваемых в каждой строке на этом шаге уже на 0,01 (поскольку весь интервал равен 0,1, строк понадобится всего 10).

5)... Повторяя процедуру п. "3", находим вдесятеро более узкий интервал искомого ответа от θi до θi + 0,01, затем, при необходимости, аналогично от θi до θi + 0,001, и т. д.



Физика баллонов
Balloons Physics

Для различных практических расчётов бывает полезно или даже необходимо через универсальный газовый закон P•μ = ρ•R•T задать связь плотности газа в баллоне ρ с плотностью окружающей атмосферы ρа.

Если это монгольфьер, то в баллоне и снаружи совпадают давление и молярная масса, а плотности обратно пропорциональны температурам:

ρ = ρа•Tа/T.

В случае шарльера обычно совпадают внутри баллона и снаружи температура и давление газа, и плотности прямо пропорциональны молярным массам:

ρ = ρа•μ/μа.

Однако иногда давление нарочно завышают. При этом ухудшается плавучесть, но улучшается высотная стабильность в циклах день/ночь, и порою второй фактор важнее. В этом случае мы имеем шарльер с избытком давления. Если на рабочей высоте его дрейфа давление атмосферы Ра раб, а давление внутри баллона Рб раб, то:

ρ = ρа•(μ/μа)•(Рб раба раб).

Впрочем, следует заметить, что чистых шарльеров почти не бывает, так как, благодаря существенно разным коэффициентам поглощения и излучения у твёрдой оболочки баллона и у окружающей атмосферы, они, даже находясь в поле одних и тех же потоков излучений, имеют в тепловом равновесии разные температуры на большинстве планет с атмосферами. Как правило, оболочка теплее, а поскольку внутренний рабочий газ всегда находится в примерном температурном равновесии с оболочкой, то такой шарльер по сути дела является розьером. Но бывают и ситуации, когда оболочка и внутренний газ оказываются холоднее окружающей атмосферы, и это можно было бы классифицировать как анти-розьер.

В случае розьера либо его баллон должен иметь переменный объём (расширяться, когда газ разогрет), либо количество закачиваемого лёгкого газа должно быть таково, чтобы на средней рабочей высоте, где в баллоне и снаружи давление равно Рраб, а температура газа в баллоне равна Траб, это количество по универсальному газовому закону заполняло бы ровно объём баллона:

V = (Mг раб/μ)•(Rг•Tраб/Pраб),             или       ρраб = ρmin = Pраб•μ/(Rг•Tраб).

При понижении температуры такой баллон будет съёживаться либо обвисать. Расширяющийся баллон конструкционно сложен, поэтому чаще конструкторы предпочитают второй путь. В этом случае расчётный алгоритм распадается на две ветви. При температурах газа в баллоне выше той температуры, которая принята в качестве рабочей, рост произведения P•V, происходящий согласно универсальному газовому закону, реализуется ростом давления в баллоне. Объём баллона при этом практически постоянен (считая материал оболочки нерастяжимым), но может возникнуть опасность разрыва баллона, если давление в нём слишком возрастёт (см. следующую главку «Прочность баллонов»). При постоянстве объёма баллона постоянна будет и плотность газа в нём:

(Т ≥ Tраб):             ρ = ρа•(μ/μа)•(Tа/Tраб) = const = ρmin,

а давление в этом случае, по универсальному газовому закону, пропорционально температуре:

Pг/Pраб = Tг/Tраб.

При Т < Tраб уменьшение произведения P•V реализуется уменьшением объёма шара, так как при нежёстком корпусе баллона давление в нём не может стать меньше наружного, они тотчас уравняются за счёт деформационного сокращения объёма баллона. Следовательно, плотность газа в баллоне будет меняться, по универсальному газовому закону, в зависимости от температур и от молярных масс:

(Т < Tраб):             ρ = ρа•(μ/μа)•(Tа/T).

Аналогично шарльерам, могут быть и розьеры с избытком давления. У них минимальная плотность также будет содержать дополнительный множитель:

ρmin = ρа•(μ/μа)•(Tа/Tраб)•(Рб раба раб) = const,

но переход к уравнению второго типа, с сокращением объёма при внутреннем давлении, равном наружному атмосферному, произойдёт не сразу после остывания газа в баллоне ниже Tраб. Вначале P•V должно по первому типу уменьшиться до равенства давлений в баллоне и снаружи, то есть истратить запас избыточного давления. Приравняв постоянную часть уравнения универсального газового закона (Pб/Tб) для рабочей температуры баллона и для температуры перехода Tгр, когда Ргр = Ра раб, получим:

при V = Vраб = Vmax = const:             Тгр = Tраб•(Ргрб раб) = Tраб•(Ра рабб раб).

Ниже этой температуры P•V уменьшается по второму типу, с деформационным сжатием баллона, вызывая рост плотности газа в баллоне и, как следствие, спуск баллона в более плотные слои атмосферы:

при Рi = Рa i:             Vi = Vmax•(Ра рабi)•(Ti/Tгр);
ρi = ρmin•(Рiа раб)•(Tгр/Ti).

Здесь два неизвестных, Pi и Тi, поэтому нужно для их отыскания привлечь второе уравнение, которым уместно взять условие архимедова равновесия: масса рабочего газа, оболочки и полезного груза равна массе вытесняемого атмосферного газа, то есть произведению объёма баллона на плотность внешней атмосферы:

Мраб + Моб + Mг = Vi•ρа i.

Выразив здесь ρа i через универсальный газовый закон, а вместо Vi подставив его выражение (см. выше), введя туда и выражение для Тгр (см. ещё выше), получим:

Мраб + Моб + Mг = [(Pб раб•Vmax)/(Rг•Tраб)]•μа•Тiа i.

Выражение в квадратных скобках по универсальному газовому закону представляет собой Мраб, и с учётом этого мы приходим к рабочей формуле:

θ = Тiа i = (μ/μа)•(Мраб + Моб + Mг)/Mраб = const.

Здесь θ – параметр, о расчёте которого сказано во втором разделе алгебраической главки, а примеры расчётов даны в Приложении 1. Зная материал баллона и динамику тепловых потоков в атмосфере в ходе цикла день/ночь на всех высотах, можно (хотя достаточно трудоёмко) вычислить динамику циклического перемещения данного значения θ по высоте. А это даст всю картину движения баллона по вертикали, потому что он при T < Tгр будет следовать за данным фиксированным значением θ.

Отношение температур в баллоне к атмосферной температуре для разных материалов оболочки на разных высотах атмосферы Марса перед рассветом (Ratio of temperature of balloon to atmospheric temperature for different envelope materials at different altitudes of the Mars atmosphere before dawn)

Легче решить более простую задачу: найти высоту, на которой окажется данное фиксированное значение θ в минимуме температур, т. е. в холодный предрассветный час. Для этого достаточно построить по точкам функцию θmin(Н) (этот расчёт тоже не слишком краток, и здесь приведём лишь готовые результаты для первых 8 км атмосферы Марса и четырёх типов материалов баллона, полученные в Приложении 1: см. рис. справа).


Прочность баллонов
Balloons Strength

Максимально допустимая температура газа в баллоне определяется либо термостойкостью материала оболочки, либо её механической способностью выдерживать рост давления в баллоне при превышении температуры над рабочим значением. В точке максимального нагрева, по универсальному газовому закону, давление в баллоне будет больше наружного атмосферного на величину:

Р+ = Рmax – Рраб = Рраб•[(Tmax/Tpaб) – 1].

Р+ создаёт в оболочке напряжение. Оно не должно превышать критического значения для данного материала (а лучше, с запасом, половины или иной меньшей части этого значения). Критическим напряжением является предел прочности материала на разрыв σр [Па], а для пластиков – предел текучести при растяжении σт [Па], который обычно несколько ниже. По формулам из теории сопротивления материалов, напряжение в стенке под действием внутреннего давления выражается обычно через это давление (у нас Р+), толщину стенки d [м] и радиус максимальной кривизны баллона Rк [м] или иной геометрический параметр его формы. Поскольку и розьеры, и шарльеры с избыточным давлением чаще всего проектируют сферической формы, ограничимся этим простым случаем. Напряжение σоб [Па] в тонкой сферической оболочке диаметром D [м] с толщиной стенки d < 0,1•D [м], вызванное избытком давления Р+ [Па], по формуле Лапласа, равно:

σоб = 0,25•Р+•D/d.

Чтобы не вычислять толщину оболочки d, можно в формуле Лапласа заменить её на более употребительные в аэростатике величины: поверхностную плотность оболочки ρоб [кг/м2] и объёмную плотность её материала ρм [кг/м3]. Между ними есть связь (её легко показать расчётом массы оболочки по той и другой плотности) d = ρобм, и с учётом этого получаем:

σоб = 0,25•Р+•D•ρмоб;             Р+ = 4•σоб•(ρобм)/D.

С двойной подстраховкой, положив σоб max < 0,5•σт(р), получим:

Р+ < 2•σт(p)•(ρобм)/D;             Tmax = Tраб•[1 + (Р+раб)] < Tраб•[1 + (2•σт(p)•ρоб)/(ρм•Рраб•D)].


Пример расчёта
Example of calculation

Посчитаем, каков потребуется диаметр для полиэтиленового сферического гелиевого шарльера (ρоб = 0,008 кг/м2), призванного дрейфовать на Марсе на средней высоте 5 км над поверхностью и нести 1 кг датчиков и прочей миниатюрной аппаратуры. Найдём также массу оболочки и гелия в ней, проверим, не лопнет ли баллон при максимальном нагреве, и узнаем, на какую высоту он опустится ночью. В заключение посмотрим, нельзя ли стабилизировать высоту дрейфа.

1) Находим в литературе параметры атмосферы Марса на высоте 5 км:

ρа = 0,0094 кг/м3; μа = 43,34 кг/кмоль.

2) Выписываем из литературы и вычисляем параметры для баллона:

μНе = 4 кг/кмоль; для сферы: k = 4,836; ks = 3,142; kv = 0,524.

На Марсе очень значим солнечный прогрев, а ночью, судя по значительному остыванию грунта, идёт ощутимый поток теплового излучения от него; у полиэтилена же хорошие показатели по способности поглощать лучистое тепло и разогревать газ, что даёт дополнительный выигрыш в плавучести. Поэтому учтём, что шарльер там фактически будет розьером. Из Приложения 1 позаимствуем для высоты 5 км значения Tа/T. Днём Tа/T = 219/282 = 0,78, ночью Tа/T = 202/178 = 1,13, а в среднем примем Tа/T = 0,96, откуда:

ρНе = ρа•(μНеа)•(Tа/T) = 0,0094•(4/43,34)•0,96 = 0,00083 кг/м3.

3) Поскольку и масса аппаратуры невелика (1 кг), и баллон делается из довольно лёгкого материала, заранее трудно сказать, в каком соотношении будет вес оболочки к полезному весу, и расчёт поведём через параметр А:

А = (ρa – ρНе)•Мг0,5/(k•ρоб)1,5 = (0,0094 – 0,00083)•10,5/(4,836•0,008)1,5 = 1,13.

4) Находим параметр δ и диаметр баллона аэростата:

δ = 1,473•А0,0826•ln(А) – 0,6292 = 1,37; D = [Мг/(ks•ρоб)]0,5•δ = [1/(3,142•0,008)]0,5•1,37 = 8,65 м.

5) Находим массы оболочки и гелия:

Mоб = ρоб•S = ρоб•ks•D2 = 0,008•3,142•8,652 = 1,88 кг;
MНе = ρНе•V = ρНе•kv•D3 = 0,00083•0,524•8,653 = 0,29 кг.

6) Рассчитываем по данным из п. 2 среднее значение рабочей температуры, находим в литературе давление в марсианской атмосфере на высоте 5 км (оно будет у нас рабочим), плотность полиэтилена и предел его текучести при растяжении (последняя величина отличается у разных сортов полиэтилена; примем круглое значение, близкое к верхней области диапазона):

Траб = Та/0,96 = 0,5•(219 + 202)/0,96 = 219 К;
Рраб = 394 Па;             ρм = 920 кг/м3;             σт ≈ 100 МПа = 108 Па.

7) Найдём ограничение максимальной температуры:

Тmax < Траб•[1 + (2•σт•ρоб)/(ρм•Рраб•D)] = 219•[1 + (2•108•0,008)/(920•394•8,65)] = 331 K.

У нас Tmax = 282 К, то есть с давлением нам беспокоиться не о чем, оболочка не только не лопнет, но даже не начнёт фатально растягиваться. Гарантирована и термостойкость, полиэтилену не страшна температура +5°С.

8) Вычисляем параметр θ = Т/Та:

θ = (μ/μа)•(МНе + Моб + Mг)/MHe = (4/43,34)•(0,29 + 1,88 + 1)/0,29 = 1,01.

По синей кривой на графике, приведённом во втором разделе алгебраической главки, находим, что этому значению θ соответствует высота ок. 1 км, что довольно далеко от рабочей высоты 5 км.

9) Однако, судя по п. 7, мы вполне можем повысить рабочее давление: это снизит допустимую максимальную температуру оболочки, но у нас есть резерв в целых 50 градусов, прежде чем она окажется ниже тех 282 К, до которых наша оболочка разогревается в ясный полдень. Перепишем неравенство из п. 7, чтобы выразить Рраб:

Рраб < (2•σт•ρоб•Траб)/[ρм•D•(Тmax – Траб)] = (2•108•0,008•219)/[920•8,65•(282 – 219)] = 699 Па.

Нам желательно, чтобы параметр θ был близок к ночному значению для нашей рабочей высоты, тогда аппарат вовсе не будет снижаться. Ночное значение, как видно по тому же графику, чуть ниже 0,9. Величины в расчётной формуле для θ подсказывают, что θ почти обратно пропорциональна МНе, а эта масса, в свою очередь, для шаров с избытком давления пропорциональна внутреннему давлению. То есть увеличить давление нам нужно примерно во столько же, во сколько мы хотим снизить θ, – в данном случае примерно на 12–13%. Примем Рраб = 394•1,13 = 445 Па (это ещё далеко от критических 699 Па), тогда:

ρНе = ρа•(μНеа)•(Tа/T)•(Рраба раб) = 0,0094•(4/43,34)•0,96•(445/394) = 0,00094 кг/м3;
А = (ρa – ρНе)•Мг0,5/(k•ρоб)1,5 = (0,0094 – 0,00094)•10,5/(4,836•0,008)1,5 = 1,112;
δ = 1,473•1,1120,0826•ln(1,112) – 0,6292 = 1,40;             D = [1/(3,142•0,008)]0,5•1,40 = 8,78 м;
Mоб = 0,008•3,142•8,782 = 1,94 кг;              MНе = 0,00094•0,524•8,783 = 0,33 кг;
θ = (4/43,34)•(0,33 + 1,94 + 1)/0,33 = 0,91.

Как видим, мы практически угадали. А с Рраб = ~460 Па можно уже и без расчёта быть достаточно уверенным, что аэростат и днём и ночью будет дрейфовать на одной и той же рабочей высоте 5 км. (Расчёт это подтверждает: θ = 0,88.) Его баллон даже в самый холодный предутренний час не исчерпает запас избыточного давления и не начнёт деформироваться. А весь избыток давления, обеспечивающий этот режим, равен лишь ~66 Па (0,00066 атм.).


Аэродинамика баллонов
Balloons aerodynamics

Здесь не будет рассматриваться вся аэродинамика, а только то, что относится к подъёмам и спускам аэростатов, поскольку горизонтальные перемещения их в атмосферах других небесных тел в подавляющем большинстве случаев отдаются на произвол местных ветров.

Для земной атмосферы существуют расчётные формулы и номограммы, позволяющие по данным о подъёмной силе и весе оболочки баллона найти скорость его подъёма или спуска*, но нам они не помогут. Поэтому рассмотрим вопрос в общем виде.

________

* А. Б. Калиновский, Н. 3. Пинус. Аэрология. Ч. I. Методы аэрологических измерений. Л., 1961, cc. 24–35 [http://elibrary.bsu.az/books_200/N_93.pdf].


Всякий аэростат редко когда находится на одной высоте. На него непрерывно действуют три силы: центробежная архимедова, центростремительная гравитационная и противоположная их результирующему вектору сила трения и прочих аэродинамических факторов торможения. Действуют, конечно, и ветровые и планетарные боковые силы, но их вертикальные составляющие по величине малы, и в аэростатике ими обычно пренебрегают. Об архимедовой и гравитационной силе уже сказано в первом разделе алгебраической главки, а силу аэродинамического сопротивления атмосферы рассчитывают для аэростатов, скорости которых v сравнительно невелики, не более нескольких десятков м/сек, по простой формуле Ньютона:

Fc = 0,5•Cх•ρa•v2•Scеч,

где ρa – плотность атмосферы в точке движения, Scеч – площадь сечения аэростата в направлении движения, а Cх (в англоязычной литературе – CD [drag coefficient]) – коэффициент сопротивления, зависящий от формы аэростата и так называемого числа Рейнольдса Re (хотя, собственно, Рейнольдс лишь популяризировал это число, а вывел его Стокс):

Re = ρa•v•aa,

где a – некий геометрический параметр, выбираемый в качестве характерного размера тела, движущегося в газе или жидкости, а μa – вязкость атмосферы. В аэростатике, где нередко форма баллона меняется в ходе его вертикальных перемещений, обычно в качестве a используют диаметр сферы D, имеющей тот же объём V, что и баллон, т. е.:

a = D = (6•V/π)1/3;             Re = ρa•v•D/μa = 1,241•ρa•v•V1/3a.

Усреднённая во многих опытах зависимость Cх от Re для шаров показана на рис. внизу** (там в числе Рейнольдса вместо ρaa использована равнозначная величина кинематической вязкости νa = μaa, а D рассчитывался так, как сказано выше):

Зависимость коэффициента сопротивления шаров от числа Рейнольдса (Dependence of drag coefficient of balls on the Reynolds number)
Зависимость коэффициента сопротивления шаров и пузырьков в жидкости от числа Рейнольдса.

Кривая (1) – формула Стокса: Cc = 24/Re; кривая (2) – формула Озена (Озеена): Cc = (24/Re)•(1 + 3•Re/16) = 24/Re + 4,5.

________

* Б. В. Бошенятов. Гидродинамика микропузырьковых газожидкостных сред. // Известия Томского политехнического университета, 2005, т. 308, № 6, c. 160, рис. 4 [http://cyberleninka.ru/article/n/gidrodinamika-mikropuzyrkovyh-gazozhidkostnyh-sred].


Эта кривая, носящая имя Рэлея, может быть пригодна и для аэростатов в тех случаях, когда их форма сферична, и может быть, даже когда она в процессе движения отчасти деформируется, поскольку чёрные точки на графике получены Бошенятовым в опытах с пузырьками газа, поднимающимися в жидкости: трудно ожидать, что пузырьки были строго сферичны, но тем не менее чёрные точки весьма неплохо укладываются в средний тренд для сферического тела.

Неоднократно делались попытки отобразить аналитически эту сложную кривую, как исходя из теоретического рассмотрения процесса движения тела в среде с сопротивлением, так и чисто эмпирическим подбором подходящей функции, но хорошего результата для всего широкого интервала значений Re получено не было*. Однако ради тех, у кого нет под рукой мощных компьютеров и хороших программ, я попытался подобрать эмпирические формулы к кривой Рэлея для шаров (и, как мы видели из предыдущего рисунка, для пузырьков, а значит, весьма вероятно, и для аэростатов с мягким корпусом). Результат показан на рис. ниже**.

Зависимость коэффициента сопротивления шаров от числа Рейнольдса (Dependence of drag coefficient of balls on the Reynolds number)

________

* См. обзор попыток в кн.: Б. И. Броунштейн, В. В. Щёголев. Гидродинамика, массо- и теплообмен в колонных аппаратах. Л., 1988, c. 25, табл. 1.3, 1.4 [http://chem21.info/page/077157167220197037006103205034242152143197059220/].

** Метод подбора был таков. Из табл. 1.4 у Броунштейна и Щёголева были взяты численные значения кривой Рэлея (синие точки на рис. выше) и вычислены разницы с, так сказать, нулевым приближением, формулой Стокса: y1 = Cx – 24/Re. Функция y1 вела себя визуально различным образом при малых и больших значениях Re, что побудило искать две разные аппроксимации. Первым шагом эвристически подыскивалась такая вспомогательная функция x1 = f(Re), чтобы y1 = f(x1) выходила гладкой, желательно симметричной и возможно более простой функцией. При малых Re из перебранных вариантов наилучшим оказался такой: x1 = 1/Re0,5, y1 = (0,32 + 4,9•x1)•(1 – 4•x1/7). Погрешность в определении Сх ≈ Re/24 + (0,32 + 4,9•x1)•(1 – 4•x1/7) меньше разброса экспериментальных данных на илл. Бошенятова, так что вполне можно применять эту аппроксимацию для Re < 5000. Но от кривой Рэлея у неё были не случайные, а небольшие систематические отклонения, поэтому, аналогично первому шагу, были проанализированы разницы y2 = Cx – 24/Re – y1. Здесь из перебранных вариантов наилучшим оказался такой: x2 = 0,1•Re1/3,  y2 = 0,3•(1 – 1,5•x2)/е(x2 + x23).

Итоговая аппроксимация для Re < 5000, таким образом, имеет вид, показанный на рис. жёлтой линией:

Сх ≈ 24/Re + (0,32 + 4,9/Re0,5)•[1 – (4/7)/Re0,5] + 0,3•(1 – 0,15•Re1/3)/е(0,1•Re1/3 + Re/1000),

где последний член нужен лишь в случае, если известно, что изучаемый объект довольно точно следует кривой Рэлея, и в расчёте также требуется высокая точность.

В области Re ≥ 5000 не имело смысла использовать стоксовский член, т. к. там 24/Re < 0,005, и в качестве y1 выступал сам Сх. Наилучший результат, показанный на рис. выше красной линией, получился при

x1 = (65,2 – Re1/3)1/3,       Сх ≈ y1 = (0,6971•x13 – 0,3645•x12 – 7,5666•x1 + 17,4924)/Re1/3.

Погрешность в определении Сх по этой формуле не превышала ±0,02, что меньше типичных разбросов опытных данных на рис. Бошенятова. Попытка следующего шага, для устранения вновь наблюдавшегося небольшого систематического отклонения y1 от кривой Рэлея, выявила x2 = Re0,5, но вид y2 требовал полинома четвёртой степени или ещё более замысловатого выражения, которое чересчур загромоздило бы расчёт и вряд ли придало ему больше реальной точности, поэтому попытки эти были оставлены.

Константа в x1 подбиралась формально, методом наименьших квадратов отклонений, но, по-видимому, она имеет и физический смысл: её куб (для сопоставимости со степенью Re в x1) 65,23 = 277168, а это хорошо соотносится с так называемой областью кризиса (резким провалом Сх) на кривой Рэлея, где происходит смена ламинарного, гладкого движения тела сквозь среду на турбулентное, вихревое движение, что меняет физическую природу сопротивления среды движению тела.


Итак, для сферических аэростатов мы сможем найти Сх; по-видимому, он же будет подходить и для случаев деформирования оболочки внешним давлением (как у шарльеров и розьеров ночью или в результате утечки рабочего газа) либо материей атмосферы (как, например, при резком взлёте аэростата в случае сброса балласта). Но что можно сказать о Сх для аэростатов других форм, например, каплевидных? Опытных данных почти нет, в литературе сообщается лишь о работе Eric Loth (2008 г.), где для сплющенного сфероида с отношением осей 1:2 при ~104 < Re < ~3•105 было найдено, что его Сх примерно вдвое больше, чем у сферы равного объёма*. В диссертации D. Scholes (2011 г.) показано, что Сх умеренно-каплевидного баллона (см. рис. справа) на 1–2% меньше, чем у сферы, причём различие медленно нарастает с ростом Re от 104 к 105, – но это не измерение, а моделирование**.

________

* A. Gallice et al. Modeling the ascent of sounding balloons. // Atmospheric Measurement Techniques, vol. 4, 2011, pp. 2235–2253, esp. p. 2239 [http://www.atmos-meas-tech.net/4/2235/2011/amt-4-2235-2011.pdf].

** Daniel Burton Scholes. Evaluation of the Aerodynamic Differences of a Balloon Shape and a Sphere Using Computational Fluid Dynamic Modeling in Fluent. Utah State University, May 2011, p. 29, tabl. 5 [http://digitalcommons.usu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1868&context=etd].


Остаётся прибегнуть к аналогиям. Баллон-капля при падении аэродинамически близок к конусу, движущемуся остиём вперёд. Для такого конуса Сх типично близок к сфере (для твёрдых сфер при Re ≈ 104 Википедия даёт Сх = 0,47, для конусов – 0,50). Если же мы примем во внимание, что встречный поток, обогнув баллон-каплю, не ломается на плоском основании, как у конуса, а более гладко обтекает верхний сфероид баллона, то Сх должен уменьшиться. По-видимому, он будет близок к Сх шара, и для падений баллонов всех форм пригодны значения Сх шара. Однако при взлёте баллона-капли та же самая форма становится аэродинамически идеальной, и для этого случая при Re ≈ 104 Википедия даёт Сх = 0,04.

Зависимость коэффициента сопротивления шаров от числа Рейнольдса, турбулентности воздуха и режима движения (Dependence of drag coefficient of balls on the Reynolds number, air turbulence and mode of moving)

Помимо формы тела, на Сх довольно заметно влияет турбулентность атмосферы, характеризуемая параметром Tu – отношением стандартного отклонения флуктуаций скорости набегающего потока к средней его скорости. Чем выше Tu, тем меньше Сх при том же Re, что ясно видно из рис. справа*, где степень турбулентности между Tu = 6% и Tu = 8% характерна для земной тропосферы. А в случае, которым мы заняты, то есть не в лабораторном измерении Сх (обычно в аэродинамической трубе или подобной установке, где тело фиксировано и обдувается потоком переменных параметров), а при свободном движении баллона в атмосфере существует ещё так наз. подъёмно-обусловленная (lift-induced) сила сопротивления, по-видимому, объясняющаяся колебательным характером взаимодействия стенки баллона со средой. Так, в работе C. Veldhuis et al. (2009) было показано, что при свободном подъёме сферы в воздухе при Re = 1000÷2000 величина Сх в 1,5÷2 раза превосходила ту, которую даёт кривая Рэлея; видимо, этим же объясняются наблюдения W. Mapleson (1954) о значительных, до 5 раз, превышениях Сх над кривой Рэлея при запусках атмосферных зондов в области Re = ~(5÷8)•105**. О том же свидетельствует и кривая из зелёных крестиков на рис. справа, для которой авторы предложили такую формулу**:

Сх = 0,04808•(lnRe)2 – 1,406•lnRe + 10,490.

________

* A. Gallice et al. Op. cit., р. 2240, fig. 2b, по данным E. Achenbach (1972) [пунктир, Tu = 0,45%; соответствует кривой Рэлея] и K. Son et al. (2010) [кружки: Tu = 4%; квадратики: Tu = 6%; треугольники: Tu = 8%] для идеальной сферы. Зелёными крестиками показаны рассчитанные авторами статьи значения по данным, полученным F. Immler (2008 г.) в 10 ночных запусках японских водородных зондов TX1200 (латексовых, близких к сферической форме диаметром при запуске 1,79 м, с разрывным диаметром 9,1 м на высоте разрыва 34,2 км).

** Ibid., p. 2241.


В студенческой научной работе W. Taresh и др. (2010–2011) также было замечено, что подъём аэростата в свободном режиме сопровождался постоянным ростом Сх*. А из курсовой работы S. Winther-Larsen (2016)** по кадрированию свободного падения нагруженных воздушных шариков диаметрами 13, 22 и 29 см при Re в диапазоне от 10.000 до 68.000 можно извлечь данные о Сх, указывающие на ........ С другой стороны, в сходно организованных опытах Rod Cross*** по падению слегка нагруженного воздушного шарика в форме вытянутого сфероида диаметром 20 см и длинной осью 25 см с высоты 3 м был найден Сх = 0,5, а расчёт даёт для условий его опыта Re ≤ ~28000, чему на кривой Рэлея соответствует Сх ≈ 0,46: отличие формально на 8%, а по существу – в пределах погрешностей.

________

Форма шарика в опытах Sebastian G. Winther-Larsen (Ball shape in Sebastian G. Winther-Larsen's experiments)

* W. Taresh et al. Analysis of Anomalous Variations in High Altitude Balloon Ascent Rates near the Tropopause. University of Idaho, 2011 [https://solarsystem.nasa.gov/docs/11_Taresh_Ascent_Rate_Poster.pdf].

** Sebastian G. Winther-Larsen. Air Drag (May 2016)[https://folk.uio.no/sebastwi/FYS2150/Air%20Drag.pdf]. В этой работе изучалось падение шариков слабоэллиптической формы (см. фото справа) трёх разных диаметров с разновеликими грузами до достижения vmax; по данным видеофиксации рассчитывались значения Re, Cx и др. ............

*** Rod Cross. Aerodynamics of a party balloon [http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/37.%20partyballoonB.pdf].


Поправочный множитель к коэффициенту сопротивления аэростатов при свободном полёте как функция числа Рейнольдса (Correction factor to drag coefficient of free flying balloons as a function of the Reynolds number)

Таким образом, имея неплохие данные по кривой Рэлея и с достаточным основанием полагая, что практически все аэростаты (кроме каплевидного в режиме подъёма), скорее всего, будут показывать почти такие же Сх, мы в расчёте реальных свободных движений баллонов должны вводить весьма неопределённую, но явно значительную поправку на фактор этого дополнительного торможения. Всё, что о нём выше изложено, это, фактически, две расплывчатые точки: около Re = 1000÷2000 этот фактор kf ≈ 1,5÷2, а в области Re = ~(5÷8)•105 он меняется от неизвестного уровня до ~5. Можно, наверное, ввести ещё одну точку, разумно предположив, что в области стоксовского режима (Re ≈ 1) этот фактор должен стремиться к 1. Как ни странно, эти скудные отправные данные при регрессионной обработке дают не такую уж плохую с физической точки зрения функцию, показанную на рис. справа:

kf ≈ 1 − 0,116•lnRe + 0,03•(lnRe)2.

Оставляя открытым вопрос о том, зависит ли (и как) kf ещё от каких-либо факторов движения и среды, кроме Re, будем считать, что в рамках последних достижений науки и эксперимента мы имеем рабочую формулу для расчётов силы сопротивления при вертикальных свободных перемещениях аэростатов любых форм в любых атмосферах:

Fc ≈ 0,5•kf•Сх•ρa•v2•Scеч.

(А то, что в будущем эта формула будет нуждаться если не в полной замене, то в существенных корректировках, у меня сомнений не вызывает. Но пока что вопрос об изучении этого дополнительного фактора торможения только-только входит в повестку дня экспериментаторов и теоретиков.) Имея данные о высотных профилях плотности и вязкости атмосферы и о размерах аэростата, можно задать для начальной высоты произвольно малое стартовое значение скорости v, вычислить Re, затем по нему kf и Сх, и можно вычислять Fc.

Результирующая сила, действующая на аэростат в вертикальном направлении, будет векторной суммой архимедовой, гравитационной и тормозящей сил, и она будет придавать массе аэростата (рабочего газа, оболочки и полезного груза) ускорение dv/dτ:

±(Fg − FA) − Fc = ±(Mб − Vб•ρa)•g = Mб•(dv/dτ).

Знак при разности (Fg − FA) в этом уравнении будет определяться выбором знака для скорости: если считать положительной центростремительную, то нужно ставить плюс, и наоборот; я предпочёл бы первый вариант, тогда скорость снижения будет положительной, скорость подъёма − отрицательной. А Fc всегда направлена против вектора v, поэтому в уравнении она с минусом.

Все входящие в это обманчиво-простое на вид уравнение величины явно или неявно являются сложными функциями высоты и времени, и аналитическое его решение невозможно. Но численное решение, если есть нужная информация или хотя бы модель атмосферы по высоте, трудностей не составляет. Пример такого решения дан в Приложении 5.

Однако одно простое решение строится на том, что изменения параметров по высоте и по времени достаточно медленны, а из практики известно, что при свободном падении или взлёте аэростатов равномерная скорость движения достигается очень быстро. При этом dv/dτ ≈ 0, и можно из левой части уравнения выразить эту равномерную скорость (максимальную для данного аэростата на данной высоте атмосферы: главным образом от высоты зависят входящие в формулу физические величины):

vmax ≈ [2•g•(Mб − Vб•ρa)/(kf•Сх•ρa•Scеч)]0,5.

Нетрудно заметить, что в этой формуле надо знать ответ ещё до решения, так как для расчёта v нужны kf и Сх, зависящие от Re, а для расчёта Re нужна v. Как обычно в подобных случаях, прибегают к методу итераций, задаваясь из каких-то соображений нулевым значением v (например, зная из практики земной аэростатики, что вертикальные скорости шаров не превосходят десятков м/с, можно интуитивно скорректировать этот порядок величины на отличия в плотности чужой атмосферы и так получить первую оценку). А далее повторяют цикл, подставляя в Re значение v, вычисленное в предыдущем цикле, и т. д., пока различие между vi+1 и vi не окажется пренебрежимо мало.


_______________


Этим, конечно, необходимая математика и физика не исчерпываются, но для введения уже достаточно, а следующие вопросы будем разбирать по мере изложения.


*   *   *

Исторический обзор
Historical survey

Предыстория: Проект Эхо
Prehistory: Project Echo

Некоторые технологические решения для будущих инопланетных аэростатов были получены в ходе двух американских миссий Эхо (Echo)* по запуску воздушных шаров на высокие орбиты (1524/1684 км у 30,5-метрового Эхо-1 в августе 1960 г. и 1029/1316 км у 41-метрового Эхо-2 в январе 1964 г.). Эти миссии имели ряд научных и военных задач: изучение свойств экзосферы Земли, солнечного ветра, спутниковая связь, геодезия (в частности, точное координирование Москвы для потенциальной ядерной атаки) и др. Наземная антенна, построенная для этих миссий, засекла в 1965 г. реликтовое излучение Большого взрыва.

________

* https://en.wikipedia.org/wiki/Project_Echo. Илл. испытаний Эхо-2 ниже оттуда же.

Структура майлара [лавсана, полиэтилентерефталата] (Mylar structure)

http://www.impakcorporation.com/image/data/polyethylene%20terephthalate-PET.jpg


Шары миссий Эхо, разработанные в Лаборатории Белла, были сделаны из майлара (у нас его называют лавсан или полиэтилентерефталат, материал пластиковых бутылок) с алюминиевым покрытием. Шар Эхо-1 имел толщину плёнки 12,7 мкм и толщину алюминия 0,2 мкм, он был мягким и для удержания сферической формы требовал постоянной подкачки газа, утекавшего сквозь материал оболочки и микропоры, возникавшие в ней от ударов микрометеороидов. Рабочим газом в нём был воздух, которого в высоком вакууме на орбите Эхо-1 потребовалось для надутия шара всего порядка 1 кг, хотя на Земле такой объём потребовал бы 18 тонн воздуха. Любопытным решением проблемы наддува стало помещение в оболочку твёрдых (по другим данным, также жидких) химикатов, способных к сублимации. Сама оболочка весила 56,1 кг, компонент с высоким давлением паров – 4,5 кг и компонент с заметно меньшим давлением паров – 10,6 кг. Метод превзошёл даже ожидания авторов, Эхо-1 пробыл на орбите не до 1964–65 гг., как рассчитывали, а до мая 1968 г., после чего сгорел, войдя в плотные слои атмосферы.

Шар Эхо-2 проходит испытания под нагрузкой в ангаре в Уиксвилле, Сев. Каролина (Echo 2 undergoing tensile stress test in a dirigible hangar at Weeksville, North Carolina)
Шар Эхо-2 проходит испытания под нагрузкой в ангаре в Уиксвилле (Weeksville), Сев. Каролина

Если на Эхо-1 отработали технологию надувки в высоком вакууме мягкой оболочки, то на Эхо-2 оболочка была условно-жёсткой. В ней 9 мкм майлара были заключены между двумя слоями алюминия толщиной по 4,5 мкм (это соответствует весу оболочки порядка 0,2 т). Заполнение воздухом было рассчитано так, чтобы в надутом виде алюминий был слегка растянут, а майлар оставался эластичным. Такое сочетание внутренних напряжений делало оболочку достаточно жёсткой и не боящейся метеоритных микропробоин, что позволило исключить систему наддува. Эхо-2 отработал на орбите до июня 1969 г. Обе эти технологии надувки крупных по размеру оболочек из сложенного в ракете-носителе состояния имели интерес и для инопланетных аэростатов.


Цель – Венера
Targeting Venus

Ещё с 1960-х годов конструкторы и в CCCP и в США стали разрабатывать проекты аэростатов для Венеры, которые должны были дрейфовать на высоте, где давление составляло около 0,5 атм. (сопоставимо с земным высокогорьем 5,5 км), а температура – порядка +30°С (по современным данным, это высота порядка 55 км).


Аэростаты Martin Marietta
Martin Marietta balloons

В 1969 г. на авиационно-космической выставке в Ле-Бурже американская фирма Martin Marietta (в её послужном списке тогда уже были: плавучая АЭС; монорельсовый поезд; самолёт X-24, ставший предтечей знаменитых Шаттлов; первая в мире управляемая тактическая ракета AGM-12; первая высокоточная бомба AGM-62 с теленаведением и ракета AGM-65; семейства ракет Титан, Атлас и Першинг; и мн. др.) представила макет венерианского аэростатного зонда с массой гондолы 4,5 кг. Рабочим газом в нём служил водород, а доставить его к Венере должен был космический аппарат типа «Маринер».*

________

* А. А. Чернов. Путешествия на воздушном шаре. М., 1975 [http://fly-history.ru/books/item/f00/s00/z0000007/st014.shtml].


Конфигурация аэростата Venus Balloon System в режиме дрейфа (Venus Balloon System, Floated Configuration)

Через несколько лет фирма разработала для НАСА два существенно более масштабных венерианских аэростата, под ракету-носитель Пионер. Меньший из них, Venus Balloon System (см. рис. справа*), с полезным весом 90 кг, должен был дрейфовать в атмосфере на той же высоте порядка 50 км в течение месяца, периодически сбрасывая зонды на парашютах для исследований поверхности Венеры и её недр на глубину ударного вхождения пробника, оценённую примерно в 1 м. Научный комплект включал систему ориентации, приборы измерения давления, температуры, солнечного излучения, радарный высотометр. Источником питания был радиоизотопный термоэлектрогенератор с батареей для подпитки в период пикового потребления. Баллон был с избытком давления и мог изменять высоту дрейфа по мере сбрасывания зондов, игравших здесь роль балласта.

________

* Вся информация и илл. даются по статье разработчиков: Patrick C. Carroll, Charles L. Deats. Venus Balloon Systems. Proceedings of AFCRL Scientific Balloon Symposium (8th) held at Hyannis, Massachusetts on 30 September to 3 October 1974, pp. 433–450 [http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a003398.pdf].


Больший аэростат представлял собой плавучую лабораторию по изучению состава атмосферы. Масс-спектрометр и газовый хроматограф определяли химический состав и изотопные соотношения, нефелометр изучал аэрозоли и пыль, датчик солнечного излучения и ИК-спектрометр изучали оптические свойства, 3D-акселерометр измерял турбулентность, радар фиксировал профиль поверхности. В конце миссии газ из баллона стравливался, и измерения продолжались в ходе снижения аэростата (по оценке, до высоты около 30 км, где при +224°C должна была выйти из строя электроника).

Была разработана схема развёртки и наполнения баллона аэростата, которая затем повторялась практически во всех разработках внеземных аэростатов (см. ниже).

Схема развёртки и наполнения баллона аэростата Venus Balloon System (Venus Balloon System, Deployment Sequence)

Развёртывание тормозного парашюта, а затем и сложенного в полёте баллона происходили в схеме по датчику давления, а дальнейшие операции – по таймеру. После отстрела пустых газовых ёмкостей включался радиоизотопный генератор и активировалась система контроля избытка давления. Вначале баллон заполнялся с 10% избытком, затем, по мере подъёма к рабочей высоте, излишек давления стравливался через клапан.

Была тщательно выбрана компоновка спускаемого аппарата (см. рис. ниже), чтобы при развёртывании и надувке баллона не происходило сверхкритичного смещения центра тяжести, и снижение шло бы в стабильном режиме. В то же время она в ходе 4–5-месячного полёта к Венере позволяла отводить тепло, постоянно выделяемое радиоизотопом генератора.

Конфигурация спускаемого аппарата Venus Balloon System (Venus Balloon System, Dropsonde Configuration)

 

Таблица:

 

Гондола

• Аппаратура

– Давление

– Температура

– Солнечное излучение

– Высотометр

• Зонды

(7 шт. по 5 кг каждый)

• Питание

• Связь

• Обработка данных

• Конструкция

Баллон (6,39 м диам.)

Рабочий газ

Полезная нагрузка

Отстреливаемая масса

(газовая ёмкость, клапаны, конструкция, парашют)

Масса аэростата

Масса термоэкрана

Весь спускаемый аппарат

 

масса,

кг

59,6

3,2

 

 

 

 

35,0

 

7,5

3,5

0,6

9,8

21,8

8,2

89,6

131,7

 

 

221,3

100,7

322,0

Надписи на рисунке: Диаметр 175,3 см. Белый: контейнер со сложенным баллоном. Жёлтый: упаковка парашюта. Голубой: гондола. Фиолетовый: сбрасываемые зонды (7 шт.). Оранжевый: Радиоизотопный термоэлектрогенератор. Зелёный: ёмкость со сжатым газом в форме сплющенного сфероида. Пурпурный: сбрасываемые зонды-пробойники (могут парой заменять любой из фиолетовых зондов).


Опытным путём было найдено, что баллон можно упаковать в капсуле до плотности ок. 384 кг/м3. В тестах с 5-метровым в диаметре майларовым баллоном в аэродинамической трубе была выбрана оптимальная скорость надувки: для подавления флаппинга (хлопания) рекомендовано закачивать газ в течение примерно 1 мин.

Было подчёркнуто, что утечка газа через стенки будет составлять серьёзную проблему, для решения которой рекомендовано дополнительно повысить стартовое давление в баллоне. Обширные исследования разных материалов, проведённые специалистами Martin Marietta с 1969 г., выявили нестойкость майлара и того же полимера в виде волокон (дакрона) к серной кислоте, в итоге рекомендовано делать оболочку трёхслойной: газоупорный внутренний слой, тканая основа в середине для прочности и кислотостойкое покрытие снаружи (из фторуглеродов).

Были также разработаны рекомендации по конструкции исследовательской аппаратуры и др. И хотя ни одному из аэростатов Martin Marietta не суждено было полететь к Венере, Марсу или Титану (о последних разработках будет сказано ниже), их данные и рекомендации заложили базовые основы данного направления и нашли применение практически во всех последующих проектах внеземной аэростатики.


Полёты мысли
Flying thoughts

В советской печати можно было встретить прожекты венерианских «летающих островов» поперечником в сотни метров, где азотно- или гелиево-кислородная атмосфера под многослойной прозрачной синтетической плёнкой, внутри слоёв которой «циркулируют газовые составы, содержащие вещества-индикаторы», и обеспечивала дыхание людей и растений в оранжереях и придавала аэростату-острову плавучесть (проект С. Житомирского):

Венерианский высотный аэростат «летающий остров», проект С. Житомирского, 1971 (Venusian high-level aerostat «flying island», design by S. Zhitomirsky, 1971)

«Техника – молодёжи», 1971, № 9 (сентябрь), 4-я стр. обложки [http://epizodsspace.airbase.ru/bibl/tm/1971/9/obl4.jpg].

Венерианский высотный аэростат, проект Г. Москаленко, 1973 (Venusian high-level aerostat, design by G. Moskalenko, 1973)

Ряд любопытных, хотя не всегда реалистичных конструкторских идей для венерианских аэростатов предложил в 1970-х и начале 1980-х гг. Г. Москаленко:*

• использование крупных высотных аэростатов-носителей (рис. справа), от которых на подвесах опускаются или поднимаются небольшие исследовательские зонды;

• применение малых шаров-поплавков для компенсации веса и нагрузки фалов-подвесов и для подъёма зондов над основным аэростатом-носителем;

• комбинация дирижабля и самолёта (рис. 1 внизу);

• дископлан с изменяемой геометрией в зависимости от давления в точке полёта (диск – шар – цилиндр, рис. 2 внизу), причём в нижних слоях атмосферы, где он принимает форму диска, используется и аэродинамическая подъёмная сила;

• аппараты-батискафы переменного объёма с маршевыми двигателями (рис. 3 внизу);

• использование в качестве наполнителя аэростата-дирижабля жидких при перевозке с Земли веществ (вода, аммиак, метанол), испаряющихся при венерианской температуре;

• испарение/конденсация подобных наполнителей (в т. ч. смешанных) для управления высотой полёта (рис. 4, 5 внизу);

• сочетание высотных и горизонтальных манёвров для управления режимом движения аэростата-дирижабля (рис. 6);

• использование ветрогенератора для утилизации энергии при подъёмах и спусках аэростата.

________

* Г. Москаленко. Аэростат в атмосфере Венеры. «Авиация и космонавтика», 1973, № 10, с. 34–35 (рис. станции и 1–3) [http://testpilot.ru/espace/bibl/a-i-k/1973/10-aerostat.html]; Г. Москаленко. Дирижабль для Венеры. «Наука и жизнь», 1981, № 9, с. 85–87 (рис. 4–6) [http://epizodsspace.airbase.ru/bibl/n_i_j/1981/9/9-dir.html].


Венерианские глубинные аэростаты, проект Г. Москаленко, 1973 (Venusian low-height aerostats, design by G. Moskalenko, 1973)

Венерианский аэростат-дирижабль, схема управления высотой за счёт испарения-конденсации водно-аммиачной смеси, проект Г. Москаленко, 1981 (Venusian dirigeable aerostat, idea of regulating height by means of evaporation-condensation of water-ammoniac mixture, design by G. Moskalenko, 1981)

Венерианский аэростат-дирижабль, проект Г. Москаленко, 1981 (Venusian dirigeable aerostat, design by G. Moskalenko, 1981)

Венерианский аэростат-дирижабль, режимы полётов, проект Г. Москаленко, 1981 (Venusian dirigeable aerostat, modes of flight, design by G. Moskalenko, 1981)


Более реальный проект разработал В. Г. Перминов в НПО им. С. А. Лавочкина в 1968 г.* Его спускаемый аппарат массой 3 т в процессе снижения на парашюте в атмосфере должен был разделиться на три составляющие:

1) аэростатный зонд с массой гондолы 5 кг для исследования облачного слоя при давлении 0,5 атм.;

2) аэростатную станцию с массой гондолы 400 кг для исследования облачного слоя, при давлении 10 атм., с использованием масс-спектрометра и газового хроматографа с передачей научной информации с аэростатной станции непосредственно на Землю;

3) посадочный аппарат массой 600 кг для исследования нижней атмосферы и поверхности Венеры.

________

* В. Перминов. Аэростаты в небе Венеры. К 20-летию полета АМС «Вега». «Новости космонавтики», 2005, № 8 [http://galspace.spb.ru/index222.html]. Изложение проекта «Вега» далее в основном опирается на эту публикацию, оттуда же взяты иллюстрации.


Проект «Вега»
«Vega» mission

Позже к вопросу создания венерианских аэростатов подключилось Долгопрудненское КБ автоматики – разработчик аэростатных систем, но с 1973 года, когда «Интеркосмос» АН СССР и космическое агентство Франции подписали соглашение о совместной разработке проекта «Венера», создание аэростата было передано французской стороне. Аэростатная станция должна была нести гондолу массой 240 кг.

В 1980 г. в программу проекта были внесены существенные изменения. После исследований Венеры аппаратура должна была исследовать комету Галлея. Проект был переименован в «Вега» (Венера–Галлей), и ввиду отказа французской стороны от работ по аэростатной системе, эта задача была передана советской стороне. В. Перминов в указанной статье вспоминал: «Долгопрудненское КБ автоматики от разработки венерианского аэростата отказалось из-за обнаруженных в облачном слое Венеры капелек концентрированной серной кислоты. Создание аэростата и гондолы зонда взяло на себя НПО имени С. А. Лавочкина. Разработка аэростатного зонда велась под руководством начальника отдела НПО К. М. Пичхадзе при активном участии талантливого конструктора А. В. Тертерашвили*. Разработка аэростатного зонда подразумевала создание автономной системы с минимальными связями со спускаемым аппаратом. <...>.

________

* Амиран Владимирович Тертерашвили (р. 1945) был выпускником ракетного факультета МАИ 1972 года; в 2000-х в НИЦ им. Бабакина разрабатывал надувной «космический парашют». – Е. Ш.


Спускаемый аппарат «Вега», 1984 («Vega» descent module, 1984)
Конструкция спускаемого аппарата «Вега»

После нескольких попыток была найдена отличная компоновка: аэростатный зонд как единый агрегат разместили над тормозным щитком спускаемого аппарата. Доработки конструкции спускаемого аппарата были минимальными: на верхней части сферической теплозащитной оболочки были установлены узлы для крепления аэростатного зонда, а на цилиндрической части парашютного отсека – стеклотекстолитовые направляющие, обеспечивающие безударный сход зонда. Основу конструкции аэростатного зонда составил силовой конус, центральной частью которого был тор с разъёмом по плоскости. В торе размещались гондола с подвеской и оболочка аэростата. На верхней части силового конуса устанавливались системы: автоматики, наполнения аэростата с гелиевыми баллонами высокого давления и парашютный контейнер аэростата.

Гондола аэростата массой 6,7 кг состояла из трёх частей: антенно-фидерного устройства, блока научной аппаратуры с радиокомплексом, блока источников питания, в нижней части которого размещался агрегат для крепления и сброса балласта. Эти части были соединены между собой гибкими связями. Блок научной аппаратуры включал в себя приборы для измерения: температуры, давления, вертикальных компонент скорости ветра, плотности облачного слоя, освещённости, а также прибор для фиксации световых вспышек. Предусматривался опрос научной информации каждые 75 сек с записью на запоминающее устройство и последующей передачей информации непосредственно на Землю через каждые 30 минут.

Гондола аэростатного зонда «Вега», 1984 («Vega» balloon gondola, 1984)
Конструкция (слева) и внешний вид гондолы аэростатного зонда «Вега» в музее НПО им. С. А. Лавочкина


Торовый контейнер аэростатного зонда «Вега», 1984 (Torous container of the «Vega» balloon, 1984)
Торовый контейнер аэростатного зонда «Вега»

Конструкция гондолы аэростатного зонда «Вега», 1984 (The design of the «Vega» balloon gondola, 1984)

Очень сложной оказалась проблема создания оболочки аэростата, способного длительное время функционировать в облачном слое Венеры, насыщенном капельками концентрированной серной кислоты. Промышленность выпускала фторлоновые и стеклонитроновые ткани, нейтральные к серной кислоте, но они, как все ткани, свободно пропускали воздух. Для гелия, с его высокой текучестью, которым заполнялась оболочка аэростата, требования по её герметичности были очень высокие. В конце концов решение было найдено. Оболочку аэростата диаметром 3,4 м изготовили из фторлоновой* ткани, сшитой из фрагментов, напоминающих по форме дольки апельсина. Для обеспечения герметичности ткань и стыки покрыли несколькими слоями специального лака».

Структура тефлона [фторлона, фторопласта-4] (Teflon structure)

________

* Фторлон – советское название тефлона (фторопласта-4). – Е. Ш.


15 и 21 декабря 1984 г. две ракеты «Протон» отправили к Венере два идентичных 5-тонных космических аппарата «Вега-1» и «Вега-2», в составе каждого из которых был и аэростатный зонд. 9 июня 1985 г. от «Веги-1» отделился спускаемый аппарат, а 11 июня он со скоростью 11 км/сек вошёл в верхние слои атмосферы Венеры. Вот как описывал дальнейшее В. Перминов: «Перегрузка стала стремительно увеличиваться. Одновременно с ростом перегрузки возрастала частота и амплитуда колебаний относительно поперечных осей. Наконец был достигнут максимум продольной перегрузки, вес каждой детали спускаемого аппарата увеличился в 400 раз! Затем перегрузка и колебания начали уменьшаться. При снижении перегрузки до 2 единиц автоматика выдала команду на ввод парашюта увода верхней полусферы и запуск программно-временных устройств (ПВУ) спускаемого аппарата и аэростатного зонда. На высоте около 65 км по команде ПВУ спускаемого аппарата был введен вытяжной парашют, а пирозаряд мгновенно отрезал верхнюю часть теплозащитной оболочки диаметром 2,4 м, которая вместе с аэростатным зондом под действием вытяжного парашюта отошла от спускаемого аппарата и попутно ввела тормозной парашют аэростатного зонда. С этого момента события на спускаемом аппарате и аэростатном зонде стали проходить по разным сценариям.

Схема спуска аппарата «Вега» в атмосфере Венеры, 1984 (Scheme of descent of the apparatus «Vega» in the atmosphere of Venus, 1984)

Конструкция гондолы аэростатного зонда «Вега», 1984 (The design of the «Vega» balloon gondola, 1984)
Схема спуска аппарата «Вега» в атмосфере Венеры (слева) и хронометраж пуска аэростатического зонда (АЗ)

<...> После увода верхней полусферы <...> по сигналу ПВУ аэростатного зонда подорвались пироболты – и аэростатный зонд отделился от верхней полусферы спускаемого аппарата, попутно раскрыв парашют ввода аэростата. Торовый отсек по сигналу ПВУ разделился по плоскости. Под тяжестью нижней части тора оболочка аэростата вытравилась из верхней части, сработал пироклапан наполнения аэростата гелием. На высоте около 53 км аэростат наполнился, парашют с системой наполнения оболочки отделился. Под действием веса нижней части тора, которая выполняла роль балласта, аэростат продолжал снижение. При давлении 0,09 МПа [0,9 атм. – Е. Ш.] нижняя часть тора отделилась, и аэростатный зонд, общая масса которого составляла 21 кг, вышел на высоту дрейфа: высота 50 км, давление 0,05 МПа [0,5 атм. – Е. Ш.], температура атмосферы 30°С. [Зонд висел под баллоном на 13-метровом подвесе. – Е. Ш.]

Аэростат функционировал в атмосфере Венеры 46 час 30 мин. Научная информация принималась советскими радиотелескопами большой площади, расположенными в Уссурийске и в Евпатории. Дрейф аэростатного зонда сопровождала сеть радиотелескопов всей Земли, измеряя его координаты и скорость движения в атмосфере Венеры по сигналам радиопередатчика».

15 июня 1985 г. в атмосферу Венеры вошёл и спускаемый аппарат «Веги-2». Его аэростатный зонд также передавал информацию в течение 46,5 часов. У обоих зондов к этому времени истощилось бортовое питание, но дрейф их, уже без связи с Землёй, продолжался (ниже мы попробуем реконструировать их судьбу).

Эти два отечественных аппарата были и остаются до сих пор единственными аэростатами, побывавшими в небе другой планеты.


Аэростаты для Титана
Aerostats for Titan

В 1970-х годах, почти одновременно с венерианскими аэростатами, фирма Martin Marietta разрабатывала для НАСА и предложения по исследованию Титана, в том числе с помощью аэростатов. Тогда ещё мало знали об условиях в атмосфере этого спутника, поэтому разработка велась скорее концептуально, чем технически. Были предложены схемы монгольфьера (для модели «горячей атмосферы») и шарльеров (для моделей и «горячей» и «разреженной атмосферы»).*

________

* Изложение и илл. по официальному отчёту для НАСА: Tindle E. L. et al. A Titan exploration study: Science, technology, and mission planning options, vol. 2, Jun 01, 1976, pp. III-76–III-82 [https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19760022053.pdf].


Концепция монгольфьера для Титана Martin Marietta, 1976 («Hot Atmosphere» Titan Ballon Concept, Martin Marietta, 1976)

Баллон монгольфьера (см. рис. справа и внизу) заполнялся горячими продуктами горения атмосферного метана в привезённом с Земли окислителе. Базовым окислителем был выбран тетраоксид азота N2O4, но как варианты назывались жидкий кислород или какое-либо однокомпонентное топливо.

СН4 + N2O4 = N2 + СO2 + 2Н2O.

Вес окислителя в этой схеме составлял 9 кг, время горения – 2,5 часа, баллон диаметром 9,7 м и объёмом 482 м3 имел каплевидную форму и должен был парить на высоте ок. 42 км. (Где, как мы сейчас знаем, температура атмосферы порядка 70 К, давление ок. 0,12 атм. и плотность около 0,6 кг/м3; но в 1970-х могли только строить гипотезы, и в модели «горячей атмосферы», для которой они рекомендовали монгольфьер, на высоте 42 км давление было 50 мбар, температура 103 К и плотность 0,16 кг/м3.) Общий вес на плаву составлял 29 кг, из которых 7 кг приходилось на полезную нагрузку (научно-инженерный модуль), а остальное было весом самого баллона (11,5 кг), окислителя (9 кг) и его ёмкости (1,5 кг). Развёртка баллона предусматривалась как в процессе спуска (по типу венерианских), так и с опустившегося на поверхность посадочного модуля. В свёрнутом виде баллон находился в тороидальной капсуле прямо над горелкой. После её зажжения горячие продукты сгорания должны были вытянуть вверх из капсулы лишь небольшую по массе часть оболочки, которая перекрывала тор, и на каждую следующую выходящую из капсулы часть оболочки вес более высоких частей не давил, так как был уже уравновешен подъёмной силой. При окончательном заполнении баллон поднимал с корпуса спускаемого аппарата гондолу и взлетал с нею (см. рис. внизу).

Развёртка монгольфьера для Титана, Martin Marietta, 1976 (Deployment of Titan Ballon, Martin Marietta, 1976)

Тетраоксид азота используется как окислитель в ракетной технике, но применение его на Титане, при глубоких отрицательных температурах (–200°С и ниже), вызывает вопросы, ведь при обычном давлении он остаётся жидким только в интервале от 262 до 294 К (–11°С ÷ +21°С). Способен ли кристаллический тетраоксид азота достаточно эффективно реагировать при –200°С с газообразным метаном (при том, что метана в азотной атмосфере в самых богатых им приповерхностных слоях не более 5,7%, а на высоте 42 км, как мы сейчас знаем, его всего 1,5%), – без эксперимента не скажешь. Насколько сильно будет обледеневать изнутри корпус баллона за счёт осаждения продуктов реакции, водного и углекислотного льдов, тоже желательно проверить в эксперименте. Интуитивно же мне такое кажется почти неизбежным при контакте этих паров с тонкой оболочкой площадью ок. 300 м2, за которой –180°С или ниже.

Если исходить из того, что в факеле горелки и исходные реагенты и продукты реакции будут газообразны, и температура реакции будет близка к тем 298 К, для которых приводятся табличные данные по энтальпиям, то можно оценить, что на 1 г продуктов выделяется порядка 1270 калорий тепла, а за счёт конденсации воды и СO2 и перехода их в твёрдую фазу (примем такой сценарий) выделяется ещё порядка 260 кал/г, итого примерно 1,5 ккал/г. На 1 г продуктов реакции потребляется 0,15 г метана, но, поскольку он атмосферный, то в факел вместе с ним поступает и 9,85 г азота; ещё 0,26 г. азота образуется по реакции, и эти суммарно 10,1 г. азота, составляющие всю газовую фазу на выходе, и нагреваются этими 1,5 ккал. Исходя из теплоёмкости азота (~0,25 кал/г•К), можно оценить, что нагреваются примерно на 600 К. Конечно, так считать нельзя, это чисто проверочная оценка, чтобы увидеть, в каких примерно диапазонах температур мы работаем.

Реально и в момент горения часть химической энергии высвечивается в виде излучения, и немалая доля теплоты конденсации воды и СO2 отдаётся в атмосферу через тонкую стенку, и за счёт лучеиспускания и конвекции от этой разогретой стенки баллона тепло будет постоянно сниматься в атмосферу. По данным разработчиков, 9 кг окислителя расходовались за 2,5 часа; это ровно 1 г/сек. По уравнению реакции, на 1 г продуктов требуется 0,85 г окислителя, значит, в среднем окислитель в горелке баллона давал в секунду 1,17 г продуктов и выделял теоретически 1,76 ккал (=7,38 кДж) тепла (включая теплоту конденсации). Иными словами, теоретическая мощность горелки составляла 7,38 кВт. Примем, что полезная мощность, идущая на нагрев азота в балоне, была ~5 кВт.

По рисунку баллона у разработчиков, его форму можно модельно принять как сплющенный сфероид с соотношением осей 3:2, стыкующийся с конусом, с общей высотой фигуры, равной 4/3 диаметра сфероида (см. рис. в геометрическом введении). Объём и площадь поверхности такой фигуры и их взаимное соотношение равны, как говорилось во введении:

V = 0,455•D3;     S = 3,61•D2;    S = 6,11•V2/3.

Применив последнюю формулу к известному нам объёму баллона 482 м3, получим площадь его поверхности 375 м2. Она позволит нам найти среднюю мощность излучения тепла с единицы поверхности баллона; в данном случае это примерно 5000/375 = 13 Вт/м2.

Понятно, что конструкторы сделали бы всё возможное, чтобы ценное тепло терялось как можно меньше, и, в частности, приняли бы меры к уменьшению коэффициента излучения материала баллона; но если мы для грубой оценки примем этот коэффициент равным 0,5÷0,9, то такое, скорее всего, завышенное значение будет у нас неявно учитывать унос тепла конвекцией, точный расчёт которой непрост. Зная удельную мощность излучения W = 13 Вт/м2 и температуру атмосферы Титана на высоте дрейфа аэростата (70 К), можно по закону Стефана – Больцмана оценить температуру газа внутри баллона Т:

W = 5,67•10–8•(0,5÷0,9)•(T4 – 704) = 13;     T = 149÷130 K.

По такой оценке получается, что азот в шаре примерно вдвое горячее (= вдвое легче), чем снаружи, и, значит, его удельная подъёмная сила равна примерно половине наружной плотности, т. е. порядка 0,3 кг/м3, или около 150 кг для баллона объёмом 482 м3. Это в пять раз больше цифры, приводимой в описании (29 кг). С одной стороны, довольно огрублённо делали оценки мы; с другой стороны, при отсутствии информации неверно были приняты параметры атмосферы Титана специалистами Martin Marietta (по их оценке температуры атмосферы 103 К газ в баллоне выходил бы легче не вдвое, а примерно на 32–40%, что при их значении плотности атмосферы 0,16 кг/м3, давало бы подъёмную силу порядка 0,06 кг/м3 или 29 кг для баллона объёмом 482 м3). В общем, при пятикратном «запасе прочности», подаренном реальной атмосферой Титана, можно верить, что схема подобного монгольфьера была вполне работоспособной.


Гелиевый шарльер для той же модели атмосферы был также рассчитан на подъём к отметке 42 км. Его баллон диаметром 5,2 м и объёмом 72,6 м3 изготовлялся из полиэтилентерефталата двух видов: прочностной тканой основы (дакрон) и газоупорной плёнки (майлар). Для компенсации утечки гелия создавался 20%-ный избыток внутреннего давления в сравнении с наружным. Его форма, типично для баллонов с избыточным давлением, была сферической, вес оболочки составлял 2,8 кг, гелия 2,1 кг, научного блока те же 7 кг, как и в случае монгольфьера. Сжатый гелий в посадочном аппарате хранился до закачки в эпоксидированной ёмкости массой 24,3 кг.

Структура типичного полиэпоксида, продукта конденсации эпихлоргидрина с бисфенолом А (Structure of typical poliepoxide, bisphenol-A diglycidyl ether epoxy resin)

Эпоксидные полимеры отличаются разнообразием состава. В отчёте вид эпоксидных компонентов не уточнён. Здесь показана самая распространённая структура, продукт конденсации эпихлоргидрина с бисфенолом А.

Гелиевый аэростат без избытка давления для Титана Martin Marietta, 1976 (Titan Zero Pressure Helium Ballon, Martin Marietta, 1976)

Гелиевый шарльер для модели разреженной атмосферы (см. рис. справа) предлагался большего размера, его диаметр был 14,8 м и объём баллона 1700 м3. Он должен был развёртываться и подниматься со спускаемого аппарата, севшего на грунт, потому что в разреженной атмосфере спуск происходил бы очень быстро, и развернуть баллон в полёте не удалось бы.

Вес научного модуля, включая батарею питания, составлял 6,9 кг, гелия – 7,2 кг, оболочки баллона из двуслойного кевлара толщиной 6,3 + 6,3 мкм – 12,6 кг, и общий вес на плаву – 26,7 кг. Аэростат должен был просто подняться в течение часа к своей высоте равновесия и там дрейфовать. (В этой модели атмосферы высота дрейфа оказывалась на 25 км, при давлении там 8,2 мбар, температуре 94 К и плотности 0,0157 кг/м3; сегодня мы знаем, что на 25 км давление порядка 32 мбар, температура ок. 75 К и плотность ок. 1,63 кг/м3, 8 мбар характерны для высоты 49 км, 94 К – для 66 км, а плотность 0,0157 кг/м3 достигается на 111 км. Ещё дальше от реальности в этой модели оказывались параметры атмосферы у поверхности: давление 17 мбар, температура 78 К, плотность 0,042 кг/м3.). По ходу подъёма научный блок, включавший газовый хроматограф, передавал бы данные об атмосфере либо на спускаемый аппарат, либо на орбитальный.

Структура кевлара (ниже): http://cnx.org/resources/87acbe5a71c13c11b86f02738d22576834f58362/CNX_Chem_20_04_kevlar1.jpg.

Структура кевлара (Kevlar structure)

Привязной гелиевый аэростат для подъёма научной платформы стоящего на поверхности Титана аппарата, Martin Marietta, 1976 (Tethered helium balloon elevated science platform from Lander at Titan surface, Martin Marietta, 1976)

Отмечалось, что замена гелия водородом улучшила бы плавучесть, но водород под давлением нельзя было транспортировать в титановых ёмкостях, так как в металле он вызывает развитие хрупкости (а перегрузки при входе спускаемого аппарата в атмосферу доходят до 400 g!). Как выход предлагалось разработать технологию намоточных ёмкостей из прочного эпоксидного волокна, которые были к тому же и легче (титановые для данного количества гелия весили 92 кг, а эпоксидные – 68 кг).

Избыток давления в баллоне не предусматривался, поскольку цель дрейфа на постоянной высоте не ставилась.


Ещё одной модификацией шарльера был небольшой гелиевый баллон диаметром 2,2 м и общей массой оболочки и гелия 3,1 кг, связанный со спускаемым аппаратом, работающим на поверхности (см. рис. справа). Его задачей был подъём научной платформы к нужной высоте, он был связан с основным аппаратом линиями связи и питания. Баллон мог поднять камеру для панорамной и стереоскопической съёмки массой 6 кг, которая и была его главным инструментом.


Марсианская Аэроплатформа
Mars Aerial Platform (MAP)

Марсианская аэроплатформа, 1993 (Mars aerial platform, 1993), рис. William Mitchell
Марсианская аэроплатформа, 1993*.

Марсианская аэроплатформа, 1993, и российско-французский аэростат Марс-94 (Mars aerial platform, 1993, and Russian-French aerostat Mars 94)
Марсианская аэроплатформа (справа) в сравнении с российско-французским аэростатом Марс-94*** (слева: о нём см. в след. главке).

Этот проект в начале 1990-х гг. был разработан той же фирмой-первопроходцем Martin Marietta Astronautics совместно со Space Dynamics Lab. Ракета Delta 7925 должна была доставить к Марсу 8 капсул диаметром 1,1 м каждая с упакованными аэростатами. За 10 дней до подлёта к Марсу капсулы должны были выйти из космического аппарата и разделиться, чтобы войти в атмосферу в разных точках, обеспечив широкий охват поверхности. После входа в атмосферу капсулы тормозились парашютами диаметром 20,8 м, затем в процессе снижения развёртывался и заполнялся баллон каждого аэростата, после чего парашют, капсула и узел закачки отстреливались и доставляли на поверхность один блок научной аппаратуры, а аэростаты, стабилизировавшись на высоте около 7–8,5 км, приступали к своей программе, главным пунктом которой было детальное фотографирование поверхности Марса в цвете с высоким разрешением (до 20 см/пиксел).

Гондола весом 8 кг несла две фотокамеры, 1 кг научного оборудования, дополнительные инструменты, устройства записи и передачи данных, аккумуляторы и солнечные батареи. Благодаря новым разработкам баллон должен был обеспечить неслыханно долгий рабочий цикл – сотни или даже тысячи дней. За 10–30 дней он совершал бы полный оборот вокруг планеты.

Баллоны диаметром 18,2 м предлагалось сделать из коммерчески доступного биаксиально ориентированного** нейлона 6 (biaxial nylon 6; в России обычно именуется капроном) толщиной 12 мкм.

Структура капрона [нейлона 6] (Structure of nylon 6)

Выглядя как паутинка, он, тем не менее, оказался удивительно газонепроницаем, поскольку в нём отсутствовали поры. За счёт этого он мог днём выдерживать избыточное давление нагреваемого Солнцем газа и не менял высоту дрейфа, несмотря на значительные перепады температур (Tноч ≈ 183 K [–90°С]; Tдн ≈ 216 K [–57°С]). Компания успешно провела тест наиболее рискованной операции развёртки баллона в стратосфере Земли на высоте 45 км, где плотность примерно соответствовала марсианской в зоне развёртывания баллона. Было рекомендовано надувать баллон сверху, вначале медленно, по 20 г газа в сек, чтобы не перегружать материал на границе развернутой и свёрнутой частей баллона, а через 20 сек увеличивать скорость надувки до 170 г/сек.

________

* Рис. William Mitchell [http://www.wmmitchell.com/illustration?lightbox=image1vm7].

** При биаксиальном ориентировании плёнка создаётся из двух слоёв, с перекрёстной ориентацией макромолекул. Это весьма улучшает её механические свойства и вдобавок уменьшает плотность, что очень важно в аэростатике. Структура капрона: [http://patentimages.storage.googleapis.com/EP1852022B1/imgb0004.png].

*** Mark Bergin. Exploration of Mars. Brighton, 2002, p. 10 [https://books.google.ru/books?id=sSsY3kfMRwsC].


Капсула общей массой 90,1 кг включала:

защитный тормозной экран (aero-shield) – 12,9 кг;

задний щиток (base cover and drogue) – 9,5 кг;

система главного парашюта (main parachute system) – 15,9 кг;

посадочный метеоблок (surface meteorology package) – 3,0 кг;

антиротационное оборудование (despin device) – 1,0 кг;

газовые ёмкости, коммуникации, клапаны (tanks, lines valves) – 18,3 кг;

контейнер баллона (balloon container) – 3,7 кг;

баллон с принадлежностями (balloon and associated systems) – 16,5 кг;

газ (gas mass) – 2,1 кг;

научная платформа (gondola payload) – 8,0 кг, куда входили:

– Ni-металлогидридная батарея на 18 Вт-ч. (Battery [Nickel-metal Hydride, 18 W-hrs]) – 0,5 кг;

– солнечная батарея на 40 Вт-ч площадью 0,22 м2 (Solar Array [40 W-hrs, 0.22 m2] – 0,5 кг;

– радиопередатчик (Radio Transmitter) – 1,1 кг;

– компьютер (Computer) – 1,0 кг;

– термозащита и др. (Thermal Protection and misc structure) – 1,5 кг;

– камеры (Cameras) – 0,6 кг;

– атмосферные датчики (Atmospheric monitors) – 0,1 кг;

– спектрометры (масс-, нейтронный, ИК) и др. (EMS, Neutron Spec, IR Spec, etc.) – 1,3 кг;

– проводка (Cabling) – 0,3 кг;

– на непредвиденное (Contingency) – 1,1 кг.

Тем не менее, и эта разработка Martin Marietta осталась нереализованной, хотя их оценка стоимости миссии MAP (без учёта цены запуска) была весьма скромна: порядка 150 млн. $.*

________

* Robert Zubrin et al. The Mars Aerial Platform mission – A global reconnaissance of the Red Planet using super-pressure balloons. Space Programs and Technologies Conference and Exhibit, AIAA SPACE Forum (1993) [http://web.archive.org/web/20040415010517/http://www.nw.net/mars/docs/maphunts.txt] и [https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/6.1993-4741]. Robert Zubrin with Richard Wagner. The Case For Mars. N. Y., 1996, pp. 49–50 [https://books.google.ru/books?id=NC8XZEddojs].


Аэростат Марс-94 (96)
Mars 94 (96) Aerostat

Этот российско-французский проект стартовал в 1987 году, вначале он назывался Марс-94, затем Марс-96. Он разрабатывался в конкуренции с вышеописанным проектом MAP, затем вошёл в трудные для России 1990-е годы и в итоге был закрыт в конце 1995 г. после двух неудачных атмосферных тестов на развёртку баллона. Спускаемый аппарат, разрабатывавшийся российской стороной, идеологически во многом повторял «Вегу». Аэростат с оборудованием надувки размещался на защитном тормозном экране (внизу показаны первоначальная и позднейшая конфигурации).

Схема спускаемого аппарата миссии Аэростат Марс-94 (Mars 94 Aerostat: Descent module configuration)

Марс-94 [https://www.nirgal.net/mars_balloons.html]

Схема спускаемого аппарата миссии Аэростат Марс-96 (Mars 96 Aerostat: Descent module configuration)

Марс-96 [https://arc.aiaa.org/doi/pdf/10.2514/6.1997-1449]

Развёртка аэростата в проекте Марс-94 (Mars 94 Aerostat: balloon deployment)

Схема дневного и ночного дрейфа аэростата в проекте Марс-94 (Mars 94 Aerostat: floating at day and night)

https://www.nirgal.net/mars_balloons.html

После входа в атмосферу Марса и стабилизации главным парашютом должна была начаться 5-минутная развёртка и надувка сжатым гелием цилиндрического баллона диаметром 13,5 м и вышиной 42 м (объём баллона – 5500 м3, вес – 24,5 кг, материал – полиэтилентерефталат толщиной 6 мкм). Описав обычную для таких операций U-образную траекторию (рис. справа), аэростат выходил на высоту дрейфа.

Аэростат должен был нести гондолу весом 15 кг на 25-метровом подвесе и пробоотборник-гайдроп весом 13,5 кг в виде 7-метровой «змеи», привязанной к гондоле 50-метровым эластичным подвесом (общая высота аппарата составляла 120 м). Коммуникации весили 6 кг и гелий в баллоне – 6,4 кг. Вначале аэростат разрабатывался по типу розьера (баллон с водородом или гелием плюс монгольфьер, днём разогреваемый Солнцем), но позже от этой идеи остался лишь подогрев гелия солнечным теплом. За счёт этого аэростат днём должен был парить в атмосфере на высоте до 3 км, к вечеру снижаться, а ночью пробоотборник должен был волочиться по поверхности, собирая образцы грунта (рис. справа). Общая продолжительность миссии планировалась порядка 10 суток.*

________

* A. Vargas, J. Evrard, and P. Mauroy. Mars 96 Aerostat – An overview of technology developments and testing. International Balloon Technology Conference, Balloon Systems Conferences [https://arc.aiaa.org/doi/pdf/10.2514/6.1997-1449].


Аэростаты НАСА
NASA's aerostats

Система развёртки баллона марсианского аэростата НАСА, 1997 (Mars balloon delivery system, NASA, 1997)

В 1997 году Лаборатория реактивного движения НАСА, опираясь на успехи, достигнутые миссией «Вега», приступила к разработке аэростата для Марса. Его баллон сферической формы диаметром 27 м вмещал 10,5 тыс. м3 водорода или гелия (масса газа, находившегося под небольшим избыточным давлением, 20 Па ночью и 240 Па днём, составляла 12 кг, баллона – 55 кг) и мог нести 15 кг полезной нагрузки, паря на высоте 6,5 км (ночью ниже, днём выше). Баллон должен был делаться из специально разработанного композита, показавшего высокие характеристики в диапазоне от +23°C до –198°C, а также в условиях радиации. Его состав: майлар толщиной 3,5 мкм, кевларовая основа, полиэтиленовое покрытие толщиной 6 мкм; поверхностная плотность 19,66 г/м2. Верхняя половина шара алюминизировалась для предотвращения конденсации CO2, нижняя была белой. Система развёртки и заполнения баллона газом, с учётом неудач тестов «Марса-96», была переделана на подачу газа снизу, а геометрия модуля была изменена для оптимизации распределения масс и нагрузок при надувке. Плановая продолжительность миссии была увеличена до 90 дней. Энергопитание на столь долгий срок обеспечивала как батарея весом 540 г, так и солнечная батарея площадью 0,76 м2 и весом 1520 г. Масса оборудования составляла 13,2 кг, балласта – 3 кг, пиковая мощность – 3 Вт, суточное потребление ок. 0,07 кВт-ч.*

________

* Kerry T. Nock et al. Mars 2001 Aerobot/Balloon System Overview. 1997. [http://www.gaerospace.com/wp-content/uploads/2015/09/AIAA-1997-1447-Mars-Aerobot.pdf]. Илл. системы развёртки оттуда же. Эта статья самым полным образом очерчивает многие проблемы марсианского (и вообще инопланетных) аэростатов.


В 1997 г. НАСА поручило Лаборатории реактивного движения разработать марсианский аэростат, в несколько раз меньший, чем предыдущие проекты Аэроплатформы и Аэробота. Новая разработка получила название The Mars Aerobot Technology Experi-ment (MABTEX)*. Это был гелиевый аэростат диаметром 10 м с избыточным давлением, способный нести 2,5–3 кг аппаратуры. Для него был разработан специальный диффузор, позволявший провести быструю надувку без риска повреждения баллона, толщина стенок которого была испытана в диапазоне от 8,5 до 12,5 мкм. В 1998–2001 годах были проведены пять стратосферных тестов по заполнению гелием 10-метрового сферического баллона из майлара толщиной 12 мкм, из них два не смогли достичь стратосферы, а из остальных успехом завершился лишь один. В июне 2002 г. на Гаити под руководством Виктора Кержановича и Джеффри Холла были проведены тесты майларового баллона сферической формы и полиэтиленого с укрепляющими стяжками, придающими баллону форму тыквы (его диаметр был 12 м, объём – 520 м3). Каждый, предварительно проверенный на отсутствие микропор и других повреждений, поднимался транспортным аэростатом на высоту 34 км, где условия напоминают приповерхностную атмосферу Марса, оттуда сбрасывался на парашюте, и в падении заполнялся газом. Испытание выдержал только полиэтиленовый баллон**.

________

* V. V. Kerzhanovich et al. MABVAP: One Step Closer to an Aerobot Mission to Mars. [https://www.academia.edu/22983561/MABVAP_One_Step_Closer_to_an_Aerobot_Mission_to_Mars].

** V. V. Kerzhanovich, J. A. Cutts, & J. L. Hall. Low-cost balloon missions to Mars and Venus. 16th ESA Symposium on European Rocket and Balloon Programmes and Related Research, 2–5 June 2003, Sankt Gallen, Switzerland. Ed.: Barbara Warmbein. ESA SP-530, Noordwijk: ESA Publications Division, 2003, pp. 285–291 [http://articles.adsabs.harvard.edu//full/2003ESASP.530..285K/0000290.000.html].

Развёртывание аэростата НАСА на Марсе (Deployment of NASA Aerostat in Martian atmosphere)

Дрейф аэростата НАСА в атмосфере Марса (Floating of NASA Aerostat in Martian atmosphere)

Развертывание (слева) и дрейф аэростата НАСА с избыточным давлением на Марсе [https://www.nirgal.net/mars_balloons.html]


Развитие технологий всё это время вело к снижению веса научной аппаратуры, и в 1998 г. НАСА заключило с Pioneer Astronautics (куда в то время перешёл Роберт Зубрин, один из главных аэростатиков Martin Marietta) контракт на разработку марсианского микроаэростата, способного нести менее 1 кг аппаратуры. Этот проект получил название Mars Micro Balloon Probe (MMBP).* Ставка в нём делалась на солнечный монгольфьер/розьер, который мог заполняться как атмосферным газом, так и более лёгкими компонентами (H2O, NH3, CH3OH). Он должен был в процессе спуска достаточно быстро разогреться и перейти на восходящую траекторию (дневная высота дрейфа в диапазоне примерно от 4 до 7 км). Было исследовано, какую удельную плавучесть обеспечивают разные рабочие газы при разных типах покрытия оболочки баллона (чёрной краской, золотом и алюминием). Наилучший результат показал амммиак с золотым покрытием: 7,9 г/м3. Баллоны предлагалось использовать из имеющихся на рынке лёгких полиэтиленовых, объёмом 538 м3 и 1529 м3. Они имели стандартную каплевидную форму (полусфера + конус), а плотность их плёнки составляла 8,3 г/м2 у меньшего и 7,2 г/м2 у большего. На случай, если они в условиях Марса окажутся недолговечны, предлагалась альтернатива: баллоны из майлара плотностью ок. 13 г/м2.

________

* Robert Zubrin et al. Report on the Analysis, Design, Construction, and Testing of a Prototype Mars Micro Balloon Probe. (1998) [www.pioneerastro.com/Projects/Mmb/MMBP_Final_Report.doc].


Но всё же в НАСА решили, что аэростаты не смогут на Марсе конкурировать с другими способами планетарного исследования. В 2008 г. программы марсианского аэростата были прекращены.


Венерианский аэростат ILC Dover и NASA Wallops, 2007 (ILC Dover and NASA Wallops Venusian balloon, 2007)
Венерианский аэростат ILC Dover и NASA Wallops, 2007

В 1999 г. был успешно испытан на заполнение прототип венерианского баллона, а в 2006 г. та же лаборатория в сотрудничестве с ещё несколькими (NASA Wallops и ILC Dover) провела сернокислотный тест баллона диаметром 5,5 м с избыточным давлением гелия, предназначенного для дрейфа в атмосфере Венеры на высоте 55 км. Оболочка его состояла, снаружи внутрь, из тефлона (для кислотостойкости), алюминия (для отражающей способности), майлара (для минимизации утечки гелия) и вектрановой ткани с полиуретановым покрытием (для механической прочности; вектран по свойствам близок к широко известному кевлару)*.

________

* V. V. Kerzhanovich, J. A. Cutts, & J. L. Hall. Op. cit.

Я бы только уточнил, что роль главного барьера против утечки гелия в этом слоёном материале оболочки должна быть отдана не майлару, а алюминию, гораздо более стойкому в этом отношении. – Е. Ш.


Структура вектрана (Vectran structure)

Структура полиуретана (Polyurethane structure)

Вектран: https://s3.amazonaws.com/data.tackk.com/mio/48182855/14558996740709/large.png;
полиуретан: http://www.pslc.ws/macrog/images/ureth01.gif.

Тест на развёртку венерианского аэростата для проекта VALOR (Deployment test of the Venusian balloon for VALOR project)

В 2007 г. этот баллон перекочевал в программу VALOR (Venus Aerostatic-Lift Observatories for in-situ Research, Венерианские аэростатические обсерватории для исследования на месте), где были указаны такие его характеристики: масса оболочки – 23,7 кг, поверхностная плотность – 176 г/м2, полезная нагрузка – 44 кг, масса гелия – 7,8 кг; толщина тефлона – 25,4 мкм, майлара – 12,7 мкм, облегающего майлар алюминиевого ламината – 0,03 мкм снаружи и 0,1 мкм внутри. В течение 330-часового теста никакой измеримой утечки гелия не было замечено. Аэростат предназначался для длительного дрейфа на высоте 54–56 км. За счёт минимального отношения коэффициентов излучения и поглощения материала оболочки (α/ε) аэростат должен был сравнительно мало перемещаться по высоте при ночном остывании и дневном прогреве, в пределах 1 км (у «Веги» при переходе с освещённой на теневую часть Венеры амплитуда высотных перемещений была порядка 3 км). Баллон также хорошо выдержал тесты на развёртывание (см. рис. выше, перегрузка имитировалась сбросом 27-кг груза, который, пролетев 9 м в свободном падении, рывком меньше чем за 1 сек. вытягивал баллон из упаковки).* Однако и эта программа венерианского аэростата была закрыта в 2013 г., а в следующем – и программа аэростата для Титана, разрабатывавшаяся чисто теоретически.**

________

* K. H. Baines et al. Exploring Venus with balloons: Science objectives and mission architectures. 5th International Planetary Probe Workhop Bordeaux, France, June 25-29, 2007 [https://solarsystem.nasa.gov/docs/3_Baines_Venus_Balloons.pdf]. Илл. теста на развёртку оттуда же.

** Thomas Schumann. Space balloons at Venus, Mars and Titan (December 11, 2016) [https://www.spaceboard.eu/articles/space-out/space-balloons-at-venus-mars-and-titan]. Илл. 2007 г. выше справа оттуда же.


Для Титана Лаборатория реактивного движения в 1990-х гг. разработала три концепции:

гелиевого аэростата-шарльера 3-метрового диаметра, способного дрейфовать на 10-километровой высоте с полезным грузом 50 кг, а при наличии узла испарения/конденсации аргона или смеси из двух либо более компонентов: кислорода, азота, двуокиси углерода и аргона (по типу водно-аммиачно-метанольных систем того же типа, предлагавшихся для Венеры) способного и к управляемым вертикальным перемещениям; конструкция предусматривала волочащуюся по твёрдой или жидкой поверхности «змею» – сборщик образцов, но позже от неё отказались из-за риска застревания (см. рис. слева внизу);

аэростата-розьера, где вертикальные перемещения порядка ±20 м обеспечивались дозируемым подогревом гелиевого баллона внешним атмосферным (азотным) баллоном от радиоуправляемого источника тепла (радиоизотопного термоэлектрогенератора), – см. рис. справа внизу; в схему также входил узел конденсации атмосферного метана (ещё один лёгкий газ) и поглотитель газа, откуда газ при необходимости мог извлекаться в баллон путём нагрева;

Аэробот для Титана, 2000 (Titan aerobot, JPL, 2000)

Аэровер-розьер для Титана, 2000 (Titan Aerover-rozière, JPL, 2000)

и надувной амфибии: 20- или 50-килограммового вездехода с тремя сферическими надувными колёсами по 1,5 или 2 м диаметром, способного перемещаться и по поверхности (твёрдой и жидкой) и в атмосфере, совершая, регулированием подкачки гелия и сброса балласта, неоднократные спуски и подъёмы. (См. ниже схему реализации миссии и прототип аэровера-амфибии на фотоколлаже под следующим абзацем). По расчётам, 6-ваттный микродвигатель мог разогнать его до скорости 5 км/час. Колёса предполагалось сделать из кевлароподобного пластика: уже упомянутого вектрана или спектра (сверхвысокомолекулярного полиэтилена), но рассматривалась и возможность использования зайлона (он же ПБО или полиоксазол), отличающегося высочайшей термостабильностью. Амфибия могла пермещаться автономно или в соединении с одним из баллонов, описанных выше.*

Структура зайлона [полиоксазола] (Zylon structure)

________

* Jack A. Jones, Jiunn Jeng Wu, Aaron Bachelder, and Michael Pauken. Titan Amphibious Aerover. AIAA Space 2000 conference, Long Beach, CA, Sept 19-21, 2000 [http://www2.jpl.nasa.gov/adv_tech/balloons/Baln_ppr/jjAIAA00.pdf]. Илл. выше и под этим абзацем оттуда же. Зайлон: Википедия.

План миссии эровера-вездехода для Титана, 2000 (Titan Aerover mission sequence, JPL, 2000)

Перевод этапов миссии после сброса модуля надувки: Аэровер достигает высоты парения 7 км и стабилизируется; Выбрав место для сбора образцов воздуха, система снижается и развёртывает сборник образцов, подвесной стержневой или волочащийся змеевидный; оболочка пробоотборника сбрасывается в качестве балласта*; [аэровер взлетает к высоте парения]; Неоднократные спуски к поверхности*; возможны скольжение/зависание над поверхностью для съёмки и сбора проб; Аэровер выбирает наиболее перспективное место спуска по результатам съёмки и снижается для работы на поверхности; Остаточный гелий служит для смягчения посадки; Ездит во всех направлениях и замещает гелий [в колёсах] окружающей атмосферой; Возвращается к выбранному перспективному месту.

* Варианты контроля высоты парения: балласт; воздушный шар; нагрев колёс [гелия в них].


Затем была предложена концепция аэровера: дирижабля-вездехода массой 100 кг и длиной 10 м с двигательной установкой внизу для поверхностных перемещений со скоростью до 2 м/сек. и двумя 20-ваттными пропеллерами для полётов (см. илл. внизу справа и схему под ней). Вертикальные перемещения в амплитуде 10 км планировались за счёт нагрева/охлаждения гелия в сигарообразном баллоне переменного сечения от регулируемого теплообменника, использующего солнечное тепло, а двигатели обеспечивал энергией 500-ваттный радиоизотопный термоэлектрогенератор.* Однако в 2014 г. и эта программа была свёрнута.

________

* Jack A. Jones. Inflatable Robotics for Planetary Applications. 6th International Symposium on Artificial Intelligence, Robotics, and Automation in Space," I-SAIRAS, Montreal, Canada, June 19–21, 2001 [http://www2.jpl.nasa.gov/adv_tech/balloons/Baln_ppr/jj01.pdf]. Илл. оттуда же.


Аэростат-вездеход для Титана, 2001 (Inflatable Rover, JPL, 2001)

Аэровер-вездеход для Титана, 2001 (Titan Aerover, JPL, 2001)

Схема Аэровера-вездехода для Титана, 2001 (Titan Aerover Schematic, JPL, 2001)

Марсианский монгольфьер НАСА (NASA Martian Montgolfier)

https://www.nirgal.net/mars_balloons.html

Структура каптона [поли(4,4'-оксидифенилен-пиромеллитимида] (Kapton structure)

Стабилен от −273 до +400°C, широко используется в космических технологиях.


Концептуальные итоги проведённых работ таковы:

Марс: Высокий перепад температур день/ночь, доходящий до 100 градусов (около 50%), делает практически неосуществимым аэростат, находящийся в равенстве с внешним давлением. Его жизненный цикл ограничен одной сменой дня и ночи. Несколько стабильнее был бы аэростат с давлением внутри выше атмосферного, но он имеет худшую плавучесть, требуя более лёгкого и прочного материала для оболочки. В наличии такого материала нет.

Другой альтернативой является равновесный с атмосферным давлением аэростат, работающий на принципе монгольфьера с разогревом от солнечного тепла: днём прямого, а ночью – отдаваемого почвой (см. рис. справа). Реалистичная полезная нагрузка таких систем ограничена 1–3 кг.

Венера: для достижения высокотемпературных нижних слоёв атмосферы рекомендовано делать оболочку аэростата из термостойкой полиимидной плёнки – каптона. В верхних холодных слоях атмосферы оптимальным материалом является дешёвый, лёгкий и кислотно-стойкий полиэтилен. В средних слоях может быть хорош тефлон. Оправданно применение как баллонов с равновесным, так и с избыточным по отношению к атмосфере давлением. Технология баллонов с жидкостно-газовыми смесями, использующими испарение и конденсацию отдельных компонентов, требует больших дополнительных исследований. Реалистичная полезная нагрузка может составлять 5–15 кг.*

Титан: наиболее перспективным признан дирижабль-амфибия (последнего типа из представленных выше), но не отброшены и остальные варианты;**

Юпитер и Сатурн: предложена технология Solar Infrared Mongolfiere Aerobots (SIRMAs): аэроботы-монгольфьеры на солнечном нагреве. Днём атмосферный газ в баллоне нагревается от Солнца непосредственно и дрейфует в области давлений около 0,1 атм, ночью же получает тепло, отдаваемое планетой, и снижается к области давлений около 0,2 атм. Баллон массой 112 кг на Юпитере способен нести полезную нагрузку 10 кг; при использовании чисто водородного баллона последний весил бы для той же послезной нагрузки в 10 раз больше. На Сатурне баллон SIRMA, несущий 10 кг, сам весил бы около 220 кг, что приемлемо.**

Уран и Нептун: Технология SIRMA для этих планет недоступна ввиду слишком малой интенсивности солнечного излучения. Единственной реалистичной возможностью остаётся заполнение баллона лёгким безметановым газом из стратосфер этих планет с тем, чтобы он приобрёл подъёмную силу в их нижних слоях с большей молярной массой, на уровне слоя метановых облаков или под ними. По расчётам, баллон весом 10 кг мог бы нести гондолу такого же веса, способную к прямой связи с Землёй.**

________

* V. V. Kerzhanovich et al. Op. cit.

** Dr. Jeff Hall. Balloon Technology for Outer Planets [http://www2.jpl.nasa.gov/adv_tech/balloons/outer.htm].


Аэростаты ЕКА
ESA Aerostats

В 2005 г. в Европейском Космическом Агентстве была в основном разработана концепция венерианского аэростата. Сейчас на этой базе в ЕКА существует программа Venus Entry Probe по запуску двух орбитальных спутников и аэростата (аэробота) массой 91 кг* на Венеру примерно в 2020-х годах. В этой миссии 14-дневный дрейф аэростата, ограниченный по сроку утечкой газа, предусматривается на высоте 55 км при 30°C и 0,5 атм., а несомая гондола менее чем метровых размеров после отстрела паршюта и выпуска газа в баллон аэростата должна будет весить 60 кг.

Аэростат в атмосфере Венеры (проект Европейского Космического Агентства Venus Entry Probe), Venus aerobot dropping microprobes
аэростат с гондолой, сбрасывающий 100-гр. зонды-пробойники

________

* Из них: корпус гондолы (включая запас газа, выпускаемого в баллон аэростата на высоте ок. 55 км после отстрела парашюта) – 25 кг; баллон аэростата – 7 кг; баллон с запасом газа – 17 кг; парашют 3,6 м – 7 кг; система спуска, включая карбон-фенольный защитный экран, – 38 кг; более детально вес гондолы состоит из: научной аппаратуры – 8 кг; средств связи – 1,5 кг; бортового обработчика данных – 1 кг; конструктивных элементов и подвески – 7 кг; источника питания – 5,5 кг; газовой аппаратуры – 2 кг [http://sci.esa.int/trs/35987-venus-entry-probe/].

Гондола аэростата (проект Европейского Космического Агентства Venus Entry Probe), Gondola

гондола миссии
Venus Entry Probe

Спуск гондолы на парашюте в атмосфере Венеры (проект Европейского Космического Агентства Venus Entry Probe), The Venus entry probe after deployment of the parachute
спуск гондолы на парашюте

В проспекте миссии ЕКА упомянута возможность замены транспортировки газа в баллоне на применение разрабатываемого агентством холодного газового генератора. Детали там не раскрываются.


Аэростат для Титана (TAE)
Titan Aerial Explorer (TAE)

По заявке ЕКА коллаборация Лаборатории реактивного движения НАСА и европейских специалистов разработала в 2011 г. проект Аэроисследователь Титана (TAE), планируемый к запуску с космодрома Куру 21 декабря 2022 г ракетой-носителем Союз-Фрегат. Проведя месяц на околоземной эллиптической орбите, корабль отправится в 9,5-летний путь к Титану с двумя венерианскими и двумя земными гравитационными манёврами, а также четырьмя двигательными. Войдя в 1270 км над поверхностью Титана в его экзосферу со скоростью 6,2 км/сек, спускаемый аппарат диаметром 3 м и высотой 2,6 м типа Гюйгенса совершит типовые операции, апробированные «Вегами» и показанные на схеме внизу:

Развёртывание аэростата TAE для Титана (Deployment of the Titan Aerostat TAE)

А. Разогрев об атмосферу при входе; B. Развёртывание тормозного парашюта (20 м2); C. На высоте 150 км: отстрел верхней части капсулы с тормозным парашютом и нижней с тепловым экраном; развёртка главного парашюта; D. На высоте 9 км: развёртка баллона аэростата; E. На высоте 8,9 км: начало заполнения баллона аэростата (время заполнения – 10–20 мин.); F. На высоте 6 км: окончание надувки баллона, отстрел главного парашюта и системы заполнения баллона; G. На высоте 8 км: поднявшийся и принявший сферическую форму баллон достигает высоты полёта. В нижнем ряду: Спускаемый модуль внутри ракеты-носителя; Внутренняя компоновка спускаемого модуля; Вид аэростата в полёте в рабочем режиме.

Спускаемый модуль аэростата для Титана [TAE] внутри ракеты-носителя (TAE Carrier and Descent Modules stacked in launch vehicle fairing)

Внутренняя компоновка спускаемого модуля аэростата для Титана [TAE] (TAE Descent Module internal layout)

Аэростат для Титана [TAE] в полёте (TAE flying)

Информация и илл. по проекту TAE – из статьи Jeffery L. Hall et al. Titan Aerial Explorer (TAE): Exploring Titan by balloon (2011) [http://solarsystem.nasa.gov/docs/Hall_TAE-Paper.pdf].

Под действием ветра шар диаметром 4,6 м с гелием под небольшим избыточным давлением будет дрейфовать чуть южнее экватора со скоростью порядка 1 м/сек, выполняя 3-месячную научную программу, а по истечении 6 месяцев совершит полный оборот вокруг Титана. Полная масса полезного груза (включая 28 кг сжатого гелия) составит 170 кг, из которых 19 кг придётся на научные приборы, смонтированные на цилиндрической гондоле диаметром ~1,5 м: фотокамеру (2 кг; 5 Вт), спектрометр (2,5 кг; 11 Вт), радар (8 кг; 15 Вт), газоанализатор (0,5 кг; 1 Вт), метеонабор (1 кг; 3 Вт) и приборы для измерения электромагнитных полей (0,5 кг; 3,5 Вт). Потребляемую ими мощность 240 Вт обеспечат два радиоизотопных генератора типа ASRG (Advanced Stirling Radioisotope Generators), а выделяемое ими тепло (1 кВт) будет поддерживать в гондоле температуру ок. 20°C. (Рассматривался вопрос об использовании этого тепла по принципу розьера, но из-за технологической неиспытанности и отсутствия нужных данных для расчёта конвекции было решено ограничиться более простым, надёжным и отработанным шарльером.)

Планируется получить значительный объём сведений о геологии, гидрологии, метеорологии и аэрономии Титата и об органических реакциях в его атмосфере и на поверхности (порядка 1 Гб информации). Их с гондолы будет передавать широкополосная антенна диаметром 0,75 м.

Расчётный график снижения избыточного давления в баллоне аэростата TAE при наличии 20 пор диаметрами по 10 мкм (Leakage calculation for TAE balloon with 20 pinholes of 10 micron diameter)

Избыточное давление в баллоне (1000 Па, т. е. порядка 1% от давления атмосферы на высоте 8 км) обеспечит стабильность высоты дрейфа (вариации порядка десятков метров). Однако клапан выпуска газа и запас балласта (5 кг) позволят осуществить несколько высотных манёвров. Материал стенок (полиэфирная плёнка на многослойной основе плотностью 75 г/м2) сохранит гелий в баллоне в течение срока миссии, от 3 минимальных до 6 желаемых месяцев. Практически вся утечка будет обусловлена микропорами (см. справа расчётный график снижения избыточного давления при наличии 20 пор диаметрами по 10 мкм). При среднем темпе утечки 1 г/день сброс балласта из расчёта 6 г/день способен компенсировать утерю плавучести. Материал прошёл криогенный тест и показал хорошие механические свойства вплоть до температуры 77 К (температура атмосферы в зоне дрейфа – ок. 85 К). Состав его не раскрывается, но к полиэфирам относится из тестировавшихся ранее материалов майлар.


Проект HAVOC
HAVOC project

В 2010-х гг. в Отделе анализа космических миссий Дирекции НАСА по анализу систем и концептуальным разработкам (Space Mission Analysis Branch of NASA’s Systems Analysis and Concepts Directorate at Langley Research Center) была изучена возможность широкомасштабного освоения Венеры, возвращающая нас к тем фантастическим идеям 1960-х годов, с которых начинался наш небольшой исторический обзор инопланетной аэростатики. Итогом этой работы стал проект HAVOC (High Altitude Venus Operational Concept) – Концепция деятельности в высотных слоях венерианской атмосферы*. По мнению разработчиков, Дэйла Арни и Криса Джонса (Dale Arney и Chris Jones), почти все технологии, задйствованные в этом проекте, уже на подходе (near-term). Единственное, чего придётся ждать примерно до 2020-х годов, – это ракета-носитель большой грузоподъёмности.

________

* Информация о нём здесь взята из статьи Evan Ackerman «NASA Study Proposes Airships, Cloud Cities for Venus Exploration» (16 Dec 2014) [http://spectrum.ieee.org/aerospace/space-flight/nasa-study-proposes-airships-cloud-cities-for-venus-exploration]; есть также русское изложение: «NASA предлагает осваивать атмосферу Венеры прежде поверхности Марса» [https://geektimes.ru/post/243103/].


Программа состоит из пяти этапов:

1) Исследование автоматикой;

2) Пилотируемое исследование с орбиты в течение 30 дней;

3) Пилотируемое исследование в атмосфере в течение 30 дней;

4) Пилотируемое исследование в атмосфере в течение года;

Венерианский аэростат в проекте HAVOC, 2014 (Venusian aerostat for HAVOC missions, 2014)

5) Постоянное пребывание людей.

На всех этапах будут задействованы крупные гелиевые аэростаты-дирижабли из пластика: для автоматических миссий длиной 31 м, для пилотируемых – длиной 129 м и максимальным диаметром 34 м (рис. справа). Их объём составит 77.521 м3, полезная нагрузка – 70 т (из них 60 т. приходится на возвращаемый корабль), масса гелия – 8183 кг, ёмкостей для него – 6623 кг, корпуса – 6455 кг, силового оборудования и двигателей – 4511 кг, итого: 95,8 т. Потребляемая мощность составит 240 кВт, из них возобновляемая – 53 кВт, которую обеспечат солнечные панели на корпусе площадью 1044 м2; ёмкость аккумуляторов с циклом зарядки 66 часов составит 1959 кВт-ч.

Упакованный корпус аэростата с орбиты в транпортнике доставляется к высоте ожидания экипажа (см. схему внизу), после стыковки с подобным же транспортником, доставившим с орбиты экипаж, и перехода экипажа в рабочий модуль на базе ракеты Пегас, находящийся в первом транспортнике, производится спуск с орбиты (высота 200 км, скорость 7 км/сек), затем на высоте 82,7/75,1 км (первые значения здесь и далее соответствуют автоматической миссии, а вторые – пилотируемой) начинается парашютное торможение транспортника; через 44/64 сек. на высоте 76,2/64,1 км при скорости 96/99 м/сек. корпус транспортника отстреливается, и начинается развёртывание и надувка корпуса аэростата; 5/2 мин. спустя на высоте 66,2/55,6 км, при скорости менее 10/41 м/сек. отстреливается тормозной парашют (в этой фазе корпус аэростата уже достаточно велик для аэродинамического торможения), и в завершение полностью надутый аэростат с рабочим корпусом-ракетой под ним приступает к плановой работе в атмосфере. И на американском, и на русском сайтах, указанных в сноске выше, есть не только рисунки, но и 3-минутное видео, где показан этот процесс. По завершении программы экипаж переходит в головную часть ракеты, отделяется от аэростата и возвращается в корабль, ждущий на орбите.

Развёртывание венерианского аэростата в проекте HAVOC, 2014 (Descent, unfurl and inflate Venusian aerostat for HAVOC missions, 2014)

http://spectrum.ieee.org/image/MjU4MzIwNQ.jpeg

Высота полёта планируется немного ниже 50 км, в зоне, где давление равно 1 атм, а температура составляет +75°C. С учётом скорости ветров на высоте полёта (ок. 100 м/сек.), даже не включая двигатели, аэростат будет огибать планету за 110 часов, что и определит для экипажей цикл смены дня и ночи (собственное вращение Венеры намного медленнее; границу света и тени на ней можно в сравнении со скоростями ветров считать почти фиксированной).

На пятом этапе предстоит создать на Венере своего рода облачные города: огромные аэростаты-причалы для аэростатов, участвоваших в предыдущих этапах (см. рис. внизу).

Облачный город 5-й фазы проекта HAVOC, 2014 (Cloud city, 5th phase of HAVOC project, 2014)

[https://sacd.larc.nasa.gov/files/2016/06/havoc_slider.png]


Венера-Д
Venus-D

Японский венерианский аэростат JAXA (Japanese Venusian aerostat JAXA)

Этот проект, планируемый на 2020-е годы, предусматривает доставку к Венере в составе российской станции «Венера-Д» (Д = долгоживущая) как минимум двух аэростатных зондов, разработанных НАСА (рассматривалась также возможность доставки японского аэростата: возможно, того, который JAXA, Японское космическое агентство, разрабатывало в 2009 г. для исследования нижних слоёв атмосферы Венеры;* этот аэростат должен был дрйфовать около высоты 35 км, рабочим телом в нём был водяной пар**, форма баллона, если положиться на илл. с сайта JAXA, была весьма необычна, см. рис. справа***). На официальном сайте проекта**** приведена лишь маленькая схематичная иллюстрация, из которой следует, что форма баллонов сферична, и сказано, что высоты дрейфа составят 55 и 48 км, то есть над и под облачным слоем. Срок жизни зондов – порядка 8 дней или более. В 2016 г. проект был исключён из Федеральной космической программы, но в марте 2017 г. переговоры по нему между ИКИ/Роскосмос и НАСА были возобновлены.

________

* E. Chassefière et al. European Venus Explorer: An in-situ mission to Venus using a balloon platform. Advances in Space Research, vol. 44 (2009), pp. 106–115 [https://www2.physics.ox.ac.uk/contacts/people/wilsonc/publications/115550].

** http://www.univie.ac.at/EVE/whatiseve.htm.

*** Интервью с разработчиком, проф. Tetsuya Yoshida [http://global.jaxa.jp/article/interview/vol42/p3_e.html].

**** [http://www.venera-d.cosmos.ru/index.php?id=658]. Дополнительные детали взяты из Википедии.

* * *

Методы расчётов
Calculation approaches

Монгольфьеры
Montgolfiers

Посмотрим, какие вопросы ставит перед конструктором аэростат типа монгольфьера, где разогревается местный газ атмосферы. Прежде всего: чем разогревается?

Варианты с горелками или аккумуляторами мы заведомо не будем рассматривать: никакое топливо не содержит столько химической энергии на единицу массы, чтобы оправдать затраты на его космическую транспортировку и обеспечить сколько-нибудь продолжительное функционирование аэростата. (Упомянутый выше проект монгольфьера с горелкой для Титана, где 9 кг земного окислителя обеспечивали 2,5 часа дрейфа, всё-таки остался в экзотическом одиночестве в многочисленном семействе инопланетных аэростатов.)

Лазерная накачка с орбиты специалистами не рассматривается, и это указывает на то, что и такой путь невыгоден. Перенос источника на орбиту не снимает вопроса, откуда там возьмётся нужная мощность, а ответов всего два-три: либо с Земли, либо от Солнца, либо то и другое. О Солнце мы поговорим в следующей главке, а с Земли, по-видимому, целесообразно везти не химическую, а атомную энергию, которой в единице доставляемой массы может быть на порядки больше.

Рассмотрим конструкционно и по весу простейший вариант: прямой нагрев газа радиоизотопом, помещённым в центре сфероподобного корпуса радиусом R.

Нам, очевидно, желательно разогреть газ до максимальной температуры Tmax, которую способен выдержать в рабочем состоянии материал оболочки.Оболочка, разогретая до этой температуры, будет сколько-то мощности излучать в атмосферу и сколько-то отдавать ей же путём конвекции. Точный расчёт относительной доли каждого из этих двух механизмов весьма сложен, а чаще просто невозможен, но существуют оценки, говорящие, что в первом приближении вклад обоих механизмов сопоставим. Поэтому, если нельзя уточнить расчёт, зная что-то конкретное о конструкции и режимах работы аэростата, можно для оценочной прикидки считать, что потери энергии в атмосферу равны удвоенной мощности излучения.

Эффективную мощность излучения (разность того, что оболочка излучает в атмосферу и получает от неё) легко посчитать по закону Стефана – Больцмана, для этого надо знать только R, Tmax, температуру атмосферы в зоне полёта Tатм и коэффициенты излучения и поглощения оболочки аэростата ε, α и атмосферы в зоне полёта εатм, αатм. (Если какие-то из коэффициентов точно неизвестны, можно оценочно принять их равными ~0,5.) Эту потерю и должна компенсировать мощность поглощённого газом аэростата излучения радиоактивного источника.

Излучение источника, скорее всего, плохо повлияет на работу аппаратуры, которую несёт аэростат, но этого можно отчасти избежать, подвесив аппаратуру на длинном фале под шаром аэростата, если к тому нет метеорологических, кинематических и иных препятствий. Но излучение также может ухудшать технические параметры оболочки, и с этой точки зрения желательно, чтобы оно в достаточной мере поглощалось газом внутри оболочки. Это же желательно и с позиций улучшения к. п. д. источника. Но здесь, к сожалению, мало что от нас зависит. Доля поглощённого излучения не слишком чувствительна к типу атомов и молекул, сквозь которые оно распространяется. В первом приближении можно сказать, что эта доля зависит только от числа нуклонов, встреченных по ходу луча, то есть от плотности газа в аэростате и от толщины слоя поглощения, который в данном случае по понятным причинам совпадает с R.

Для земного воздуха при обычной плотности ок. 1,2 кг/м3 расстояние половинного ослабления гамма-излучения равно ~150 м, 100-кратного ослабления – ~1 км. Очевидно, что гамма-источники вряд ли нам подойдут. Альфа- и бета-излучения поглощаются лучше. Они, по закону сохранения заряда, всегда сочетаются, а из-за колоссального различия масс альфа- и бета-частиц, до 98% энергии приходится на альфа-излучение. При поглощении бета-излучения возникает, правда, тормозное рентгеновское излучение с высокой проникающей способностью, но для нашего, самого низкомолекулярного, поглотителя, водорода, его доля составляет менее 0,1% и не должна доставить проблем.

Однако у альфа-источников плохое соотношение цена/мощность и ещё более плохое соотношение мощность/долговечность. Так, у полония-210, применявшегося для обогрева аппаратуры спутников (что говорит о его практической оптимальности в ряду других альфа-излучателей), мощность составляет всего 0,14 кВт/г, при цене 1 г порядка 1 млн. руб. и периоде полураспада 138 суток, чего совершенно недостаточно для межпланетных перелётов.

Итак, вариант аэростата с подобным прямым разогревом местного газа, по-видимому, следует полностью отклонить.

Но, как мы видели из Исторического обзора работ по внеземной аэростатике, существуют (и продолжают совершенствоваться) радиоизотопные термоэлектрогенераторы, обычно на 238PuO2 с периодом полураспада 86 лет и мощностью альфа-излучения 0,41 Вт/г, которые, по мнению специалистов, в некоторых случаях будут вполне эффективны для нагрева газа в баллонах монгольфьеров и/или розьеров (в том числе за счёт утилизации тепловыделения).

Радиоизотопный термоэлектрогенератор (Radioisotope thermoelectric generator)

Andrew J. Ball et al. Planetary Landers and Entry Probes. Cambridge, 2007, p. 96 [http://www.e-reading.club/bookreader.php/138786/Ball_-_Planetary_Landers_and_Entry_Probes.pdf].


Солнечный монгольфьер
Solar montgolfier

Солнечное тепло одинаково облучает баллон аэростата и окружающую атмосферу. Но двухатомные газы почти не поглощают электромагнитное излучение, а из трёх- и более атомных во внеземных атмосферах в основном представлены СО2 (доминантные компоненты на Марсе и Венере) и СН4 (в небольшом количестве на Титане). Поэтому практически любая оболочка баллона имеет больший коэффициент поглощения, и поглощаемая ею доля мощности солнечного потока будет выше. За счёт этого газ в ней нагреется до некоторой более высокой температуры Т, чем тот же газ в окружающей атмосфере Та. Став горячее окружающего газа, оболочка начнёт сильнее отдавать тепло атмосфере как излучением, так и конвекцией. В итоге при какой-то температуре баллона Т > Та установится равновесие отдаваемого атмосфере и поглощаемого от Солнца потоков тепла. Точной теории этого сложного процесса нет, но на практике вычисляют поток тепла от горячего тела к газу по тем или иным полуэмпирическим формулам, уточняемым в экспериментах. Пример можно посмотреть в Приложении 1, а здесь лишь опишем процедуру.

Основным расчётным уравнением становится далее уравнение баланса: мощность исходящего от оболочки потока тепла должна быть равна мощности поглощаемой оболочкой энергии. В общем случае оболочка поглощает:

а) прямое солнечное излучение (ослабленное прохождением через вышележащие слои атмосферы);

б) отражённое от планеты и/или атмосферы солнечное излучение (ещё более ослабленное прохождением до грунта и обратно до высоты дрейфа аэростата);

в) термическое излучение планеты;

г) термическое излучение атмосферы.

Отдаёт энергию она тоже несколькими каналами:

а) конвекций в атмосферу и внутрь баллона;

б) термическим излучением.

В НАСА есть разработанная Р. Фарли (R. E. Farley) программа для такого рода расчётов (для служебного пользования), а в Сети имеется очень обстоятельно написанная диссертация И. Ван Досселаера, где описаны несколько иные алгоритмы и даны и нужные формулы и различные табличные данные для аэростатов и атмосфер Земли, Венеры, Марса и Титана*.

________

* Ignace Van Dosselaer. Buoyant Aerobot Design and Simulation Study BADS. Delft University of Technology, 2014 [http://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:59356102-9032-44b4-84a0-f798effc823c/datastream/OBJ/download&usg=AFQjCNG9lH_PRnTObLRqmSC5zk_AwFFyFA]. К сожалению, наряду с добротным (лишь местами некритическим и некреативным) изложением в разделе о тепловом балансе аэростата, раздел об утечке газа сквозь оболочку баллона у Досселаера изложен слишком упрощённо.


Задав высоту дрейфа и имея профили давления и температуры атмосферы, находят для этой высоты температуру Та и плотность ρ (кг/м3) атмосферы, мощность солнечного излучения на этой высоте I (Вт/м2), а также ряд нужных для расчётов физических параметров атмосферы (или хотя бы её доминантного компонента): коэффициенты поглощения α и излучения ε (можно ограничиться трёхатомными газами), теплоёмкость Сp (Дж/кг•К), динамическую вязкость μ (Па•с), коэффициент теплопроводности К (Вт/м•К). Нужно также иметь под рукой альбедо планеты а и ускорение свободного падения g (м/с2) (а если это Титан, у которого радиус мал, то и формулу зависимости g от высоты дрейфа). По геометрии баллона из специальных таблиц (которые не всегда есть, особенно для сложных форм!) берут те или иные коэффициенты формы, входящие в полуэмпирические уравнения теплообмена, и вычисляют излучающую и поглощающую поверхности баллона (они не совпадают: например, сфера излучает в атмосферу со всей своей поверхности 4π•R2 и конвективно греет атмосферу тоже всей поверхностью, поглощает солнечное и планетарное излучение только «освещённой» половиной поверхности, которая в расчётах представлена площадью сечения π•R2, а атмосферное излучение хотя физически и поглощает всей поверхностью, но в расчётной формуле, вывод которой дан в Приложении 4, фигурирует также площадь сечения). А для материала оболочки баллона находят в справочных источниках (если повезёт!) значения его коэффициентов поглощения αоб и излучения εоб.

Далее анализируют компоненты теплового баланса: порою заведомо ясно, что то или иное слагаемое будет пренебрежимо мало, и его не включают в баланс. Оставшиеся компоненты расписывают в явном виде: излучательные слагаемые – через закон Стефана – Больцмана; конвективные – через коэффициент теплопередачи, а поглощательные – через мощность приходящих к баллону излучений и его площадь сечения. Если миссия длится не часы, а дни или дольше, то необходимо усложнять формулы для солнечного излучения астрономическими и геометрическими поправками для учёта переменности всех трёх солнечных по природе излучений (прямого, отражённого от планеты и планетарного) по временам местных суток, по удалённости и наклону орбиты вращения планеты вокруг Солнца (временам местного года) и по широте и долготе текущих координат дрейфа.

В конечном счёте единственным неизвестным в довольно сложном итоговом уравнении баланса остаётся температура рабочего газа в баллоне Т, которую и находят, решая это уравнение численно.

Газ в баллоне практически всегда находится в среднем в температурном равновесии с оболочкой. И многочисленные данные о запусках монгольфьеров и розьеров на Земле, и модельный расчёт, приведённый в конце Приложения 1, говорят, что это равновесие достигается очень быстро, за время порядка земных минут.

Сама оболочка также находится в температурном равновесии с окружающей атмосферой, но это не означает, что её температура равна температуре атмосферы. Довольно объёмистое Приложение 1 посвящено разбору этого вопроса для нескольких материалов оболочки в условиях марсианской атмосферы. В общих чертах вывод таков: у каждого материала оболочки есть своя поправка ΔТ, причём исчисляющаяся величинами вплоть до сотен градусов, к температуре атмосферы:

Т = Та ± ΔТ.

Эта поправка может заметно квазисинусоидально меняться в ходе цикла день/ночь, вплоть до перемены знака, и в некоторой степени (не слишком сильно) зависит от высоты.

По Т из универсального газового закона находят плотность газа в баллоне ρ. Вначале находят её стандартное (оно же минимальное) значение ρо, для условий, когда в баллоне давление равно или больше внешнего атмосферного Ра (разумно положить его примерно равным давлению атмосферы на плановой высоте дневного дрейфа Ра (д)), и баллон занимает свой стандартный (он же максимальный) объём Vо:

ρо = Ра (д)•μг/(Rг•T),

где μг – молярная масса рабочего газа [кг/кмоль], а Rг – универсальная газовая постоянная (индекса «г» у них обычно нет, но здесь он введён, чтобы избежать путаницы с динамической вязкостью и радиусом баллона).

Плановая программа миссии почти наверняка будет предусматривать целевой или вынужденный (например, циклом день/ночь) дрейф на других высотах и при других температурах атмосферы Та (н), где давление атмосферы Ра (н) может быть больше, чем расчётное давление внутри баллона для Т(н) = Та (н) ± ΔТ(н), вычисленное по универсальному газовому закону:

Рг (н) = Т(н)•ρо•Rгг = Ра (д)•Т(н)/Т.

При Рг (н) < Ра (н) произойдёт деформация с уменьшением объёма баллона до V(н) и соответственно, при постоянной массе рабочего газа в баллоне, с возрастанием плотности газа в деформированном баллоне до:

ρг (н) = (μг/Rг)•Ра (н)(н).

И, наконец, зная плотности газа в баллоне при всех режимах работы, по закону Архимеда делают расчёт плавучести, подъёмной силы, массы полезного груза, размера баллона, высоты дрейфа днём и ночью, и т. д.


Цикл день/ночь
Day/night cycle

Мощность солнечного излучения (прямого и отражённого от поверхности планеты) заметно (а на Марсе даже очень заметно) меняется в течение цикла день/ночь. Меняются и температуры атмосферы и поверхности любой планеты (а у атмосфер температуры меняются и по высоте), что влечёт на каждой высоте циклические, а в совокупности времени и высоты порой довольно сложные изменения мощности теплового излучения, воздействующего на баллон. Соответственно циклично или более сложно меняются и температура, и плотность газа в баллоне. В Приложении 1 есть даже парадоксальный пример того, как ночью газ в баллоне становится теплее окружающей атмосферы, хотя, как правило, ночью он становится холоднее её. Остывая ночью, газ в баллоне сокращается в объёме, и, если это розьер, то есть в баллоне лёгкий газ, и баллон изолирован от атмосферы, газ может сжаться до объёма меньше, чем объём баллона (что приведёт к той или иной деформации баллона, его сморщиванию или принятию грушевидной формы). Тогда закон Архимеда надо будет переписать в ином виде, с учётом непостоянства объёма газа. Все перечисленные факторы дополнительно усложняют расчёты солнечных монгольфьеров и розьеров, а при необходимости точно учесть эти эффекты усложняется и расчёт любого типа аэростата, поскольку эффекты-то универсальны, вопрос лишь в том, насколько они количественно значимы в том или ином случае.

Если баллон меняет объём (а следовательно, и форму, т. е. геометрию), то единственной постоянной величиной (и то условно: если считать пренебрежимо малой суточную утечку газа!) будет количество газа в баллоне в единицах массы или числа молей.

Не всегда будет соблюдаться равенство давления в баллоне с внешним давлением атмосферы. Если газ сжимается до объёма менее базового сферического объёма баллона, то, благодаря гибкости оболочки, давление внутри можно считать равным наружному. Но если газ перегрет, и его расчётный объём должен был бы превысить стандартный сферический объём баллона, картина будет иной. Баллон гибок, но практически нерастяжим, и принять больший объём он не сможет, поэтому объём остановится на этой сферической отметке, а расти начнёт давление внутри баллона. Оно будет расти до тех пор, пока баллон не лопнет, или не сработает предохранительный стравливающий клапан (но тогда необратимо потеряется часть рабочего газа!), или не начнётся конденсация какого-то из компонентов рабочей газовой смеси с переходом в жидкое или твёрдое состояние.

Средние суточные колебания давления атмосферы сравнительно малы, поскольку величина давления в основном определяется массой атмосферы, которая расположена над данной отметкой высоты, и средней температурой этой массы, определяющей, насколько кинетическая энергия молекул убавит или прибавит веса этой массе в поле тяготения планеты. И масса и температура гораздо сильнее меняются хаотичными крупномасштабными движениями атмосферы (циклоны, антициклоны, вихри и т. п.), чем средними циклическими вариациями. Например, на Земле суточные колебания давления не превышают 1–2 мм рт. ст., а погодные колебания могут достигать за сутки в десятки раз бóльших значений. Поэтому переменными по суточному циклу можно считать только средние температуры атмосферы и баллона и объём баллона.

Понятно, что ночные и дневные температуры не сменяют друг друга скачком, а имеют гладкую динамику. Поэтому для получения полной картины суточных вертикальных смещений аэростата нужно много раз численно составлять и решать уравнения теплового баланса и проделывать все указанные расчёты. Задача не из лёгких! В Приложении 1 дан пример весьма упрощённого и облегчённого расчёта солнечного монгольфьера для Марса, и желающие могут по нему оценить сложность настоящего подобного расчёта.


Баллоны с избыточным давлением
Overpressured balloons

Уменьшение объёма баллона при одновременном возрастании плотности газа в нём (это очевидные и без расчётов следствия ночного остывания) крайне негативно скажутся на плавучести аэростата. Для борьбы с этим применяют приём избыточного давления. Избыточное давление тоже, конечно, увеличивает плотность газа в баллоне и снижает плавучесть. Но зато подкачанный избыточным давлением баллон дольше сохраняет объём ночью. В целом это стабилизирует высоту дрейфа и сглаживает синусоидальность полёта в течение суток.

Как мы видели в Историческом обзоре исследований по внеземной аэростатике, специалисты, проделав эти непростые расчёты, пришли к выводу, что для ряда планет солнечные монгольфьеры или розьеры оказываются практически приемлемой схемой исследования.


Шарльеры
Charlières

Но всё же более универсальной схемой оказывается шарльер, и дальше мы им и займёмся, тем более, что его расчёт заметно проще, и мы сможем детально его разобрать. Оговорю, что в реальности всякий шарльер является розьером, потому что даже если его не нагревает сконструированный узел, это днём делает Солнце. На примере солнечных монгольфьеров для Марса (Приложение 1) можно видеть, что вклад Солнца в повышение плавучести аэростата даже на удалении четвёртой от Солнца планеты весьма ощутим, а в Историческом обзоре говорилось, что и на удалении пятой планеты из этого вклада можно кое-что полезное выжать. Но расчёт этого вклада весьма трудоёмок, и мы его делать не будем, предоставив то желающим энтузиастам. Однако в уме станем держать, что к расчётной плавучести надо будет всегда прибавлять ещё какой-то солнечный бонус.


Запуск
Launch

Запуски аэростатов на Земле происходят в подавляющем большинстве случаев с поверхности. Баллон, наполненный водородом не до упора, достигнув плавучести, взмывает вверх. По мере подъёма он оказывается в областях всё меньшего давления, а так как оболочка мягкая, то внутри баллона давление всегда практически равно внешнему. Если баллон герметичен (не сообщается с атмосферой), то количество газа в нём при падении давления стремится занять пропорционально больший объём. Вначале газ просто расправляет оболочку и стремится, если её материал растяжим, придать ей максимальный объём. Затем, когда этот ресурс исчерпан, шар (если его плавучесть всё ещё движет его вверх) оказывается в ситуации, когда давление в нём выше окружающего. Самый первый, запущенный в 1783 г. шар с водородом прошёл через этот этап и в конце концов треснул по шву, когда перепад внутреннего и внешнего давлений превысил предел прочности тканево-каучуковой оболочки. (Поэтому следующие шары на старте предусмотрительно недозаполняли водородом.)

При запуске же аэростата на другой планете всё будет симметрично наоборот. Доставивший его космический аппарат произведёт запуск заведомо с высокой орбиты. Оптимальным с точки зрения баллонной группы было бы заполнить шар рабочим газом на той высоте, где перепад давлений в шаре и снаружи увязан с прочностью оболочки и гарантирует неразрыв последней внутренним давлением. Но сложная динамика спуска не даёт такой возможности, и корпус надувается в падении, испытывая как механические и термические стрессы торможения об атмосферу, так и кинематические (и, кстати, термические тоже) воздействия расширяющегося изнутри газа. (Газы при расширении охлаждаются, так что хотя бы термические шоки отчасти взаимно гасятся.)

Нам имеет смысл проверить потенциально возможные планеты-кандидаты, из которых особняком стоят Марс, Венера и спутник Сатурна Титан, а Юпитер и другие газовые гиганты весьма напоминают друг друга, и из них достаточно будет разобрать ближайший к нам Юпитер. Во всех их атмосферах нет кислорода, и это устраняет главный на Земле аэростатический недостаток водорода – его горючесть и взрывчатость. Поэтому без лишних оговорок дальше мы водородными аэростатами и ограничимся, хотя конструкторы-практики, как мы видели, предпочитают иметь дело с более инертным гелием, и, наверное, не без оснований. (Одна из причин – гелий при долгом межпланетном полёте к цели, в отличие от водорода, не повышает хрупкость стенок ёмкости, где он в сжатом виде хранится. А хрупкость чревата катастрофой на этапе входа в атмосферу, где перегрузки могут достигать сотен g!)

Итак, раздувшийся до предела шар с подвешенной научной аппаратурой начинает с некоей высоты накачки своё падение в нижележащие слои атмосферы. Внешнее давление по мере падения растёт. Вполне может быть, что программа исследований подразумевает использование аэростата на разных высотах, и тогда он может сразу при запуске или позже оказаться и в таких слоях атмосферы, где внешнее давление станет больше внутреннего. В этом случае начнётся деформация оболочки, её сморщивание, смятие и т. п.


Утечка газа
Gas efflux

Всякий газ по природе склонен просачиваться через любую щель и даже микропору. С проблемой просачивания водорода наружу сквозь практически любые оболочки столкнулись ещё на заре воздухоплавания. Тогда ещё не знали, что у водорода минимальный размер молекулы, что и облегчает ему проникновение сквозь твёрдое тело. Ничего не попишешь: и высокая плавучесть (низкая молярная масса), и высокая текучесть (малый объём молекулы и слабое химическое сродство), объясняясь близкими механизмами, идут почти всегда рука об руку! Так, при 25°С гелий проникает через майлар, весьма популярный в инопланетной аэростатике, почти вдвое сильнее, чем водород*, хотя и весит вдвое больше по молярной массе, и Ван дер Ваальсов размер его атома (280 пм) больше межъядерного расстояния в молекуле водорода (74 пм). Однако при низких температурах (ниже ~100 К: такова, например, температура атмосферы Титана) соотношение меняется, потому что у майлара разная чувствительность водородо- и гелиепроницаемости к температуре.**

________

* 170,0 против 94,4 см3/(100 дм2•24 ч•атм•mil): см. Л. Е. Ветрова и др. Ткани с эластомерным покрытием для мягких оболочечных конструкций [http://niirp.com/articles/tkani_s_elastomernym_pokrytiem/barernye_plenki/] (Табл. 2.17).

Газопроницаемость майлара (Gas permeability of mylar)

** Зависимость газопроницаемости через полимерную плёнку Ф от температуры выражается уравнениями вида log10Ф = A – B/T, где А и В – константы, зависящие от состава плёнки и газа и парциального давления газа. Для майлара эти зависимости изображены справа (Л. Е. Ветрова и др. Указ. соч., рис. 2.10). По ним можно вычислить и для водорода и для гелия значения их констант А и В. Константа А зависит от размерности Ф и может меняться, но константа В выражается в Кельвинах, и по графику справа её можно примерно оценить для водорода величиной 1296 К, а для гелия – 1374 К.

Чтобы избавиться от константы А, можно записать выражение для отношения проницаемости при двух температурах: ФНе1)/ФНе2) = 101374•(1/Т2 – 1/Т1); ФН21)/ФН22) = 101296•(1/Т2 – 1/Т1). Поделив одно из этих уравнений на другое и перегруппировав отношения Ф не по виду газа, а по температурам, получим выражение:

ФНе2)/ФН22) = [ФНе1)/ФН21)]•10–78•(1/Т2 – 1/Т1).

Если мы в этом выражении примем в качестве Т1 температуру 25°С (298 К), для которой мы знаем у майлара (причём в одной и той же размерности) и ФНе и ФН2 (см. в предыдущей сноске), и подставим эти численные значения, то получим рабочее выражение для сравнения гелие- и водородопроницаемости майлара при разных температурах (возможно, тем менее точное, чем дальше мы экстраполируем за пределы изученного и показанного на графике интервала температур от 0°С до 65–70°С):

ФНе(Т)/ФН2(Т) = 3,29•10–78/Т.

Отношение гелиепроницаемости и водородопроницаемости майлара (Ratio of helium and hydrogen permeability of mylar)

Вид этой зависимости показан внизу справа.


При запуске аэростата не снизу, а сверху возрастает риск приобретения оболочкой микроскважин. Ведь чем мы выше над планетой, тем больше там концентрация несгоревших в атмосфере микрометеоритов, которые, несясь со скоростями, ещё достаточно близкими к космическим, способны легко прошить насквозь оболочку аэростата. Микроскважины очень сильно портят показатели утечки. Она может возрастать в сотни раз.


В учебной и научной литературе можно найти множество теоретических и практических сведений о диффузии газов через плёнки разной химической природы. Для земной атмосферы современные аэростаты чаще всего делают из полимерных плёнок, и для Венеры два наших аэростата были полимерными, однако в последних разработках и для Венеры и для других планет их, как мы видели, часто дополнительно металлизируют алюминием. Это, помимо прочего, улучшает показатели утечки, так как у металлов газопроницаемость заметно меньше, чем у полимеров. А алюминий – один из лучших металлов по устойчивости к водородопроницаемости.

Введение в полимерную часть оболочки определённых наполнителей способно в несколько раз снизить гелиепроницаемость. Наилучшие результаты по соотношению проницаемость/плотность у фторполимерных плёнок из сополимеров винилиденфторида с трифторхлорэтиленом марок СКФ-32 и Ф-32Л в соотношении 80:20 показали добавки слюдяных частиц (вермикулита и флогопита). Гелиепроницаемость при 20°С в пересчёте на толщину плёнки 0,15 мм снизилась с 6 до 2,6 л/(м2•сут), т. е. в 2,3 раза, а плотность выросла с 1222 до 1353 кг/м3, т. е. в 1,11 раза*.

________

* А. Е. Дрогун, А. А. Колесников. Гелиепроницаемость наполненных фторполимерных плёнок. Известия ВУЗов. Химия и химическая технология, 2010, том 53, вып. 1, с. 73–75 [http://www.docme.ru/doc/1224401/14173].


Химические перспективы
Chemical promises

Итак, мы видим, что химические работы последнего времени позволили уже получить хорошие конструкционные полимерные и композитные материалы для инопланетной аэростатики: с малой утечкой водорода, гелия и других потенциальных рабочих газов, с высокой механической прочностью, с сохранением прочности и эластичности в широком интервале температур, с которыми можно столкнуться вне Земли, с устойчивостью к радиации, и при этом достаточно лёгких, технологически освоенных и не слишком дорогих. Причём, судя по всему, потенциал улучшения рабочих параметров на этом пути ещё далеко не исчерпан, и в обозримом будущем можно ожидать дальнейшего совершенствования подобных синтетических материалов, а может быть и создания новых их классов с ещё более привлекательными свойствами.


Алюминизированные шарльеры
Aluminized charlières

В качестве модельного образца в первой версии этого обзора были рассмотрены чисто металлические корпуса баллонов, и было показано, что они везде, кроме Венеры, оказываются слишком тяжёлыми, зачастую – просто запредельно тяжёлыми. Из данной отредактированной версии эта линия убрана как слишком далёкая от реальных предложений. Вместо неё мы разберём ниже алгоритмы расчётов для аэростатов из тех или иных пластиков, ламинированных алюминием. Алюминий будет сдерживать утечку водорода (для более реалистичного гелия всё уже посчитано, что ясно демонстрирует Исторический обзор, а водород пока менее исследован). А подходящие пластики призваны изолировать алюминий от агрессивной части атмосфер и проявить в сложных инопланетных рабочих условиях то, что требуется от оболочки аэростата: гибкость, прочность и нужные излучательно-поглощательные термические свойства.


Скорость утечки
Rate of efflux

Начнём с того, что может быть главным фактором, ограничивающим долговечность аэростата: с утечки водорода. При исследовании водородопроницаемости металлов применяют такое уравнение*:

Ф = PH•S•P0,5/d,

где Ф – поток (= утечка) водорода (моль/сек); умножением на 2•10–3 кг/моль размерность Ф переводится в кг/сек;

PH – коэффициент водородопроницаемости [моль/(с•м•Па0,5)]: константа, зависящая от состава металла и температуры по закону PH = PHо•е–(Еа/Rг)/T = PHо•е–TH/T;

PHо, Еа, TH – константы конкретного металла (из них Еа – энергия активации), Rг – универсальная газовая постоянная;

S – площадь поверхности, через которую происходит утечка, то есть у нас – поверхности баллона (м2);

P – давление водорода на входе, т. е. в нашем случае – в баллоне аэростата, а если используется смесь газов, то парциальное давление водорода в ней (Па);

d – толщина слоя металла (м). Толщину полимерной части оболочки здесь, по-видимому, можно не учитывать, так как по сравнению с алюминием она для водорода почти не препятствие; во всяком случае, типично PH у полимеров на несколько порядков выше, чем у алюминия.

________

* Ю. Н. Гордиенко и др. Применение метода водородопроницаемости в реакторных экспериментах по исследованию взаимодействия изотопов водорода с конструкционными материалами. // Бюллетень Томского политехнического университета, 2014, т. 324, вып. 2, с. 151 [http://www.lib.tpu.ru/fulltext/v/Bulletin_TPU/2014/v324/i2/24.pdf]. Аналогично: В. И. Грицына и др. Водородопроницаемость стали Cr12Mn20W2V. // Вопросы атомной науки и техники, 2001, № 4, с. 84 [http://vant.kipt.kharkov.ua/ARTICLE/VANT_2001_4/article_2001_4_83.pdf].


Если мы величину потока Ф (кг/сек) поделим на объём баллона V3), получим скорость убывания плотности водорода в баллоне, dρ/dτ [кг/(м3•сек)]. Давление P мы по универсальному газовому закону можем также выразить через плотность и температуру водорода в баллоне T (К):

P = ρ•T•8,314/0,002 = 4157•ρ•T,

а если нужно парциальное давление, то дополнительным сомножителем в правой части будет объёмная доля водорода в смеси хH. C такими подстановками исходное уравнение примет вид:

dρ/dτ = 2•10–3•PH•S•(4157•ρ•T)0,5/(d•V) = 0,13•PH•(ρ•T)0,5•[S/(d•V)].

Температура в нём, конечно, будет меняться в ходе цикла день/ночь, но мы собираемся рассматривать длительные экспедиции, так что не будем отвлекаться на эту короткопериодическую пульсацию, а станем исследовать тенденцию, приняв, с некоторой долей условности, что в тенденции мы не слишком ошибёмся, положив Т ≈ const. Давление при надувке баллона в верхних слоях атмосферы могло некоторое (малое) время быть больше окружающего атмосферного, но потом оно всё время практически равно ему. Если программой исследований или какой-либо аварией аэростат не вынужден летать на разных высотах, то разумный конструктор под любую фиксированную высоту полёта подобрал бы такое количество водорода, при котором баллон на этой высоте имел бы форму, максимально близкую к сферической. Это оптимальная форма по соотношению подъёмной силы к собственному весу баллона.

При таких условиях последнее уравнение содержит всего две переменные, плотность и время, и легко интегрируется, давая потерю плотности по нисходящей параболе:

ρ = (ρo0,5 – const•τ)2.

Реально же этот процесс сопровождался бы соразмерным изменением высоты дрейфа, очень чувствительной к плотности газа в баллоне. Изменение высоты сопровождалось бы заметным (экспоненциальным!) изменением давления окружающей атмосферы, а это вызвало бы деформацию баллона, выражение в квадратных скобках в предыдущем уравнении не осталось бы константой, к тому же изменение высоты полёта аэростата привело бы к переменности уже не только реальной текущей, но и среднесуточной температуры, а это при рассмотрении тенденции игнорировать было бы нельзя, и в силу этих причин наше интегрирование быстро стало бы неверным.

Проще и полезнее для оценки времени утечки водорода рассмотреть сравнительно небольшой начальный этап процесса, когда все параметры ещё почти постоянны. Например, убыль плотности водорода на 1%. Обозначив время, за которое произойдёт эта убыль, как τ1% и заменив dρ/dτ на 0,01ρ/τ1%, а площадь и объём выразив через диаметр шара D (м), мы после преобразований получим:

τ1% = (0,013/PH)•d•D•(ρ/T)0,5.


Расчёт аэростата
Calculation
of a balloon

Задавшись планетой, нужной высотой полёта в её атмосфере, массой научной аппаратуры G (кг), которую должен нести аэростат, и плановой продолжительностью его миссии τм (сут.), мы сможем в дополнение к предыдущему уравнению получить ещё два:

a) условие долговечности:

τм•86400 = n•τ1%;

(здесь 86400 – коэффициент перевода суток в секунды, а n – выбирается при планировании научной программы: например, если важно, чтобы аэростат всё время находился на одной высоте, то нужно тщательно сохранять начальные условия, и в этом случае n следует принять равным, например, 1 или даже менее, что будет означать пребывание аэростата в течение всей миссии в области τ1% или в ещё более узкой и близкой к начальным параметрам; если же допустимо, чтобы со временем аэростат начал снижаться, то n может быть и больше единицы, вплоть до десятков);

б) условие плавучести (для режима дрейфа около рабочей плановой высоты):

(π•D3/6)•(ρа – ρ) = G + π•D2•ρоб,

где ρа – плотность атмосферы в зоне полёта (кг/м3), а ρоб – поверхностная плотность материала оболочки (кг/м2). Последнее уравнение суть просто разновидность закона Архимеда, только не для весов, а для масс: разность плотностей атмосферы и водорода в объёме баллона должна уравновесить массу аппаратуры и оболочки. На плановой высоте дрейфа наиболее типичной стратегией является создание в баллоне давления, не слишком сильно превышающего внешнее давление атмосферы на этой высоте. Чем выше будет это давление, тем дольше оно сможет охранять оболочку от деформации при плановых или вынужденных снижениях в область всё более высоких давлений (это хорошо), но тем меньше будет подъёмная сила, так как сильнее сжатый рабочий газ, естественно, имеет более высокую плотность при той же температуре (это плохо).

Если давления в баллоне и снаружи примерно равны, а температуры отличаются на ±ΔТ ≈ f(α, ε, τ), причём для определённого материала оболочки мы знаем коэффициенты поглощения α и излучения ε, и для дневного режима дрейфа ±ΔТ ≈ f(τ) ≈ const, то можно выразить ρ с помощью универсального газового закона:

ρ/ρа = (μ/μа)•(Tа/T) ≈ const,

и условие плавучести можно записать так:

(π•D3/6)•ρа•[1 – (2/μа)•(Tа/T)] = G + π•D2•ρоб,

а если форма баллона из каких-либо соображений выбрана не сферичная, а иная, то в общем случае вместо π/6 в левой части должен быть коэффициент kv, а вместо π в правой части – коэффициент ks (см. геометрическую главку Введения). Это уравнение переводится в однопараметровую форму

А•δ3 – δ2 – 1 = 0

точно такой же подстановкой, какая описана в алгебраической главке Введения:

D = [G/(ks•ρоб)]0,5•δ,

только в принятой здесь форме записи параметр A примет несколько иной вид:

А = ρа•[1 – (2/μа)•(Tа/T)]•G0,5/(k•ρоб)1,5.


Итак, для двух неизвестных (D, d) у нас есть два независимых уравнения. Чтобы их решить, нужно знать, кроме вышеперечисленных параметров планеты и миссии, зависимость PH от Т.


Водородопроницаемость алюминия
Permeability of hydrogen in aluminium

Водородопроницаемость алюминия исследовал в докторской диссертации А. Ф. Вяткин в 1997 г.* Энергия активации, найденная им (EAl = 27000±500 ккал/кг-атом), хорошо согласуется с более ранними данными REB Research & Consulting**, по которым в тех же единицах получается EAl = 29240 ккал/кг-атом. (Строго говоря, это характеризует водородопроницаемость уже не чистого алюминия, а алюминия, покрытого плёнкой его гидрида AlН3, который образуется при контакте алюминия с водородом при температурах выше +300°С, но нам это не так важно.) Поскольку Вяткин измерял водородопроницаемость как величину, пропорциональную РН2, а данные REB Research & Consulting относятся к более употребительной форме с пропорциональностью РН20,5, далее будут использоваться они, в форме, рассчитанной по исходному графику:

PH(Al) [моль/(м•с•Па0,5)] = 4,82•10–5•e–14736/T[K].

________

* А. Ф. Вяткин. Кинетические закономерности твёрдофазных процессов на поверхностях и межфазных границах. Дисс. ... на соиск. учён. степ. д. ф.-м. н. Черноголовка, 1997 г. [http://tekhnosfera.com/kineticheskie-zakonomernosti-tverdofaznyh-protsessov-na-poverhnostyah-i-mezhfaznyh-granitsah].

** The permeability of hydrogen in several unoxidized metals. REB Research & Consulting, 1996 [http://www.rebresearch.com/H2perm2.htm].


Пример
Example

Рассмотрим пример решения этих уравнений для пяти небесных тел: Венеры, с горячей и плотной углекислотной атмосферой; Земли; Марса с атмосферой углекислотной, но холодной и разреженной; Юпитера с водородно-гелиевой атмосферой и ближней частью таких же «недр», представляющих очень широкий спектр физических условий (он будет представлять также остальные три качественно однотипные с ним планеты, Сатурн, Уран и Нептун), а также Титана с холодной, но весьма плотной азотной атмосферой. Будем исходить из того, что миссия рассчитана примерно на три года (1000 дней), полёт аэростата должен происходить на фиксированной высоте 1 км* (n = 1), а вес научной аппаратуры примем равным 700 кг (примерно как у зонда «Кассини – Гюйгенс»).

________

* Температура атмосферы Венеры на этой высоте – ок. 727 К (454°С). Каптон, предлагаемый как материал корпуса баллона, термостоек до 400°С. Однако, как будет сказано чуть ниже, корпус холоднее окружающей атмосферы не менее чем на 70 К, так что каптон будет находиться в зоне своей термостойкости.


Материал оболочки будет в каждом случае свой, продиктованный условиями в атмосферах. (Тут почти всё сделано до нас, берём нужные данные по аналогии с тем, о чём говорилось в Историческом обзоре.)

Для Венеры это будет каптоново-алюминиевый композит с усиленным слоем алюминия для лучшей сохранности водорода. Кроме того, как мы чуть ниже увидим, на Венере оболочка будет находиться при температурах, приближающихся к 380°С, тогда как выше 300°С алюминий довольно заметно реагирует с водородом. В лабораторных условиях образование гидридной плёнки не мешает алюминию хорошо держать водород (возможно, даже помогает). Но вряд ли кто-то исследовал, как будет обстоять дело в течение 1000-дневного и более контакта алюминия с водородом при высоких температурах и давлениях. Не исключено, что с ростом толщины гидрида картина может и поменяться. Из осторожности в условиях такой долгой миссии, как наша, стоило бы отделить алюминий от водорода дополнительным слоем каптона или иного термостойкого полимера. Это не устранит контакт (полимеры гораздо прозрачнее для водорода, чем металл), но хотя бы заметно снизит парциальное давление водорода на алюминий и скорость образования гидрида. Эта дополнительная изоляция прибавит поверхностной плотности и изменит ε и α. По диаграмме Эриксона, приводимой в Приложении 1, можно принять для этого варианта ρоб(о) = 50 г/м2, ε = 0,5, α = 0,4. (Эти 50 г/м2 ещё не учитывают усиление алюминиевого слоя, его мы будем находить расчётом.) По изложенным в Приложении 1 методикам можно примерно оценить*, что для этого материала в данных атмосферных условиях Т/Тa ≈ 0,92.

________

Коэффициент излучения углекислого газа в толстых слоях (Emissivity of carbon dioxide in thick layers)

* Тепловые потоки, действующие на баллон на расстоянии 1 км от грунта Венеры, я моделировал так: 1) солнечный принял равным нулю; 2) поверхностный, не найдя точного метода расчёта поглощения в 1-км слое плотной атмосферы, тоже принял равным нулю; 3) для оценки атмосферного, по номограмме Редеманна и Шпехта (считая, что при высоких давлениях поправка на давление → 1) построил график в координатах lg(εCO2) = f(1/lg[P•l]), который выглядел как прямая lg(εCO2) = –0,0275 – 3,7053/lg(P•l[Па•м]). В области значений l порядка 103 м вниз и 104÷5 м вверх и Р порядка 107 Па внизу и порядка 105÷7 Па вверху, имеем внизу и вверху εCO2 (н/в) ≈ 0,4, а температуры внизу составляют порядка 730 К, вверху варьируются от ~730 К до ~200 К, в среднем ~500 К. Отсюда по закону Стефана – Больцмана получаем оценку приходящей к баллону удельной мощности излучения порядка ~7800 Вт/м2, а округляя, чтобы тем самым косвенно учесть солнечное и поверхностное излучение, – ~8000 Вт/м2.

С этой оценкой параметр А2 ≈ 0,1; по данным об атмосфере Венеры, для высоты 1 км параметр А1 ≈ 18; отсюда параметр θ = T/Ta ≈ 0,92. При вдвое большей величине удельной мощности приходящего излучения 16000 Вт/м2 параметр θ = 0,93, т. е. наша оценка достаточно точна.


Для Марса (см. Приложение 1) оптимальным материалом оболочки будет майларово-алюминиевый композит с ρоб = 13,5 г/м2, ε = 0,05, α = 0,2, Т/Тa ≈ 1,64.

Для Земли можно взять тот же майларово-алюминиевый композит, но в условиях нашей атмосферы на высоте 1 км у него будет иное значение* Т/Тa ≈ 1,264.

________

* По данным Википедии (но пересчитанным из усреднённых в максимальные значения умножением на коэффициент 1367/341 = 4, по солнечному излучению), удельные мощности солнечного излучения (1367 Вт/м2), поверхностного (1600 Вт/м2) и атмосферного (1330 Вт/м2) дают максимально приходящую к баллону удельную мощность излучения 1367 + 1600•4,73 + 1330 = 10260 Вт/м2. Отсюда (см. выше прим. к абзацу о Венере) А2 = 28,6; по данным об атмосфере Земли, для высоты 1 км параметр А1 = 154; отсюда параметр θ = T/Ta = 1,264. Это оценка для ясного летнего полдня, и мы, для сопоставимости с другими планетами, где также берутся максимальные потоки излучения, примем её; а при усреднённой по климату и глобусу вчетверо меньшей величине удельной мощности приходящего излучения 2565 Вт/м2 параметр θ = 1,085, т. е. прогрев втрое ниже.


Для Юпитера, по-видимому, можно воспользоваться тем же самым майларово-алюминиевым композитом. Параметр Т/Тa в этом случае оценочно примем равным ~1,01.*

________

* Солнце поставляет к внешней границе атмосферы Юпитера ~50 Вт/м2, поглощает атмосфера слабо, и примерно то же значение будет действовать на баллон в условиях нашей задачи. Ещё ~80 Вт/м2 поступает из недр Юпитера в виде отражённого и переизлучённого солнечного излучения и собственного тепла планеты. Чтобы в данном случае воспользоваться формулами, приведёнными в Приложении 3 или Приложении 4, мы, за неимением лучшего, прибегнем к такой грубоватой модели. Представим, что где-то в недрах Юпитера на глубине Hэф есть некая эффективная поверхность, излучающая этот поток. Поглощением в слое между эффективной поверхностью и аэростатом в этой модели пренебрежём. Интуитивно представляется, что эта поверхность вряд ли ляжет ниже областей тысячных температур, так как далее будет уже квазиплазменная область, мало прозрачная для излучения. А тысячные температуры на Юпитере достигаются в глубине порядка 1000 км, т. е. можно принять Hэф = 0,5÷2 тыс. км. Удельная величина потока, при огромном диаметре Юпитера Dю = ~140 тыс. км, качественно не поменяется при углублении на 0,5–2 тыс. км, если мы считаем этот слой прозрачным, и будет теми же ~80 Вт/м2. Формула из Приложения 3 в данной схеме фактически даёт к исходящему с эффективной поверхности потоку умножающий коэффициент Кю = 0,5•ln(Dю/Hэф) = 0,5•ln(140/0,5÷2) = 2,8÷2,1 ≈ 2,5.

Таким образом, приходящий к единице сечения баллона поток от излучения Юпитера можно оценить как 50 + 80•2,5 ≈ 250 Вт/м2. По данным об атмосфере Юпитера, на высоте 1 км параметр А1 ≈ 2258; параметр А2 для удельной мощности 250 Вт/м2 составляет А2 ≈ 6,1, откуда θ = 1,01; для А2 = 4÷8, θ = 1,007÷1,013.


Для Титана в проектах гелиевых аэростатов с избытком давления чаще всего фигурировали майларовые композиты с поверхностными плотностями от 18 до 75 г/м2, а мы посчитаем для майларово-алюминиевого, аналогичного тому, который был взят для Марса, Земли и Юпитера. Ввиду отсутствия данных для расчёта параметра Т/Тa, его оценочно примем равным ~1.*

________

* Солнце поставляет к внешней границе атмосферы Титана ~15 Вт/м2, но в углеводородной дымке неизвестного состава это излучение полностью поглощается, как, по-видимому, и слабое тепловое излучение, идущее от поверхности (не более ~4 Вт/м2), так что баллон на высоте 1 км должен испытывать преимущественно тепловой приток от этой дымки, но ни её прозрачность, ни коэффициент излучения, ни хотя бы суточные градиенты температур по высотам неизвестны. Видимо, условия в нижней атмосфере Титана близки к равновесным, т. к. опубликованные в 2016 г. данные мисии «Кассини» за 2004–2016 гг. показывают, что весь годичный климатический перепад температур поверхности составляет лишь ~3,5 К [http://lfly.ru/v-nasa-byli-opublikovany-temperaturnye-karty-titana.html]. Параметр А1 на высоте 1 км в атмосфере Титана, как можно оценить по имеющимся данным, близок к 4550; параметр А2 должен быть менее того, который можно вычислить по солнечной мощности, т. е. < 3,6. Для А2 = 3,6, θ = 1,004; для А2 = 1, θ = 1, откуда и берём оценку θ ≈ 1.


Данные о температурах, плотностях и молярных массах атмосфер на высоте 1 км (из литературы), о температурах и поверхностных плотностях оболочек баллона (из полученных оценочных соотношений), и о PH при соответствующих температурах оболочек (по приведённой выше формуле) для удобства сведём в таблицу:


Данные для высоты в 1 км:


Tа, K

T, K

ρа, кг/м3

ρоб, г/м2

μ, кг/кмоль

PH, моль/(с•м•Па0,5)

Венера1

727

669

62,9

50

43,44

1,3•10–14

Земля2

282

356

1,11

13,5

29,00

5,1•10–23

Марс3

226

371

0,013

13,5

43,34

2,6•10–22

Юпитер4

164

166

0,15

13,5

2,20

1,4•10–43

Титан5

92,5

92,5

5,53

13,5

27,3

3,1•10–74

________

1 Robert A. Braeunig. Atmospheric Models, 2014 [http://www.braeunig.us/space/atmmodel.htm].

2http://tehtab.ru/Guide/GuidePhysics/GuidePhysicsHeatAndTemperature/GuidePhysicsHeatAndTemperatureTemperature/TemperatureAirHeight/, http://tehtab.ru/Guide/GuidePhysics/GuidePhysicsDensity/DensityAirHeight/

3 Dr. Tim Schofield. Weather Reports From Mars, 1997 [http://mars.nasa.gov/MPF/science/weather.html].

4 Alvin Seiff et al. Thermal structure of Jupiter's atmosphere near the edge of a 5-μm hot spot in the north equatorial belt. // Journal of Geophysical Research, Volume 103, Issue E10, 25 September 1998, pp. 22857-22889 (Tabl. 7, 8, pp. 22873, 22875) [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/98JE01766/pdf].

5 Athena Coustenis, Fredric W. Taylor. Titan: Exploring an Earthlike World, 2-nd ed., 2008, Fig. 2.5 (p. 24) [https://books.google.ru/books?id=j3O47dxrDAQC].


Первым шагом рассчитаем из условия долговечности (a) величину d•D:

d•D = τм•86400•PH•(T/ρа)0,5/(n•0,013)

Во всех случаях, кроме Венеры, это произведение благодаря ничтожным значениям PH оказывается исчезающе малым (менее 2•10–10 м2) и гарантирует устойчивость аэростата к утечкам водорода на всём протяжении 1000-дневной миссии при любой технологически достижимой тонкости слоя алюминия. На Венере же оно равно 0,000195 м2, предвещая необходимость в сравнительно толстом слое алюминия в составе оболочки.


Разветвление алгоритма
Algorithm branching

Поэтому дальнейшие расчёты нам придётся провести по-разному. Для Венеры мы решим условие плавучести (б), найдя вначале параметр А при поверхностной плотности оболочки без учёта утолщения алюминия в сравнении с 0,13 мкм, затем, по формуле (б) из алгебраической главки Введения, найдём δ = 1/А1/3 + 1/(3•А) и, наконец, определим D:

А = 7000,5•62,9•[1 – (2/43,44)•(727/669)]/(4,836•0,05)1,5 = 13289;
δ = 1/132891/3 + 1/(3•13289) = 0,042;
D = [700/(π•0,05)]0,5•0,042 = 2,82 м.

Затем найдём толщину алюминиевого слоя в оболочке:

d = (d•D)/D = 0,000195/2,82 = 6,6•10–5 м (69 мкм).

Каждый микрон алюминия добавляет к поверхностной плотности

10–6[м/мкм]•103[г/кг]•2800[кг/м3] = 2,8 г/м2,

и к поверхностной плотности 50 г/м2, которую мы приняли вначале, добавится 193 г/м2, дав в итоге ρоб = 243 г/м2.

Поскольку величина ρоб участвовала в расчётах, их следует повторить с новым полученным значением этой величины (и итерационно повторять до тех пор, пока величина ρоб не перестанет меняться), однако в данном случае (из-за достаточно большого А) мы находимся в области, когда от ρоб заметно зависят лишь промежуточные параметры, используемые в расчёте, а сам диаметр баллона после повторного расчёта изменяется на доли процента: D = 2,83 м. Итерационный цикл нужен лишь для уточнения значений d и связанных с ними значений ρоб, которые в ходе итераций меняются довольно заметно, стабилизируясь на значениях: d = 99,6 мкм, ρоб = 328,6 г/м2.

С этими значениями получается вполне приемлемая масса оболочки:

Моб = π•D2•ρоб = 3,142•2,832•328,6/1000 = 8,3 кг.

Плотность и масса водорода в баллоне составят:

ρH2 = ρа•(2/μа)•(Tа/T) = 62,87•(2/43,44)•(727/669) = 3,15 кг/м3;
MH2 = (π•D3/6)•ρH2 = (3,142•2,833/6)•3,15 = 37,3 кг.

Казалось бы, хорошая пропорция, 45,6 кг тягловых компонентов на 700 кг полезного груза. Но проблема в том, что водород нужно довезти до Венеры. На Земле его хранят и транспортируют в баллонах, причём вес баллона в 60 и более раз превосходит вес содержимого, что, конечно, не радует в условиях нашей задачи.

Можно получать водород химическим путём; с наименьшим побочным весом – по реакции:

LiH + H2O = LiOH + H2,

где из 13 кг сырья получается 1 кг водорода. Если на оборудование, обеспечивающее процесс, добавить ещё хотя бы 2 кг на 1 кг водорода, мы получим, что масса тягловых компонентов равна

8,3 + 37,3 + 37,3•(12 + 2) = 568 кг.

Это, конечно, уже не так хорошо, поскольку не ясна целесообразность дорогой транспортировки столь тяжёлого аппарата на Венеру. Окупит ли научный итог 3-летней миссии такие расходы? (Пусть даже не 3-летней, ведь через 3 года аэростат потеряет всего 1% водорода; он ещё многие годы будет дрейфовать, опускаясь ниже и ниже, пока не упадёт на грунт.) Ясного ответа у меня нет.


H2О и/или NH3 вместо Н2?
H2О and/or NH3 in place of Н2?

Благодаря высокой молярной массе венерианской атмосферы, там можно заменить водород целым спектром лёгких молекул, которые обеспечат хотя и меньшую плавучесть, но зато, возможно, не потребуют такого существенного веса для своей транспортировки. Весьма популярными альтернативами водороду, помимо гелия, являются вода и аммиак, которые можно использовать и порознь и вместе. С H2О в формулу плавучести вместо 2/μа нужно подставить 18/μа, а с NH317/μа (где 2, 18 и 17 – молярные массы H2, H2О и NH3).

Алюминий изнутри нужно изолировать от аммиака, с которым он реагирует (совсем отказаться от алюминия мы не можем, это его удачные значения ε и α обеспечивают выхолаживание оболочки по сравнению с окружающей атмосферой, термически стабилизируя каптон). Поэтому примем для данного варианта ρоб(о) = 50 г/м2, ε = 0,5, α = 0,4, Т/Та = 0,92, как и в случае с водородом.

С водой из химических соображений можно было бы взять самый тонкий каптоново-алюминиевый композит, так как с водяным паром алюминий ниже +500°С заметно ещё не реагирует. У такого материала, по диаграмме Эриксона из Приложения 1, ρоб(о) = 18 г/м2, ε = 0,33, α = 0,32. Однако при этом получается Т/Та = 0,94, Т = 683 К (410°С), что на 10° выходит за предел термостойкости каптона, 400°С. Поэтому нам и здесь придётся взять тот же материал, как для аммиака, тяжёлый, но лучше самоохлаждаемый.

С аммиаком в результате итерационного расчёта получаются диаметр и масса оболочки D = 3,35 м, Моб = 10,1 кг, а масса аммиака МNH3 = 526 кг. С водой значения близкие: D = 3,4 м, Моб = 10,2 кг, МH2О = 582 кг.

Аммиак и воду можно транспортировать в виде жидкого раствора NH4ОН, но, как видно по полученным данным, чистые химические массы в сумме с массой контейнера для транспортировки и узла диссоциации дадут общую тягловую массу, скорее всего, бóльшую, чем в водородной схеме. Но зато, как предлагал Г. Москаленко (см. Исторический обзор), такая рабочая смесь, благодаря способности переходить из газовой в жидкую фазу и наоборот, позволяет маневрировать по высоте с минимальными затратами энергии. Это важное преимущество, ради которого в каких-то миссиях вполне оправданной будет бóльшая масса.


Другая ветвь алгоритма
Another branch of algorithm

Расчёты для остальных планет будут идти по другому алгоритму. Там нет смысла сверяться с условием долговечности, она заведомо гарантирована при любой технологически возможной тонкости оболочки. Поэтому толщину алюминиевого слоя d мы выбираем минимальной, которая, судя по Историческому обзору, составляет 0,13 мкм. Постоянными при этом будут и ρоб = 13,5 г/м2, ε = 0,05, α = 0,2. С ними решениями условия плавучести будут:

Dзем = 10,9 м;         Dмарс = 49,4 м;         Dюпит = 41,6 м;         Dтитан = 6,6 м.

Соответствующие массы корпуса, водорода и всего вместе с 700 кг аппаратуры составят:

Мзем = 5 кг + 41 кг + 700 кг = 0,75 т;         Ммарс = 103 кг + 23 кг + 700 кг = 0,83 т;
Мюпит = 73 кг + 5093 кг + 700 кг = 5,87 т;         Мтитан = 2 кг + 472 кг + 700 кг = 1,17 т.

По-видимому, для Юпитера и Титана есть смысл серьёзно проработать вопрос о получении водорода для заполнения баллона из местных источников. Доставлять его с Земли, даже по литиевой схеме, потребует везти более 75 тонн к Юпитеру, более 7 тонн к орбите Сатурна, – это слишком затратно! Уменьшить габариты юпитерианских и марсианских аэростатов вряд ли возможно. На Юпитере причина в том, что его атмосфера и сама на 90% состоит из водорода. Только 14% гелия в ней и создают для нашего аэростата крошечный запас плавучести. На Марсе же хотя и хорошая для аэростатики высокомолярная углекислотная атмосфера, но чрезвычайно разреженная. Чтобы из её мизерной удельной подъёмной силы наскрести на грузоподъёмность для дрейфа серьёзной аппаратуры, нужен колоссальный объём баллона. Но там хотя бы его содержимое, в силу этой самой разреженности среды, исчисляется не тоннами, а центнерами.


Аэростат в недрах
Aerostat in the depth

Однако с подачи Ю. А. Лебедева я хочу для Юпитера и негласно стоящих за ним членов клуба (Сатурна, Урана, Нептуна) закончить не за упокой. Пессимистичные выводы в предыдущем абзаце касались того, что у них принято именовать атмосферой; но ведь мы можем направить аэростат и в ближние недра этих планет.

В упоминавшейся выше работе Alvin Seiff и др. приводятся данные о параметрах недр Юпитера до глубины 132,4 км. Температура практически линейно повышается вглубь, на 2 К/км. Если смело экстраполировать эту линейную зависимость ещё на несколько сотен км, то окажется, что область плавления стальных сплавов (~1700 K) лежит на глубине порядка 770 км. Правда, ещё задолго до плавления практически все металлы начинают сильно терять механическую прочность, но баллон нашего аэростата особо сильных нагрузок не испытывает (только в местах крепления гондолы с аппаратурой, но они должны быть распределены сетевидной структурой по всей верхней полуповерхности баллона и не создавать точечных нагрузок). Поэтому можно рискнуть погружаться в диапазоне глубин до 750 км. Это чуть более 1% от радиуса Юпитера.

Давление на исследованных 132 км юпитерианских недр изменяется нелинейно, поэтому его надёжнее экстраполировать вглубь по температуре, используя фазовую РТ-диаграмму для Юпитера (рис. ниже);* плотность же рассчитывать по T, P и μ через универсальный газовый закон. Таким путём получаются следующие оценки:

________

* Tristan Guillot. The Interiors of Giant Planets Models and Outstanding Questions (2005). Fig. 1 (p. 5) [https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0502068.pdf]. В обозначениях y = log10P[бар], x = log10T[K], расчёт делался по следующим уравнениям, полученным обработкой данных этого рисунка для Юпитера методом квадратичной регрессии с использованием сервиса [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-mnk-i-regressionniy-analiz]:

до глубины –550 км: y = 0,1215x2 + 2,7601x – 6,7630; после этой глубины: y = 1,8691x2 – 7,6969x + 8,8672; в точке –550 км (где происходит излом и расширение фазовой линии для Юпитера на рисунке, из-за чего и приходится считать по-разному) – как среднее из двух этих уравнений.

Фазовая диаграмма водорода для газовых планет (Phase diagram for hydrogen with the main phase transitions occurring in the fluid or gas phase)

Температура, давление и плотность в недрах Юпитера (Temperature, pressure, and density in the depth of Jupiter)


Опираясь на полученные данные о характеристиках «недр» Юпитера на глубинах до 750 км, можно для любой глубины в этом интервале найти и диаметр баллона аэростата D, и массу корпуса баллона Mоб, и массу водорода, необходимого для его заправки, чтобы он дрейфовал на этой глубине, MH2, и общую массу баллона, водорода и научной аппаратуры, Msumm. При этом для Юпитера (и прочих газовых планет) в алгоритме расчётов имеются некоторые особенности.


Встречная диффузия Н2
Two-way diffusion of H2

Водородопроницаемость оболочки мы везде, кроме Венеры, считали пренебрежимо малой, и условием (а) не пользовались. Для атмосфер это верно: они достаточно холодны. Но, углубляясь в недра, мы рано или поздно окажемся в зоне настолько высокой температуры, что водородопроницаемость оболочки станет высокой. Там придётся считать по первому алгоритму (как для Венеры), но с важной модификацией. Атмосфера газовых планет состоит в основном из водорода, и сквозь оболочку идут два встречных потока газа: больший, из баллона в атмосферу, и меньший, из атмосферы в баллон. Утечкой будет разность этих потоков:

Ф = PH•S•(Pвнутр0,5 – Pвнеш0,5)/d.

Давления здесь имеются в виду парциальные. В баллоне, где находится только водород, его парциальное давление равно общему и ввиду мягкости оболочки совпадает с атмосферным. А снаружи оно равно произведению атмосферного давления на объёмную долю водорода в атмосфере xH (для Юпитера это ~0,86). C учётом этого формула примет вид:

Ф = PH•S•Pатм0,5•(1 – хН0,5)/d.

Как видим, она отличается от той, которой мы пользовались для безводородных атмосфер, лишь множителем в круглых скобках; для Юпитера он равен 0,0726, то есть снижает утечку почти в 14 раз. Этот же множитель перейдёт в расчётное уравнение для величины d•D, приведя его к виду:

d•D = 6,65•106•τм•PH•(T/ρа)0,5•(1 – хН0,5)/n,

и для нашего примера (τм = 1000 сут., n = 1, x = 0,86) это даёт:

d•D = 4,83•108•PH•(T/ρа)0,5.


Контроль утечки и термостойкости
Control of efflux and heat resistance

Рассчитав для любой глубины по этой формуле величину d•D, а затем найдя по второму алгоритму значение D, нам нужно будет, поделив первое на второе, оценить толщину алюминиевого слоя оболочки аэростата d, и если она окажется больше той толщины, которой мы задавались (d = 0,13 мкм), то это будет означать, что мы уже в зоне достаточно сильной утечки, и надо пересчитывать D не по второму, а по первому (венерианскому) алгоритму. Также надо контролировать температуру, растущую вглубь Юпитера довольно быстро, чтобы своевременно менять материал оболочки на более термостойкий. Наш универсальный майлар размягчается при 518 К, что соответствует на Юпитере глубине ок. 177 км. Каптон, с его пределом термостойкости в 673 К, может работать до глубины ок. 255 км. Сам алюминий расплавится на глубине ок. 388 км (его точка плавления повышается с ростом давления на 0,0065 К/атм*, и на этой глубине, где давление ок. 480 атм., она на 3 К выше, чем при давлении 1 атм., и равна ~936 К). В литературе сообщается, что ряд пластиков (кремнийорганических, полиперфторфениленовых и др.) сохраняет термостойкость до 600°С и выше, есть и клеи, термостойкие даже при более высоких температурах. Поэтому будем оптимистично считать, что удастся создать полимерно-алюминиевый ламинат и устойчивый вплоть до точки плавления алюминия, и механически способный к спуску, торможению, атмосферной развёртке и заполнению в подобных непростых условиях. Примем, с известной осторожностью, что поверхностная плотность его полимерной части составит 50 г/м2, а алюминиевый слой, как обычно, добавит к ней по 2,8 г/м2 на каждый микрон своей толщины.

________

* G. E. Totten, D. S. MacKenzie (ed.). Handbook of Aluminum, Vol. 1, N. Y., Basel, 2003, p. 59 [https://books.google.ru/books?id=Wbwv3nt1gp0C].


Расчёты показали, что зона утечки (и переход ко второму алгоритму расчётов) начнётся в первой трети каптоновой области, ок. глубины 203 км. Диаметр баллона, начинаясь от ~40 м, снижается на всей майларовой и каптоновой областях и продолжает снижаться в пост-капотновой области до глубин ~300 км, где он составляет ~13 м, а затем начинает расти, и к концу области достигает почти 16 м. Масса оболочки в майларовой зоне снижается с глубиной от 69 кг до 12 кг, в каптоновой зоне она скачком возрастает до 27 кг, проходит небольшой минимум (25,5 кг) на глубинах 225–230 км, и к концу зоны возрастает до 29,5 кг, то есть меняется мало. В пост-каптоновой зоне она вновь скачком возрастает до ~63 кг и далее растёт с ускорением, достигая к концу зоны ~1,3 т. Масса водорода является главным слагаемым тягловой массы. Она слабо меняется в майларовой и каптоновой зонах, составляя ~4,9–5,1 т, а в пост-каптоновой зоне растёт с ускорением, достигая к концу ~14,2 т. Но если, как говорилось выше, удастся ценой меньшей массы найти способ получения водорода из его безграничных местных количеств, то это слагаемое из тягловой массы уйдёт, заменившись соответствующим технологическим слагаемым. И в такой перспективе схема длительных и обстоятельных аэростатных исследований юпитерианских недр (как и недр других подобных ему водородных планет-гигантов) начинает выглядеть вполне реальной.

Если же удалось бы решить и техническую задачу подкачки водорода в баллон по мере утечки, то отпала бы нужда в утолщении алюминиевого слоя, и масса оболочки на всём интервале термостойкости алюминия исчислялась бы десятками килограммов.


Золото и серебро
Gold & silver

Коэффициенты водородопроницаемости металлов при высоких температурах (Hydrogen permeability of metals at high temperatures)

Глубину погружения в Юпитер у нас ограничила точка плавления алюминия, а он был необходим как материал, сдерживающий утечку водорода. Однако, как видно из графика на рис. справа*, есть два ещё лучших с этой точки зрения металла, серебро и золото. Их молярные коэффициенты водородопроницаемости, судя по данным графика, должны так зависеть от температуры:

РHAg = 3,31•10–6•е–13287/Т [моль/(м•Па0,5•с)];
РHAu = 0,0862•е–24309/Т [моль/(м•Па0,5•с)].

________

* The permeability of hydrogen in several unoxidized metals. REB Research & Consulting, 1996 [http://www.rebresearch.com/H2perm2.htm].


Они, к тому же, заметно более тугоплавкие, серебро плавится при 1234 К (это температура примерно 540-километровой глубины на Юпитере, где давление достигает ~900 атм, а плотность – ~20 кг/м3), золото – при 1336 К (ок. 590 км, ~1200 атм, ~24,5 кг/м3). Правда, химикам ещё нужно поработать над синтезом такого лёгкого, прочного и, главное, термостойкого материала, который бы смог стать носителем тонкого слоя металла в корпусе баллона и доставить его в жаркие недра Юпитера, но мы условились в этом отношении быть оптимистами. Единственное, с чем ничего не поделаешь, это плотность. Оба благородных маталла намного тяжелее алюминия, серебро на каждый микрон толщины добавит к поверхностной плотности оболочки не 2,8 г/м2, а 10,5 г/м2, золото же – 19,3 г/м2.

Расчёт показал, что без механизма подпитки утекающего водорода на нижних термически возможных глубинах дрейфа требуются запредельные толщины и массы оболочек, это уже не аэростаты, а толстостенные батискафы: у серебряного, диаметром 8,15 м, толщина серебра должна быть 3,2 см, а масса приближается к 71 т, а у золотого, ввиду того, что при температурах выше ~1084 К (это на Юпитере соответствует глубине ок. 463 км) золото начинает хуже держать водород, чем серебро, параметры батискафа для глубины 590 км ещё фантастичнее: при диаметре 7,63 м он должен иметь стенки толщиной более 50 см золота и массу свыше 1777 т!

В то же время подпитка, позволяющая свести массу металла к скромным единицам–десяткам килограммов, нужна не такая уж сильная. Мы в расчётах исходили из того, что за 1000 дней утечка должна составить 1% массы водорода. Эта масса стабильна на всех глубинах до 600 км и составляет порядка 5 тонн. То есть утекает за 1000 дней всего 50 кг водорода. Это 50 г/сут. Если технология подпитки будет позволять извлекать из атмосферы Юпитера и переправлять в баллон, скажем, в 20 тыс. раз больше, 20% его заправки, то есть 1 тонну водорода, мы, соответственно, в те же 20 тыс. раз сможем сократить толщину стенок и массу металла, уложившись в ~3,5 кг серебра или ~90 кг золота.


Экономичные миссии
Economical missions

Другой резерв сокращения массы драгметалла – перестройка программы миссии.

Масса металла (Al, Ag, Au), обеспечивающая равную водородопроницаемость на разных глубинах Юпитера (Mass of a metal (Al, Ag, Au), which ensures equal hydrogen permeability at different depths of Jupiter)

Очень заметно экономит массу сокращение глубины погружения, как видно из рис. справа, где эта масса показана в относительных единицах, считая за 100% массу на предельно низкой глубине, а на меньших глубинах показывая массу, которая там обеспечит ту же скорость утечки водорода. Сокращение времени 1%-ной утечки также даст прямо пропорциональное сокращение массы металла. Оба эти пути можно сочетать, ведь τ1% – не время жизни аэростата, а лишь время его работы в условиях от 100% до 99% исходной заправки. И с 99%, и с 98%, и т. д., аэростат ещё на плаву, он просто погружается глубже и глубже, мерно теряя подъёмную силу. И это даёт возможность экономным и естественным путём изучать высотный срез атмосферы (или газовых «недр»), что в целом ряде вопросов даже существенно лучше, чем работа на практически постоянной высоте.

Как происходит такого рода снижение, мы в Приложении 5 проследим на примере аэростатов проекта «Вега».




Приложение 1 / Appendix 1

Пример расчёта солнечного монгольфьера для Марса
Example of calculations for Martian solar montgolfier


Исходные данные
Benchmark data

Попробуем, со всеми возможными упрощениями, рассчитать солнечный монгольфьер для Марса, хотя бы в условиях стационарного полёта, то есть, условно говоря, в полдень, когда он дрейфует в условиях временно установившегося равновесия. Для дополнительного упрощения рассмотрен будет монгольфьер, который не изолирован от атмосферы и, значит, объём его не меняется.* (Нужные формулы и константы, где не оговорено, взяты из диссертации Ван Досселаера**.)

________

* Те, кто с успехом клеит из чёрной полиэтиленовой плёнки и запускает в небо солнечные монгольфьеры во дворах, выкладывая ролики на youtube, могут оспорить это: во-первых, порывы ветра реально приминают бок баллона и, если отверстие его достаточно велико, то выдавленный наружу тёплый воздух приводит к потере плавучести и завалу шара; во-вторых, если шар при ночном похолодании не просто снижает высоту дрейфа, а ложится на грунт, то его объём, конечно, тоже меняется, и может даже настолько, что днём сплющенный шар уже не поднимется. Но мы в расчёте этими факторами для упрощения всё же пренебрежём.

** Ignace Van Dosselaer. Buoyant Aerobot Design and Simulation Study BADS. Delft University of Technology, 2014 [http://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:59356102-9032-44b4-84a0-f798effc823c/datastream/OBJ/download&usg=AFQjCNG9lH_PRnTObLRqmSC5zk_AwFFyFA].


Профиль поглощения солнечного излучения в атмосфере Марса (Diurnal and season variation of solar irradiance through the Martian atmosphere)

Ван Досселаер в своём алгоритме пренебрегает и собственным тепловым излучением и поглощением марсианской атмосферы. В литературе вообще часто, со ссылкой на крайнюю разреженность этой в основном углекислотной атмосферы говорится, что солнечный поток на поверхность Марса приходит, практически не ослабляясь. Тем не менее, даже в ясный солнечный полдень до 7% (~43 Вт/м2) солнечной энергии атмосфера Марса поглощает, к вечеру такого же ясного дня поглощение доходит до ~50 Вт/м2 и более (~50%), а при наличии пыли атмосфера может поглощать, отражать и переизлучать в космос и до 2/3 (~288 Вт/м2) солнечного излучения, как видно на рис. выше справа* по разницам между сплошными линиями замеров в верхних слоях атмосферы и прерывистыми линиями замеров у грунта. Впрочем, возможно, что и в ясный полдень атмосфера взаимодействует с проходящим излучением активнее, чем кажется по итоговым цифрам, ведь более 150 Вт/м2 его, как показывает рисунок, доходит до уровня грунта в форме не прямых лучей, а рассеянного излучения. А рассеянное вполне может быть поглощённым и переизлучённым.

________

* R. M. Haberle et al. Atmospheric effects on the utility of solar power on Mars. Fig. 9 [http://www.uapress.arizona.edu/onlinebks/ResourcesNearEarthSpace/resources30.pdf].


Между тем известен закон Кирхгофа о том, что, как правило, коэффициент излучения примерно равен коэффициенту поглощения. И хотя у газов этот закон выполняется хуже, но совсем сбрасывать его со счетов нельзя. Так что вопрос об излучении атмосферы Марса не так прост. Я вынес его в отдельное Приложение 2, а здесь лишь сообщаю итоговый вывод: атмосфера греет баллон на уровне ~15% от аналогичного разогрева Солнцем. К тому же она почти с той же интенсивностью греет его и ночью. Поэтому в нашем расчёте этот вклад будет учтён.

Далее, по условию стационарности, будем считать, что потоки тепла от газа внутри баллона к стенке и от стенки внутрь уравновешены, и их учитывать не будем.


Поглощаемое излучение
Input radiation

1) Оболочка баллона будет поглощать прямое солнечное излучение – площадью сечения Sсеч, то есть получать напрямую от Солнца мощность*:

W1 = αоб•Is•Sсеч = 545•αоб•Sсеч.

________

* Значение Is = 545 Вт/м2 выбрано из следующих соображений: в перигее Марс получает от Солнца 717 Вт/м2, в апогее – 493 Вт/м2 (Ibid.). Взято среднее из этих величин и уменьшено на 10% (атмосферное поглощение).


2) Отражённое от планеты излучение и собственное тепловое излучение поверхности Марса будет захватывать несколько больше площади оболочки, потому что исходит не из удалённой точки, как прямое солнечное, а с поверхности, которая под аэростатом заключена в линии горизонта. Расчёт показывает (см. Приложение 3), что поверхностное излучение при высоте дрейфа Н и радиусе планеты R передаст оболочке следующую мощность (в условиях нашей задачи применяем последнее, наиболее простое уравнение):

W2 = αоб•(Iпов•Sсеч/2)•[ln(2R/H) – 2•kα•(2•R•H)0,5],

где коэффициент поглощения kα на основании данных последнего рисунка можно для ясного дня оценить величиной порядка 0,001 км–1 (при этом на 100-километровой атмосфере как раз и поглотится порядка 10% излучения), а Iпов складывается из отражённого солнечного излучения (умножаем Is на альбедо а) и собственного поверхностного излучения песков Марса:

Iпов = а•Is + εпов•σ•Т4пов,

где σ = 5,67•10–8 Вт/(м2•К4) – постоянная Стефана – Больцмана, εпов – коэффициент излучения поверхности и Тпов – её температура. Для Марса можно принять дневную температуру равной 228 К, а εпов по аналогии с земными песками принять равным 0,9. Альбедо Марса равно 0,17 Отсюда:

Iпов = 0,17•545 + 0,9•5,67•10–8•2284 = 231 Вт/м2.

С этими численными значениями выражение для расчёта W2 получает вид:

W2 = αоб•Sсеч•115,5•[ln(2R/H) – 0,16•H0,5] = αоб•Sсеч•[1019 – 115,5•ln(H) – 19•H0,5],

где высота дрейфа Н выражена в км, а R = 3390 км.

Мощность излучения атмосферы Марса, действующего на 1 кв. м сечения аэростата при высотах дрейфа 0–8 км (Power of the Martian atmospheric radiation acting to 1 square meter of a balloon cross section at drift heights 0–8 km)


3) У атмосферы нет поверхности, и к её излучению плохо применимо понятие поверхностной мощности излучения. Но итоговую нужную нам величину, удельную мощность, приходящую от атмосферного излучения к сечению аэростата, WA/Sсеч [Вт/м2], рассчитать можно. В Приложении 4 дана довольно громоздкая расчётная формула для общего случая, но здесь, для более узкого интервала высот дрейфа и конкретно выбранного значения коэффициента поглощения kα = 0,001 км–1, результат расчёта по ней, показанный на рис. справа, можно с достаточной точностью (погрешность в доли процента) описать более простым эмпирическим уравнением:

WA/Sсеч = 105 – 1,4•Н – 6,3•e–1,3•H,

где высота дрейфа Н (на графике она обозначена Нд) выражена в км. Отсюда получаем выражение для расчёта поглощённой оболочкой мощности атмосферного излучения:

Вклады солнечного, атмосферного и поверхностного поглощения корпусом аэростата на Марсе в зависимости от высоты (Fractions of solar [yellow], atmospheric [blue], and surface-emitted [red] heating in total heating [purple] of a balloon in Martian atmosphere as a function of altitude)

W3 = αоб•Sсеч•(105 – 1,4•Н – 6,3•е–1,3•H).

А всего поглощаемая оболочкой мощность составит:

Wпогл = W1 + W2 + W3 =

= αоб•Sсеч•[1669 – 115,5•ln(H) – 19•Н0,5 – 1,4•Н – 6,3•e–1,3•H].

Как меняется вклад каждого компонента излучения и итоговой суммы  с высотой, показано на рис. справа (область до 1 км может быть неточной по причинам, отмеченным в Приложении 3). Видно, что солнечное и атмосферное излучение практически постоянны и составляют несколько менее половины общего приходящего потока, а излучение от поверхности, как и следовало ожидать, более чувствительно к высоте. Из-за него меняется с высотой и суммарно поглощённое излучение, хотя и не слишком радикально.


Ночное остывание
Night cooling

Суточные разницы температур атмосферы Марса на разных высотах (Diurnal temperature differences of Martian atmosphere at various altitudes)

Выше мы рассматривали ситуацию в ясный полдень. Но на Марсе суточные (точнее, соловые: марсианские сутки называются сол) перепады температур гораздо заметнее, чем на Земле. В нужном здесь готовом виде полных (максимальных) перепадов с профилем по высоте атмосферы найти не удалось, поэтому данные, показанные на рис. справа, являются синтетическими. По двум сериям частичных измерений*, о которых подробнее сказано в Приложении 2, был гипотетически построен типичный (калибровочный) 24-часовой профиль температуры в безразмерной координате. Анализом данных было установлено, что режим сильного выхолаживания от почвы распространяется за ночь примерно на высоту 3 км, а выше атмосфера Марса остывает по собственному закону. Косвенным путём, до 3 км – по соловому калибровочному профилю, выше – по собственной скорости остывания атмосферы, данные были пересчитаны на полный 24-часовой цикл.

В полулогарифмических координатах пересчитанные данные удовлетворительно выстроились в виде двух примерно линейных серий, быстрого остывания до 3 км и медленного после 3 км. Гладкая кривая на рисунке представляет собой соответствующие экспоненты (ΔTсол = 60•e–0,355•H и ΔTсол (верхн) = 28•e–0,098•H, где Н в км), сшитые в районе 3 км гладким переходом.

Вычисленные таким образом величины ΔTсол вычитались из значений полуденных температур для каждой высоты. (Полуденный профиль, согласно общепринятым данным, усреднённо принимался линейным, начинаясь от 228 К на поверхности и убывая на 1,77 К с каждым километром высоты.)

________

* Данные D. P. Hinson et al, 1999 и M. D. Smith et al, 2006, взятые из: A. Petrosyan et al. The Martian atmospheric boundary layer. Reviews of Geophysics, 2011, vol. 49, p. RG3005, Fig. 8, 15 [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/2010RG000351/pdf].


Поглощение излучения ночью
Radiative input at night

Итак, в холодный предрассветный час, когда Is = 0, грунт Марса остыл за ночь на ~60 К, то есть в наших условиях принял температуру ~168 K, и атмосфера остыла тоже на десятки градусов внизу и на десяток-полтора градусов выше 1 км, то есть в среднем с ~220 K до ~205 K, поверхность баллона сможет поглотить гораздо меньше марсианского тепла:

Вклады атмосферного и поверхностного поглощения корпусом аэростата на Марсе в зависимости от высоты (Fractions of atmospheric [blue], and surface-emitted [red] heating in total heating [purple] of a balloon in Martian atmosphere as a function of altitude)

Wпогл (ночь) = W2 (ночь) + W3 (ночь);

Iпов (ночь) = 0,9•5,67•10–8•1684 = 40,7 Вт/м2;

W2 (ночь) = αоб•Sсеч•[180 – 20,4•ln(H) – 3,4•H0,5];

W3 (ночь) ≈ W3 (день)•(Тночьдень)3,5 ≈ W3 (день)•(205/220)3,5
≈ 0,78•W3 (день) = αоб•Sсеч•(82 – 1,1•H – 4,9•e– 1,3•H);

Wпогл (ночь) = αоб•Sсеч•[262 – 20,4•ln(H) – 3,4•H0,5 – 1,1•H –
– 4,9•e– 1,3•H].

Вклады атмосферного и поверхностного излучений, приходящих к единице площади баллона, показаны на рис. справа. По сравнению с дневным аналогичным рисунком общая приходящая удельная мощность примерно в 7 раз ниже, а вклады атмосферы и поверхности по порядку сопоставимы (хотя атмосферное всё же и в данном случае в среднем вдвое ниже).


Конвекция
Convection

Зато ночью, если баллон остывает очень быстро, иногда появляется ещё один механизм его нагрева: конвективный отбор тепла от атмосферы. (Днём он, конечно, тоже есть, но работает на остывание баллона, и для дневного времени мы его рассмотрим при расчёте исходящей от баллона тепловой мощности.) Оболочка баллона в темноте излучает собственное тепло гораздо эффективнее воздуха и может довольно быстро (как мы ниже увидим, за минуту или меньше) сделаться холоднее окружающей атмосферы. Тогда, по второмуначалу термодинамики, оболочка начнёт вытягивать тепло из атмосферы. (Подробнее детали будут рассмотрены ниже, в главке про ночной тепловой баланс.) Мощность этого процесса зависит от площади поверхности баллона S, разности температур оболочки Тоб и атмосферы в её окрестностях Тa, а также коэффициента конвективной теплоотдачи h [Вт/(м2•К)]:

Wконв = h•(Ta – Tоб)•S.

Забегая вперёд, скажу, что проделанные расчёты позволили оценить вклад конвекции в суммарные тепловые потоки. У полиэтиленового баллона он оказался порядка 2÷3% днём и 0÷5% ночью; у баллона из алюминизированного каптона – порядка 1,5÷3% днём и 0÷21% ночью; у баллона с покрытием из полированного алюминия – порядка 28÷30% днём и 22÷57% ночью; и у баллона из гипотетического материала с радиационными параметрами типа никелевой черни – порядка 13÷16% днём и 20÷38% ночью.


Коэффициент h
Coefficient h

Расчёт h – это скорее ритуал, чем алгоритм. Формулы распадаются на частные эмпирические закономерности, умеренно точные (ошибка в несколько, а то и в 10% считается неплохим результатом), с редко известными уточняющими и поправочными коэффициентами, нередко зависящими от искомого ответа, а проверить, верно ли выбрана формула, зачастую можно только в конце решения, и если окажется, что неверно, придётся вернуться и пойти с начала, но уже другим путём.

Вначале нужно узнать, свободная или вынужденная конвекция будет преобладать. Нам, в силу того, что мы заранее упростили модель, приняв, что монгольфьер уже достиг равновесия, не спускается, не поднимается, и скорость его относительно окружающего газа атмосферы очень близка к нулю, можно не проверять тип конвекции расчётом (довольно громоздким), а сразу, по определению, выбрать свободную конвекцию. Для неё h рассчитывается по формуле:

h = Nua•Ka/Dоб,

где Nua – так называемое число Нуссельта, Ka – коэффициент теплопроводности атмосферы в зоне дрейфа, а D – для сферической оболочки её диаметр, а для оболочек других форм – некий характерный размер (тут уже начинается произвол и работа на интуиции).

Число Нуссельта с использованием эмпирических коэффициентов формы (для каплевидной формы аэростатов они вовсе неизвестны, но для различных эллипсоидов и цилиндров собраны Досселаером в Приложении С), а также эмпирических констант ламинарного и турбулентного режима конвекции (ламинарные в том же Приложении С у Досселаера есть, о турбулентных он, по итогам собственных изысканий и консультаций со специалистами, честно пишет, что этих коэффициентов нет вовсе, но я в монографии С. Кутателадзе нашёл усреднённые значения турбулентной константы для газов и жидкостей, лежащие в достаточно узком диапазоне от 0,130 до 0,135 для тел довольно разных форм: горизонтальных и вертикальных проволок, труб и шаров*).

________

* С. С. Кутателадзе. Основы теории теплообмена. М., 1979, с. 235 (формула 17.3.1), с. 236 (рис. 17.2) [http://info.sernam.ru/book_ott.php?id=140].


Основой же для расчёта числа Нуссельта является так называемое число Рэлея, Ra (теплотехники часто вместо него используют произведение двух других чисел, Прандтля и Грасгофа, но нам здесь это не так важно). В число Рэлея входят характерный размер тела, отдающего тепло, D [м], температуры тела (в данном случае, оболочки Тоб [K]) и окружающего газа Тa [K], ускорение свободного падения g [м/с2], а также ряд физических параметров газа: теплоёмкость Cp [Дж/(кг•К)], плотность ρa [кг/м3], коэффициент теплопроводности Ka [Вт/(м•К)] и вязкость μa [Па•с]:

Ra = D3•(Тоб – Тa)•[Cp•ρa2•g/(Ka•μa•Ta)].

Та часть величин, которая стоит в квадратных скобках, зависит только от высоты над поверхностью. Подсчёт показывает, что у поверхности Марса этот комплекс величин в размерности СИ [м–3/K] составляет ок. 19 тыс., а с высотой экспоненциально убывает и на высоте 8 км составляет 6,2 тыс. Да и на других планетах даже невооружённым глазом видно, что этот комплекс величин будет измеряться в тысячах или десятках тысяч ед. СИ. Для достижения подъёмной силы солнечный аэростат должен иметь и крупный диаметр (метры или десятки метров) и заметную разницу температуры с окружающей атмосферой (градусы или десятки градусов). Так что с учётом этих дополнительных сомножителей ясно, что во всех атмосферах, когда речь зайдёт о солнечных аэростатах, число Рэлея всегда будет очень большим, не менее десятков или сотен тысяч безразмерных единиц.

Это очень удачное для нас обстоятельство, потому что при таком порядке величины числа Рэлея практически вся величина конвективной теплоотдачи определится турбулентным вкладом, и мы сможем избежать усложнения формул.*

________

* Полная процедура описана у Досселаера в уравнении 104 и приложении С. Вначале вычисляется число Прандтля (Pr = μa•Cp/Ka; в тех нижних 8 км Марса, для которых я делал расчёт, Pr = 0,77, очень незначительно возрастая с высотой). Затем по таблице из прил. С у Досселаера, в зависимости от значения Pr и формы баллона, выбираются вспомогательные параметры (для каплевидной формы данных нет, но, поскольку разброс не так велик, можно, положась на интуицию, выбрать для нашего случая примерно такие: Nucond ≈ 3; G ≈ 0,8; n ≈ 1,07; Cl ≈ 0,105; m ≈ 10). Затем последовательно вычисляются: 1) NuT = G•Cl•Ra1/4 ≈ 0,084•Ra1/4;

2) Nul = [Nucondn + (NuT)n]1/n = (3,24 + 0,0706•Ra0,268)0,935; при Ra = 104; 105; 106... Nul = 3,72; 4,32; 5,43...;

3) Nut = Ct•Ra1/3 ≈ 0,13•Ra1/3; при Ra = 104; 105; 106... Nut = 2,80; 6,03; 13,0..., то есть от значений Ra порядка десятков тысяч (в данном примере при Ra > ~28000) Nut быстро начинает обгонять Nul;

4) Nua = (Nulm + Nutm)1/m = (Nul10 + Nut10)0,1; при Ra = 104; 105; 106... Nua = 3,74; 6,06; 13,0..., то есть фактически большее из двух слагаемых в последних скобках полностью определяет величину Nua. А в наших случаях, как мы видели, больше всегда Nut.


Нашей расчётной формулой будет:

Nua = 0,13•Ra1/3 = 0,13•D•(Тоб – Тa)1/3•[Cp•ρa2•g/(Ka•μa•Ta)]1/3.

Подставив это значение в выражение для h, мы сможем сократить D (прекрасный бонус!):

h = Nua•Ka/D = 0,13•(Тоб – Тa)1/3•[Cp•ρa2•g•Ka2/(μa•Ta)]1/3;
Wконв = 0,13•(Тоб – Тa)4/3•[Cp•ρa2•g•Ka2/(μa•Ta)]1/3•S.

В этом выражении все параметры зависят, при заданном времени суток, только от высоты дрейфа аэростата. Единственным неизвестным в нём является Тоб. Для нахождения этой температуры нужно составить уравнение теплового баланса оболочки аэростата. Все поглощаемые ею потоки тепла, и излучением и конвекцией, у нас теперь выписаны, как для полудня, когда атмосфера разогрета максимально, так и для предрассветного часа, когда она в пике похолодания. Остаётся выписать отдаваемые потоки.


Отдаваемая мощность
Power output

Отдача тепловой мощности как излучением, так и конвекцией (которая, правда, ночью часто с отдачи меняется на поглощение – если Tоб < Ta) происходит у оболочки не с сечения, а со всей поверхности S:

Wотд = Wизл ± Wконв = [εоб•σ•Тоб4 + h•(Tоб – Ta)]•S,

где h [Вт/(м2•К)] – коэффициент конвективной теплоотдачи, рассчитываемый и для нагрева и для охлаждения баллона одинаково. В этом выражении также все параметры зависят, при заданном времени суток, только от высоты дрейфа аэростата, а единственным неизвестным является Тоб.


Тепловой баланс
Heat balance

В реальности отдаваемая и поглощаемая мощность не равны друг другу. Солнечный монгольфьер постоянно находится то в режиме нагрева, то в режиме остывания. Однако мы решаем стационарную (или квазистационарную) задачу: вариант, когда баллон максимально нагрелся, и потоки тепла от него и к нему практически уравнялись, и аналогичный случай для точки максимального остывания. Первый вариант достигается около полудня и длится, видимо, порядка часа (это ширина плоской верхушки температурного графика атмосферы), а второй, соответственно, в предрассветный час и длится столько же или меньше. В этих двух случаях:

Wпогл = Wотд.

Мы видели, что:

Wпогл = fпоглоб)•Sсеч;         Wотд = fотдоб)•S.

Если в уравнении баланса поделить обе части на S, тогда в левой части у нас будет отношение Sсеч/S, которое для сферы равно 0,25, а для тел иных форм оно переменно (зависит от угла прихода луча). Мы пока не задавались формой нашего солнечного монгольфьера, но наиболее вероятны, исходя из приведённых в Историческом обзоре сведений, сфера и капля (груша). В большинстве случаев по линии лучей, идущих к каплевидному баллону, тот будет видеться окружностью (вклад верхней полусферы) с немного выступающим сбоку треугольником (вклад нижнего конуса). То есть его площадь сечения для этих лучей будет несколько больше площади круга радиуса полусферы R. Общая площадь поверхности каплевидного баллона с верхней полусферой радиуса R выше приводилась в геометрическом введении; она на 6% больше площади поверхности сферы радиуса R. Поскольку и Sсеч и S оказываются немного больше соответствующих величин для сферы, можно принять, что их отношение будет весьма близко к тем же 0,25. Приняв Sсеч/S = 0,25, мы избавимся от последнего геометризма, и в нашем уравнении

0,25•fпоглоб) = fотдоб)

останутся только константы (g = 3,71 м/с2; R = 3390 км; σ = 5,67•10–8 Вт/м2•К4; εоб и αоб) и функции высоты дрейфа* (Тa, Cp, ρa, Ka, μa) и времени суток, сезона и запылённости на Марсе (Is, Iпов, kα). А единственным неизвестным будет Тоб. Она будет практически совпадать с температурой газа в баллоне T, поскольку там, в сравнительно небольшом объёме, тепловое равновесие стенки и газа достигается довольно быстро.

________

* Для диапазона высот от 0 до 8 км, которым я ограничился, исходя из того, что предлагалось для марсианских солнечных монгольфьеров в реальных разработках, расчётные функции были найдены линейными или квадратичными аппроксимациями (в них Н – высота [км]):

Тa [K] = 228 – 1,767•H; Cp [Дж/(кг•К)] = 767 + 1,931•Н; ρa [кг/м3] = 0,0141 – 0,00112•Н + 0,000035•Н2;

Ka [Вт/(м•К)] = 0,0115 – 0,000123•H; μa [Па•с] = (1,15 – 0,0085•H)•10–5;

[Cp•ρa2•Ka2/(μa•Ta)]1/32/3/(м1/3•К4/3)] = 0,198 – 0,0115•H + 0,00029•Н2.

Эти и все другие приведённые в данной работе аппроксимации были получены с помощью прекрасного онлайн-сервиса http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-mnk-i-regressionniy-analiz.


Лучистые свойства оболочки
Shell radiative properties

Коэффициенты поглощения α и излучения ε для разных веществ (Absorptivity (vertical axis) and emissivity (horizontal axis) relationship for several common materials [J. Griffin & R. French. Space Vehicle Design. Washington, 1991])

Lance Erickson по данным J. Griffin & R. French (1991)*

Априорно нам желательно, чтобы оболочка поглощала тепло из всех источников максимально (αоб → 1), а излучала его минимально (εоб → 0). Коэффициенты поглощения и излучения для разных материалов и покрытий, используемых в космической отрасли, показаны справа. Расчёт мы сделаем для чёрного полиэтилена (α = 0,94; ε = 0,92) и для полированного алюминиевого покрытия (α = 0,2; ε = 0,05), которые предлагались в качестве материалов для марсианских монгольфьеров и розьеров, в том числе для солнечных. Также посчитаем, что дало бы применение алюминизированного каптона толщиной 25 мкм (α = 0,38, ε = 0,67) и гипотетического материала с высоким поглощением и малым излучением, который было бы очень желательно разработать для покрытия солнечных аэростатов, с α = 0,9 и ε = 0,1 (такими свойствами обладают некоторые чернёные металлы, например, никелевый Maxorb, но на полимеры их пока, кажется, наносить не удавалось).

________

* [http://pages.erau.edu/~ericksol/courses/sp300/ch10/thermal_ch10.html].


Дневной баланс
Noontime balance

Из полученных выше уравнений для Wпогл и Wотд в дневном режиме выразим функции fпогл (дн)об) и fотд (дн)об):

fпогл (дн)об) = Wпогл (дн)/Sсеч =
= αоб•[1669 – 115,5•ln(H) – 19•Н0,5 – 1,4•Н – 6,3•e–1,3•H];

fотд (дн)об) = Wпогл (дн)/S = εоб•σ•Тоб4 + h•(Tоб – Ta)(дн) =
= εоб•5,67•10–8•Тоб4 + 0,13•(Тоб – Тa)4/3•[Cp•ρa2•g•Ka2/(μa•Ta)]1/3.

Подставив эти функции в уравнение баланса

0,25•fпоглоб) = fотдоб)

и задав для каждого материала оболочки его значения α и ε, мы получим уравнение, в котором будет фактически заключена зависимость Тоб = f(H)*. Решив его, мы найдём температуру, которая, по смыслу, будет максимальной в ходе дневного цикла, Тmax.

________

* В явном виде она (исходя из вышеизложенного) такова:

об – 228 + 1,767•H)4/3•(1 – 0,058•H + 0,00148•H2) + εоб•1,42•10–6•Тоб4 =
= αоб•[10471 – 725•ln(H) – 119•Н0,5 – 8,8•Н – 40•e–1,3•H].


Нахождение Тmax
Calculation of Тmax

Аналитического решения уравнение баланса не имеет. Но оно в данном случае очень хорошо, за 1–2 шага, решается итерационным способом, упомянутым в алгебраической главке Введения. Введём для сокращения записи безразмерную переменную θ = Тоба и два безразмерных параметра, A1 и A2:

A1 = 0,13•[Cp•ρa2•g•Ka2/(μa•Ta)]1/3/(εоб•5,67•10–8•Ta8/3);
A2 = 0,25•αоб•[1669 – 115,5•ln(H) – 19•Н0,5 – 1,4•Н – 6,3•e–1,3•H]/(εоб•5,67•10–8•Ta4).

С этими обозначениями уравнение дневного баланса получает двухпараметровый вид:

θ4 + A1•(θ – 1)4/3 – A2 = 0.

Общие методы его решения изложены в той же алгебраической главке Введения, но в данном случае, как показали расчёты, на всём диапазоне высот и со всеми материалами оболочки баллона первый член уравнения всегда численно оказывается больше второго, поэтому даже нулевое приближение (когда мы пренебрегаем вторым членом) уже даёт неплохой результат:

θо = A21/4.


Эмпирические упрощения
Empirical simplifications

При алгебраическом анализе двухпараметрового уравнения и численных расчётах по нему оказалось возможно подобрать полуэмпирическую формулу для быстрой оценки величины Тmax:

Тmax ≈ Та•(A21/4 – 0,0265•A1).

Максимальная равновесная дневная температура в солнечном монгольфьере на Марсе для разных материалов оболочки в зависимости от высоты дрейфа (Maximal equilibrium noontime temperature within solar montgolfier in Martian atmosphere for various envelope materials as a function of drift height)

Максимальная равновесная дневная разница температур между газом в солнечном монгольфьере и окружающей атмосферой на Марсе для разных материалов оболочки в зависимости от высоты дрейфа(Maximal equilibrium noontime temperature difference between gas within solar montgolfier and surrounding Martian atmosphere for various envelope materials as a function of drift height)

Для чёрного полиэтилена она даёт погрешность в доли градуса, для полированного алюминия лишь на высотах более 6 км немного выходит за 1 К, для двух других материалов не превышает полутора-двух градусов, что, в общем, приемлемо. Рассчитывать параметры A1, A2 по тем громоздким формулам, которые приведены в предыдущей главке, не обязательно. У них в интервале 1–8 км оказались довольно точные и простые аппроксимации:

A1 ≈ (0,358 – 0,0112•H)/εоб;
A21/4 ≈ (1,255 + 0,0059•H + 0,054•е–0,609•H)•(αобоб)1/4,

где высота дрейфа Н выражена в км.

От высоты и Тmax и в ещё большей мере разность температур между баллоном и окружающей атмосферой, ΔТmax, как видно из рисунков справа, зависят в диапазоне 1–8 км довольно слабо. Температура баллона в пике его солнечного нагрева уменьшается с ростом высоты дрейфа на ~1,5–2 К/км, а разность температур баллона и атмосферы, параметр, который нам важен гораздо больше для дальнейших расчётов, колеблется на всём интервале высот в весьма узком диапазоне ~1–5 К. Средние их значения, как выяснилось, с высокой точностью (до долей градуса) линейно зависят от единственной переменной, определённого параметра свойств оболочки, который можно оказалось сконструировать, проанализировав исходную полуэмпирическую аппроксимацию*. Этот параметр имеет вид:

kоб = (αобоб)1/4 – 0,00636/εоб.
Тmax = 3,7 + 280,2•kоб;         ΔТmax = –216,4 + 280,2•kоб.

________

* Запишем аппроксимацию в виде: Тmax ≈ Та•[f2(H)•(αобоб)1/4 – 0,0265•f1(H)/εоб],

где f1(H), f2(H) – соответствующие функции из выражений для A1, A2. Вынеся f2(H) за скобки, получим:

Тmax ≈ Таf2(H)•{(αобоб)1/4 – 0,0265•[f1(H)/f2(H)]/εоб}.

Расчёт показал, что f1(H)/f2(H) ≈ 0,28 – 0,009•H[км] ≈ const. В среднем эта константа ≈ 0,24. Отсюда:

обоб)1/4 – 0,0265•[f1(H)/f2(H)]/εоб ≈ (αобоб)1/4 – 0,0265•0,24/εоб = (αобоб)1/4 – 0,00636/εоб = kоб.


Таким образом, для быстрой оценки важных в дальнейшем расчёте температурных параметров солнечного монгольфьера в первых 8 км марсианской атмосферы не требуется никаких иных данных, кроме kоб. Это весьма приятная неожиданность!

Хороша и величина прогрева, исчисляемая для полимерных оболочек десятками градусов, для алюминиевого покрытия полутора сотнями, а если удастся получить гипотетический материал типа никелевой черни, то его разогрев будет таким высоким (на ~260 градусов, т. е. выше +200°С!), что впору задуматься о термостойкости оболочки (см. последний рис.).

По величине параметра kоб наши четыре материала выстраиваются так:

алюминизированный каптон: kоб = (0,38/0,67)1/4 – 0,00636/0,67 = 0,86;

чёрный полиэтилен: kоб = (0,94/0,92)1/4 – 0,00636/0,92 = 1,00;

полированный алюминий: kоб = (0,2/0,05)1/4 – 0,00636/0,05 = 1,29;

гипотетический материал типа никелевой черни: kоб = (0,9/0,1)1/4 – 0,00636/0,1 = 1,67.


Ночной баланс
Predawn balance

Ночью тепловые потоки претерпевают изменения. Солнце и его отражённое от поверхности излучение выбывают из баланса. Собственное излучение баллона, грунта и атмосферы остаются в уравнении баланса на прежних местах. А конвекция, в зависимости от лучистых свойств оболочки баллона, т. е. от величин αоб и εоб, может быть как механизмом отдачи тепла в атмосферу (если оболочка по расчёту окажется теплее её), так и механизмом нагрева баллона от атмосферы (в обратном случае). Поскольку тепловое равновесие внутри баллона устанавливается, как мы скоро увидим, очень быстро, то и весь газ в нём может быть как холоднее (= плотнее) атмосферы, так и теплее (=легче) её. В первом случае солнечный монгольфьер ночью неизбежно ляжет на грунт. Произойдёт это со скоростью его автопарашютного спуска, и нам остаётся только сделать баллон герметичным, чтобы он не сплющился в блин, а более или менее сохранил объём до утра, когда Солнце его нагреет, и он сможет опять вознестись вверх.

Правда, есть вариант, когда дрейф аэростата возможен при определённых условиях и при температуре газа ниже атмосферной. Для этого потерю плавучести от температурного уплотнения должен перекрывать низкий удельный вес газа, то есть баллон должен быть не монгольфьером, как в нашем примере, а розьером, – но алгебры теплового баланса это не меняет.


Мы опять будем решать задачу в стационарном приближении, то есть искать ту равновесную температуру, с которой дрейфует (если дрейфует!) солнечный монгольфьер в самый холодный предрассветный час сола.

Запишем уравнение баланса и раскроем его члены (конвективный член запишем для случая, когда температура баллона ниже атмосферной, но с формальной точки зрения ничего не изменится и в обратном случае, просто член автоматически поменяет знак, т. е. физически станет не нагревающим, а охлаждающим членом баланса):

Wпогл (ночь)/S = Wотд (ночь)/S;
Wпогл (ночь)/S = αоб•0,25•[262 – 20,4•ln(H) – 3,4•H0,5 – 1,1•H – 4,9•e– 1,3•H] + h•(Ta – Tоб);
Wотд (ночь)/S = εоб•5,67•10–8•Tоб4.

Введём вновь безразмерные параметры и переменную, как мы это делали для решения уравнения дневного баланса. При этом изменится только значение параметра A2 (для отличия будем обозначать его A'2), и переменная θ будет не всегда больше единицы:

θ = Тоба;          A1 = 0,13•[Cp•ρa2•g•Ka2/(μa•Ta)]1/3/(εоб•5,67•10–8•Ta8/3);
A'2 = 0,25•αоб•[262 – 20,4•ln(H) – 3,4•H0,5 – 1,1•H – 4,9•e– 1,3•H]/(εоб•5,67•10–8•Ta4).

С этими обозначениями уравнение дневного баланса получает двухпараметровый вид:

θ4 – A1•(1 – θ)4/3 – A'2 = 0.

Как видим, это практически то же уравнение, как и для дневного баланса, а если θ > 1, то оно полностью совпадёт с ним. Однако из-за того, что параметр A'2 почти на порядок меньше параметра A2, алгоритм итераций, применявшийся в дневном уравнении, сходится на один-два шага дольше (за исключением алюминизированного каптона: с ним для достижения точности в тысячных долях A'2, то есть в десятых долях градуса при переводе в температурную шкалу, пришлось делать более 12 итераций!).


Результаты
Results

Результаты расчётов равновесной ночной температуры баллона и разности её с температурой окружающей атмосферы показаны на левом и среднем рисунках внизу. В отличие от дневного случая, относительная стабилизация (точнее, медленная динамика изменений с высотой) обоих этих величин достигается выше 3 км, в зоне, где ослабевает влияние грунта как конвективного холодильника ночной атмосферы. Но именно излучение грунта, которое так активно его остужает, а с ним и приземную атмосферу, на баллон на низких высотах действует эффективно согревающе. Дело в том, что поглощение любой твёрдой поверхности намного лучше, чем у атмосферы, и оно внизу, в зоне наиболее сильного воздействия грунтового излучения, перекрывает конвективное остывание баллона.

Зависимость равновесной ночной температуры солнечного монгольфьера на Марсе от высоты дрейфа для разных материалов оболочки (Minimal diurnal temperature of solar montgolfier at various altitudes in Martian atmosphere for various envelope materials)

Зависимость разницы между равновесной ночной температурой солнечного монгольфьера на Марсе и температурой окружающей атмосферы от высоты дрейфа для разных материалов оболочки (Difference between minimal diurnal temperature of solar montgolfier and atmospheric temperature at various altitudes in Martian atmosphere for various envelope materials)

Зависимость изменения разницы между равновесной ночной температурой солнечного монгольфьера на Марсе и температурой окружающей атмосферы на отметке грунта и на высоте 3 км от α (Change in difference between minimal diurnal temperature of solar montgolfier and atmospheric temperature at altitudes 0 and 3 km in Martian atmosphere for various envelope materials as a function of α)

У низкопоглощающего полированного алюминия подогрев при спуске от 3 км до отметки грунта, отображаемый разницей ΔT0...3 = (Tоб – Tатм)0 км – (Tоб – Tатм)3 км, составляет порядка 28 градусов, у остальных трёх материалов – порядка 43–50 градусов (правый рис. вверху). У чёрного полиэтилена, который на всех высотах обнаружил слишком высокую теплоотдачу излучением и остывал ниже температуры окружающей атмосферы, уходя в отрицательную плавучесть, на спуске в пределах сотен метров от грунта становится теплее атмосферы. Учитывая, что скорость автопарашютного спуска для него – порядка 5÷7 м/с на высотах от 3 км и прогрессивно ниже при приближении к грунту (так как растёт архимедова сила из-за нагрева), а скорость установления внутреннего температурного равновесия в оболочке – менее 1 мин.*, можно заключить, что, если этого согрева хватит для восстановления плавучести, он может успеть выровняться и не лечь на грунт. И только каптоновый баллон не выходит из статуса отрицательной плавучести практически до последних метров, где наши расчётные формулы заметно теряют надёжность. Теоретически, с ним возможны варианты, от реалистичного лежания на грунте до утра, или гипотетического волочения под влиянием ветра, до маловероятного, но не исключённого парения на очень малой высоте над грунтом (метры или дециметры?).

________

* Подробнее вопросы об автопарашютном спуске баллона и скорости установления теплового равновесия в баллоне будут рассмотрены ниже. В общей формуле для максимальной скорости свободного падения с учётом сопротивления среды (С. М. Тарг. Краткий курс теоретической механики. М., 1986, с. 196 [http://stu.sernam.ru/book_stm.php?id=82]) vmax = [2•G/(Cх•ρa•Sсеч)]0,5 в данном случае: вес баллона с оболочкой и гондолой G = (Vоб•Δρ + Sоб•ρоб + 1)•g; g = 3,71 м/с2; коэффициент формы Cх ≈ 1,2; объём баллона, площадь сечения и площадь оболочки с помощью геометрических коэффициентов выражаются через диаметр баллона: Vоб = 0,55•D3, Sоб = 3,32•D2, Sсеч ≈ Sоб/4 = 0,83•D2; поверхностная плотность оболочки для полиэтилена ρоб = 0,008 кг/м2; и в нашем случае разница плотностей обусловлена разностью температур, поэтому Δρ/ρa ≈ –ΔT/Ta. С учётом этого формула приводится к виду vmax ≈ 2,1•[(0,048+2/D2)/ρa–ΔT•D/Ta]0,5, где D – диаметр баллона [м], ρa – плотность атмосферы [кг/м3]. Величина Ta ночью выше 3 км, где происходит падение, равна ~200 K, величина ΔT там для полиэтиленового баллона – порядка –20÷–25 К, плотность атмосферы Марса на высоте 3÷8 км ρa = 0,008÷0,012 кг/м3. Отсюда при диаметре баллона 10÷40 м скорость его автопарашютного спуска в интервале высот 3÷8 км получается ~5÷7 м/с. (Забегая немного вперёд, скажу, что положительная плавучесть в данном случае начинается от D ≈ 17 м и выше.)


Эмпирические упрощения
Empirical simplifications

Параметр A'2 с погрешностью, при переводы в температурные единицы (Тa•ΔA'2), не более 1 градуса, что практически вполне приемлемо, можно рассчитывать на высотах от 1 км до 8 км по простой формуле:

A'21/4 ≈ (0,857 + 0,266•е–0,581•Н[км])•(αобоб)1/4.

Для параметра A1 сохраняется та же формула, которая приводилась в аналогичной главке в разделе дневного баланса, поскольку в его расчёте ничего не меняется.

Температура баллона и её разница с температурой окружающей атмосферы меняются с высотой у всех типов материала оболочки и сильнее и сложнее, чем в дневную фазу, поэтому искать зависимость их только от αоб, εоб, как мы делали в дневном случае, без учёта влияния высоты дрейфа, здесь не очень полезно*. Общий вид кривых на левом и среднем рисунках вверху наводит на мысль искать аппроксимацию в виде суммы двух функций: первая из них отражала бы быстрые изменения температур в нижних ~3 км атмосферы, где заметно конвективное влияние грунта, а вторая – медленные изменения в более высоких слоях, обусловленные уже в основном лучистым теплообменом.

________

* Заметно, что зависимости любых величин, вероятно, ощутимо меняют вид при переходе от A'2 > 1 к A'2 < 1. С высотой эта разница уменьшается, и уже, например, ΔT8 = (Tоб – Tатм)8 км с погрешностью не более ±1,5 К описывается выражением такого же вида, какое мы имели в дневном случае для среднего значения ΔTmax:

ΔT8 ≈ –173,8 + 148,75•k'об;          k'об = (αобоб)1/4 – 0,00249/εоб.


При этом масштаб изменения первой функции, характеризуемый для температурных разниц величиной ΔT0...3 = (Tоб – Tатм)0 км – (Tоб – Tатм)3 км, обнаружил неплохую (погрешность не более ±0,5 К) и физически осмысленную зависимость от коэффициента поглощения материала оболочки:

ΔT0...3 ≈ 52,8 – 2,85•αоб–4/3 = 52,8•(1 – 0,054•αоб–4/3),

а масштаб изменения второй функции, характеризуемый для температурных разниц величиной ΔT4...8 = (Tоб – Tатм)4 км – (Tоб – Tатм)8 км, обнаружил ещё лучшую (погрешность не более ±0,04 К) и тоже физически осмысленную зависимость от коэффициента излучения материала оболочки:

ΔT4...8 ≈ 3,44 – 0,040•εоб–4/3 = 3,44•(1 – 0,0116•εоб–4/3).

Для поиска вида этих функций были построены (см. рис. внизу) в логарифмических и обычных координатах графики 1-километровых разностей

ΔT1 i = (Tоб – Tатм)Hi – (Tоб – Tатм)Hi + 1 км ≈ dΔT/dH = f(Hi + 0,5 км).

Высотные градиенты разницы равновесной ночной температуры солнечного монгольфьера и температуры марсианской атмосферы для разных материалов оболочки (Altitude gradients of the difference in the equilibrium predawn temperature of a solar montgolfier and the temperature of the Martian atmosphere for different shell materials)

ln(ΔT1 i) ≈ a1 + b1•ln(Hi + 0,5):

чёрный полиэтилен: a1 = 2,818; b1 = –0,817;

алюминизированный каптон: a1 = 2,672; b1 = –0,820;

чернёное покрытие: a1 = 2,783; b1 = –1,047;

полированный алюминий: a1 = 2,236; b1 = –0,981.

Высотные градиенты разницы равновесной ночной температуры солнечного монгольфьера и температуры марсианской атмосферы для разных материалов оболочки (Altitude gradients of the difference in the equilibrium predawn temperature of a solar montgolfier and the temperature of the Martian atmosphere for different shell materials)

ΔT1 ia2 + b2•(Hi + 0,5):

чёрный полиэтилен: a2 = 2,17; b2 = –0,22;

алюминизированный каптон: a2 = 1,80; b2 = –0,16;

чернёное покрытие: a2 = 2,04; b2 = –0,23;

полированный алюминий: a2 = 1,16; b2 = –0,14.


Линейный в первых ~3 км вид ΔT1 i = f(Hi + 0,5 км) в логарифмических координатах указывает на то, что производная нижней («быстрой») функции ΔTmin ноч(H) ведёт себя подобно степенной. Аналогично, линейный вид для высот ~4÷8 км той же функции в обычных координатах указывает на то, что производная верхней («медленной») функции ведёт себя подобно экспоненте. Заметная параллельность линий для пар «полиэтилен – каптон» и «Al – чернь» на левом (логарифмическом) графике может указывать на то, что важную роль в поведении нижней функции ΔTmin ноч = f(H) играет водораздел между A'2 > 1 и A'2 < 1.

На логарифмическом графике для первых трёх точек, а на втором графике – для заключительных четырёх точек были рассчитаны по методу наименьших квадратов коэффициенты линейных аппроксимаций ln(ΔT1 i) = a1 + b1•ln(Hi + 0,5) и ΔT1 i = a2 + b2•(Hi + 0,5). Их значения приведены в подписях под графиками.

Сравнительная близость всех четырёх b1 к минус единице (по меньшей мере на отрезке от 1,5 до 2,5 км, т. е., фактически, по охвату разниц, между 1 и 3 км), скорее всего, вытекает из того, что в быстрой функции ΔTmin ноч = f(H) проявляется сильное влияние логарифмического слагаемого в параметре A'2, так как dy/dx = const/x характерно для y = const + ln(x).

Делать же ещё какие-то предположения об эмпирических зависимостях функции ΔTmin ноч = f(H, αоб, εоб) не представляется надёжным в условиях отсутствия единой для всех четырёх материалов тенденции. Хотя не исключено, что какие-то эмпирически простые зависимости подобного рода имеют место.


Подъёмная сила
Lifting force

Оценки ночной равновесной температуры газа в баллоне показали нам одно важное при конструировании обстоятельство: для каптона почти наверняка, для полиэтилена с определённой вероятностью, да и для двух других материалов заранее не исключено, что в предрассветный час монгольфьер может потерять плавучесть и лечь на грунт. Мы при этом не должны дать ему сплющиться, так как иначе утром, даже при благоприятном температурном режиме, просто нечему в нём будет раздуться от солнечного тепла и восстановить подъёмную силу (или же придётся тратить дополнительный вес и энергию на специальный узел утренних закачек атмосферного газа в баллон, что выглядит крайне нерационально). А рациональной альтернативой будет то, что предлагается для марсианских солнечных монгольфьеров в реальных разработках: замкнутый (изолированный от атмосферы) баллон с небольшим избыточным давлением.

Избыточным оно станет только в полдень и на рабочей высоте дрейфа, причём избыток будет настолько мал, что без большой погрешности им можно при расчётах подъёмной силы пренебречь. Для монгольфьера постоянной массы рабочего газа с давлением, равным атмосферному, по универсальному газовому закону плотности газа в баллоне и в окружающей атмосфере, соответственно, равны:

ρб = Pa•μ/(Rг•Tб);             ρa = Pa•μ/(Rг•Ta).

Удельная подъёмная сила F [г/м3] равна разности этих плотностей:

F = ρ– ρб = Pa•μ/Rг•(1/Ta – 1/Tб) = ρa•(1 – Ta/Tб).

Поскольку F зависит не только от ΔT, но и от плотности атмосферы, которая с высотой падает, наблюдается падение F с высотой (рис. внизу слева), выходящее после 1–2 км на экспоненциальный темп (рис. внизу в центре). Между 1 км и 8 км высоты F уменьшается у всех оболочек примерно одинаково, в 1,7 раза (минимально у каптоновой – в 1,64 раза, максимально у гипотетической чернёной – в 1,75 раза). На первом километре высоты данные расчётов не очень надёжны, потому что там, как указано в Приложении 3, может плохо работать логарифмическое выражение для мощности поверхностного излучения. Поэтому к нулевой отметке высоты значения F были пересчитаны по экспоненциальной зависимости с интервала 1÷8 км (для каптона – 2÷8 км, поскольку с ним экспоненциальность устанавливается выше).

Поскольку F линейно связана с Таmax, а Тmax линейно связана с параметром kоб, естественно хотелось проверить, не окажется ли и Fо связана с kоб. Полученные данные показали (см. правый рис. внизу) хорошую, с погрешностью не более 1%, зависимость Fо от величины

Та(о)max = 218/(3,7 + 280,2•kоб).

При этом погрешность обнаружила отчётливую корреляцию с коэффициентом поглощения, что дало возможность сократить ошибку до долей процента (не более ±0,01 г/м3):

ΔFо ≈ 0,066 – 0,0235/αоб;             Fо ≈ 14,07 – 11,09/(kоб + 0,013) – 0,0235/αоб.

Зависимость удельной подъёмной силы солнечного монгольфьера на Марсе от высоты дрейфа для разных материалов оболочки (Floating force of solar montgolfier per unit volume [g/cub. m] at various altitudes in Martian atmosphere for various envelope materials)

Зависимость удельной подъёмной силы солнечного монгольфьера на Марсе от высоты дрейфа для разных материалов оболочки (Floating force of solar montgolfier per unit volume [g/cub. m] at various altitudes in Martian atmosphere for various envelope materials)

Зависимость максимальной удельной подъёмной силы солнечного монгольфьера на Марсе от ε и α (Maximal floating force of Martian solar montgolfier per unit volume [g/cub. m] as a function of ε and α)

Это открывает возможность для быстрой оценки величины Fо по данным всего лишь об ε и α материала оболочки, а зная Fо, можно быстро оценить и F на любой высоте дрейфа Н [км] либо по среднему значению экспоненциального убывания (левая формула), либо по уточнённому (правая формула):

F(H) ≈ Fо•e–0,076•Н;            F(H) ≈ Fо•e–[0,0806 – 0,0017/(kоб – 0,779)]•Н.

Погрешность этих формул – порядка сотых или десятых долей г/м3 (у правой – не более ±0,08 г/м3), что в большинстве практических случаев вполне приемлемо.

При этом на всём интервале высот 1÷8 км и сама удельная подъёмная сила аэростата F, и скорость её убывания с ростом высоты дрейфа отчётливо увязываются с параметром kоб.


Размер баллона
Balloon size

Для нахождения размера баллона, кроме F нужно задать (а) полезную нагрузку, (б) геометрию баллона, (в) плотность материала оболочки и (г) целевую высоту дрейфа.

а) Довольно низкие значения F говорят о том, что с крупным научным блоком такой монгольфьер не справится, поэтому будем исходить из полезной нагрузки G = 1000 г (как в последнем проекте микроаэростата НАСА).

б) Геометрия баллона будет разной днём и ночью. Днём, в рабочем режиме дрейфа, примем форму баллона каплевидной (сфера вверху, конус внизу, отношение общей высоты к диаметру сферы 4:3). Аналогично тому, как описано в геометрической главке Введения, можно для такой фигуры найти объём и поверхность как функции диаметра верхней сферы:

Vдн = 0,550•D3;         Sдн = 3,32•D2;       Sдн = 4,95•V2/3.

Показатель удельной поверхности (4,95 в последнем уравнении) очень неплох (его для улучшения плавучести баллона надо стараться уменьшать, и мы в принятой фигуре довольно близки к теоретическому минимуму, которым обладает сфера, 4,84).

Ночью же, ляжет ли максимально остывший баллон на грунт или будет парить на какой-то небольшой высоте, в любом случае он окажется под давлением, заметно превышающим то внутреннее давление, которое днём, на рабочей высоте дрейфа, чуть-чуть подпирало его изнутри. Благодаря гибкости оболочки, конечно, всё время будет происходить выравнивание внутреннего и внешнего давлений, но за это придётся платить сокращением объёма баллона. По тому же универсальному газовому закону,

Vноч = (Тmin ночmax дн)•(Рдрейфа дндрейфа ноч)•Vдн =
= 0,550•(Тmin ночmax дн)•(Рдрейфа дндрейфа ноч)•D3.

Площадь оболочки при этом, конечно, останется той же (наши четыре материала, в первом приближении, нерастяжимы и несжимаемы*). Отсюда:

Sноч = 3,32•D2;       Sноч = 4,95•(Тmax днmin ноч)2/3•(Рдрейфа ночдрейфа дн)2/3•Vноч2/3.

________

* Постоянство S при переменности V вызовет деформацию баллона. Данных о ней я не нашёл, но можно попытаться прийти к ним логически. По нашим температурным оценкам выходит, что у отметки грунта даже в случае каптона, возможно, равновесная температура окажется чуть-чуть выше окружающей атмосферной, а у других трёх материалов это достигнется практически наверняка. Следовательно, газ в баллоне будет при этом легче атмосферного, и баллон будет тянуться вверх. То же происходит при заполнении воздушных шаров на Земле. Баллон в таких условиях принимает форму полусферы вверху с длинным и отчасти сморщенным конусом внизу, а если подъёмная сила совсем уж мала, неспособна даже оболочку полностью поднять над грунтом, то оболочка принимает форму купола, промежуточную между полусферой и сплющенным сфероидом.


в) Поверхностную плотность для наших материалов примем из следующих соображений:

у полиэтиленовой плёнки будем полагать ρPE = 8 г/м2 (как в проекте микромонгольфьера НАСА 1998 года, о котором сказано в Историческом обзоре);

у баллона с алюминиевым покрытием, нанесённым на (допустим) майлар поверхностной плотностью 13 г/м2, как в том же проекте НАСА, алюминий добавляет по ~3 г/м2 на каждый микрон своей толщины, а известные из литературы толщины ламинатных слоёв алюминия – порядка 0,13 мкм, как в проекте НАСА VALOR 2007 года, о котором также сказано в Историческом обзоре. Ещё сколько-то добавит клей, поэтому плотность такого алюминизированного баллона примем равной ρAl = 13,5 г/м2;

плотность каптона толщиной 25 мкм составляет 35 г/м2, а алюминизирование и клей добавят те же ~0,5 г/м2; итого выходит порядка 35,5 г/м2;

о будущем же гипотетическом материале с высоким отношением α/ε можно предположить, что покрытие типа никелевой черни потребует ещё большего веса, поэтому его плотность примем равной ρNi = 40 г/м2.

г) А высота дрейфа у нас будет переменным параметром в диапазоне от почти 0 до 8 км.


Нам нужно, чтобы на целевой высоте дрейфа Ндн в ясный полдень баллон нёс себя и научный блок:

Fдн(Hдн)•Vдн = ρоб•Sдн + G;       0,55•Fдн(Hдн)•D3 = 3,32•ρоб•D2 + 1000.

Заранее здесь трудно предвидеть, что будет тяжелее, оболочка или научный груз, поэтому вначале вычислим параметр А по алгоритму, изложенному в алгебраической главке Введения. В обозначениях и размерностях, принятых здесь, этот параметр равен:

А = Fдн(Hдн)•G0,5/(k•ρоб)1,5 = (0,8÷7)•10000,5/(4,95•8÷40)1,5 = 0,01÷0,39.

При этом только у полиэтиленового баллона на высотах дрейфа Hдн < ~4 км и у баллона с алюминиевым покрытием на высотах дрейфа Hдн < ~1 км параметр А > 0,29, требуя расчёта диаметра баллона по несколько громоздкой формуле (в) или (г) из алгебраической главки:

D ≈ [G/(ks•ρоб)]0,5•1,473•А0,0826•ln(А) – 0,6292         или:
D ≈ [G/(ks•ρоб)]0,5•[А + 1/А – А3/(0,4124 + 0,4783•А + 0,9892•А2)].

В остальных случаях диаметр можно рассчитывать по более простой формуле (а):

D ≈ [G/(ks•ρоб)]0,5•(А + 1/А).


Расчёты по этим формулам показали, что во всех случаях G составляет лишь малую часть от ρоб•S (редко когда больше 10%), и для быстрого анализа ситуации можно этим малым слагаемым либо пренебречь, либо соразмерно увеличить коэффициент 3,32 на 5–10%). Тогда формула совсем упростится:

D(Hдн)[м] ≈ 6,06•ρоб[г/м2]/Fдн(Hдн)[г/м3].

Подставив это значение D в ρоб•S, получим формулу для не очень точной, но простой оценки массы оболочки баллона:

Mб [кг] ≈ 0,122•ρоб3[г/м2]/Fдн(Hдн)2[г/м3].

А результаты точных расчётов показаны на рисунках (каптоновый баллон вынесен отдельно, потому что его гигантские габариты оказались слишком несоразмерны остальным материалам):

Зависимость диаметра солнечного монгольфьера на Марсе от высоты дрейфа для разных материалов оболочки (Diameter of Martian solar montgolfier as a function of altitude for various envelope materials)

Зависимость массы оболочки солнечного монгольфьера на Марсе от высоты дрейфа для разных материалов оболочки (Envelope mass of Martian solar montgolfier as a function of altitude for various envelope materials)

Зависимость массы и диаметра оболочки солнечного монгольфьера на Марсе от высоты дрейфа для оболочки из алюминизированного каптона (Envelope mass and diameter of Martian solar montgolfier as a function of altitude for a balloon made from aluminized kapton)

Полученные данные однозначно говорят, что главный фактор в конструировании марсианского солнечного монгольфьера – это поверхностная плотность материала баллона. Полиэтилен, занимая в четвёрке проверенных материалов лишь третье место и по температуре разогрева и по удельной плавучести, тем не менее оказался явным и безоговорочным лидером по важнейшему критерию – малости массы. И это не удивительно: если мы взглянем на последнюю формулу, то увидим, что поверхностная плотность оболочки входит в неё в кубе, то есть влияет на массу очень сильно.

Для подъёма 1 кг полезного груза к высотам до 8 км достаточен полиэтиленовый баллон диаметром менее 30 м и массой менее 23 кг. А ближайший конкурент, майларовый или подобный алюминизированный ламинат, потребовал бы бы баллона хоть диаметром и меньше на пару метров, зато весом в 1,5 раза больше. Гипотетический же чернёный материал, если только не удастся радикально уменьшить его поверхностную плотность, оказывается аутсайдером, все его теплосберегающие плюсы ничего не стоят в сравнении с огромным размером и весом баллона. Про каптон и вовсе комментарии излишни.

На среднем графике, благодаря полулогарифмическим координатам, хорошо видно, что масса баллона с высотой дрейфа растёт практически экспоненциально. То есть за большую высоту пришлось бы платить всё дороже, как в притче о зёрнах на шахматной доске.


Статус ночью
Predawn status

Чтобы узнать, будет ли наш баллон лежать на грунте или всё-таки дрейфовать на какой-то высоте в предрассветный час минимальной температуры, нужно по универсальному газовому закону и закону Архимеда вычислить ночную эффективную массу баллона с гондолой Мноч и найти, не станет ли она на какой-то высоте нулевой:

Vноч = Vдн•(Рднноч)•(Тmin ночmax дн);         Мрг = Рдн•Vдн•μа/(Rг•Тmax дн) = const;
ρатм ноч = Рноч•μа/(Rг•Татм ноч);
Мноч = Vноч•(ρбалл ноч – ρатм ноч) + ρоб•Sоб + G = Мрг•(1 – Tmin ноч/Tатм ноч) + Моб + G,

где Vноч – объём, до которого сожмётся баллон в нижней точке дрейфа или лежания, Мрг, Моб, G – постоянные в нашей задаче массы рабочего газа в баллоне, оболочки баллона и полезного груза, ρбалл ноч, ρатм ноч – плотности рабочего газа в баллоне и окружающей атмосферы в нижней точке дрейфа или лежания.

Очевидно, что задача для каптона не имеет решения, а для полиэтилена если и имеет, то на единственном отрезке ночных высот, где у этой оболочки достигается Tmin ноч > Tатм ноч, то есть на отрезке Нноч < 1 км. Увы, проверка дала для Нноч = 0,01 км при всех Ндн = 1÷8 км плюсовые значения Мноч = 2,3÷6,2 кг. Такие же результаты для Нноч = 0,01 км показал и баллон с алюминиевым покрытием (Мноч = 1,4÷5,0 кг). Это говорит о том, что в нашей задаче любой полиэтиленовый или майларовый с алюминиевым покрытием баллон ночью ляжет на грунт.

Равновесная высота ночного дрейфа марсианского солнечного монгольфьера с чернёным покрытием в зависимости от высоты дневного дрейфа (Equilibrium height of predawn drift of Martian solar montgolfier with a blackened coating, depending on height of daytime drift)

И только гипотетический баллон с чернёным покрытием оказался способен в пике ночного похолодания дрейфовать на высотах чуть выше 1 км (см. рис. справа). При этом, если его дневная высота дрейфа запланирована ниже отметки ~1,33 км, то ночью он не снижается, а, наоборот, несколько поднимается, поскольку уплотнение сильно охлаждаемых нижних слоёв атмосферы оказывается сильнее уплотнения газа внутри баллона, остывающего в этих отметках высот слабее благодаря уникальным лучистым свойствам оболочки. Если такой материал удастся создать, и если он уложится в то значение поверхностной плотности, которое мы для него приняли (40 г/м2), и если ценность решаемых в режиме постоянного дрейфа научных задач будет стоить его немалого веса (сотни кг!), то солнечный монгольфьер с постоянным дрейфом на Марсе станет технически и экономически возможен. Он не боится утечек, в отличие от шарльеров и розьеров, и по долговечности ему нет равных. Плюс, при его солидных габаритах, не составит никакой проблемы в разы или даже на порядок с лишним увеличить массу научного блока, решив и проблему возобновляемого источника энергии. Поэтому, возможно, поработать в этом направлении химикам и конструкторам есть смысл.


Время прогрева баллона
Warm up time of a balloon

Во всех расчётах выше мы принимали время установления температурного равновесия газа внутри баллона с температурой оболочки практически нулевым. По-хорошему, стóит в заключение хотя бы оценочно посчитать это время прогрева. Примем модельно для полиэтиленового баллона, что за счёт конвективного остывания (которым мы в расчёте пренебрежём) его коэффициент излучения увеличинается на 2,5% (при расчётах у нас, как выше упоминалось, примерно такая доля конвекции в составе общего термического уноса и получалась), то есть будем считать ε* = 0,96. При нестационарном процессе разница поглощаемой и излучаемой мощности идёт на нагрев/охлаждение газа в баллоне и самого баллона:

dQ = Wнагр•dτ = (Wпогл – Wизл)•dτ = (Мгаза•Ср газа + Мбалл•СПЭ)•dT.

Коэффициентом пропорциональности между отданным/потреблённым количеством энергии dQ и падением/приростом температуры dT является сумма произведений масс и теплоёмкостей охлаждаемых/нагреваемых тел. Масса баллона у нас для каждой высоты известна, массу газа в баллоне посчитаем, умножив объём баллона на плотность атмосферы Марса на соответствующей высоте. Теплоёмкость газа атмосферы Марса как функция высоты нам тоже известна, а теплоёмкость полиэтилена примем по справочной литературе равной CПЭ = 1550 Дж/(кгК). Формулы для Wпогл и Wизл были даны выше, в подглавках «Поглощаемое излучение», «Поглощение излучения ночью» и «Отдаваемая мощность» ===. С учётом их уравнение нагрева в ясный полдень приводится к виду:

{α•Sсеч•[1669 – 115,5•ln(H) – 19•Н0,5 – 1,4•Н – 6,3•e–1,3•H] – ε*•Sпов•σ•Т4}•dτ =
= (0,55•D3•ρa•Ср газа + Мбалл•СПЭ)•dT,

а после подстановки принятого прежде соотношения Sсеч = 0,25•Sпов и Sпов = 3,32•D2 и разделения переменных уравнение примет вид:

dτ = A•dT/(a4 – Т4),

где для сокращения введены обозначения:

А = (0,55•D3•ρa•Ср газа + Мбалл•СПЭ)/(ε*3,32•D2•σ);

а4 = (α/ε*)•[417 – 28,9•ln(H) – 4,8•Н0,5 – 0,4•Н – 1,6•e–1,3•H]/σ ≈ T4max.

Это дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение:

τ = (А/2а3)•{arctg(T*/а) – arctg(Ta/а) + 0,5•ln[(а + T*)/(а – T*)] – 0,5•ln[(а + Ta)/(а – Ta)]},

где Ta – температура атмосферы на той высоте, для которой делается расчёт, а Т* – температура, достаточно близкая к расчётной равновесной температуре Tmax для данной высоты (если подставить Т* = Tmax, то формально мы получим бесконечно большое время нагрева). Например, если принять  Т* = Tmax – 1 К, то уравнение упростится к виду:

τ = (А/2T3max)•{π/4 – arctg(Ta/Tmax) + 0,5•ln(2Tmax) – 0,5•ln[(Tmax + Ta)/(Tmax – Ta)]}.

Скорость прогрева солнечного монгольфьера из чёрного полиэтилена диаметром 29,6 м в марсианской атмосфере на высоте 8 км (Rate of heating of a solar montgolfier from black polyethylene (diameter 29,6 m) in Martian atmosphere at altitude 8 km)

Расчёт показал, что время прогрева очень мало меняется с высотой дрейфа. Лишь на высотах до 1 км (где, как уже говорилось, расчёт поверхностного облучения не так точен) получилось τ = 29 сек., а от 1 км до 8 км τ = 36÷38 сек. Это подтверждает наш постулат, принятый вначале по аналогии с земными монгольфьерами, что теплообмен происходит очень быстро (в масштабах солового цикла, который на Марсе почти равен земному суточному, можно сказать – мгновенно). Прогрев идёт примерно экспоненциально, с начальной скоростью 4–5 К/сек. (см. рис. справа). Такой монгольфьер можно спокойно сбрасывать со спускаемого аппарата, и он, не слишком быстро падая вниз в режиме автопарашюта за счёт собственной парусности, вполне успеет прогреться и пойти к заданной высоте. (Конечно, при этом динамика процесса будет намного более сложной, с переменным, по мере надувки, объёмом баллона, переменной парусностью, наличием принудительной конвекции за счёт значительной вертикальной скорости, сменой высотных характеристик атмосферы, и т. д.)

Оценим, как изменится время прогрева у других оболочек. Там больше доля конвекции, соответственно, сильнее нужно корректировать ε, чтобы заместить её излучением. Но это различия, как уже говорилось, от силы на десятки процентов. К тому же в составе множителя (А/2а3), от которого и зависит τ, величина ε, частично сокращаясь, остаётся в виде ε1/4, где влияние конвекционной поправки ещё менее заметно. От параметров оболочки ключевой множитель (А/2а3) зависит таким образом (~ ε–1/4•α–3/4), что у алюминия будет примерно в 7 раз больше, чем у полиэтилена, у двух остальных материалов – примерно вдвое больше. А это значит, что во всех наших случаях время прогрева не превышает нескольких минут, то есть наш постулат о его практической мгновенности хорошо выполняется. (Мы ведь сейчас рассчитывали далёкий от реальности случай, когда баллон начинает прогрев от температуры, равной атмосферной, тогда как на практике в течение дня его температура всегда выше атмосферной, что, конечно, сократит время прогрева, и существенно.)

Профиль температур в объёме и на оболочке монгольфьера вскоре после выключения горелки: Таланов А. В. Все о воздушных шарах. М., 2002, рис. 5.10 (Temperature profile in volume and on envelope of a montgolfier soon after burning off: A. Talanov, 2002)

Профиль относительных температур по вертикальной оси в объёме (a) и на оболочке (б) монгольфьера*.

Довольно стабильна на всех высотах оказалась и пропорция тепла, идущего на нагрев оболочки баллона и газа в нём: оболочка потребляет от 30% до 33%. Конечно, мы в расчёте идеализировали реальную картину, приняв, что температура и оболочки и внутреннего газа очень быстро уравнивается и друг с другом и по всему объёму баллона. В реальности могут быть перепады в объёме до 20%, а на оболочке и больше, как можно судить по графику замеров в земном горелочном монгольфьере (см. рис. справа). Но, тем не менее, ориентир для оценки эти цифры дают.

________

* Рис. 5.10 из кн.: А. В. Таланов. Всё о воздушных шарах. М., 2002 [http://www.aerodriving.ru/teplobal]. Автор пишет: «На рисунке 5.10 показано изменение относительной истинной температуры, которая равна:

                            θ = [(tист – tн)/(tв – tн)]•100%,

где tист – истинная температура в какой-либо точке оболочки; tн – температура наружного воздуха; tв – аэростатическая температура. <...> Зона максимальной температуры находится в интервале 0,3...0,9 высоты оболочки и составляет 104... 107%. По мере приближения к верхней точке температура падает и вблизи ткани составляет 70...80%. Необходимо заметить, что показанное изменение температуры относится к моменту, когда после выключения горелки прошло некоторое время, при работающей горелке картина существенно изменяется, при этом из-за лучистого теплообмена температура на поверхности ткани заметно увеличивается».



Приложение 2 / Appendix 2

О тепловом излучении атмосферы Марса
On the emissivity of the Martian atmosphere


Газы вообще и практически доминирующий компонент атмосферы Марса, СО2, в частности, излучают не сплошной планковский спектр, а сумму резко выделенных пиков излучения в отдельных полосах частот. Поэтому их интегральное по спектру излучение не описывается законом Стефана – Больцмана, а сложным образом зависит от температуры, давления и геометрии того газового объёма, который передаёт излучение некоему телу. В практике тепловых расчётов* применяется метод расчёта так наз. степени черноты газового объёма, ε. Это величина, которая, будучи подставлена при данной температуре в качестве коэффициента излучения в закон Стефана – Больцмана, даст верное значение удельной мощности излучения данного газа I [Вт/м2].

________

* См., например: М. А. Михеев, И. М. Михеева. Основы теплопередачи. М., 1977, с. 182–193 [http://info.sernam.ru/book_otp.php?id=21]. Рис. 5-26 ниже оттуда же (с. 191).


Номограммный метод
Nomogram method

Средняя длина при излучении газового объёма (Average length for emission of a gas volume)

Значения ε измеряют в экспериментах и приводят в виде графиков-номограмм в координатах ε – Т для разных значений параметра P•l. В этом параметре P – парциальное давление излучающего газа (если речь идёт о газовой смеси), а l – в стандартном понимании – радиус газовой полусферы, откуда излучение приходит к точке поглощения, а если излучающий объём имеет форму не полусферы, то некая эквивалентная средняя длина lэ, рассчитываемая особо в зависимости от конкретной геометрии объёма излучающего газа (см. рис. справа); в частности, при средних значениях параметра P•l эту длину определяют через объём V и площадь поверхности S газовой области:

lэ ≈ 3,6•V/S.

Правда, параметр P•l, как выясняется, не такой уж и параметр. Фактически номограммы построены не для P•l, а для l, умноженного на некоторое стандартное значение P (обычно P = 1 атм). Так что, если вы хотите узнать степень черноты при ином давлении, вам нужно будет найденное по номограмме значение ε ещё умножить на поправочный коэффициент, зависящий от P•l и P и также задаваемый не аналитически, а графически.

Насколько этот метод совместим с физическими соображениями? Представим, что мы измерили всё для некоего объёма газа определённой формы, а затем изменили масштаб в N раз, сжав или разредив газ, но сохранив ему прежние геометрию и температуру. При этом длина луча изменится в те же N раз, но парциальное давление, как функция объёма (при постоянной температуре) изменится в 1/N3 раз, и параметр P•l изменится в 1/N2 раз. С другой стороны, площадь газового объёма при таком изменении масштаба изменится в N2 раз. Число молекул газа в нашем объёме не изменилось. Их средние кинетические скорости при неизменной температуре также остались прежними. Изменится, за счёт изменения концентрации молекул, число их столкновений в единицу времени, от которого, априорно понятно, должна зависеть мощность теплового излучения. Это число пропорционально концентрации, а та пропорциональна давлению, так что этот фактор изменится в 1/N3 раз. Если принять в первом приближении, что число и спектр испускаемых фотонов при постоянстве температуры газа пропорциональны числу столкновений молекул, то суммарная мощность излучения объёма газа изменится в те же 1/N3 раз. Делим её на площадь газового объёма, изменённую в N2 раз, и получаем, что удельная мощность излучения, приходящая к сечению, где она измеряется, должна измениться в 1/N5 раз! Но она в данной методике и определяет степень черноты газового объёма. Следовательно, с параметром P•l, изменившимся в 1/N2 раз, она должна быть связана примерно как ε ~ (P•l)2,5.

Теперь поставим другой мысленный эксперимент. Будем, сохраняя геометрию, температуру и давление, изменять масштаб газового объёма. У нас будет кубично изменяться число излучающих молекул и квадратично изменяться площадь газового объёма. То есть удельная мощность излучения в точке измерения будет изменяться приблизительно линейно, что соответствует ε ~ (P•l). Между тем на номограммах не заметно ни первого, ни второго, а просматривается скорее ε ~ (P•l)0,5...0,25, причём с переменным показателем степени.


Эмпирическая формула
Empirical formula

Существует эмпирическая формула для прямого расчёта удельной мощности излучения СО2 через те же параметры, минуя расчёт степени черноты*:

IСО2 = 190•(P•l)1/3•(T/100)3,5,

где IСО2 выражено в [Вт/м2], P в [Па], l в [м] и Т в [К].

________

* M. Thirumaleshwar. Fundamentals of Heat and Mass Transfer. Delhi, 2009, p. 713, формула 13.88 [https://books.google.ru/books?id=b2238B-AsqcC]. Там же, p. 715, Fig. 13.44, дан график для поправочных коэффициентов к степени черноты СО2 в зависимости от давлений.


Однако у неё имеется другой недостаток: по ней получается, что во втором типе мысленного эксперимента при возрастании объёма газа с неизменными температурой и давлением мощность излучения будет неограниченно возрастать. А житейский опыт интуитивно восстаёт против такой картины. Добавлю также, что расчёты, которые я делал по номограммам и по этой эмпирической формуле, друг от друга отличались в несколько раз, обычно в 3–4, т. е. примерно на пол-порядка.


Марсианская реальность
Martian reality

Но даже будь всё гладко с номограммами и формулами, для нашего случая такие алгоритмы расчёта ε мало пригодны. Они описывают ситуацию, когда и температура и давление газа во всём объёме примерно одинаковы. Мы же рассматриваем баллон аэростата, дрейфующий на высоте нескольких километров над поверхностью планеты. К нему приходит излучение СО2 из всей видимой им области атмосферы, которая охватывает сотни километров вширь и простирается на десятки километров вверх. В этой области существенным образом меняются и температуры и давления СО2, а каждый луч, идя из точки, где он был испущен, проходит на пути к аэростату области разных давлений, температур, запылённостей, что чрезвычайно усложняет картину ослабления мощности излучения за счёт поглощения атмосферой.

Начнём анализ с простого соображения, что мощность излучения существенно зависит, во-первых, от количества излучающих молекул, то есть от массы СО2. Зная профили температуры и давления атмосферы Марса по высоте, можно найти из универсального газового закона профиль плотности СО2 по высоте ρ = f(H), а следом и массу СО2 в каждом шаровом слое малой толщины dH, лежащем на высоте H над поверхностью:

Масса атмосферы Марса как функция высоты (Mass of Martian atmosphere as a function of altitude)

dM = ρ•dV = ρ•4π•(RM + H)2•dH,

где RM = 3390 км – радиус Марса. Интегрируя это уравнение от 0 до H, а затем деля на полный интеграл, от 0 до Hmax (за Hmax можно принять те же, как на Земле, 100 км, т. к. после них с точностью до сотых долей процента масса атмосферы не прибавляется), получим массовую долю атмосферы, заключённую в слое высотой от 0 до H (см. рис. справа). Из рисунка видно, что в изученном нами интервале высот до 8 км заключено более половины атмосферной массы Марса, а в слое высотой ~55 км заключено около 99% этой массы.

Но нам не нужно подниматься так высоко. Как мы чуть ниже увидим, в области температур T < ~170 K степень черноты ε (а с ней и мощность излучения) СО2 начинает при всех значениях параметра P•l стремительно, в разы и даже десятки раз на 10 градусов охлаждения, уменьшаться. Поэтому с точки зрения излучения эти области атмосферы Марса как бы исчезают. А 170 K в атмосфере Марса лежат на отметке высоты ок. 33 км, где массовая доля атмосферы составляет ок. 93%. Схематически геометрия газовых объёмов атмосферы, откуда излучение приходит к аэростату, показана ниже на левом рис.:

Геометрия атмосферного газового объёма, излучающего на аэростат (Geometry of atmospheric gas volume emitting upon a balloon)

Геометрия атмосферного газового объёма, излучающего на аэростат (Geometry of atmospheric gas volume emitting upon a balloon)

Аэростат висит над планетой в точке А; излучающая часть атмосферы ограничена сферой, показанной синей линией ЕD. Касательный к сфере планеты конус, исходящий из точки А (на рис. его образующие обозначены АВЕ и АСD), вырезает из излучающей части атмосферы верхний газовый объём (закрашен голубым) и нижний газовый объём (закрашен розовым). По смыслу определения степени черноты ε с её помощью рассчитывается мощность излучения, приходящего на сечение поглощающего тела, поэтому нам придётся складывать излучение из голубого объёма, идущее на сечение сверху, с излучением из розового объёма, идущим снизу, чтобы узнать общую мощность, пришедшую на сечение аэростата.

Рассмотрим нижний газовый объём, по форме близкий к конусу. По определению касательных лучей к окружности, треугольники АСО и ОСD, как и симметричные им слева от линии ОА, все являются прямыми. ОВ = ОА' = OС = OD' = RM = 3390 км; DD' = 33 км; АА' = H. Отсюда можно по теореме Пифагора вычислить СD = const = 474 км и АС = f(H) (показана на правом рис. выше). В реальном масштабе эти точки показаны ниже:

Геометрия атмосферного газового объёма, излучающего на аэростат (Geometry of atmospheric gas volume emitting upon a balloon)


Из этого рисунка, на котором показан максимальный объём зоны излучения, для высоты дрейфа аэростата Н = 8 км, видно, что даже в этом случае кривизна планеты ещё слабо ощутима. Нам для расчёта средней длины луча lэ нет смысла слишком тщательно заниматься геометрией, ведь гораздо бóльшие погрешности заведомо внесёт то, что температуры, давления и запылённость в данном объёме существенно переменны. Лучшее, что мы сможем – это получить какие-то оценки с точностью до порядка. Поэтому для расчёта объёма V и поверхности S розового объёма мы его геометрически в разумных пределах, насколько позволяет реальный масштаб, упростим: представим конусом высотой H и радиусом основания АС = f(H). Объём, поверхность и средняя длина луча для нижней зоны атмосферного излучения с такими упрощениями будут равны:

Vниж = (1/3)•π•AC2•H;         Sниж ≈ 2π•AC2;         lэ (ниж) ≈ 0,6•H.


Проблемы усреднения
Averaging problems

Средняя длина луча для верхней зоны атмосферного излучения Марса как функция высоты дрейфа аэростата (Mean ray length, km, for upper emitting area of Martian atmosphere as a function of balloon altitude, km)

С верхней зоной ситуация гораздо сложнее. Её геометрические параметры, несколько более громоздкие, но поддающиеся вычислению, можно было бы рассчитать аналогично тому, как сделано для нижнего конуса:

Vверх = 11•π•(3•AC2 + 3•474•AC + 4742) – Vниж;
Sверх ≈ 2π•(AC + 474)2;
lэ (верх) ≈ 19,8 + (11,3•H – 0,376•H2)0,5,

а итоговый результат, зависимость lэ (верх) = f(H), представлен на рисунке справа.


Но далее встаёт вопрос: как усреднять для верхнего и нижнего объёмов давление? С нижним объёмом дело проще: там весь диапазон изменения давлений от 0 до 8 км заключён между ~600 Па у поверхности и ~300 Па на высоте 8 км, причём у конического объёма основная масса газа сосредоточена при основании. Исходя из этого, среднее значение Pниж ≈ 500 Па представляется в оценках с точностью до порядка достаточно адекватным. Температура там варьируется от 228 К у поверхности до 214 К у вершины конуса, и по тому же принципу среднюю можно принять равной 225 К. Тогда для высот дрейфа от 1 до 8 км получаются такие удельные мощности приходящего снизу к сечению аэростата атмосферного излучения:

по номограмме: от ~25 Вт/м2 до ~33 Вт/м2;

по эмпирической формуле: от ~108 Вт/м2 до ~194 Вт/м2.

Различия в 4–6 раз для оценки с точностью до порядка, конечно, приемлемы, но всё же великоваты.


Однако верхний объём захватывает в областях вблизи точек В и С (см. рис. выше) газ с давлением ~600 Па, а по синей границе проходит изобара ~30 Па, то есть диапазон составляет более порядка. (Не забудем, что и температуры, от которых степень черноты зависит едва ли не сильнее, чем от параметра P•l, по зонам голубого объёма меняются от ~228 К до ~170 К.) Здесь нужен иной подход. Я его изложу, но лишь ради научного принципа, что отрицательный результат – тоже результат, ибо ничего работоспособного этот подход не дал. В утилитарных целях можно из главки «Нарезка» взять только подглавку «Степень черноты СО2» и сразу переходить к следующей главке, «Остывание».


Нарезка
Slicing

Весь голубой объём можно представить как сумму тонких сферических слоёв. Они не должны быть бесконечно малыми, а просто достаточно тонкими, чтобы температура и давление на верхней и нижней границе отличались не слишком сильно, скажем, не более чем на 10%. (Если мы слишком утончим слой, его параметр P•l выйдет за пределы, для которых есть номограммы.) Один из таких слоёв на рисунке выше показан зелёным цветом (GF"F). В пределах каждого такого слоя можно усреднить и температуру и давление без больших натяжек. И рассчитать lэ для каждого такого слоя вполне можно по формуле для плоского слоя с толщиной d (lэ = 1,8•d). Далее, по номограмме мы найдём степень черноты зелёного слоя ε = f(P•l, T) и по закону Стефана – Больцмана вычислим удельную мощность теплового излучения, которое из этого слоя приходит к каждой точке его нижней границы:

IGF [Вт/м2] = ε•σ•T4.

Фактически, вся нижняя граница каждого такого слоя сияет на сечение аэростата такой мощностью. Если мы пренебрежём довольно малым поглощением излучения самой атмосферой (при отстутствии пыли это допущение близко к истине), то можно рассчитать совокупную мощность излучения, приходящего к аэростату со всей поверхности GF"F. Вывод можно посмотреть в Приложении 4, а здесь дадим сразу итоговую формулу:

WGF = 0,5•IGF•Sсеч•[(R + H*)/(R + H)]•ln[2•R•(H0,5 + H*0,5)2/(H2 + H*2)],

где Sсеч2] – площадь сечения баллона аэростата, воспринимающая поток излучения, R = 3390 км – радиус Марса, H* [км] – высота пролегания зелёного слоя над поверхностью Марса, H [км] – высота дрейфа аэростата. Просуммировав WGF для всех слоёв, на которые будет разбит верхний газовый объём, кроме последнего, контактирующего с аэростатом слоя (для него нужно прибавить к остальной сумме непосредственную величину IGF•Sсеч), мы получим воздействующую на аэростат мощность излучения от верхнего газового объёма, закрашенного на рисунке голубым цветом.

Точнее, не совсем от него. С этой формулой мы можем отказаться от показанного на рисунке деления объёмов атмосферы на голубой и розовый объёмы. Она работает не только для H* > H, но и для H* < H, и гораздо точнее будет разбить весь объём в пределах конуса отсечения на две зоны, соответствующие данным неравенствам. Границей между ними будет сферическая поверхность на высоте дрейфа аэростата. На схематическом рисунке она не показана, чтобы его не перегружать, а нанесена красной линией AFH на рисунке в реальном марсианском масштабе.


Для того, чтобы практически реализовать изложенную схему, нужно уметь находить степень черноты СО2 для произвольных значений температур (в пределах от ~170 К до ~230 К) и произвольных значений параметра P•l, потому что реальную толщину слоя мы будем брать по физическим соображениям (чтобы внутри перепад давлений был не более 10%, а перепад температур, желательно, укладывался в один-два-три градуса). Соответственно рассчитанная средняя длина луча может оказаться любой, и точно так же её произведение на среднее парциальное давление СО2 в данном слое. А в номограммах линии P•l соответствуют целым значениям. Точнее, в единственной номограмме.


Степень черноты СО2
Emissivity
of СО2

Степень черноты углекислого газа (Emissivity of carbon dioxide)

Потому что всё, что мне удалось найти в Сети о поведении степени черноты СО2 при низких температурах, – это небольшой график-номограмма, показанный справа*. Авторы статьи сообщают, что максимум на кривых ε = f(T, P•l) приходится на температуру ~250 К (хотя по координатной сетке ближе к ~266 К, со сдвигом к бóльшим значениям при P•l < 0,1 бар•м), и что около 70 К степень черноты СО2 практически равна нулю. При температуре ~135 К, на которой обрываются данные графика, значения ε, почти независимо от параметра P•l, стягиваются примерно к 0,006.

________

* Tino Redemann and Eckehard Specht. Analytical Approach to Calculate the Heat Fluxes in the Atmosphere and to Quantify the Sensitivity of Earth Temperature due to СО2 and H2O. Journal of Ecosystem & Ecography, May 25, 2016. Fig. 10 [https://www.omicsonline.org/open-access/analytical-approach-to-calculate-the-heat-fluxes-in-the-atmosphere-and-to-quantify-the-sensitivity-of-earth-temperature-due-to-co2-2157-7625-S5-012.php?aid=73158].


Корреляции степени черноты углекислого газа (Correlations of emissivity of carbon dioxide)

Анализ графика Редеманна и Шпехта показал, что в области P•l = 0,01÷10 бар•м имеются довольно хорошие* линейные зависимости (график справа), во-первых, максимума ε и, во-вторых, значения lg(εT=200K – 0,025) от логарифма параметра P•l:

εmax = 0,216 + 0,057•lg(P•l [бар•м]);
lg(εT=200K – 0,025) = –1,374 + 0,467•lg(P•l [бар•м]);
εT=200K = 0,025 + 0,0423•(P•l [бар•м])0,467.

________

* Правда, экстраполировать их за указанные пределы, по-видимому, не следует! Мне в одном из отвергнутых потом вариантов методики расчёта такая экстраполяция понадобилась... и оказалось, что уже при P•l > ~63 бар•м (в логарифмической шкале это область > ~1,8) формулы дают подозрительный результат εT=200K > εmax.


Далее нужно как-то аппроксимировать реальные кривые на номограмме Редеманна и Шпехта в интересующей нас области параметров, чтобы ε было удобно вычислять для произвольных значений Т и P•l, но удобство не приводило бы к заметным отступлениям от номограммы. Я решил разбить каждую кривую на две части: в области температур от нижней точки (T = 134 K, ε = 0,006) до температуры (T = 200K, ε = εT=200K, вычисляется по полученной формуле) описывать кривую в полулогарифмических координатах линейной зависимостью:

lg(ε) = lg(0,006) + lg(εT=200K/0,006)•(T – 134)/66,

а в области от T = 200K, ε = εT=200K до верхней точки (T = 266K, ε = εmax, вычисляется по полученной формуле) – полиномом вида:

lg(ε) = lg(εmax) – А•(266 – T)n,

где константы А и n брались такими, чтобы в точке сшивки обеих частей при Т = 200К совпадали значения и функций lg(ε) по линейной и по полиномиальной формулам, и производных этих функций, то есть сшивка не имела бы излома. Формализовав эти условия в виде уравнений и решив их, несложно найти, что:

n = lg(εT=200K/0,006)/lg(εmaxT=200K);         A = [lg(εmaxT=200K)]/66n.

Качественно такая сшитая линия весьма напоминала бы линии на номограмме Редеманна и Шпехта, да и количественно совпадала бы с ними удовлетворительно, погрешность порядка процентов.


В нижней атмосфере Марса, до принятой нами границы 33 км, с каждым километром давление уменьшается на 8,5%, а температура – не более чем на 1%. Поэтому кажется оправданным выбрать толщину каждого излучающего слоя равной 1 км. Для компенсации не учитываемого в этой модели, но реально существующего поглощения лучей в атмосфере можно при вычислении параметра P•l, а затем и ε брать не средние давление и температуру слоя, а давление и температуру на дальней границе.


Увы, результат расчётов по изложенному алгоритму совсем не оправдал надежд, приведя к несуразно большим суммарно приходящим к сечению аэростата мощностям излучения от 32 слоёв, порядка 1,5 квт/м2. Очевидно, что и номограммный и ещё менее эмпирически-формульный методы не рассчитаны на аддитивное применение (сложение излучений от элементов объёма), а годятся только для всего газового объёма в целом.


Остывание
Cooling

Между тем сама марсианская атмосфера могла бы простым измерением высотных профилей её дневной и ночной температур дать вполне достаточный объём данных для вычисления фактической удельной мощности излучения I каждого зелёного слоя, изображённого выше на рисунке. Мы знаем, что солнечное излучение приходит к поверхности (если нет песчаной бури), практически не ослабляясь, так что можно считать атмосферу Марса прозрачной и для её собственного планковского излучения и для ночной теплоотдачи поверхности Марса. Если мы пренебрежём конвективным теплообменом, который наиболее заметен должен быть в близких приповерхностных слоях, то можно без большой натяжки считать, что всё ночное остывание атмосферы в интересующем нас диапазоне высот, от 1–2 до 33 км, происходит за счёт теплоотдачи излучением. При этом все нужные высотные профили (плотности ρ, температуры T, теплоёмкости Cp) у нас имеются, и при наличии высотного профиля ночного остывания ΔT за время Δτ можно было бы легко найти высотный профиль степени черноты ε* слоя площадью S* и толщиной ΔH*, лежащего на высоте H*. Для этого приравняем выражения для отданного количества тепла излучением к тому же количеству, выраженному через Cp и ΔT:

dQ = ε*•σ•T4•2S*•dτ = ρ•S*•ΔH*•Cp•dT.

Имеющиеся данные указывают на то, что ночные перепады температур на высотах от 1 км довольно невелики, ΔT/T < 0,1, что позволяет при интегрировании этого уравнения избежать громоздких выражений, получив, после небольших упрощений, ценой минимальной потери точности:

ε* ≈ 0,5•(1 – 3•ΔT/T)•(Cp•ρ/σ)•ΔH*•(ΔT/Δτ)/T4.

А зная ε*, мы по определению знаем и удельную мощность излучения с единицы поверхности слоя, I [Вт/м2]:

I = ε*•σ•T4 = 0,5•(ΔT/Δτ)•(1 – 3•ΔT/T)•Cp•ρ•ΔH*.

Знание же I позволяет узнать и суммарную мощность излучения, попадающего на аэростат или иное тело, находящееся в атмосфере (см. Приложение 4).


Измерения
Measurements

Однако реальных данных о ночных перепадах температур по высоте марсианской атмосферы я нашёл немного (см. рис. внизу). И они оказались таковы, что для вышеизложенного простого подхода фактически не годились, потребовав более сложного, но и небезынтересного своими замысловатостями пути.

Суточные профили температур атмосферы Марса на разных высотах (Diurnal temperature profiles of Martian atmosphere at various altitudes)
По M. D. Smith et al, 2006*

Суточные разницы температур атмосферы Марса на разных высотах (Diurnal temperature differences of Martian atmosphere at various altitudes)
По D. P. Hinson et al, 1999**

Суточные разницы температур атмосферы Марса на разных высотах (Diurnal temperature differences of Martian atmosphere at various altitudes)
По J. McConnell, 2006***

________

* A. Petrosyan et al. The Martian atmospheric boundary layer. Reviews of Geophysics, 2011, vol. 49, p. RG3005, Fig. 8 [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/2010RG000351/pdf].

** Ibid., Fig. 15.

*** E. Robert Kursinski. Mars Astrobiology and Climate Observatory (MACO) [http://www.atmo.arizona.edu/~kursinsk/MACO2.html]. В этом обзоре приведены почасовые профили температур для высот от 0 до ~2280 м: ночных, от 18 часов до 01 часа, и дневных, от 05 до 13 часов. Их вычислил Jack McConnell, исходя из модели атмосферы Марса.


Полезно было хотя бы приблизительно построить суточную кривую изменений температур, чтобы знать время минимума и максимума температуры. Время на Марсе имеет свою терминологию: сутки там называются сол, делятся, как и земные, на 24 часа, но марсианский час чуть длиннее земного, примерно на 1 мин. 40 сек. Суточную кривую можно было бы использовать как калибровочную, чтобы по данным о температурах, зафиксированных в произвольные часы марсианского сола, оценивать, каков будет для тех же условий минимум или максимум суточной (соловой) температуры. Конечно, реальная суточная кривая будет и подвержена случайным колебаниям (одни только песчаные бури чего стоят!), и зависеть от координат точки, времени года, высоты, но всё же лучше иметь хоть приблизительный ориентир, чем совсем никакого.


Механизмы остывания
Cooling mechanisms

Априорно понятно, что внизу главным двигателем остывания будет грунт. Как только Солнце село, и приток радиации иссяк, начинается быстрое радиационное остывание верхних слоёв грунта. Атмосфера тоже начинает радиационно остывать, но гораздо медленнее, из-за своей низкой степни черноты (излучательной способности). Однако внизу она оказывается в контакте с быстро остывающим грунтом, и выхолаживается от него за счёт конвекции. При этом холодные слои воздуха становятся более плотными и остаются внизу, а вот с рассветом всё происходит наоборот, но не совсем симметрично: грунт начинает работать как радиатор, но нагретые слои атмосферы, делаясь легче, начинают всплывать кверху под действием архимедовой силы. А при ночном охлаждении тяжёлые слои остаются внизу, и процесс распространения конвективного выхолаживания вверх должен быть довольно неспешным, регулируясь медленными процессами диффузии.

Профиль суточного изменения температур в атмосфере Марса на высотах 0–2 км (Diurnal temperature profile for Martian atmosphere at heights 0–2 km)

По данным Смита с сотр. (левая диаграмма в последнем ряду) можно построить суточные профили температур для последовательности высотных отметок 0, 0,3, 0,6, 1 и 2 км (рис. справа). На них довольно отчётливо видно, что в приземном слое (Н = 0 км) профиль и асимметричный, и ниспадающий в начале фазы остывания круто, практически следуя за радиативным профилем грунта. В слое на высоте 0,3 км уже больше от поведения вышележащих слоёв (в частности, заметно менее крутое ниспадение в начальной фазе остывания), хотя, возможно, какое-то влияние конвективного выхолаживания туда за несколько ночных часов успевает продвинуться. А слои, которые лежат от 0,6 км и выше, по-видимому, уже испытывают влияние грунтового охлаждения в прогрессивно меньшей и, в общем, пренебрежимой степени. Они ночью охлаждаются за счёт собственного излучения, а днём нагреваются, поглощая излучение Солнца (прямое и отраженное поверхностью Марса) и собственное излучение грунта.

Профиль суточного изменения температур в атмосфере Марса на высотах 1–2 км (Diurnal temperature profile for Martian atmosphere at heights 1–2 km)


Калибровочный профиль
Calibration profile

По данным Смита с сотр. для высот 1 и 2 км были построены зависимости Т(τ). Затем отдельно для областей минимума и максимума подбирались по четырём точкам кубические полиномы*, по ним уточнялись координаты точек минимума (~6 ч. 40 мин.) и максимума (~16 ч. 45 мин.), близко совпавшие для обеих высотных отметок, и затем оба профиля, как в реальных значениях теператур (ромбы и треугольники на итоговом рис. справа), так и в аппроксимирующих полиномах (красная линия), масштабированием по ΔТ переводились в безразмерные единицы, так, чтобы максимум соответствовал 100%, а минимум –100%. Далее все полиномиальные точки усреднялись, и в заключение, снова посредством кубического полинома, подбиралась гладко сшивающаяся кривая для специфического отрезка ночного похолодания, примерно от 18 до 24 час., когда наблюдается (а на больших высотах ещё сильнее) нечто вроде небольшого вливания тепла, о котором стоит поговорить подробнее.

________

* Также с помощью сервиса [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-mnk-i-regressionniy-analiz].

Профиль суточного изменения температур в атмосфере Марса на высотах 1–19 км (Diurnal temperature profile for Martian atmosphere at heights 1–19 km)


Пульсации
Waves

Детальные данные Хинсона с сотр. о ночном похолодании между 18 час. 40 мин. и 3 час. 53 мин. содержатся на среднем из последнего ряда рисунков. Они усреднены после наблюдений в течение нескольких месяцев. Их перевод в координату суточного (солового) времени рисует картину, показанную справа. Видно, что между 23 и 24 часами сола происходит отчётливый тепловой всплеск, и чем выше, тем он заметнее.

Изменения высотного профиля температуры в атмосфере Марса в ходе ночного охлаждения (Changes in the altitude profile of the temperature in the atmosphere of Mars during the night cooling)


Гравитация
Gravity

А построение по тем же данным изохронных срезов температур по высотам обнаруживает схожее пробегание термических волн по высоте газовых слоёв атмосферы Марса (см. рис. выше слева). В литературе давались объяснения наблюдаемой волнообразной картине как проявлению «адиабатического нагревания при сжатии и охлаждения при расширении, связанных с вертикально распространяющимися атмосферными тепловыми приливами»*. Очевидный на обоих последних рисунках факт нарастания эффекта с высотой (см. последовательное и прогрессирующее превышение жёлтой линии на нижнем графике над красной, а затем даже над синей линиями) можно попытаться объяснить гравитационным нагревом.**

________

* «adiabatic compressional heating and expansional cooling associated with vertically propagating atmospheric thermal tides» (F. Forget et al. Density and temperatures of the upper martian atmosphere measured by stellar occultations with Mars Express SPICAM, Journal of Geophysical Research. Planets, Wiley-Blackwell, 2009, 114 (E1), pp.E01004, p. 7 [https://hal-ens.archives-ouvertes.fr/hal-00357038/document]). Там же приводятся данные о том, что выше 110 км перепад температур между днём и ночью в среднем равен 15 K, а ниже профили дневной и ночной температур очень близки.

Химия?
Chemistry?

** Можно ли привлечь к объяснению химию атмосферы? Гипотетически, если, например, солнечная радиация в жёсткой части спектра плюс проникающая часть солнечного ветра поддерживают там в диссоциированной или просто энергетически возбуждённой форме некий химический комплекс, то после захода Солнца он мог бы обратимо рекомбинировать (переходить на низкоэнергетический уровень) с выделением тепла. И этот эффект тоже имел бы естественное объяснение усиления с высотой: в солнечную часть сола высокие слои получают больше солнечной радиации и ветра, и там равновесие данного гипотетического комплекса было бы сильнее сдвинуто в эндотермическую сторону, а ночью, соответственно, давало бы больше экзотермики. У атмосферы Марса можно заметить определённое сходство с рабочей средой газовых лазеров (СО2 + N2 + Ar), и наличие чего-то подобного априорно не вызывает особых сомнений, но искать в химическом направлении главный (и даже достаточно заметный) механизм ночного атмосферного разогрева, видимо, столь же априорно не стоит, так как подобный химический процесс протекал бы мгновенно (от нсек до мсек), а мы на графиках видим растянутый на часы эффект. Недостаточна в химической схеме и энергетика. Разница между невозбуждённым уровнем и двумя первыми возбуждёнными уровнями в молекуле СО2 (остальные при марсианских температурах практически не заселены) – порядка 0,083 эВ, или ~181 кДж/кг. C таким потенциалом энергии для нагрева газа на 10 К (затрата 7,35÷7,91 кДж/кг в марсианском диапазоне температур) нужна убыль возбуждённых молекул на 4,0÷4,4% (от общего количества СО2). Но эти уровни – колебательные, их колебательная температура для СО2 = 960 К, и изменение доли возбуждённых молекул при изменении температуры на 10 К в диапазоне 200÷250 K, равное ~2•{exp(–960/Т) – exp[–960/(T – 10)]} = 0,4÷0,6%, – почти на порядок меньше. И поток частиц солнечного ветра, ничтожный по отношению к атмосферной массе, заведомо не может поддерживать столь далёкую от равновесия концентрацию возбуждённых молекул.

Осаждение пыли?
Dust sedimentation?

Данные Хинсона с сотр., на которых выявляются термические волны, получены усреднением серии измерений за несколько месяцев. Заведомо ясно, что в такой серии выпадали и пыльные ночи, так что в этих данных должен быть вклад и от пыли. Пыль способна поглощать до 2/3 солнечного излучения, приходящего к верхнему слою атмосферы Марса, а в единицах температуры это может соответствовать нагреву атмосферы на десятки градусов за солнечную фазу сола. Реально, конечно, особо крупного разогрева не произойдёт: чем больше пылинка прогревается, тем сильнее она начинает излучать (~T4), и всё больше поступающей солнечной мощности отправляется обратно в космос. Тем не менее, пылинки горячее окружающего воздуха. Днём их взвесь, которую гравитация тянет осесть, а восходящие потоки тёплого газа от поверхности, работающей при Солнце как радиатор, увлекают вверх, находит равновесие этих противоположных тенденций, образуя дневной профиль концентрации по высоте. Ночью же гравитация остаётся той же самой, но вязкость атмосферы несколько снижается за счёт остывания, примерно на первые десятки процентов, облегчая осаждение, и к тому же восходящий поток газа исчезает, потому что ночью грунт работает как холодильник. Таким образом, можно предположить, что равновесная высота каждой пылинки снижается, и если выше (ближе к Солнцу) пыль была нагрета сильнее, то, осев, она может нагреть нижележащий слой атмосферы. Однако количественную оценку этого эффекта при остутствии многих нужных исходных данных я дать не возьмусь.


Конвективный холодильник грунта Марса, как хорошо видно на левом рисунке, при всей медленности диффузных процессов, всё же за ночь продвигается кверху больше, чем можно было судить по более ограниченным данным Смита с сотр. Около 23 час. мы видим, что конвективный спад температуры (макушка жёлтой линии) добирается до высоты ~1 км, к часу ночи эта граница передвигается уже на отметку 2 км или чуть выше, а к четырём часам утра почти достигает 3 км. В зоне конвективного выхолаживания атмосфера остывает сильно; в более высоких излучательных (хотя за счёт пыли отчасти также и конвективных: пыль там работает как встроенный конвективный мини-холодильник) пусть заметно слабее, но тоже остывает. Между тем среднесуточные перепады давления пренебрежимо малы. А при изобарном остывании газы сжимаются. Площадь поверхности Марса и каждого сферического слоя атмосферы и днём и ночью та же, значит, сжатие должно проявляться некоторым снижением толщины (= высоты) каждого сферического слоя атмосферы на величину ΔHохл. И этот эффект накопительный по высоте: общее снижение некоего слоя равно сумме сжатий его и всех нижних слоёв.

Его можно было бы оценить, исходя из связи:

ΔHохл/ΔHслоя ≈ ΔT/T,

Компрессия
Compression

которая очевидно следует в предложенной схеме из универсального газового закона. Данные Хинсона и др., показанные на правом из двух последних рисунков, позволяют получить по высотам значения ΔT, но эти значения заметно искажены, и чем выше, тем сильнее, наличием тепловой волны с пиком около 23:30. Вызывает эту волну, вероятно, компрессионный разогрев. Физически начавшееся у грунта сразу после захода Солнца быстрое конвективное охлаждение и сжатие приповерхностного слоя должно, по-видимому, проявить себя волной разрежения, которая отправляется вверх со скоростью порядка звуковой. (Скорость звука на Марсе равна uзв = 16•T0,5 = 16•(200÷260 [K])0,5 = 226÷258 м/сек.)

Вся вышележащая атмосфера послойно как бы «проваливается» в эту волну, формируя кинетический импульс, направленный вниз. Но после прохода волны этот импульс тормозится о плотный слой газа, и ввиду намного большей скорости этих кинематических процессов по сравнению со скоростями охлаждения, диффузии, теплопередачи, тормозится практически в адиабатическом режиме. Такое торможение должно вызывать компрессию газа и рост температуры. Поскольку, как уже говорилось, остывает и сжимется каждый слой атмосферы, он добавляет своё сжатие к пришедшей снизу волне разрежения, и её амплитуда (а соответственно, и порождённый ею компрессионный нагрев) должны расти с высотой. Но в атмосфере динамически какое-то время могут существовать остаточные волны от противоположных (не вполне симметричных, как выше отмечалось) дневных процессов, а компрессионный эффект, скорее всего, проявляться будет волнами сжатия, так что происходит ещё и взаимная интерференция, и итоговую картину, качественно довольно ясную, описать простыми уравнениями становится крайне затруднительно или вовсе невозможно.

Профиль суточного перепада температур атмосферы Марса на высоте 0,6 км (Profile of a diurnal temperature of Martian atmosphere at altitude 0,6 km)

Волна компрессии гипотетически может (и даже, скорее, должна) перенести часть гравитационной энергии в плотные нижние слои, где гравитационный нагрев от сжатия слоёв атмосферы невелик. И мы можем видеть качественно подобную картину на профиле температур для высоты 0,6 км, минимальной, которую можно считать с диаграммы Хинсона с сотр. (рис. справа). Сжатие нижележащих слоёв там, как чуть ниже будет показано, можно оценить величиной около 0,05 км.

Для не вполне строгой, но простой оценки масштаба гравитационного нагрева приравняем изменение гравитационной энергии при смещении некоего элемента атмосферы массой М на высоту ΔНграв к изменению его теплосодержания, выраженному через теплоёмкость Ср и величину разогрева ΔTграв:

M•g•ΔНграв = M•Ср•ΔTграв;           ΔTграв/ΔНграв = g/Ср = 3,71/(777÷743) ≈ 4,8÷5,0 K/км.

Исходя из этого, можно в слое на отметке 0,6 км ожидать гравитационного нагрева порядка ΔTграв ≈ 0,2÷0,3 K. А реально на графике наблюдается ΔT ≈ 3,5 K. Это может быть вызвано как раз компрессионным сжатием от импульсного воздействия всей вышележащей атмосферы (массой ~164 кг/м2, если говорить о высоте 0,6 км).


Оценка Тmax
Estimation
of Тmax

Данные Хинсона с сотр. начинаются с 18:40. По нашей калибровочной кривой (полученной, правда, для других условий, но иной у нас нет) это соответствует 72% от верхнего полумаксимума солового температурного перепада, но ноль в этой относительной шкале лежит около 23:30, совершенно неподходящей для нас точке, где в данных Хинсона с сотр. расположен пик тепловой волны. Однако заметно, что после прохода пика, на интервале между 1:13 и 3:53, когда процесс остывания, более или менее, возвращается к естественной радиационной (в нижних слоях – конвективно-радиационной) динамике, темп спада температуры на всех высотах в первом приближении постоянен (в среднем ~1,8 К/час). С другой стороны, если на калибровочной кривой построить касательную в точке 18:40, то отметку +100% эта касательная пересечёт около 17 часов. Комбинацией этих данных можно получить, на мой взгляд, наименее неточную оценку для температурного перепада между (неизвестным нам в серии данных Хинсона с сотр.) временем начала охлаждения, от максимальной соловой температуры, и первой точкой фиксации температуры (18:40):

ΔТmax...18:40 = Тmax – Т18:40 ≈ 1,8•(18:40 – 17) = 3,0 K.

Оценка ΔТпик
Estimation
of ΔТpeak

Таким образом, для оценки величины охлаждения между его (неизвестным) началом и пиком тепловой волны в ~23:30 мы можем взять реальную разницу температур между 18:40 и 23:21, увеличенную на поправку в 3,0 К:

ΔТпик = Тmax – Т23:21 ≈ (3,0 + Т18:40) – Т23:21 [K].


...ΔНохл и ΔНграв
...ΔНcool & ΔНgrav

Обозначения (Notation)

В качестве же средней температуры Тср для этого интервала времени можно взять среднеарифметическое значение температуры в начале цикла охлаждения (по нашей оценке, это Тmax ≈ Т18:40 + 3,0 К) и трёх реальных температур (в точках 18:40, 21:16 и 23:21). Результат оценённого таким образом значения ΔТпикср по формуле, с которой мы начинали, позволяет при заданном в нашем расчёте ΔНслоя = 1000 м оценить абсолютную величину сжатия в метрах как для каждого слоя (собственное сжатие ΔНохл), так и накопительным итогом (сумма всех нижележащих послоевых сжатий даст оценку итогового падения ΔНграв в гравитационном поле от начальной отметки высоты Но в неизвестный нам момент начала охлаждения к высоте, фиксируемой в 23:21).

Правда, поскольку величина итогового падения ΔНграв уже в нижних слоях быстро возрастает от 0,25 до 0,4 и более км, то возникает необходимость второй итерации. В ней мы учитываем, на сколько каждый слой был выше (= холоднее) в начальный момент охлаждения, и корректируем величины Тmax и промежуточных температур Т18:40 и Т21:16, расположенных, если весь период охлаждения от начала до 23:30 принять за 100%, при ~29% и ~68% этого периода. Для корректировки берём среднее значение температурного градиента из данных Хинсона с сотр. для наиболее раннего времени (18:40). По их диаграмме градиент можно оценить значением ок. dT/dH ≈ –4 К/км для первых 8 км и ок. dT/dH ≈ –1,8 К/км для более высоких слоёв:

Тmax (2 итер) = Тmax (1 итер) – (dT/dH)•ΔНграв (1 итер);

Т18:40 (2 итер) = Т18:40 (1 итер) – 0,71•(dT/dH)•ΔНграв (1 итер);

Т21:16 (2 итер) = Т21:16 (1 итер) – 0,32•(dT/dH)•ΔНграв (1 итер),

Изменение высоты слоёв атмосферы Марса за счёт суточного перепада температур между суточным максимумом и 23:30 на высотах 1–19 км (The change in the altitude of the layers of the atmosphere of Mars due to the diurnal temperature difference between the daily maximum and 23:30 at altitudes of 1–19 km)

где коэффициенты 0,71 и 0,32 в линейном приближении делят общий перепад высоты ΔНграв на относительные перепады ко временам, соответственно, 18:40 и 21:16:

0,71 = (100% – 29%)/100%;

0,32 = (100% – 68%)/100%.

Изменение температур влечёт изменение всех последующих величин (ΔТпик, Тср, ΔНохл, ΔНграв), так что снова возникает необходимость корректировки. После третьей итерации значения ΔНграв стабилизируются с точностью до метров, чего в данном оценочном расчёте более чем достаточно. Результат показан на рис. справа, где на первых 2 км высоты добавлены и данные Смита с сотр., полученные по их диаграмме аналогичным образом и неплохо согласующиеся с данными Хинсона с сотр.


Теплосодержание атмосферы
Enthalpy of atmosphere

К сожалению, из-за того, что термические волны, как видно по последнему и другим рисункам, имеют практически тот же порядок, что и сам эффект компрессионного нагрева, если не больше, выявить какие-то количественные зависимости от высоты по этим данным затруднительно. Однако по данным Хинсона с сотр. можно неплохо оценить ночную динамику такого малочувствительного к высотным термическим волнам параметра как общее теплосодержание атмосферы до высоты 19 км, а это более 78% всей массы атмосферы:

Q19 = ΣΔQi – ΔQ20 = Σ1•Сpi•Tcpi•ρi – ΔQ20,

где Q19 [кДж/м2] – это приближённое значение энтальпии атмосферного столба высотой 19 км и площадью 1 кв. м; 1 [км] – толщина каждого i-го атмосферного слоя, на которые разбит весь 19-километровый интервал; Сpi [Дж/(кг•К)] – среднее значение теплоёмкости атмосферы в i-ом слое; Tcpi [К] – такое же среднее значение температуры и ρi [кг/м3] – аналогичное значение плотности. Величина ΔQ20 – это поправка на то, что из-за сжатия атмосферы данные, которые у Хинсона с сотр. относятся к текущей высоте 19 км, в начале отсчёта, то есть в точке солового температурного максимума (около 16:45), соответствовали неким отметкам в 20-м слое, а в конце остывания, под утро, возможно, даже в 21-м слое. Например, только что проделанная оценка для 23:30 показывает, что в начале отсчёта отметка 19-го км лежала близко к 19,4 км. То есть в наших 19-ти слоях, построенных по диаграмме Хинсона с сотр., к 23:30 будет находиться ~40% от изначально 20-го слоя. При этом к 23:30 фаза солового остывания пройдена атмосферой Марса ещё только примерно наполовину, если полагаться на нашу калибровочную кривую.

Поскольку видно, что ΔQ20 составляет не более (или не намного более) ΔQ19, которое даёт вклад в Q19 порядка 2%, особо точной оценки здесь не требуется, и можно в линейном приближении, присвоив по калибровочной кривой каждому времени измерения соответствующую долю от длительности всей фазы остывания, принять, что:

Изменение энтальпии атмосферы Марса в слое 0–19 км в ходе фазы остывания (The change in the enthalpy of Martian atmosphere in the 0–19 km layer during the cooling phase)

ΔQ20 (18:40) = 0,12•ΔQ19;          ΔQ20 (21:16) = 0,28•ΔQ19;          ΔQ20 (23:21) = 0,4•ΔQ19;

ΔQ20 (1:13) = 0,52•ΔQ19;          ΔQ20 (3:53) = 0,68•ΔQ19.

Результат расчёта показан на рис. справа (красная кривая, проведённая через ромбики). Можно, приняв, в первом приближении, линейность зависимости Q19(τ), выдвинуть два предположения: а) что линия проходит через крайние точки (жёлтая прямая на рис.) и б) что линия проходит между параллельными касательными (тонкие бордовые линии на рис.). В варианте (а) амплитуду в пике термической волны около 23:30 (отрезок АВ) можно по графику оценить величиной порядка 282 кДж/м2, а в варианте (б) (отрезок АС) – порядка 704 кДж/м2. Деля эти значения на ΣСpi•ρi (эта сумма для времени 23:21 имеет значение ~103 кДж/(K•м2)), можно получить оценку амплитуды температурного пика в 23:30 ΔТ+ (23:21):

(а) ΔТ+ (23:21) = 282/103 = 2,7 К;         (б) ΔТ+ (23:21) = 704/103 = 6,8 К.

Вернувшись к графику, где показаны все 19 профилей температуры по данным Хинсона с сотр., можно убедиться, что по порядку величины амплитуды температурных волн в 23:21 там схожи с полученными оценками.


Сравнение ΔQ19
и ΔUграв
Comparison of ΔQ19 and ΔUgrav

Имея оценки ΔНграв для всех слоёв (рис. выше), можно суммированием по слоям оценить величину получаемой от гравитационного поля энергии при смещении слоёв. Классическую формулу ΔUграв = M•g•ΔН нам удобнее для сопоставимости перевести здесь в удельные единицы (кДж/м2), заменив массу M [кг] на удельную массу ρ•Нслоя [кг/м2], и тогда, при Нслоя = 1 км:

ΔUграв = Σ1•ρi•g•ΔНграв i = g•Σρi•ΔНграв i.

Для 23:21 при g = 3,71 м/с2 получается ΔUграв = 383 кДж/м2, что по порядку совпадает с полученными для того же времени оценками пика волны на графике Q19(τ) по вариантам (а) и (б), – 282 кДж/м2 и 704 кДж/м2, соответственно. Учитывая объём упрощений в данном полуколичественном анализе, можно считать такое совпадение удовлетворительным.


Излучение атмосферы
Radiation of the atmosphere

Мы имеем значения Q19, характеризующие часть атмосферы, которая, как уже говорилось, составляет ~78% всей массы атмосферы Марса. При расчётах послойное суммирование выявило, что с весьма высоким постоянством за пределами нижнего слоя конвективного выхолаживания наблюдается экспоненциальная зависимость теплосодержания слоя ΔQi от его высоты Нi (см. левый рис. внизу), а из этого математически должна следовать (с той же оговоркой для нижнего слоя выхолаживания) и зависимость теплосодержания атмосферного столба любой высоты Qi от этой высоты Нi:

ΔQi = А•exp(–a•Hi);         Qi = ΣΔQi = QА•{1 – exp[–a•(Hi + 1)]},

где QА = А•exp(–a)/[1 – exp(–a)] [Дж/м2] – полное удельное теплосодержание атмосферы, и a [км–1] – параметр, характеризующий его профиль по высоте. И QА, и a, которые стандартно вычисляются по значениям ΔQii) методом наименьших квадратов, несколько изменяются в ходе охлаждения, отчётливо демонстрируя зависимость от термических волн (средний и правый рис. внизу), но если намеренно ограничиться их простыми линейными аппроксимациями, это может сгладить, подавить фактор термических волн и вместо сложной многофакторной реальной картины дать (в идеале) модель чистого излучения, без гравитационных нагревов и без конвективного охлаждения о грунт. (Для подавления эффекта конвективного выхолаживания при расчёте QА и a игнорировались нижние слои атмосферы, где впоследствии данные замещались экстраполяциями линейных зависимостей, существующих в верхних слоях.)

Изменение удельной энтальпии атмосферы Марса в ходе фазы остывания в слоях толщиной 1 км на разных высотах (The change in the enthalpy of Martian atmosphere per square meter in 1-km layers at various altitudes during the cooling phase)

Изменение удельной энтальпии атмосферы Марса в ходе фазы остывания (The change in the enthalpy of Martian atmosphere per square meter during the cooling phase)

Изменение высотного параметра энтальпии атмосферы Марса в ходе фазы остывания (The change in a height parameter of enthalpy of Martian atmosphere during the cooling phase)

В качестве переменной времени удобно ввести τф [час] – фазовое время, отсчитываемое от начала фазы солового похолодания (здесь, за неимением иной оценки, это начало принято по калибровочной кривой: 16 час. 45 мин). А, QА [кДж/м2] и a [км–1] с погрешностью до 3% могут быть представлены линейными зависимостями от τф:

А ≈ 2933 – 22,36•τф;         QА ≈ 29502 – 125,58•τф;         a ≈ 0,0948 – 0,00032•τф.

С этими зависимостями мы можем для слоя атмосферы произвольной толщины приблизительно рассчитать всю динамику его теплосодержания в ходе фазы остывания. Если брать истинные зависимости QА и a от τф, то получим более близкую к реальности картину, но если взять линейные аппроксимации, то мы, возможно, более внятно выявим динамику остывания за счёт излучения. То есть как бы без конвективного выхолаживания от грунта и без гравитационных нагревов и термических волн.

В нашей модели, по определению, удельная мощность излучения атмосферного слоя Ii [Вт/м2] является производной от убыли его удельного теплосодержания по времени, то есть:

Ii = –dΔQi/dτф = –[dQА/dτф – QА•Hi•da/dτф]•exp(–a•Hi).

В линейных аппроксимациях, приведённых выше, τф выражено в часах, а QА в кДж/м2, поэтому для перехода в Ii к Вт/м2 нужно ф при дифференцировании умножать на 3,6. С учётом этого, получим:

Ii [Вт/м2] ≈ (34,9 – 2,62•Hi + 0,0112•Hi•τф)•exp[–(0,0948 – 0,00032•τф)•Hi].

Влияние τф в этой формуле весьма мало, на уровне нескольких процентов, то есть заведомо ниже её погрешности, обусловленной объёмом упрощений при её выводе, поэтому можно, рассчитав коэффициенты для среднего времени (τф = 5 час.), использовать формулу:

Удельная мощность излучения 1-километровых слоёв атмосферы Марса на высотах 1–30 км (Profile of radiative power, W per 1 square meter, for 1-km-thick layers in Martian atmosphere at heights 1–30 km)

Ii [Вт/м2] ≈ (34,9 – 2,68•Hi)•exp(–0,0932•Hi),

где Hi выражено в км. Результат расчёта по этой формуле показан на рис. справа. Видно, что с высотой Ii снижается (в первых ~5 км практически экспоненциально), стремясь к нулю (на графике Ii после ~13 км заходит немного в отрицательную область, что, конечно, не имеет физического смысла и явно вызвано погрешностями упрощений). Порядок значений Ii в первых 4 км, от ~35 Вт/м2 до ~14 Вт/м2 совпадает со значениями, оценёнными ранее номограммным методом (от ~25 Вт/м2 до ~33 Вт/м2). Но это скорее плохо, чем хорошо, потому что при суммировании Ii по методу, изложенному в Приложении 4, мы получим явно завышенные значения удельной мощности излучения, приходящей к сечению аэростата от атмосферы Марса, свыше 500 Вт/м2. Это сопоставимо с пиковой мощностью приходящего солнечного излучения, чего быть не может: если бы атмосфера столько излучала, то для поддержания средней температуры она должна была бы примерно столько днём и поглощать, а известно, что в отсутствие пыли поглощение в атмосфере Марса не достигает и 10%.


Что точнее?
What is more exact?

Зависимость последней формулы не от самих величин QА и a, а от их производных, которые определяются по имеющимся данным весьма неуверенно, дополнительно побуждает отказаться от её использования. Видимо, из всех испытанных подходов наиболее близок к истине будет расчёт, основанный на радиационном остывании самой атмосферы, по формуле:

I = 0,5•(ΔT/Δτ)•(1 – 3•ΔT/T)•Cp•ρ•ΔH*,

где мы по данным Хинсона с сотр. для интервала между 1:13 и 3:53 имеем температурный градиент ΔT/Δτ, по-видимому, достаточно близкий к градиенту охлаждения за счёт излучения, и не слишком сильно искажаемый термическими волнами (отклонения от среднего на разных высотах между 3 и 19 км от +35% до –28%, среднее отклонение по модулю 14%)*:

ΔT/Δτ = 1,8 К/час = 0,0005 К/сек.

________

* Это довольно большой градиент, в литературе приводятся данные, что инфракрасное поглощение атмосферным СО2 вызывает за солнечную фазу сола нагрев атмосферы примерно на 1 К у поверхности и примерно на 10 К в высоких слоях (~70–80 км от поверхности): David Crisp. Infrared radiative transfer in the dust-free Martian atmosphere. Journal of Geophysical Research, Vol. 95, Issue B9, 30 August 1990, pp. 14577–14588 [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/JB095iB09p14577/abstract]. Позже тот же автор указывал, впрочем, на перепады у поверхности, достигающие 80 К за сол (вклад пылевых аэрозолей в температурные перепады достигал в модели 20 К): Michelle Santee, David Crisp. Thermal structure and dust loading of the Martian atmosphere during late southern summer: Mariner 9 revisited. Journal of Geophysical Research, Vol. 98, Issue E2, 25 February 1993, pp. 3261–3279 [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/92JE01896/full].


Среднее значение ΔT на этом интервале равно 4,6 К, и с учётом этого формула получает вид:

Удельная мощность излучения и степень черноты 1-километровых слоёв атмосферы Марса на высотах 1–19 км (Profile of radiative power, W per 1 square meter, and effective emissivity for 1-km-thick layers in Martian atmosphere at heights 1–19 km)

Ii = 0,00025•(1 – 13,8/Ti)•Cpi•ρi•ΔH*,

где Ti = 0,5•(Т1:13 + Т3:53). Результат для нашей системы слоёв с ΔН* = 1 км показан на рис. справа. Удельная мощность излучения каждого слоя весьма мала, от 2,5 до 0,5 и ниже Вт/м2; степень черноты εi, посчитанная по удельной мощности и температуре слоёв, также мала, от 0,016 до 0,005 и ниже. При этом на высотах от 2 км обнаружилась очень точная экспоненциальная зависимость:

Ii ≈ 2,67•exp(–0,084•Hi),

которая позволила рассчитать значения Ii выше 19 км при вычислении полной мощности падающего на сечение аэростата излучения атмосферы WA (точнее, удельного значения WA/Sсеч). Этот расчёт делался по формуле, полученной в Приложении 4:

WA/Sсеч = 0,5•ΣIi•[(1 + hi)/(1 + h)]•{ln[2•(h0,5 + hi0,5)2/(h2 + hi2)] –
– 2•R•kα•(1 + h)0,5•(1 + hi)0,5•[(2•h)0,5 + (2•hi)0,5 – (h2 + hi2)0,5]},

где R = 3390 км – радиус Марса; kα – коэффициент поглощения излучения в атмосфере, принятый, как в Приложении 3, в трёх значениях (идеализированном 0, реалистичном для ясной атмосферы 0,001 км–1 и реалистичном для отчасти запылённой атмосферы 0,002 км–1); h = Hд/R – безразмерная высота дрейфа аэростата; hi = Hi/R – безразмерная высота i-го слоя; суммирование производится по всем слоям атмосферы (реально точность до 99% дало суммирование до высоты ~80 км).

Мощность излучения атмосферы Марса, действующего на 1 кв. м сечения аэростата при разном поглощении в атмосфере и разных высотах дрейфа (Power of the Martian atmospheric radiation acting to 1 square meter of a balloon cross section at various absorptivities of atmosphere and various drift heights)

Формально результатом суммирования является функция, показанная на рис. справа, но, с учётом того, что и в нижних 1–2 км атмосферы и в слишком высоких её областях расчётная формула утрачивает точность, разумнее будет осторожно сформулировать итог проделанных оценок так: на аэростат, дрейфующий в первых 5 км атмосферы Марса, действует тепловое излучение атмосферы удельной мощностью порядка 90±10 Вт на 1 м2 сечения аэростата, в зависимости от коэффициента поглощения атмосферы. С ростом высоты дрейфа мощность снижается, тем быстрее, чем выше коэффициент поглощения: вначале примерно с темпом ~1 Вт/м2 на 1 км высоты дрейфа, затем прогрессивно замедляясь до ~0,5 Вт/м2 на 1 км высоты дрейфа к высоте ~50 км. Влияние коэффициента поглощения достаточно заметно при всех высотах дрейфа.

Величина WA/Sсеч не должна слишком меняться в ходе солового цикла, поскольку разницы дневных и ночных температур в слоях атмосферы выше 3 км не выходят за ~5%, а от этих разниц в основном зависит величина Ii, входящая в формулу в качестве параметра мощности. Нижние же слои атмосферы, где перепады температур значительны, вносят в общую мощность вклад не более 10–20%, то есть также сильно повлиять на итог не могут.

Мощность порядка 100 Вт/м2 – величина немалая. Остывая с принятым в нашем расчёте темпом 1,8 К в час, за ночное время атмосфера потеряет ~2,3 кДж/м2 энергии, и чтобы её за дневную фазу сола возобновить, нужно потреблять ~60 Вт/м2, или ~10% солнечной мощности, обогревающей Марс. Реально ли это, если принято считать атмосферу Марса прозрачной для излучения?

В начале Приложения 1 уже приводился рисунок с данными о поглощении солнечного излучения атмосферой Марса. Летом и в остутствие большой запылённости это ~7% (~43 Вт/м2), а зимой, в основном благодаря пыли, поглощение, отражение и переизлучение в космос бывает и в 7 раз больше, ~288 Вт/м2, или до 2/3 всей энергии. Данные Хинсона с сотр., по которым сделан наш расчёт, усреднены за несколько месяцев, когда, конечно, случались и пыльные ночи. Таким образом, нет ничего странного в том, что эти данные привели к балансу ночного охлаждения и дневного нагрева порядка 60 Вт/м2.



Приложение 3 / Appendix 3

Вывод формулы для мощности поверхностного излучения,
действующего от планеты на аэростат
Derivation of the formula for the power of a planet surface radiation
acting to a balloon


К выводу формулы для мощности поверхностного излучения, действующего от планеты на аэростат (To the derivation of the formula for the power of the surface radiation acting from the planet to the balloon)

Примем планету за идеальную сферу радиуса R, а аэростат, висящий над нею на высоте AC = H, будем считать точечным объектом. На него действует с поверхности планеты излучение, и зона, откуда оно может попасть в точку A, ограничена линией горизонта, то есть касательной к сфере . Построим перепендикулярную к ОА ось абсцисс, от которой будем отсчитывать углы. Угол α, от которого начинается зона облучения, равен углу ОАВ (поскольку угол ОВА, по определению касательной, прямой). Этот угол мы можем выразить из прямоугольного треугольника ОАВ:

sinα = R/(R + H).

Возьмём в излучающей зоне произвольную бесконечно малую площадку δS в точке D, лежащей в наших угловых координатах при угле β. Вся мощность поверхностного излучения, исходящая с этой площадки, распределяется в половинном телесном угле, который можно описать полусферой любого радиуса, исходящей из точки D. Нам целесообразно выбрать в качестве радиуса АD. Площадь поверхности полусферы будет в этом случае равна:

2π•АD2,

а доля излучения с площадки δS, попадающая на аэростат, равна отношению площади сечения аэростата Sсеч к площади этой полусферы. В силу симметрии, и у всех остальных площадок δS, лежащих на окружности, дуга которой показана на рисунке зелёным цветом, эта доля будет такой же. Поэтому можно вместо площади δS взять площадь всего зелёного кольца dS. Бесконечно малая толщина кольца определяется в угловых координатах, как обычно, через радиус R и бесконечно малую ширину угла , а периметр кольца задаётся его радиусом ED. Отсюда площадь кольца равна:

dS = (2π•ED)•(R•dβ).

Таким образом, если каждая площадка излучает удельную мощность Is, то мощность излучения с зелёного кольца, попадающая на площадь сечения аэростата, равна:

dW = Is•[Sсеч/(2π•АD2)]•(2π•ED)•(R•dβ) = Is•Sсеч•(R•ED/АD2)•dβ.

Нетрудно заметить, что в прямоугольном треугольнике OED угол EDО совпадает с углом β, а ОD = R, из чего можно выразить ED = R•cosβ и ОE = R•sinβ. Тогда в прямоугольном треугольнике АED мы можем выразить:

AD2 = AE2 + ED2 = (AO – OE)2 + ED2 = (R + H – R•sinβ)2 + (R•cosβ)2.

Теперь можно переписать уравнение для dW через единственную переменную β:

dW = Is•Sсеч•R2•cosβ•dβ/[(R + H – R•sinβ)2 + (R•cosβ)2].

Сделав алгебраические и тригонометрические преобразования в квадратных скобках и заменив cosβ•dβ на d(sinβ), получим:

dW = {Is•Sсеч/[2•(1 + H/R)]}•d(sinβ)/(n – sinβ),

где буквой n для краткости записано выражение:

n = (1 + H/R + 0,5•H2/R2)/(1 + H/R).

Сделав подстановку d(sinβ) = –d(n – sinβ), мы получим табличный интеграл, –ln(n – sinβ). Пределы интегрирования видны из рисунка: минимально sinβ = sinα = R/(R + H), максимально sinβ = 1. Подставив в логарифм эти значения и упростив полученное выражение с учётом того, что H << R, мы получим окончательно:

W = Is•(Sсеч/2)•ln(2R/H).

Это выражение, очевидно, будет плохо работать на высотах дрейфа, сопоставимых с неровностями рельефа в данной местности, потому что в этом случае исходное положение об идеальной сфере окажется очень далеко от реальности. Но в этом случае никакого общего выражения и в принципе не вывести, а надо учитывать сложно и кропотливо реальные складки местности, отражения, проекции и т. п. Ещё одно упрощение в сделанном выводе касается формы баллона аэростата. Когда положение точки D варьируется, луч AD только в случае сферического баллона приходит всегда к одному и тому же сечению баллона πR2, а при иных формах баллона его проективное сечение из каждой новой точки должно несколько меняться.


Учёт поглощения
Absorption modeling

На большой высоте дрейфа это выражение также должно давать погрешность, так как при выводе мы не учитывали поглощение излучения атмосферой. Аналитически можно учесть лишь незначительное поглощение, например, такое, как в атмосфере Марса, когда в отсутствие запылённости сверх какого-то всегда имеющегося уровня можно принять, что 100 км атмосферы поглощают ~10% приходящего к Марсу солнечного излучения.

Для упрощения интегрирования мы примем (без большой ошибки при малых степенях поглощения), что коэффициент поглощения линейно зависит от длины луча АD, то есть выражение для dW, которое мы интегрировали выше, теперь дополнительно умножим на:

1 – kα•АD.

Выше у нас есть выражение для АD2, из которого после преобразований получается выражение, связывающее АD с нашей переменной интегрирования (n – sinβ):

АD = R•[2•(1 + H/R)]0,5•(n – sinβ)0,5.

Таким образом, интегрировать теперь нужно выражение:

dW = {Is•Sсеч/[2•(1 + H/R)]}•{1 – kα•R•[2•(1 + H/R)]0,5•(n – sinβ)0,5}•d(sinβ)/(n – sinβ).

Оно, после раскрытия вторых фигурных скобок, делается суммой двух табличных интегралов, логарифма и корня квадратного из (n – sinβ). Подставив те же, что раньше, пределы интегрирования и проделав аналогичные упрощения, окончательно получим:

W = (Is•Sсеч/2)•{ln(2R/H) – 2•kα•[(2•H•(R + H)]0,5•[1 – (0,5•H/R)0,5]}.

Мощность поверхностного излучения, действующего от планеты на аэростат при разном поглощении в атмосфере (Power of the surface radiation acting from the planet to the balloon at various absorptivities of atmosphere)

Это уравнение можно переписать в виде, показывающем коэффициент пропорциональности между приходящей к аэростату удельной мощностью излучения W/Sсеч и удельной мощностью излучения на поверхности планеты Is:

(W/Sсеч)/Is = f(R, kα, H),

а если известны радиус планеты R и коэффициент поглощения kα, это выражение становится функцией одной переменной, высоты дрейфа аэростата Н. Вид такой функции для Марса при нулевом поглощении атмосферы (жёлтая линия), реалистичном значении поглощения (голубая линия, kα = 0,001 км–1) и повышенном поглощении (например, в запылённой атмосфере, – синяя линия, kα = 0,002 км–1) показан на рис. справа. Из рисунка видно, что даже на километровых высотах дрейфа и даже при весьма небольшом уровне поглощения, существующем на Марсе, влияние поглощения на результат достаточно заметно, а при высотах в десятки километров не учитывать его уже нельзя.

Можно более компактно записать выражение для W, введя два безразмерных параметра, высоты дрейфа hд = H/R и поглощения hα = kα•R:

(W/Sсеч)/Is = 0,5•{ln(2/hд) – 2•hα•[(2•hд•(1 + hд)]0,5•[1 – (hд/2)0,5]}.

При малых высотах дрейфа это выражение упрощается:

(W/Sсеч)/Is = 0,5•[ln(2/hд) – 2•hα•(2•hд)0,5].

Задавшись какой-то разумной мерой точности и проанализировав полное и упрощённое выражения (или просто сделав пробные расчёты и сравнив их), можно найти связь между hд и hα, которая гарантирует, что погрешность при использовании упрощённого выражения не выйдет за пределы данной меры точности. Например, если мы хотим, чтобы погрешность не превышала ~1%, то, как показывают пробные расчёты, нужно, чтобы:

hд•hα = Hд•kα ≤ ~0,024.

Для Марса при ясной атмосфере:

kα = 0,001;          Hд ≤ ~0,024/0,001 = ~24 км.

Однако чем запылённее атмосфера, тем выше будет kα, и, соответственно, тем ниже будет предельный уровень высот дрейфа, гарантирующий погрешность не более 1%.

Если же нас устроит и 10%-ный уровень погрешности, то в этом случае, как выяснилось, нужно, чтобы:

hд•hα = Hд•kα ≤ ~0,12,

то есть высота дрейфа может быть в пять раз больше, ~120 км, что означает всю атмосферу Марса, высота которой даже несколько меньше. А для аэростатических задач, можно сказать, и существенно меньше. Даже в условиях заметной запылённости, когда предельная высота будет в разы меньше, её всё же хватит для диапазона баллонных полётов. То есть на Марсе практически всегда в аэростатических задачах (кроме особо сильных запылённостей и экстремально больших высот) можно пользоваться упрощённым уравнением, или в безразмерных или в размерных параметрах:

(W/Sсеч)/Is = 0,5•[ln(2R/H) – 2•kα•(2•R•H)0,5].



Приложение 4 / Appendix 4

Вывод формулы для мощности поверхностного излучения,
действующего от сферического слоя атмосферы на аэростат
Derivation of the formula for the power of a surface radiation
acting to a balloon from a spherical layer of atmosphere


К выводу формулы для мощности поверхностного излучения, действующего от сферического слоя атмосферы на аэростат (To the derivation of the formula for the power of the surface radiation acting from a spherical atmospheric layer to a balloon)

Вновь привлечём в помощь рисунок (справа), по которому будет легче проследить вывод. Участок поверхности, излучающий на аэростат и рассмотренный в предыдущем Приложении 3, здесь обозначен поверхностью BA'C, поток его излучения окрашен красным. Верхняя граница эффективно излучающей части атмосферы обозначена синей сферой ED. Касательный к планете конус с вершиной в точке дрейфа А вырезает из атмосферы зону, откуда геометрически лучи могут попасть на аэростат. Она окрашена голубым и включает в себя также красный участок. В ней выделен произвольный излучающий сферический слой (зелёный, GF"F), в котором, в силу сферической симметрии атмосферы, можно принять постоянными все влияющие на излучение параметры (температуру, давление, плотность, химический состав и т. д.)

В зелёном слое выделим бесконечно малую площадку в окрестностях произвольной точки F". Она испускает в полусферическое пространство под слоем мощность излучения dWF" = δS•IGF, где δS – бесконечно малая площадь излучающей зоны в окрестностях F", а IGF – постоянная в пределах зелёного слоя GF"F удельная мощность излучения.

На сечение аэростата, находящегося в точке А, попадёт (если мы на первом этапе вывода временно пренебрежём поглощением по ходу луча) доля этого излучения, пропорциональная отношению сечения аэростата к площади полусферы радиуса АF". В силу осевой симметрии зелёного слоя GF"F по отношению к оси ОА", точно такая же доля придёт к сечению аэростата из каждой бесконечно малой площадки, находящейся на кольце, которое можно описать из точки А" фиолетовым радиусом А"F", перпендикулярным к оси ОА". Поэтому заменой δS на площадь этого кольца dS мы перейдём к излучению от всего кольца, а просуммировав излучение от колец в пределах всех положений точки F", от А до F, мы найдём и общую мощность излучения, приходящую на сечение аэростата из всего зелёного слоя. При этом, так же, как в выводе предыдущего Приложения 3:

dS = (2π•А"F")•(OF"•dγ),
dWF"-кольцо = IGF•[Sсеч/(2π•АF"2)]•(2π•А"F")•(OF"•dγ) = IGF•Sсеч•(А"F"•OF"/АF"2)•dγ,

где γ – угол А"OF", отсчитываемый от оси ОА" и задающий положение точки F". В этой формуле все величины могут быть выражены через радиус планеты R, высоту пролегания зелёного слоя над планетой F'F = H*, высоту дрейфа аэростата АА' = H и функции угла γ. Так, из прямоугольного треугольника OA"F":

A"F" = OF"•sinγ = (R + H*)•sinγ,

а из произвольного треугольника OAF", по теореме косинусов:

AF"2 = ОА2 + OF"2 – 2•ОА•OF"•cosγ = (R + H)2 + (R + H*)2 – 2•(R + H)•(R + H*)•cosγ.

Предельное значение угла γ, когда точка F" совпадёт с точкой F, найдём из соображения, что в этом случае угол γ будет суммой углов АОС и СОF, а оба эти угла можно из одноимённых прямоугольных треугольников выразить через те же величины:

γmax = arccos(OC/OA) + arccos(OC/OF) = arccos[R/(R + H)] + arccos[R/(R + H*)].

C учётом сделанного перепишем уравнение для мощности излучения, приходящей с кольца в точку А, через новые величины:

dWF"-кольцо = IGF•Sсеч•(R + H*)2•sinγ/[(R + H)2 + (R + H*)2 – 2•(R + H)•(R + H*)•cosγ]•dγ =
= 0,5•IGF•Sсеч•[(R + H*)/(R + H)]•sinγ•dγ/(m – cosγ) =
= 0,5•IGF•Sсеч•[(R + H*)/(R + H)]•d(m – cosγ)/(m – cosγ),

где для краткости обозначено:

m = [(R + H)2 + (R + H*)2]/[2•(R + H)•(R + H*)] ≈ 1 + 0,5•(H*2 + H2)/R2.

Проинтегрировав dWF"-кольцо по переменной (m – cosγ) (это простой табличный интеграл) в пределах от γ = 0 до γ = γmax и сделав разумные упрощения ввиду того, что H << R и H* << R, получим окончательное выражение для мощности, приходящей к сечению аэростата от всего зелёного сферического слоя GF:

WGF = 0,5•IGF•Sсеч•[(R + H*)/(R + H)]•ln[2•R•(H0,5 + H*0,5)2/(H2 + H*2)].

Умножив эту величину на коэффициент поглощения оболочки аэростата α, узнаем количество полученной от зелёного слоя мощности, а просуммировав или проинтегрировав эту величину по всем аналогичным слоям, получим и общую мощность излучения, пришедшего к сечению аэростата от той части газового объёма, закрашенного на рисунке голубым цветом, которая лежит выше точки дрейфа аэростата.


Если по той же схеме повторить вывод для случая, когда излучающий слой лежит ниже отметки дрейфа аэростата, итоговая формула окажется точно такой же, то есть она применима к расчёту нагрева аэростата как вышележащими, так и нижележащими слоями атмосферы. Правда, чем ниже мы опускаемся, тем запылённее атмосфера и тем хуже работает принятый при выводе постулат нулевого поглощения при проходе луча через атмосферу.


Учёт поглощения
Absorption modeling

Видя на рисунке, насколько больше здесь длина лучей, чем при расчёте поверхностного излучения, мы догадываемся, что в данной задаче учёт поглощения самой атмосферой ещё более важен, чем в предыдущем Приложении 3. Математически ничего нового здесь нет. Так же дифференциал dWF"-кольцо мы умножаем на линейный множитель (1 – kα•АF"), так же из выписанного выше выражения для АF"2 получаем выражение для АF" через нашу интегрируемую переменную (m – cosγ):

АF" = [2•(R + H*)•(R + H)]0,5•(m – cosγ)0,5.

После интегрирования dWF"-кольцо получим для WGF такую же разность логарифмического выражения и выражения с корнем квадратным, но из-за иных в данном случае пределов интегрирования оно будет отличаться от полученного в Приложении 3. Для сокращения записи удобно ввести индекс i для величин, относящихся к сферическому слою GF, и безразмерные параметры:

h = H/R;           hi = H*/R,

с которыми расчётное выражение примет вид:

Wi = 0,5•Ii•Sсеч•[(1 + hi)/(1 + h)]•{ln[2•(h0,5 + hi0,5)2/(h2 + hi2)] –
– 2•R•kα•(1 + h)0,5•(1 + hi)0,5•[(2•h)0,5 + (2•hi)0,5 – (h2 + hi2)0,5]}.

Суммированием или интегрированием по индексу i в пределах от почти нуля (например, от диаметра баллона) до верхней отметки атмосферы получается общая мощность излучения WA [Вт], приходящая к сечению аэростата из всей геометрически доступной области атмосферы. Для её вычисления нужно знать Ii как функцию высоты (или, что эквивалентно, использованного здесь безразмерного параметра hi). Ввиду того, что Wi является функцией трёх переменных (h, hi, Ii), представить её поведение на графике, как в предыдущем случае, не удастся.

Мощность излучения атмосферы Марса, действующего на 1 кв. м сечения аэростата при разном поглощении в атмосфере и разных высотах дрейфа (Power of the Martian atmospheric radiation acting to 1 square meter of a balloon cross section at various absorptivities of atmosphere and various drift heights)

Пример конкретного расчёта по этой формуле находится в конце Приложения 2, его результаты показаны на рис. справа. По ним можно сделать вывод, что мощность, приходящая к сечению баллона от атмосферного излучения, проходит на Марсе через небольшой максимум при высоте дрейфа порядка 2–3 км, а затем плавно снижается, тем быстрее, чем больше коэффициент поглощения. Вначале темп снижения – порядка 1% на 1 км высоты дрейфа, затем, после 20 км, – порядка 0,5% на 1 км высоты дрейфа. Влияние коэффициента поглощения достаточно ощутимо на всех высотах дрейфа. В первых 10 км высоты дрейфа оно порядка 10–15% на 0,001 км–1, на высоте 20 км – порядка 20 Вт/м2 на 0,001 км–1, на высоте 50 км – порядка 25 Вт/м2 на 0,001 км–1.



Приложение 5 / Appendix 5

Судьба аэростатов «Веги»
«Vega» aerostats fate


Исходные данные
Benchmark data

Как рассказано в Историческом обзоре, аэростатные зонды проекта «Вега» имели форму сфер диаметром 3,4 м и дрейфовали на плановой высоте 50 км при давлении 50000 Па и температуре 303 К. За 46,5 часов полёта зонды потеряли сквозь оболочку менее 5% гелия и за счёт этого снизились примерно на 500 м*. Их оболочка была изготовлена из фторлоновой ткани плотностью 300 г/м2, покрытой фторполимерным лаком.**

________

* https://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/spacecraftDisplay.do?id=1984-125F.

** V. V. Kerzhanovich, J. A. Cutts, & J. L. Hall. Low-cost balloon missions to Mars and Venus. 16th ESA Symposium on European Rocket and Balloon Programmes and Related Research, 2–5 June 2003, Sankt Gallen, Switzerland. Ed.: Barbara Warmbein. ESA SP-530, Noordwijk: ESA Publications Division, 2003, pp. 285–291 [http://articles.adsabs.harvard.edu//full/2003ESASP.530..285K/0000290.000.html].


Аэродинамика спуска
Descent aerodynamics

Всякий аэростат редко когда находится на одной вертикали. На него непрерывно действуют три силы: центробежная архимедова, центростремительная гравитационная и противоположная их результирующему вектору сила трения и прочих аэродинамических факторов торможения. Действуют, конечно, и ветровые и планетарные боковые силы, но их вертикальные составляющие по величине малы, и в аэростатике ими обычно пренебрегают.



===

Евг. Шиховцев, 10 марта – 28 мая 2017 г.