Аэростаты на других планетах
Aerostats on other planets

Введение
Introduction

В земной атмосфере аэростаты, заполненные лёгким газом, летают с 1782 года до наших дней. Облегчение газа в аэростате по сравнению с газом окружающих слоёв атмосферы достигается двумя способами:

а) за счёт разогрева газа в объёме аэростата (при этом можно использовать газ самой атмосферы); этот тип аэростатов называют монгольфьерами в честь избретших его братьев Монгольфье (идея пришла старшему, Жозефу, а практичный Этьен деятельно помогал брату довести её до полномасштабного воплощения);

б) за счёт заполнения аэростата газовой смесью с меньшей плотностью, чем у окружающих слоёв атмосферы; этот тип называют шарльерами, также по имени изобретателя, Жака Шарля.

Можно, конечно, и сочетать оба эти способа, тогда мы (аналогично, по имени автора идеи, Жана-Франсуа Пилатра де Розье) получим розьер.

* Жозеф-Мишель (Joseph-Michel Montgolfier, 1740–1810) и Жак-Этьен Монгольфье (Jacques-Étienne Montgolfier, 1745–1799). Миниатюра на слоновой кости конца 18 в. [http://i.imgur.com/I8fSZky.jpg]. Промышленники-изобретатели. Сами поднялись в небо всего несколько раз; их престарелый отец и они были награждены королём потомственным дворянством. Предоставив своё изобретение человечеству, вернулись на свою бумажную фабрику (действующую до сих пор). Жозеф изобрёл фильтровальную бумагу, а Этьен – кальку.

** Жак Шарль (Jacques Alexandre Cesar Charles, 1746–1823). Портрет работы Joseph Boze ок 1783 г. [http://www.artchive.com/web_gallery/reproductions//106001-106500/106371/size1.jpg]. Химик и физик. По поручению и на средства группы энтузиастов, объединённых Б. Фожас де Сен-Фоном (B. Faujas de Saint-Fond, 1741–1819), должен был разобраться, как летает шар Монгольфье, и думал, что воспроизводит их опыт, но фактически открыл собственный метод. Важный вклад, каучуковый лак, резко снизивший утечку водорода сквозь оболочку, внесли братья Роберы, строившие шар под его руководством, Anne-Jean Robert (1758–1820) и Nicolas-Louis (иначе Marie-Noël) Robert (1760–1820). Летал один раз, при первом подъёме своего шара 1 декабря 1783 г., провёл в полёте измерения параметров атмосферы. Позже, в 1787 г., открыл закон расширения газов при нагреве.

*** Жан-Франсуа Пилатр де Розье (Jean-François Pilâtre de Rozier, 1756–1785). Гравюра H. Legrand с портрета работы A. Pujos, 1784. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8509303c]. Химик и физик. Первый человек (с маркизом д'Арландом), поднявшийся в небо (21 ноября 1783 г.). Летал неоднократно. Для перелёта Ла-Манша решил над цилиндрическим монгольфьером с жаровней поставить сферический шарльер с водородом; из-за неисправности клапана шарльер стал быстро терять водород, шар пошёл вниз с 1,5-километровой высоты, в падении искра из жаровни достигла струи водорода из шарльера, и тот взорвался, после чего аэростат рухнул с высоты ок. 450 м, унеся 15 июня 1785 г. жизни де Розье и его спутника, химика Пьера Ромэна (Pierre-Ange Romain, 1751–1785), который с братом построил этот розьер. Это были первые жертвы эпохи воздухоплавания.

* Парижская гравюра 1784 г.[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b55001583k].

** Парижская гравюра 1780-х гг.[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b55001443j].

*** Гравюра Charles Eschard, P., 1785 [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b85094118].

Заметными атмосферами обладают все, кроме Меркурия, планеты Солнечной системы и крупный спутник Сатурна Титан. У четвёрки газовых планет-гигантов, где гравитация по мере углубления внутрь превращает привычную нам газовую фазу в нечто невообразимое при огромных температурах и давлениях, принято условно проводить границу между «атмосферой» и «планетой» по линии, где давление среды равно 1 атм. Вниз от этой границы считают в отрицательных километрах «глубину», а вверх – в положительных километрах «высоту».

Аэростаты в принципе возможны и в инопланетных атмосферах, но надо в каждом случае решать задачу оптимизации четырёх параметров: минимизировать стартовый вес на Земле и утечку газа в атмосфере планеты; и максимизировать полезный вес и длительность миссии. Решение определит весь план полёта. Везти с Земли Х кг водорода или Y кг радиоизотопа, способного долго и эффективно разогревать своим распадом местный атмосферный газ? Или, используя солнечное тепло, сформировать розьер? Взять более толстую плёнку для оболочки, чтобы газ сквозь неё просачивался меньше, или взять тонкую плёнку, но по мере утечки пополнять газ? А как поведёт себя тонкая плёнка в условиях инопланетных температур, давлений, химических компонентов атмосфер, проникающих излучений разных типов и проч.? Из каких компонентов её сделать для устойчивости ко всем подобным факторам без потери лёгкости и прочности? Везти с Земли лёгкий газ в баллоне под давлением или в химически связанном виде, а на месте выделять? Извлекать лёгкие компоненты из местной атмосферы или химически её перерабатывать, получая лёгкий газ? Выделить вес на солнечные батареи или на аккумуляторные? Или на изотопную энергоустановку? И т. д.

При решении этих главных вопросов химия привлекается так же постоянно, как и конструкторские соображения. Немалую роль играет и математика. C неё и начнём.

Расчёты плавучести аэростатов и возможности подъёма ими таких-то грузов на такие-то высоты всегда связаны с геометрией баллона: его подъёмная сила (архимедова по своей природе) пропорциональна объёму баллона, а в общий вес, который эта сила должна поднять, входит и вес оболочки баллона, пропорциональный площади её поверхности. (Причём, как правило, вес оболочки намного больше веса гондолы с полезным грузом.) Нередко баллон делают сферической формы (особенно если нужно, чтобы аэростат в ходе суточного цикла нагревания/остывания не менял высоту дрейфа: для этого газ в баллоне держат под небольшим избыточным давлением, и сферическая форма для этого вполне хороша). У сферы объём и площадь поверхности выражаются через её диаметр известными со школы выражениями:

V = (π/6)•D³ = 0,524•D³           S = π•D² = 3,142•D²           S = (36π)^1/3•V^2/3 = 4,836•V^2/3

Но сферами аэростаты далеко не ограничиваются. Так, лучшие показатели по прочности при атмосферной закачке (а это классика инопланетной развёртки баллонов) показала форма тыквы, ближайшим геометрическим образом которой может служить сплюснутый сфероид (правда, не поделённый стяжками на дольки). Одни из лучших аэродинамических показателей со времён первых дирижаблей демонстрирует форма сигары или огурца, которую можно примерно описать вытянутым сфероидом. А для монгольфьеров с горелками с точки зрения пожаробезопасности оболочки практика подсказала каплевидную или грушевидную форму, близкую к сочетанию сферы (или сплюснутого сфероида) с конусом. Наконец, в ряде случаев предпочтение отдают форме цилиндра (часто со сферическими или коническими торцами). Если же вспомнить, что помимо полезных научных и промышленных задач воздушные шары с самого начала служили и для развлечения публики, то в последних применениях форма баллона могла быть и бывала самой экзотической, вплоть до показанной на рис. справа.

________

* Баллон в форме 4-метровой фигуры сборщика винограда был изготовлен Ломоном и Роже (Lhomond et Roger) и пущен 13 марта 1785 г. Парижская гравюра 1785 г. [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb421400493].

Выводы уравнений объёмов и площадей поверхности в названных случаях являются более сложной задачей, тем более, что только сферу и правильные многогранники можно задать единственным параметром (диаметром, ребром), а все сфероиды и конусы задаются как минимум двумя параметрами (обычно общей высотой и максимальным диаметром). В силу осевой симметрии почти всегда у аэростатов есть диаметр D. Если мы в общем виде обозначим:

V = k_v•D³           S = k_s•D²           S = k•V^2/3           k = k_s/k_v^2/3,

то для наиболее распространённых в аэростатике форм баллонов, представленных на рисунках ниже, коэффициенты k_v, k_s, k будут следующими:

________

* Илл.: [https://scientificrussia.ru/data/auto/material/large-preview-nasa_pumpkin_balloon.jpg].

** Илл.: [http://img.chefdentreprise.com/Images/Breves/breve44449-0.JPG].

*** Илл.: [https://www.govisitcostarica.com/images/photos/full-hot-air-balloons-near-arenal.jpg].

Для баллонов-груш, как на последнем рисунке выше, только для малоупотребимой формы сфера + конус можно вычислить параметры k_v, k_s, k как функции отношения D/H:

D/Н = 0,3...0,4...0,5...0,75

k_v = 0,542...0,548...0,552...0,550

k_s = 3,764...3,687...3,596...3,322

k = 5,661...5,508...5,343...4,952.

У баллонов же, верхняя часть которых близка к сплющенному сфероиду (а это самый распространённый вид в данном классе), для расчёта коэффициентов надо ещё задать отношение диаметра к собственной высоте сфероида. Если мы, проанализировав реальные пропорции баллонов этого типа, примем его наиболее принятой формой (модельно) сплющенный сфероид с соотношением осей 3:2, стыкующийся с конусом, с общей высотой фигуры, равной 4/3 диаметра сфероида (см. рис. справа), то, из геометрических соображений*:

k_v =  0,455;     k_s = 3,610;      k = 6,106.

________

* Диаметр основания конуса и расстояние его от главного сечения сфероида замерены по рисунку; фигура разбита условно на три части: 1) верхняя половина сфероида; 2) средний фрагмент, который упрощённо (без большой ошибки) принят за усечённый конус; 3) нижний конус. Указанных на рисунке размеров достаточно, чтобы по формулам для указанных видов тел найти их боковые поверхности и объёмы, а затем и все соотношения, указанные синим цветом. Площадь сечения у аэростатов нужна, когда делаются тепловые расчёты поглощаемого ими теплового излучения.

Коэффициент k имеет смысл удельной поверхности, и для лучшей плавучести важно, чтобы он был возможно меньше. Тогда при равном объёме меньше будет весить оболочка баллона.

При утечке рабочего газа из баллона, последний меняет форму. Идеализированно можно принять, что по мере утечки баллон, нагруженный гондолой на привязи, будет принимать форму сферы, гладко переходящей в конус, причём у сечения этой фигуры (если оболочка не тянется, а у материалов инопланетной аэростатики обычно так и есть), периметр должен оставаться неизменным. Эта идеализация, изображённая для сферического баллона на рис. ниже (цифрами показан объём баллона), будет работать тем хуже, чем длиннее будет коническая часть, потому что собирающаяся у вершины такого квазиконуса ткань оболочки на деле превратит острую вершину в нечто мешковидное. Но на практике до этого, вероятнее всего, не дойдёт, потому что утечка даже сравнительно небольшой доли рабочего газа почти во всех случаях вызовет настолько катастрофическую потерю плавучести, что аэростат с гондолой быстро пойдёт вниз, причём рост атмосферного давления на этом пути добавит свой вклад в сокращение объёма баллона, и тот опустится на грунт или в плотные и горячие слои атмосферы, где и прекратит своё существование, не успев очень сильно деформироваться.

Для любой исходной формы баллона можно из геометрических соображений вычислить периметр сечения, а затем так же найти, какие D и Н будут у сдувающегося баллона в зависимости от его исходного и текущего объёмов. Особо важен в этом расчёте диаметр сферической части, так как он определяет сечение баллона по оси спуска, а это сечение входит в аэродинамическую формулу для определения скорости спуска. Уравнения, связывающие D и Н с V_o и V, обычно трансцендентны и не имеют аналитических решений, но решаются численно, а результаты расчётов можно описать тем или иным эмпирическим приближённым уравнением.

Так, для баллона-сферы исходного диаметра D_o и объёма V_o при текущем объёме V диаметр сферической части сферо-конуса примерно равен:

D ≈ D_o•[0,00222 + 1,1326•(V/V_o) – 0,1503•(V/V_o)²]^0,5.

Эта формула вплоть до Н/D ≈ 12 даёт погрешность не более 2,5%. Такому отношению Н/D соответствует потеря объёма баллона на 98,7%, что явно избыточно для подавляющего большинства реальных сценариев. Если же ограничиться как фатальным уровнем потерей примерно 75% объёма, то этому соответствует Н/D ≈ 4,1, и во всей области, не превышающей этого уровня фатальности, с погрешностью, не выходящей за 1,5%, работает более простое эмпирическое уравнение:

D ≈ D_o•[0,0588 + 0,930•(V/V_o)]^0,5.

С его использованием можно рассчитать и аэродинамическую площадь сечения:

S_сеч = π•D²/4 ≈ D_o²•(0,0462 + 0,730•V/V_o).

1. Алгебра размеров.

1. Size Algebra.

Два других коэффициента важны при расчёте размеров баллона, исходя из закона Архимеда. Согласно этому закону, на баллон объёмом V (м³) с газом плотностью ρ (кг/м³), в атмосфере, имеющей в данной точке плотность ρ_а (кг/м³), действует подъёмная (выталкивающая) сила:

F = V•(ρ_а – ρ)•g = k_v•D³•(ρ_а – ρ)•g,

где g (м/с²) – ускорение свободного падения (его везде, кроме, может быть, малого по размерам Титана, можно считать неизменным по высоте атмосферы). Эта сила облегчает вес, во-первых, оболочки баллона G_об, и во-вторых, гондолы, которая к баллону крепится и несёт полезный груз G = M_г•g, где М_г – масса гондолы (кг). В аэростатике принято плотность материала оболочки выражать не в объёмных (кг/м³), а в поверхностных единицах ρ_об (кг/м²). Так проще выразить вес оболочки через её поверхность:

G_об = S•ρ_об•g = k_s•D²•ρ_об•g.

Запишем разность выталкивающий силы и веса оболочки (без учёта полезного груза):

Y = F – G_об = k_v•D³•(ρ_a – ρ)•g – k_s•D²•ρ_об•g.

Если правую часть последнего уравнения представить графически как функцию Y(D) (см. рис. справа), то при малых диаметрах баллона она будет отрицательна, затем при некотором D_о в точке А станет равна нулю (этот момент, когда подъёмная сила сравнивается с весом оболочки, можно назвать точкой нулевой плавучести), а затем при некотором D_г в точке В численно сравняется с весом полезного груза G, и D_г будет тем искомым диаметром баллона, который обеспечит подъём данного полезного груза G к заданной высоте дрейфа. (Высота здесь задаётся косвенно, через ρ_a = f(H).)

D_о найти совсем просто. В уравнении Y = 0 сокращаются g и D², и получается:

D_о = k_s•ρ_об/[k_v•(ρ_a – ρ)] = (k_s/k_v)•ρ_об/(ρ_a – ρ).

Но нам не очень важно, чтобы оболочка сама себя поднимала, надо, чтобы она несла полезный груз, и искать следует D_г, а не D_о. Если масса полезного груза и масса оболочки баллона близки, то для нахождения D_г придётся решать кубическое уравнение, которое получается из Y – G = 0 после сокращения одинакового при всех слагаемых множителя g:

k_v•D³•(ρ_a – ρ) – k_s•D²•ρ_об – М_г = 0.

Однако часто (а в инопланетной аэростатике почти всегда) в этом уравнении одно из двух слагаемых массы заметно меньше другого, и тогда решение упрощается. Начнём со случая, когда масса оболочки намного больше массы полезного груза,

k_s•D²•ρ_об >> М_г.

При этом разница D_г – D_о весьма мала, и для её нахождения можно в точке А разложить функцию Y (или Y/g) в ряд Маклорена и ограничиться первым (линейным) членом ряда. Или, что то же, воспользоваться тем, что в прямоугольном треугольнике САВ тангенс угла при вершине А, с одной стороны, весьма близок к производной функции Y в точке А, а с другой стороны, геометрически равен отношению ВС/АВ, то есть G/(D_г – D_о). Производная Y вычисляется легко:

dY/dD = 3•k_v•D²•(ρ_a – ρ)•g – 2•k_s•D•ρ_об•g = k_v•D²•(ρ_a – ρ)•(3 – 2•D_о/D)•g.

Приравняв производную при D = D_о к названным выше отношениям сторон в треугольнике САВ, получим, после сокращения g:

М_г/(D_г – D_о) = k_v•D_о²•(ρ_a – ρ),

откуда выражаем искомый диаметр:

D_г = D_о + М_г/[k_v•D_о²•(ρ_a – ρ)] = (k_s/k_v)•ρ_об/(ρ_a – ρ) + М_г•k_v•(ρ_a – ρ)/(k_s•ρ_об)².

В полученном выражении, если заданы геометрия и материал баллона и масса полезного груза, единственной переменной остаётся величина (ρ_a – ρ), причём характер зависимости таков, что при некотором значении разницы плотностей диаметр баллона окажется минимальным. Это значение можно найти, продифференцировав D_г по (ρ_a – ρ) и приравняв производную нулю. Оказывается, что в точке минимума:

ρ_a – ρ = (k•ρ_об)^1,5/М_г^0,5;          D_г = 2•М_г^0,5/(k_s•ρ_об)^0,5.

Таким образом, задав массу полезного груза, материал (ρ_об) и геометрию баллона (k, k_s), можно узнать и минимальный размер баллона, и плотность газа, которую в нём надо поддерживать для дрейфа в слоях атмосферы с плотностью ρ_а.

Это был случай небольшого груза при массивном баллоне, для атмосфер со слабой подъёмной силой. Теперь рассмотрим вариант, когда всё наоборот, подъёмная сила хороша (как, например, на Венере, а иногда и на Земле, и на Титане). При этом может оказаться, что

k_s•D²•ρ_об << М_г.

В таком случае вспомогательной функцией к базовому кубическому уравнению

Y = k_v•D³•(ρ_a – ρ) – k_s•D²•ρ_об – М_г,

у которого мы ищем Y = 0, лучше выбрать другое выражение:

Y₂ = k_v•D³•(ρ_a – ρ) – М_г.

На рис. справа показаны обе функции (Y₂ синим цветом) и легко находимый для Y₂ = 0 диаметр D_o:

D_o = {М_г/[k_v•(ρ_a – ρ)]}^1/3.

Далее, так же, как в треугольнике АВС в первом случае, находим производную dY/dD в точке С (при D = D_o) и приближённо приравниваем её к отношению катетов треугольника:

dY/dD = 3•k_v•D²•(ρ_a – ρ) – 2•k_s•D•ρ_об;

АС/АВ = k_s•D_o²•ρ_об/(D_г – D_o),

где АС является разницей Y₂ – Y при D = D_o. Отсюда можно выразить:

D_г = D_o + 1/[3•(k_v/k_s)•(ρ_a – ρ)/ρ_об – 2/D_o].

Если проанализировать зависимость последнего выражения от разницы плотностей (ρ_a – ρ) (а от этой разницы зависит и входящий в выражение D_o), то выясняется, что минимума в данном случае нет. Диаметр D_г лишь возрастает при уменьшении подъёмной силы (ρ_a – ρ).

Оба изложенных подхода подразумевают, что из каких-то соображений мы знаем, в каком соотношении находятся в решаемой задаче масса полезного груза и оболочки. Но такое знание заранее есть не всегда. Когда его нет, кубического уравнения не миновать, но можно свести его к более лёгкому в решении уравнению с одним параметром. Это удобно сделать подстановкой новой безразмерной переменной δ:

δ = D•(k_s•ρ_об/М_г)^0,5;         D = [М_г/(k_s•ρ_об)]^0,5•δ.

После подстановки уравнение для решения примет вид с одним параметром А:

А•δ³ – δ² – 1 = 0;         А = (ρ_a – ρ)•М_г^0,5/(k•ρ_об)^1,5.

Результат его решения показан на рис. справа. При этом погрешность менее 1% дают следующие простые приближения:

а) при A ≤ 0,29:         δ ≈ А + 1/А;

б) при A ≥ 6:         δ ≈ 1/А^1/3 + 1/(3А).

Область приближения «а», закрашенная на рисунке зелёным цветом, соответствует первому разобранному выше случаю (оболочка тяжелее аппаратуры), а красная часть линии (область приближения «б») – второму случаю (аппаратура тяжелее оболочки). Между ними остаётся промежуточная область (синяя часть линии; аппаратура и оболочка не слишком сильно различаются по массе), где погрешность не более 1% обеспечивает такое приближение:

в) при 0,29 < A < 6:         δ ≈ 1,473•А^{0,0826•ln(А) – 0,6292}.

В довольно широком интервале значений с высокой точностью (погрешность не более ±0,3%, типичная погрешность ±0,0÷0,2%) можно пользоваться таким эмпирическим уравнением:

г) при 0 < A < 8,5:         δ ≈ А + 1/А – А³/(0,4124 + 0,4783•А + 0,9892•А²).

2. Алгебра температур.

2. Temperature Algebra.

Во многих случаях существенные или хотя бы достаточно заметные коррективы в движение аэростатов вносит нагрев или охлаждение баллона от окружающей атмосферы и потоков излучений. При этом температура газа в баллоне T оказывается не равна температуре окружающей атмосферы T_а. Отношение этих температур θ = Т/T_а задаётся двухпараметровым иррациональным уравнением:

θ⁴ + A₁•(θ – 1)^4/3 – A₂ = 0,

параметры которого A₁ и A₂ составляются из физических величин достаточно сложным образом, и здесь, рассматривая алгебраическую сторону вопроса, можно абстрагироваться от этой физики, а желающие вникнуть в неё могут сделать это, заглянув в Приложение 1.

При A₂ = 1 от A₁ величина θ = 1 не зависит. При A₂ < 1 всегда A₂^1/4 < θ < 1, а при A₂ > 1 всегда 1 < θ < A₂^1/4. Это можно показать, переписав двухпараметровое уравнение в виде:

A₁•(1 – θ)^4/3 = θ⁴ – A₂

и обозначив левую часть у₁ (синяя функция на графике справа), а правую – у₂ (на графике – у_2а жёлтого цвета для случая A₂ < 1 и у_2б красного цвета для случая A₂ > 1). Синяя функция по определению всегда проходит через точку (θ = 1; у = 0) в нисходящем направлении. Жёлтые и красные функции по определению всегда восходящие и пересекают ось θ в точке θ_о = A₂^1/4, которая играет роль нулевого приближения. Истинным же решением будет θ (на графике – θ_а и θ_б) в точке пересечения жёлтой или красной функции с синей. Из рисунка очевидно, что у любой жёлтой функции θ_оа < θ_а, а у любой красной – наоборот, θ_об > θ_б. В предельном случае при A₂ = 1 кривые пересекутся в точке θ = 1; у = 0, что будет означать равенство температур газа в баллоне и в окружающей атмосфере.

Если не требуется высокая точность, найти θ можно по номограмме (рис. внизу), вычислив параметры A₁ и A₂ и визуально оценив либо по логарифмической, либо по обычной номограмме (где удобнее и точнее), какое значение θ им соответствует (на номограммах показаны значения θ с шагом 0,05 во всём практически значимом интервале 0,5 < θ < 2; на обычной номограмме область A₂ < 0 не имеет физического смысла, и здесь показана лишь для удобства различения значений θ в нисходящем пучке; алгебраический же смысл у неё есть).

Если нужна точность до сотых долей или выше, придётся делать расчёты. Иногда быстро даёт результат итерационный метод, суть которого в том, что вычисляется или задаётся некое нулевое приближение, а затем оно циклично подставляется в некое выражение, пока не перестанет меняться с точностью до требуемого знака.

Нулевое приближение можно найти по номограмме, а если значение A₁ и/или A₂ выходит за пределы, охваченные номограммами, то часто даёт неплохой результат приближение:

θ_о = A₂^1/4.

Подставив это значение θ_о в двухпараметровое уравнение, мы получим не ноль, а некоторую малую величину Δ_о:

Δ_о = θ_о⁴ + A₁•(θ_о – 1)^4/3 – A₂ = A₁•(A₂^1/4 – 1)^4/3.

Затем мы ищём решение в виде следующего шага итерации:

θ₁ = θ_о – δ₁,

где δ₁ – малая по величине поправка к θ_о. Подставив это выражение для θ₁ в двухпараметровое уравнение и разложив в нём в биномы оба степенных выражения, пренебрегая всеми степенями δ₁, кроме первой (ввиду их прогрессирующей степени малости):

(θ_о – δ₁)⁴ ≈ θ_о⁴ – 4•θ_о³•δ₁;         (θ_о – δ₁ – 1)^4/3 ≈ (θ_о – 1)^4/3•[1 – (4/3)•δ₁/(θ_о – 1)],

мы сможем из этого уравнения выразить:

δ₁ = Δ_о/[4•θ_о³ + (4•A₁/3)•(θ_о – 1)^1/3].

Подставив θ₁ = θ_о – δ₁ в двухпараметровое уравнение, получим ещё более малую величину Δ₁, и, если она окажется недостаточно близка к нулю, можно повторять аналогичные шаги

δ_i+1 = Δ_i/[4•θ_i³ + (4•A₁/3)•(θ_i – 1)^1/3],
или θ_i+1 = θ_i – [θ_i⁴ + A₁•(θ_i – 1)^4/3 – A₂]/[4•θ_i³ + (4•A₁/3)•(θ_i – 1)^1/3]

до достижения приемлемого результата. Обычно лучше при этом следить за значениями δ_i, а не Δ_i, потому что наша цель – найти θ (точнее, Т = Т_a•θ). При этом нет практической необходимости вычислять Т с точностью более ~1 K, и увидев, что очередная поправка δ_i даёт поправку ΔТ_i = Т_a•δ_i < ~1 K, можно считать задачу решённой.

Однако даже в сравнительно небольшом объёме вычислений по итерационному алгоритму в Приложении 1 обнаружился случай, когда потребовалось 12 шагов-итераций для получения нужной точности. В такой ситуации быстрее найти решение с помощью электронной таблицы (OpenOffice или любой другой). Алгоритм действий при этом таков:

1) Находим нулевое приближение по номограмме или расчётом (θ_о = A₂^1/4);

2) Если θ_о > 1, то истинное значение θ будет меньше θ_о, и наоборот (см. выше). Поэтому строим столбец из значений θ_i, соответственно, либо уменьшаемых, либо увеличиваемых в каждой строке на 0,1, так, чтобы покрыть интервал либо от θ_о до 1 (при θ_о < 1), либо от 1 до θ_о. (На практике достаточно весьма небольшого по длине столбца, порядка 10 строк.)

3) Рядом строим столбец значений обнуляемой функции y_i = θ_i⁴ – A₁•(1 – θ_i)^4/3 – A'₂. В какой-то строке произойдёт смена знака функции y_i, что означает нахождение искомого ответа внутри соответствующего интервала от θ_i до θ_i + 0,1.

4) Берём значение θ_i и, как в п. "2", строим столбец из значений θ_i, увеличиваемых в каждой строке на этом шаге уже на 0,01 (поскольку весь интервал равен 0,1, строк понадобится всего 10).

5)... Повторяя процедуру п. "3", находим вдесятеро более узкий интервал искомого ответа от θ_i до θ_i + 0,01, затем, при необходимости, аналогично от θ_i до θ_i + 0,001, и т. д.

1. Плотности атмосфер.

1. Atmospheric densities.

Для различных практических расчётов бывает полезно или даже необходимо через универсальный газовый закон P•μ = ρ•R•T задать связь плотности газа в баллоне ρ с плотностью окружающей атмосферы ρ_а. В атмосферах с высокими температурами и/или давлениями (Венера, газовые гиганты) от универсального газового закона могут наблюдаться известные отклонения. Если они настолько заметны, что влияют на точность расчёта, нужно применять вместо универсального газового закона уравнение реальной газовой смеси. Хорошей теории реальных газовых смесей нет, а из имеющихся эмпирических уравнений, по-видимому, наиболее практично полуэмпирическое уравнение Битти – Бриджмена 1927 г.*, описывающее связь плотности ρ с давлением Р, абсолютной температурой Т и молярной массой μ через универсальную газовую постоянную R_г и пять констант А_о, В_о, а, b, c:

P•μ/ρ = R_г•Т•[1 – (с/T³)•(ρ/μ)]•[1 + В_о•(ρ/μ) – b•В_о•(ρ/μ)²] – A_о•(ρ/μ)•[1 – a•(ρ/μ)].

________

(+ 15.01.2020:) * James Alexander Beattie (1895–1981) работал на химическом факультете Массачусеттского Технологического Института (фото слева), был автором классической монографии «Principles of thermodynamics», выдержавшей 15 изданий (J. L. Kinsey, I. Oppenheim. A memorial to James Alexander Beattie, 1895–1981. MIT, 1981 [http://worldcat.org/identities/lccn-n79122319/]; [http://1964.alumclass.mit.edu/s/1314/2015/club-class-main.aspx?sid=1314&gid=55&pgid=10777#james]); Oscar Cleon Bridgeman (1897–1967), показав в годы учёбы отличные успехи в химии и математике (фото справа), в 1920-х начал химическую карьеру в Институте Карнеги, затем изучал вязкость жидкостей, работал в нефтяной компании Phillips и в Национальном Бюро Стандартов (A. S. Morton’s History of the University of Saskatchewan’s First 25 Years [https://library.usask.ca/archives/campus-history/pdfs/Essays2006_Morton.pdf]; [https://catalog.hathitrust.org/Record/001615808]).

Минусами уравнения Битти – Бриджмена являются его громоздкость и ограниченность областями температур (от −252 до +400°C) и давлений (до 200 атм.), что не позволяет пользоваться им для описания плотности внутри газовых гигантов ниже первых сотен километров (но атмосферы Венеры, Земли, Марса и Титана это уравнение покрывает практически полностью). А важным плюсом его является то, что его константы для любой атмосферы можно просто рассчитать через константы и молярные (они же объёмные или парциальные) доли газов-компонентов (х_i)*:

А_{о mix} = (Σх_i•А_{о i}^0,5)²;             Z_mix = Σх_i•Z_i         (Z = В_о, а, b, c, μ).

________

* Jiří Bareš et al. Collection of Problems in Physical Chemistry. Oxford, 1976, pp. 162–163 [https://books.google.ru/books?id=NN79BAAAQBAJ].

Значения констант уравнения Битти – Бриджмена для тех газов-компонентов, из которых составлены атмосферы всех аэростатически важных тел Солнечной системы, таковы*:

________

* Bahman Zohuri. Combined Cycle Driven Efficiency for Next Generation Nuclear Power Plants, 2015, p. 30, table 2.2 [https://books.google.ru/books?id=SrhnBwAAQBAJ].

Сетевые, да и книжные версии изложений уравнения Битти – Бриджмена как-то фатально подвержены опечаткам. У Зохури в нескольких (помимо приведённой) публикациях всюду в формуле стоит неверный знак перед членом B_o (минус вместо плюса), а в таблице неверная размерность А_o (Па•м³/моль² вместо Па•м⁶/моль²). У Вана в диссертации константа с для Н₂ равна 0,504 K³•м³/моль (со ссылкой на работу G. N. Hatsopoulos and J. H. Keenan, Principles of General Thermodynamics, 1965), а у Зохури она равна 5,04 K³•м³/моль, и я не знаю, кто из них прав (Caisheng Wang. Modeling and control of hybrid wind/photovoltaic/fuel cell distributed generation systems. Montana, 2006, p. 220, tabl. 4.9 [http://scholarworks.montana.edu/xmlui/bitstream/handle/1/2497/WangC0806.pdf]). А у Кляйна и Неллиса со ссылкой на Cravalo and Smith, Jr., Engineering Thermodynamics, Boston, 1981, у констант a, b и B_o для CO₂ пропущен множитель 10^–6 (S. A. Klein and G. F. Nellis, Thermodynamics. Cambridge, 2011, Table 10.A-1 [http://www.cambridge.org/kr/download_file/212449/&usg=AFQjCNFAd6IBPfd917TvKyNOabpjsTEziA]).

По этим данным можно рассчитать константы для атмосфер:

Венеры (96,5% CO₂ + 3,5% N₂ [проценты здесь и ниже мольные]; μ_а = 0,04344 кг/моль);

Титана (на высотах 0–7 км: 94,3% N₂ + 5,7% СН₄; μ_а = 0,02732 кг/моль; от 40 км и выше: 98,5% N₂ + 1,5% СН₄; μ_а = 0,02782 кг/моль; в промежуточной области доля СН₄ меняется так, как показано на рис. справа*, и соответственно меняется μ_а);

и Юпитера (в атмосфере и начальных глубинах – 84,5% Н₂ + 15,5% Не; μ_а = 0,00231 кг/моль**):

________

* Titan: Interior, Surface, Atmosphere, and Space Environment. N. Y., 2014, p. 162, fig. 5.3 (по данным Niemann et al., 2010) [https://books.google.ru/books?id=XSVOAgAAQBAJ].

** Alvin Seiff et al. Thermal structure of Jupiter's atmosphere near the edge of a 5-μm hot spot in the north equatorial belt. // Journal of Geophysical Research, Volume 103, Issue E10, 25 September 1998, pp. 22857-22889 (Tabl. 8, p. 22875) [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/98JE01766/pdf].

Выписав из литературы для этих планет данные о температурах и давлениях на разной высоте и прорешав уравнения Битти – Бриджмена для каждой высоты, можно в итоге получить для каждой высоты уточнённое значение плотности атмосферы ρ_{а (BB)}. А поделив его на ρ_а, вычисленные по универсальному газовому закону, можно получить высотные поправки к плотности, k_BB = ρ_{а (BB)}/ρ_а = f(H). Для Венеры плотность по Битти – Бриджмену должна давать очень точные результаты*, для Титана, скорее всего, тоже, а для Юпитера я посчитал плотность в двух вариантах, с константой c по Зохури и по Вану, – и оказалось, что различия между ними ничтожны, в пятой значащей цифре (этого и следовало ожидать, так как член (с/T³)•(ρ/μ), куда входит с, не превышал в расчётной зоне ~7•10^–5, а вычитается он в формуле Битти – Бриджмена из единицы). Результаты расчётов представлены в таблицах и на рисунках ниже. Из них видно, что для Венеры поправка составляет не более 2,8%, для Титана – не более 4%, для Юпитера же она заметнее, достигая ~30% на глубине 750 км, куда я рискнул экстраполировать имеющиеся данные. (Эта экстраполяция, откровенно говоря, может быть и за гранью фола; во всяком случае, уравнение Битти – Бриджмена для таких высоких температур и давлений уже не гарантирует своей фирменной точности, да и сами экстраполяции температур и давлений гадательны, о чём ниже будет сказано.)

________

* В учебном пособии д-р Jeffrey Altig сравнил молярные объёмы CO₂ при 400 К и 100 атм. Формула идеального газа дала 0,3282 л/моль, расчёт по простейшему уравнению реальных газов, выведенному Ван дер Ваальсом, дал 0,3818 л/моль, по Битти – Бриджмену вышло 0,2673 л/моль, а фактические данные для этих условий показывают 0,2680 л/моль [http://infohost.nmt.edu/~jaltig/GasModels.pdf]. Т. е. универсальный газовый закон дал погрешность +22%, формула Ван дер Ваальса – +42%, а Битти – Бриджмена – –0,26%.

Атмосфера Венеры

Atmosphere of Venus

________

* G. A. Landis, A. Colozza, C. M. LaMarre. Atmospheric Flight on Venus (Technical Memorandum NASA/TM—2002-211467), p. 3, tabl. 1 [http://web.archive.org/web/20041103163630/http://gltrs.grc.nasa.gov/reports/2002/TM-2002-211467.pdf]. Источник данных в этом меморандуме не раскрыт, сообщается лишь, что это усреднённые значения. Кроме температуры и давления там приведена также плотность, но она не очень хорошо коррелирует с давлениями и температурами, так как молярная масса, которую из трёх этих величин легко рассчитать по универсальному газовому закону, обнаруживает, на фоне в целом понятной и логичной тенденции (медленное падение выше 20–25 км ввиду накопления более лёгких и диссоциированных молекул и быстрое падение ниже 20 км ввиду нарастающих отклонений от модели идеального газа), три загадочных провала: при 30 км, при 80 км и особенно при 90 км. Ввиду неясности, то ли это просто артефакт обработки данных, то ли истинная особенность атмосферы Венеры, я предпочёл плотности из меморандума в таблицу не включать, дав лишь расчётные плотности для идеального газа и газа по Битти – Бриджмену.

На нижнем рис. справа от таблицы для сравнения и предостережения добавлены (явно не соответствующие действительности) результаты, полученные расчётом по формуле Ван дер Ваальса для CO₂.

Поскольку хорошая эмпирическая формула любой зависимости никогда не бывает лишней, я уделил некоторое время подбору формулы, которая бы описала любопытную кривую k_BB для Венеры. Кривая показала нрав, и лишь с помощью 4-параметровой зависимости (правда, 4-й параметр определялся по трём другим) она поддалась моим усилиям. И вид формулы и значения параметров я подбирал сугубо формально, чисто математическими средствами. Тем больше было моё удивление, когда все три независимых параметра с точностью до четвёртой значащей цифры, то есть много меньше размеров естественных флуктуаций любых атмосферых параметров, простыми кратными соотношениями увязались с неким числом, возможно, являющимся каким-то реальным физическим параметром атмосферы Венеры. Оно имело размерность высоты и равнялось ~37 км. Тогда я уже специально сделал уравнение двухпараметровым, причём внёс это число (H_a) в безразмерную переменную для высоты h = H/H_a, и после оптимизации параметров аппроксимация для k_BB оказалась такой:

k_BB = 1 + (2•h – 0,9813)•e^–h2/[H_a•(1 + h)],         где H_a = 37,16 км.

Погрешность этой формулы не превышает ±0,04%. С максимумом кривой k_BB число H_a не совпадает: он приходится на ~34,2 км и равен ~1,00535. Сделав уравнение трёхпараметровым (поскольку появление в нём размерного параметра H_a в роли ещё и безразмерного сомножителя не очень физично), можно снизить погрешность до ±0,03%; при этом H_a = 36,82 км и

k_BB = 1 + (2•h – 0,9907)•e^–h2/[37,58•(1 + h)].

Атмосфера Титана

Atmosphere of Titan

________

* Paul J. Schinder et al. The Structure of Titan’s Atmosphere from Cassini Radio Occultations, Tabl. 2, 3 [https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20110022593.pdf]. (Взяты средние данные из табл. 2 и 3.)

На Титане форма кривой k_BB проще, и подбор эмпирического уравнения для её описания также был проще, но, что любопытно, в параметрах уравнения и здесь проявилась некая константа, причём довольно близкая к венерианской, а именно, 36,7 км. При введении безразмерной высоты h = H[км]/36,7 эмпирическое выражение для k_BB на Титане таково:

k_BB = 1 + 1,0394•e^{–0,734•h•(1 + h)} = 1 + 1,0394•e^{–0,02•36,7•h•(1 + h)},

с погрешностью не более ±0,07%.

Плотность атмосферы Титана по Битти – Бриджмену можно вплоть до высоты H = 50 км выразить с погрешностью не более ±0,55% эмпирическим уравнением:

ρ_{а (BB)} [кг/м³] = 5,423•e^{–0,03918•Н•(1 + 0,00968•Н – 0,0000380•Н2)}.

Выше начинается область температурной инверсии, и при 60 км это уравнение завышает величину ρ_{а (BB)} на 0,73%, при 70 км – на 17,6% (0,091 кг/м³ вместо 0,0772 по Битти – Бриджмену), при 80 км – занижает на 5,9% (0,045 кг/м³ вместо 0,0475). Какой-либо явной связи с константой 36,7 км в этом уравнении не видно.

Атмосфера и ближние недра Юпитера

The atmosphere and near bowels of Jupiter

Атмосферу Юпитера, то есть ту часть его внешних слоёв, где давление не превышает 1 атм., можно смело считать идеальным газом. Молярная масса его на высотах менее 250 км стабильно соответствует смеси 84,5% Н₂ + 15,5% He, а выше начинает падать, что, видимо, отражает нарастание доли водорода, в том числе диссоциированного внешним излучением. Та же стабильная молярная масса зарегистрирована и на всех 132 км исследованных недр Юпитера (см. рис. справа*), и можно полагать, что тенденция сохраняется и глубже, мало меняясь в первых сотнях километров. На границе атмосферы и недр k_BB = 0,9994, а выше поправка ещё ближе к единице. Но в недрах отличия от идеального газа, естественно, нарастают.

________

* По данным Alvin Seiff et al. Op. cit., pp. 22873, 22875, Tabl. 7, 8. На рисунке показана несколько приглаженная тенденция; в измерениях имеются две точки, выпадающие из общего интервала μ_a = 2,304÷2,309: при H = 0, μ_a = 2,361 г/моль и при H = –75 км, μ_a = 2,334 г/моль. Это может говорить о наличии турбулентных облачков, обогащённых гелием или более высокомолекулярными соединениями (третий по значимости компонент Юпитера – вода).

В литературе* приводятся измеренные значения параметров недр Юпитера до глубины 132,4 км, где температура достигла 427,7 К, а давление – 22 атм. Температура на всём этом интервале глубин практически линейно повышается вглубь, ниже ~ –80 км, её рост стабилизируется на уровне ~1,945 К/км (см. рис. справа). Стационарные решения уравнений теплопроводности и теоретически предсказывают, что в приповерхностном слое тела с внутренним теплом, внешним радиационным облучением и собственным тепловым излучением температура приблизительно линейно изменяется с глубиной. А принятые модели теплового баланса Юпитера все подходят под такую схему.

________

* По данным Alvin Seiff et al. Op. cit., p. 22873, Tabl. 7.

Если рискнуть экстраполировать эту линейную зависимость ещё на несколько сотен км, то окажется, что область плавления стальных сплавов (~1700 K) лежит на глубине порядка 770 км. Правда, ещё задолго до плавления практически все металлы начинают сильно терять механическую прочность. Поэтому глубина ок. 750 км ставит нам, видимо, естественный барьер для аппаратурных исследований Юпитера, который любые достижения материаловедения в обозримом будущем вряд ли преодолеют. Это чуть более 1% от радиуса Юпитера, и такой небольшой слой можно, по-видимому, считать поверхностным слоем, где профиль температуры почти линеен. Следует отдавать себе отчёт, что точно линейным вглубь он оставаться не может, и чем глубже мы хотим заглянуть, тем меньше уверенности, что расчётная температура окажется именно на этой глубине. Иными словами, мы будем иметь дело с некоей квазиглубиной Ĥ, рассчитанной по линейному повышению температуры:

T(Ĥ) = 427,7 + 1,945•(–Ĥ – 132,4) = 170,2 – 1,945•Ĥ;       или –Ĥ = 0,514•T – 87,5.

Как Ĥ связана с истинной глубиной H, модели Юпитера пока надёжно показать не могут, но понятно, что на сравнительно небольших глубинах эта связь вряд ли сильно будет отличаться от простого равенства.

При известной неопределённости с привязкой к глубине, современные модели Юпитера дают довольно точные привязки друг к другу трёх главных для аэростатики параметров – давления, температуры и плотности. Чаще всего эти привязки строятся на базе уравнения состояния водородно-гелиевых смесей, предложенного в 1995 г. и по именам авторов, Saumon, Chabrier и van Horn, называемого SCvH-уравнением. Фактически, это не уравнение, а довольно сложный расчётный алгоритм*, но, к счастью для нас, атмосферу Юпитера по этому алгоритму уже не раз рассчитывали; два результата таких расчётов показаны на рис. внизу**.

________

* D. Saumon, G. Chabrier & H. M. van Horn. An Equation of State for Low-Mass Stars and Giant Planets. // Astrophysical Journal Supplement, 1995, v. 99, pp. 713–741 [http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1995ApJS...99..713S/0000727.000.html].

** Слева: Tristan Guillot. The Interiors of Giant Planets Models and Outstanding Questions (2005). Fig. 1 (p. 5) [https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0502068.pdf].

Справа: Yohai Kaspi and Glenn R. Flierl. Equatorial Super-rotation on Gas Giants Driven by Internal Convection (2009). Fig. 1 [http://www.weizmann.ac.il/eserpages/kaspi/posters/EquatorialSupperrotation.pdf]. В логарифмических осях плотности и температуры розовым пунктиром показаны изобары идеального газа, синими линиями – изобары, рассчитанные по SCvH-уравнению, черная пересекающая их линия описывает простую адиабатическую модель Юпитера, красная – уточнённую в расчётах Guillot. Вблизи красной линии зелёным цветом SCvH-изобары проведены с более мелким шагом.

Если результаты расчётов Гильо (красная линия на правом рис. выше) отобразить в логарифмических координатах плотность – температура и давление – температура, получатся линии с не слишком сильно выраженной кривизной (особенно для плотности), которые хорошо аппроксимируются параболами во всём потенциально аэростатическом интервале температур (см. рис. справа). Ширина этого интервала, охваченная, с одной стороны, данными зонда Галилео (возьмём из них область постоянной молярной массы, от высоты ~250 км до глубины ~ –132 км), а с другой стороны, расчётами Гильо, составляет от ~150 K до ~428 K, а в логарифмических единицах это будет от ~2,18 до ~2,63 (сине-зелёная область на рис.). Нам желательно довести этот интервал до ~1700 К (3,23 в логарифмических единицах; жёлтая область на рис.). То есть от логарифмической ширины интервала 0,45 перейти к ширине 1,05. В общем случае это был бы слишком далёкий от надёжности шаг экстраполяции, но с учётом (а) слабой криволинейности экстраполируемых зависимостей и (б) теоретического подкрепления в виде SCvH-расчётов Гильо и др., можно надеяться, что, сделав его, в существенную ошибку мы не впадём.

В итоге математической обработки экспериментальных данных Galileo и расчётных SCvH-значений из указанных выше источников я пришёл к выводу, что практически во всей аэростатической области температур и давлений достаточную точность даёт уравнение Битти – Бриджмена*. В области фактических данных Galileo оно вначале полностью совпадает с измеренными значениями плотности, а вглубь начинает несколько отставать от них (например, на глубине 50 км отстаёт на 0,04%, на 100 км – на 0,35% и в конце, на 123,4 км – на 0,86%).

________

* Для нахождения констант парабол я добавил надёжный и многоточечный массив данных Galileo из работы Seiff с сотр. к тем пяти приблизительно замеренным по рисунку точкам, по которым построены SCvH-линии на последнем рис. А в качестве контроля нашёл также константы парабол только по массиву данных Galileo, причём для устранения случайных факторов исключил из массива две выпадающие точки, о которых сказано в сноске к первому абзацу данной подглавки. C помощью прекрасного онлайн-сервиса http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-mnk-i-regressionniy-analiz, неоценимо облегчившего эти и многие другие расчёты в данной работе, были получены выражения как для «очищенного» массива Galileo:

lg(ρ_Gal[кг/м3]) = 0,3453•lg²(T[K]) + 0,5992•lg(T[K]) – 3,8115;
lg(P_Gal[бар]) = 0,3308•lg²(T[K]) + 1,672•lg(T[K]) – 5,3459,

так и для сводного массива («неочищенный» массив Galileo + 5 точек SCvH):

lg(ρ_SCvH[кг/м3]) = 0,1415•lg²(T[K]) + 1,5754•lg(T[K]) – 4,9752;       lg(P_SCvH[бар]) = 15 – 20,79•[1 – 0,216•lg(T[K])]^0,5.

Оказалось, что зависимость ρ_SCvH(Т) до Т = ~640 K, т. е. до средней SCvH-точки, в пределах точности графических замеров совпадает с зависимостью ρ_Gal(Т), а при Т > ~640 K кривая ρ_Gal начинает уходить выше кривой ρ_SCvH. Зависимость Р_SCvH(Т) совпадает с Р_Gal(Т) на ещё большем интервале, до Т = ~1240 K, т. е. до предпоследней SCvH-точки, а при Т > ~1240 K наблюдается отставание Р_Gal от Р_SCvH.

Таким образом, в конце нашей зоны аэростатической экстраполяции параболы перестают совпадать. У парабол с индексами Gal есть опора на реальные измерения, но мал интервал температур. У парабол с индексами SCvH интервал шире, но за ними нет эксперимента, это хорошая, но теория; плюс точки для их построения получены графическим считыванием, что может внести погрешность до ±5,4% по плотности и до ±1,1% по температуре. В этой ситуации неочевидного выбора представилась возможность привлечь независимый контрольный расчёт по существенной части спорного интервала с помощью уравнения Битти – Бриджмена. Судя по области его применимости, оно в данных логарифмических координатах должно хорошо работать практически до предпоследней SCvH-точки (вообще говоря, до Т < ~670 K, то есть немногим дальше средней точки; но водород и гелий из реальных газов ближе всех к газу идеальному, так что для них, – а значит, и для Юпитера, – интервал хорошей применимости уравнения Битти – Бриджмена, думается, должен быть шире).

На последней точке массива Galileo уравнение Битти – Бриджмена даёт плотность на 0,86% меньше фактической. В средней SCvH-точке, где оно должно хорошо работать, плотность по Битти – Бриджмену на 6,9% выше, чем по уравнению SCvH, и на 1,0% меньше экстраполяции ρ_Gal (при этом Р_Gal = 89,1 бар, Р_SCvH = 100 бар). В следующей SCvH-точке, где давления близко совпадают по обеим параболам (Р_Gal = 971,4 бар, Р_SCvH = 1000 бар), выходит ρ_ВВ = 0,85•ρ_Gal = 0,95•ρ_SCvH. На графике (рис. справа) хорошо заметно, что точки ρ_ВВ начинают область экстраполяции с загиба вверх от линии ρ_SCvH, продолжая не показанную в этой области графика, но существующую тенденцию массива ρ_Gal. И это по физическим условиям область хорошей работы уравнения Битти – Бриджмена. К следующей точке, где тоже можно полагать, что уравнение Битти – Бриджмена ещё достаточно адекватно, мы видим, что ρ_ВВ уже прекращает уход вверх и ложится почти на линию ρ_SCvH. А в последней точке ρ_ВВ, продолжая свою наметившуюся ранее S-образную траекторию, несколько уходит под линию ρ_SCvH, что может объясняться здесь как техническими погрешностями графических замеров, так и сущностными погрешностями (утратой применимости уравнения Битти – Бриджмена в этих достаточно экстремальных физических условиях). Но эта сомнительная последняя точка лежит за пределами аэростатической зоны и утилитарно нам не важна. А весь важный для нас диапазон, как мы убедились, адекватнее всего описывает уравнение Битти – Бриджмена.

При этом связь давления с температурой достаточно точно (с погрешностями не более долей процента для всего массива Galileo) задаёт приведённое в сноске к предыдущему абзацу эмпирическое уравнение для расчёта P_SCvH. Задаваясь величинами Ĥ, рассчитываем по ним Т, затем по эмпирическому уравнению Р = Р_SCvH и наконец по уравнению Битти – Бриджмена ρ_ВВ и k_ВВ. Результаты для массива данных Galileo и для области экстраполяции, рассчитанной указанным образом, представлены в таблице и на рис. ниже:

________

* По данным Alvin Seiff et al. Op. cit., p. 22875, Tabl. 8. Давление здесь ввиду его большой величины дано в барах, 1 бар = 10⁵ Па = 0,9869 атм.

** Расчёты делались по уравнениям, прокомментированным выше в тексте: T[K] = 170,2 – 1,945•Ĥ[км];

Р[бар] = 10^{15 – 20,79•[1 – 0,216•lg(T[K])]0,5};       ρ_SCvH[кг/м³] = 10^{0,1415•lg2(T[K]) + 1,5754•lg(T[K]) – 4,9752}.

Подбор эмпирического уравнения для расчёта k_BB на Юпитере, как и на других газовых планетах, осложняется тем, что нужно вводить не только некую высотную константу, как на Венере и Титане, для перевода наших единиц длины в безразмерные, но ещё и найти некую естественную точку отсчёта, поскольку наша граница между атмосферой и недрами на уровне давления 1 бар никакого естественного смысла не имеет. Подбор как вида уравнения, так и его констант делался вновь сугубо формально, исходя из профиля кривой, результат показан под последним рисунком. Атмосферный параметр здесь, под стать планете, оказался в ~7,5 раз больше, чем на Венере и Титане, – 273,3 км, а естественная точка отсчёта (нуль безразмерной высоты h) оказалась на 0,919 этой величины, т. е. на 251 км выше границы между атмосферой и недрами.

(+ 15.01.2020:) Атмосфера Марса.

The atmosphere of Mars

У Марса плотность атмосферы примерно на два порядка меньше земной, для целей аэростатики это совсем не идеал, и поэтому в исходной версии этого обзора подглавки про марсианскую атмосферу не было. Однако при написании другой заметки, про литопанспермию, понадобился высотный профиль плотности и этой атмосферы тоже, и показалось логичным расположить найденные данные здесь, тем более, что в этой работе марсианские аэростаты ниже рассматриваются.

Плотность атмосферы Марса на разных высотах не раз рассчитывалась по данным о торможении в ней различных спускаемых аппаратов. Данные, особенно на больших высотах, отличались заметно, что говорит о сильных вариациях плотности и по географическим координатам, и по сезонам марсианского года, и по времени суток. Я свёл воедино графические данные по миссиям Viking 1 (1976 год) и Pathfinder (1997 год)* и табличные данные по миссиям 2004 года Spirit и Opportunity** (см. рис. выше). Последние данные в более полном виде выглядят так:

^a Погрешность всюду ±1,7 км.                                                 ^b Погрешность всюду ±1,8 км.

________

* Dr. Tim Schofield. Weather Reports From Mars [https://mars.nasa.gov/MPF/science/weather.html], Atmospheric densities [https://mars.nasa.gov/MPF/ops/ss010.jpg].

** Paul Withers, Michael D. Smith. Atmospheric Entry Profiles from the Mars Exploration Rovers Spirit and Opportunity [sirius.bu.edu/withers/merimuresultstopds200801/DOCUMENT/WS2006SUB.PS]. Для сводного графика были взяты данные из Tabl. 6, 7, в сводной таблице к ним добавлены данные из Tabl. 8, 9.

(+ 15.01.2020:) Высотные параметры плотности атмосфер

Height scales of the atmospheric densities

Нередко в различных расчётах, связанных с движением тел в атмосферах, используют так называемый высотный параметр (или шкалу высот) атмосферы – это характерный интервал в км, через который некий физический параметр атмосферы (давление, плотность или температура) изменяется в е раз. Иногда пользуются обратной величиной, чаще всего обозначаемой α. В действительности α не является константой, меняясь с высотой, но в ряде случаев это изменение невелико, и тогда применение α оправданно, поскольку расчётные выражения при этом проще.

В упомянутой выше заметке про литопанспермию нужны были величины α для плотности атмосфер. В этом случае α на высоте Н определяется через плотность атмосферы на этой высоте ρ_a и плотность атмосферы у поверхности планеты ρ_aо:

α = ln(ρ_aо/ρ_a)/Н;             ρ_a = ρ_aо•е^–α•H.

По данным, приведённым выше, были построены зависимости α(Н) и α(ρ_a) для всех четырёх твёрдых тел Солнечной системы с ощутимыми атмосферами. Результаты показаны на двух рис. ниже:

Для Марса по приведённому выше графику с данными посадочных миссий была построена усреднённая зависимость α[км^–1](Н[км]), которая затем была аппроксимирована простыми функциями (линейными и гиперболической):

H < 5,9 км:             α = 0,0329 + 0,00605•H;
5,9 ≤ Н ≤ 11,1 км:             α = 0,0885 – 0,1178/H;
Н > 11,1 км:             α = 0,0738 + 0,0003677•H.

По аппроксимированным значениям α(Н) была рассчитана и сопоставлена с усреднёнными данными измерений кривая плотности для высот до 105 км. На рис. справа расчётная средняя плотность для разных высот показана пунктиром, усреднённые данные измерений – точками. Значения расчётной средней плотности также приведены ниже в таблице.

Для атмосферы Земли, изученной несравнимо лучше, есть даже государственные стандарты РФ, указывающие её параметры (ГОСТ 4401-81 для высот до 80 км* и ГОСТ Р 25645.166-2004 для высот от 60 до 1500 км**). По этим данным для плотности атмосферы Земли при работе над заметкой о литопанспермии были получены аналогичные аппроксимации зависимости α[км^–1](Н[км]):

________

* ГОСТ 4401-81. Атмосфера стандартная. Параметры (с Изменением № 1) [http://docs.cntd.ru/document/gost-4401-81].

** ГОСТ Р 25645.166-2004. Атмосфера земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения полетов искусственных спутников Земли [http://docs.cntd.ru/document/gost-r-25645-166-2004].

2. Плотность рабочего газа

2. Working gas density

У разных видов аэростатов плотность газа в баллоне по-разному связана с плотностью наружной атмосферы. Ниже мы рассмотрим эти связи, принимая и атмосферу и рабочий газ за идеальные газы, и в подавляющем большинстве случаев отличия от этой модели, как мы видели из предыдущей подглавки, исчисляются самое большее тремя-четырьмя процентами, а чаще долями процента, то есть в сравнении с другими неизвестными факторами реального полёта пренебрежимо малы. Лишь для расчёта полётов в недра Юпитера понадобилось бы учитывать поправки, о которых рассказано в предыдущей подглавке, но на сегодняшний день это далеко от текущих задач инопланетной аэростатики, и мы в излишние сложности вдаваться не станем. Итак, будем всё считать по универсальному газовому закону.

У монгольфьера, в баллоне и снаружи совпадают давление и молярная масса, а плотности обратно пропорциональны температурам:

ρ = ρ_а•T_а/T.

В случае шарльера обычно совпадают внутри баллона и снаружи температура и давление газа, и плотности прямо пропорциональны молярным массам:

ρ = ρ_а•μ/μ_а.

Однако иногда давление нарочно завышают. При этом ухудшается плавучесть, но улучшается высотная стабильность в циклах день/ночь, и порою второй фактор важнее. В этом случае мы имеем шарльер с избытком давления. Если на рабочей высоте его дрейфа давление атмосферы Р_{а раб}, а давление внутри баллона Р_{б раб}, то:

ρ = ρ_а•(μ/μ_а)•(Р_{б раб}/Р_{а раб}).

Впрочем, следует заметить, что чистых шарльеров почти не бывает, так как, благодаря существенно разным коэффициентам поглощения и излучения у твёрдой оболочки баллона и у окружающей атмосферы, они, даже находясь в поле одних и тех же потоков излучений, имеют в тепловом равновесии разные температуры на большинстве планет с атмосферами. Как правило, оболочка теплее, а поскольку внутренний рабочий газ всегда находится в примерном температурном равновесии с оболочкой, то такой шарльер по сути дела является розьером. Но бывают и ситуации, когда оболочка и внутренний газ оказываются холоднее окружающей атмосферы, и это можно было бы классифицировать как анти-розьер.

В случае розьера либо его баллон должен иметь переменный объём (расширяться, когда газ разогрет), либо количество закачиваемого лёгкого газа должно быть таково, чтобы на средней рабочей высоте, где в баллоне и снаружи давление равно Р_раб, а температура газа в баллоне равна Т_раб, это количество по универсальному газовому закону заполняло бы ровно объём баллона:

V = (M_{г раб}/μ)•(R_г•T_раб/P_раб),             или       ρ_раб = ρ_min = P_раб•μ/(R_г•T_раб).

При понижении температуры такой баллон будет съёживаться либо обвисать. Расширяющийся баллон конструкционно сложен, поэтому чаще конструкторы предпочитают второй путь. В этом случае расчётный алгоритм распадается на две ветви. При температурах газа в баллоне выше той температуры, которая принята в качестве рабочей, рост произведения P•V, происходящий согласно универсальному газовому закону, реализуется ростом давления в баллоне. Объём баллона при этом практически постоянен (считая материал оболочки нерастяжимым), но может возникнуть опасность разрыва баллона, если давление в нём слишком возрастёт (см. следующую главку «Прочность баллонов»). При постоянстве объёма баллона постоянна будет и плотность газа в нём:

(Т ≥ T_раб):             ρ = ρ_а•(μ/μ_а)•(T_а/T_раб) = const = ρ_min,

а давление в этом случае, по универсальному газовому закону, пропорционально температуре:

P_г/P_раб = T_г/T_раб.

При Т < T_раб уменьшение произведения P•V реализуется уменьшением объёма шара, так как при нежёстком корпусе баллона давление в нём не может стать меньше наружного, они тотчас уравняются за счёт деформационного сокращения объёма баллона. Следовательно, плотность газа в баллоне будет меняться, по универсальному газовому закону, в зависимости от температур и от молярных масс:

(Т < T_раб):             ρ = ρ_а•(μ/μ_а)•(T_а/T).

Аналогично шарльерам, могут быть и розьеры с избытком давления. У них минимальная плотность также будет содержать дополнительный множитель:

ρ_min = ρ_а•(μ/μ_а)•(T_а/T_раб)•(Р_{б раб}/Р_{а раб}) = const,

но переход к уравнению второго типа, с сокращением объёма при внутреннем давлении, равном наружному атмосферному, произойдёт не сразу после остывания газа в баллоне ниже T_раб. Вначале P•V должно по первому типу уменьшиться до равенства давлений в баллоне и снаружи, то есть истратить запас избыточного давления. Приравняв постоянную часть уравнения универсального газового закона (P_б/T_б) для рабочей температуры баллона и для температуры перехода T_гр, когда Р_гр = Р_{а раб}, получим:

при V = V_раб = V_max = const:             Т_гр = T_раб•(Р_гр/Р_{б раб}) = T_раб•(Р_{а раб}/Р_{б раб}).

Ниже этой температуры P•V уменьшается по второму типу, с деформационным сжатием баллона, вызывая рост плотности газа в баллоне и, как следствие, спуск баллона в более плотные слои атмосферы:

при Р_i = Р_{a i}:             V_i = V_max•(Р_{а раб}/Р_i)•(T_i/T_гр);
ρ_i = ρ_min•(Р_i/Р_{а раб})•(T_гр/T_i).

Здесь два неизвестных, P_i и Т_i, поэтому нужно для их отыскания привлечь второе уравнение, которым уместно взять условие архимедова равновесия: масса рабочего газа, оболочки и полезного груза равна массе вытесняемого атмосферного газа, то есть произведению объёма баллона на плотность внешней атмосферы:

М_раб + М_об + M_г = V_i•ρ_{а i}.

Выразив здесь ρ_{а i} через универсальный газовый закон, а вместо V_i подставив его выражение (см. выше), введя туда и выражение для Т_гр (см. ещё выше), получим:

М_раб + М_об + M_г = [(P_{б раб}•V_max)/(R_г•T_раб)]•μ_а•Т_i/Т_{а i}.

Выражение в квадратных скобках по универсальному газовому закону представляет собой М_раб/μ, и с учётом этого мы приходим к рабочей формуле:

θ = Т_i/Т_{а i} = (μ/μ_а)•(М_раб + М_об + M_г)/M_раб = const.

Здесь θ – параметр, о расчёте которого сказано во втором разделе алгебраической главки, а примеры расчётов даны в Приложении 1. Зная материал баллона и динамику тепловых потоков в атмосфере в ходе цикла день/ночь на всех высотах, можно (хотя достаточно трудоёмко) вычислить динамику циклического перемещения данного значения θ по высоте. А это даст всю картину движения баллона по вертикали, потому что он при T < T_гр будет следовать за данным фиксированным значением θ.

Легче решить более простую задачу: найти высоту, на которой окажется данное фиксированное значение θ в минимуме температур, т. е. в холодный предрассветный час. Для этого достаточно построить по точкам функцию θ_min(Н) (этот расчёт тоже не слишком краток, и здесь приведём лишь готовые результаты для первых 8 км атмосферы Марса и четырёх типов материалов баллона, полученные в Приложении 1: см. рис. справа).

Максимально допустимая температура газа в баллоне определяется либо термостойкостью материала оболочки, либо её механической способностью выдерживать рост давления в баллоне при превышении температуры над рабочим значением. В точке максимального нагрева, по универсальному газовому закону, давление в баллоне будет больше наружного атмосферного на величину:

Р₊ = Р_max – Р_раб = Р_раб•[(T_max/T_paб) – 1].

Р₊ создаёт в оболочке напряжение. Оно не должно превышать критического значения для данного материала (а лучше, с запасом, половины или иной меньшей части этого значения). Критическим напряжением является предел прочности материала на разрыв σ_р [Па], а для пластиков – предел текучести при растяжении σ_т [Па], который обычно несколько ниже. По формулам из теории сопротивления материалов, напряжение в стенке под действием внутреннего давления выражается обычно через это давление (у нас Р₊), толщину стенки d [м] и радиус максимальной кривизны баллона R_к [м] или иной геометрический параметр его формы. Поскольку и розьеры, и шарльеры с избыточным давлением чаще всего проектируют сферической формы, ограничимся этим простым случаем. Напряжение σ_об [Па] в тонкой сферической оболочке диаметром D [м] с толщиной стенки d < 0,1•D [м], вызванное избытком давления Р₊ [Па], по формуле Лапласа, равно:

σ_об = 0,25•Р₊•D/d.

Чтобы не вычислять толщину оболочки d, можно в формуле Лапласа заменить её на более употребительные в аэростатике величины: поверхностную плотность оболочки ρ_об [кг/м²] и объёмную плотность её материала ρ_м [кг/м³]. Между ними есть связь (её легко показать расчётом массы оболочки по той и другой плотности) d = ρ_об/ρ_м, и с учётом этого получаем:

σ_об = 0,25•Р₊•D•ρ_м/ρ_об;             Р₊ = 4•σ_об•(ρ_об/ρ_м)/D.

С двойной подстраховкой, положив σ_{об max} < 0,5•σ_т(р), получим:

Р₊ < 2•σ_т(p)•(ρ_об/ρ_м)/D;             T_max = T_раб•[1 + (Р₊/Р_раб)] < T_раб•[1 + (2•σ_т(p)•ρ_об)/(ρ_м•Р_раб•D)].

Посчитаем, каков потребуется диаметр для полиэтиленового сферического гелиевого шарльера (ρ_об = 0,008 кг/м²), призванного дрейфовать на Марсе на средней высоте 5 км над поверхностью и нести 1 кг датчиков и прочей миниатюрной аппаратуры. Найдём также массу оболочки и гелия в ней, проверим, не лопнет ли баллон при максимальном нагреве, и узнаем, на какую высоту он опустится ночью. В заключение посмотрим, нельзя ли стабилизировать высоту дрейфа.

1) Находим в литературе параметры атмосферы Марса на высоте 5 км*:

ρ_а = 0,0094 кг/м³; μ_а = 43,34 кг/кмоль.

________

* В добавлении 2020 г. выше указано иное (видимо, более адекватное) значение ρ_а(5 км) = 0,00928 кг/м³, но из-за различия в 1,3% нет смысла всё пересчитывать, тем более, что атмосфера Марса нестабильна куда более, чем на 1,3%.

2) Выписываем из литературы и вычисляем параметры для баллона:

μ_Не = 4 кг/кмоль; для сферы: k = 4,836; k_s = 3,142; k_v = 0,524.

На Марсе очень значим солнечный прогрев, а ночью, судя по значительному остыванию грунта, идёт ощутимый поток теплового излучения от него; у полиэтилена же хорошие показатели по способности поглощать лучистое тепло и разогревать газ, что даёт дополнительный выигрыш в плавучести. Поэтому учтём, что шарльер там фактически будет розьером. Из Приложения 1 позаимствуем для высоты 5 км значения T_а/T. Днём T_а/T = 219/282 = 0,78, ночью T_а/T = 202/178 = 1,13, а в среднем примем T_а/T = 0,96, откуда:

ρ_Не = ρ_а•(μ_Не/μ_а)•(T_а/T) = 0,0094•(4/43,34)•0,96 = 0,00083 кг/м³.

3) Поскольку и масса аппаратуры невелика (1 кг), и баллон делается из довольно лёгкого материала, заранее трудно сказать, в каком соотношении будет вес оболочки к полезному весу, и расчёт поведём через параметр А:

А = (ρ_a – ρ_Не)•М_г^0,5/(k•ρ_об)^1,5 = (0,0094 – 0,00083)•1^0,5/(4,836•0,008)^1,5 = 1,13.

4) Находим параметр δ и диаметр баллона аэростата:

δ = 1,473•А^{0,0826•ln(А) – 0,6292} = 1,37; D = [М_г/(k_s•ρ_об)]^0,5•δ = [1/(3,142•0,008)]^0,5•1,37 = 8,65 м.

5) Находим массы оболочки и гелия:

M_об = ρ_об•S = ρ_об•k_s•D² = 0,008•3,142•8,65² = 1,88 кг;
M_Не = ρ_Не•V = ρ_Не•k_v•D³ = 0,00083•0,524•8,65³ = 0,29 кг.

6) Рассчитываем по данным из п. 2 среднее значение рабочей температуры, находим в литературе давление в марсианской атмосфере на высоте 5 км (оно будет у нас рабочим), плотность полиэтилена и предел его текучести при растяжении (последняя величина отличается у разных сортов полиэтилена; примем круглое значение, близкое к верхней области диапазона):

Т_раб = Т_а/0,96 = 0,5•(219 + 202)/0,96 = 219 К;
Р_раб = 394 Па;             ρ_м = 920 кг/м³;             σ_т ≈ 100 МПа = 10⁸ Па.

7) Найдём ограничение максимальной температуры:

Т_max < Т_раб•[1 + (2•σ_т•ρ_об)/(ρ_м•Р_раб•D)] = 219•[1 + (2•10⁸•0,008)/(920•394•8,65)] = 331 K.

У нас T_max = 282 К, то есть с давлением нам беспокоиться не о чем, оболочка не только не лопнет, но даже не начнёт фатально растягиваться. Гарантирована и термостойкость, полиэтилену не страшна температура +5°С.

8) Вычисляем параметр θ = Т/Т_а:

θ = (μ/μ_а)•(М_Не + М_об + M_г)/M_He = (4/43,34)•(0,29 + 1,88 + 1)/0,29 = 1,01.

По синей кривой на графике, приведённом во втором разделе алгебраической главки, находим, что этому значению θ соответствует высота ок. 1 км, что довольно далеко от рабочей высоты 5 км.

9) Однако, судя по п. 7, мы вполне можем повысить рабочее давление: это снизит допустимую максимальную температуру оболочки, но у нас есть резерв в целых 50 градусов, прежде чем она окажется ниже тех 282 К, до которых наша оболочка разогревается в ясный полдень. Перепишем неравенство из п. 7, чтобы выразить Р_раб:

Р_раб < (2•σ_т•ρ_об•Т_раб)/[ρ_м•D•(Т_max – Т_раб)] = (2•10⁸•0,008•219)/[920•8,65•(282 – 219)] = 699 Па.

Нам желательно, чтобы параметр θ был близок к ночному значению для нашей рабочей высоты, тогда аппарат вовсе не будет снижаться. Ночное значение, как видно по тому же графику, чуть ниже 0,9. Величины в расчётной формуле для θ подсказывают, что θ почти обратно пропорциональна М_Не, а эта масса, в свою очередь, для шаров с избытком давления пропорциональна внутреннему давлению. То есть увеличить давление нам нужно примерно во столько же, во сколько мы хотим снизить θ, – в данном случае примерно на 12–13%. Примем Р_раб = 394•1,13 = 445 Па (это ещё далеко от критических 699 Па), тогда:

ρ_Не = ρ_а•(μ_Не/μ_а)•(T_а/T)•(Р_раб/Р_{а раб}) = 0,0094•(4/43,34)•0,96•(445/394) = 0,00094 кг/м³;
А = (ρ_a – ρ_Не)•М_г^0,5/(k•ρ_об)^1,5 = (0,0094 – 0,00094)•1^0,5/(4,836•0,008)^1,5 = 1,112;
δ = 1,473•1,112^{0,0826•ln(1,112) – 0,6292} = 1,40;             D = [1/(3,142•0,008)]^0,5•1,40 = 8,78 м;
M_об = 0,008•3,142•8,78² = 1,94 кг;              M_Не = 0,00094•0,524•8,78³ = 0,33 кг;
θ = (4/43,34)•(0,33 + 1,94 + 1)/0,33 = 0,91.

Как видим, мы практически угадали. А с Р_раб = ~460 Па можно уже и без расчёта быть достаточно уверенным, что аэростат и днём и ночью будет дрейфовать на одной и той же рабочей высоте 5 км. (Расчёт это подтверждает: θ = 0,88.) Его баллон даже в самый холодный предутренний час не исчерпает запас избыточного давления и не начнёт деформироваться. А весь избыток давления, обеспечивающий этот режим, равен лишь ~66 Па (0,00066 атм.).

Здесь не будет рассматриваться вся аэродинамика, а только то, что относится к подъёмам и спускам аэростатов, поскольку горизонтальные перемещения их в атмосферах других небесных тел в подавляющем большинстве случаев отдаются на произвол местных ветров.

Для земной атмосферы существуют расчётные формулы и номограммы, позволяющие по данным о подъёмной силе и весе оболочки баллона найти скорость его подъёма или спуска*, но нам они не помогут. Поэтому рассмотрим вопрос в общем виде.

________

* А. Б. Калиновский, Н. 3. Пинус. Аэрология. Ч. I. Методы аэрологических измерений. Л., 1961, cc. 24–35 [http://elibrary.bsu.az/books_200/N_93.pdf].

Всякий аэростат редко когда находится на одной высоте. На него непрерывно действуют три силы: центробежная архимедова, центростремительная гравитационная и противоположная их результирующему вектору сила трения и прочих аэродинамических факторов торможения. Действуют, конечно, и ветровые и планетарные боковые силы, но их вертикальные составляющие по величине малы, и в аэростатике ими обычно пренебрегают. Об архимедовой и гравитационной силе уже сказано в первом разделе алгебраической главки, а силу аэродинамического сопротивления атмосферы рассчитывают для аэростатов, скорости которых v сравнительно невелики, не более нескольких десятков м/сек, по простой формуле Ньютона:

F_c = 0,5•C_х•ρ_a•v²•S_cеч,

где ρ_a – плотность атмосферы в точке движения, S_cеч – площадь сечения аэростата в направлении движения, а C_х (в англоязычной литературе – C_D [drag coefficient]) – коэффициент сопротивления, зависящий от формы аэростата и так называемого числа Рейнольдса Re (хотя, собственно, Рейнольдс лишь популяризировал это число, а вывел его Стокс):

Re = ρ_a•v•a/μ_a,

где a – некий геометрический параметр, выбираемый в качестве характерного размера тела, движущегося в газе или жидкости, а μ_a – вязкость атмосферы (Па•с). В аэростатике, где нередко форма баллона меняется в ходе его вертикальных перемещений, обычно в качестве a используют диаметр сферы D, имеющей тот же объём V, что и баллон, т. е.:

a = D = (6•V/π)^1/3;             Re = ρ_a•v•D/μ_a = 1,241•ρ_a•v•V^1/3/μ_a.

Усреднённая во многих опытах зависимость C_х от Re для шаров показана на рис. внизу** (там в числе Рейнольдса вместо ρ_a/μ_a использована равнозначная величина кинематической вязкости ν_a = μ_a/ρ_a, а D рассчитывался так, как сказано выше):

Зависимость коэффициента сопротивления шаров и пузырьков в жидкости от числа Рейнольдса.

Кривая (1) – формула Стокса: C_c = 24/Re; кривая (2) – формула Озена (Озеена): C_c = (24/Re)•(1 + 3•Re/16) = 24/Re + 4,5.

________

* Б. В. Бошенятов. Гидродинамика микропузырьковых газожидкостных сред. // Известия Томского политехнического университета, 2005, т. 308, № 6, c. 160, рис. 4 [http://cyberleninka.ru/article/n/gidrodinamika-mikropuzyrkovyh-gazozhidkostnyh-sred].

Эта кривая, носящая имя Рэлея, может быть пригодна и для аэростатов в тех случаях, когда их форма сферична, и может быть, даже когда она в процессе движения отчасти деформируется, поскольку чёрные точки на графике получены Бошенятовым в опытах с пузырьками газа, поднимающимися в жидкости: трудно ожидать, что пузырьки были строго сферичны, но тем не менее чёрные точки весьма неплохо укладываются в средний тренд для сферического тела.

Неоднократно делались попытки отобразить аналитически эту сложную кривую, как исходя из теоретического рассмотрения процесса движения тела в среде с сопротивлением, так и чисто эмпирическим подбором подходящей функции, но хорошего результата для всего широкого интервала значений Re получено не было*. Однако ради тех, у кого нет под рукой мощных компьютеров и хороших программ, я попытался подобрать эмпирические формулы к кривой Рэлея для шаров (и, как мы видели из предыдущего рисунка, для пузырьков, а значит, весьма вероятно, и для аэростатов с мягким корпусом). Результат показан на рис. ниже**.

________

* См. обзор попыток в кн.: Б. И. Броунштейн, В. В. Щёголев. Гидродинамика, массо- и теплообмен в колонных аппаратах. Л., 1988, c. 25, табл. 1.3, 1.4 [http://chem21.info/page/077157167220197037006103205034242152143197059220/].

** Метод подбора был таков. Из табл. 1.4 у Броунштейна и Щёголева были взяты численные значения кривой Рэлея (синие точки на рис. выше) и вычислены разницы с, так сказать, нулевым приближением, формулой Стокса: y₁ = C_x – 24/Re. Функция y₁ вела себя визуально различным образом при малых и больших значениях Re, что побудило искать две разные аппроксимации. Первым шагом эвристически подыскивалась такая вспомогательная функция x₁ = f(Re), чтобы y₁ = f(x₁) выходила гладкой, желательно симметричной и возможно более простой функцией. При малых Re из перебранных вариантов наилучшим оказался такой: x₁ = 1/Re^0,5, y₁ = (0,32 + 4,9•x₁)•(1 – 4•x₁/7). Погрешность в определении С_х ≈ Re/24 + (0,32 + 4,9•x₁)•(1 – 4•x₁/7) меньше разброса экспериментальных данных на илл. Бошенятова, так что вполне можно применять эту аппроксимацию для Re < 5000. Но от кривой Рэлея у неё были не случайные, а небольшие систематические отклонения, поэтому, аналогично первому шагу, были проанализированы разницы y₂ = C_x – 24/Re – y₁. Здесь из перебранных вариантов наилучшим оказался такой: x₂ = 0,1•Re^1/3,  y₂ = 0,3•(1 – 1,5•x₂)/е^{(x₂ + x₂3)}.

Итоговая аппроксимация для Re < 5000, таким образом, имеет вид, показанный на рис. жёлтой линией:

С_х ≈ 24/Re + (0,32 + 4,9/Re^0,5)•[1 – (4/7)/Re^0,5] + 0,3•(1 – 0,15•Re^1/3)/е^{(0,1•Re1/3 + Re/1000)},

где последний член нужен лишь в случае, если известно, что изучаемый объект довольно точно следует кривой Рэлея, и в расчёте также требуется высокая точность.

В области Re ≥ 5000 не имело смысла использовать стоксовский член, т. к. там 24/Re < 0,005, и в качестве y₁ выступал сам С_х. Наилучший результат, показанный на рис. выше красной линией, получился при

x₁ = (65,2 – Re^1/3)^1/3,       С_х ≈ y₁ = (0,6971•x₁³ – 0,3645•x₁² – 7,5666•x₁ + 17,4924)/Re^1/3.

Погрешность в определении С_х по этой формуле не превышала ±0,02, что меньше типичных разбросов опытных данных на рис. Бошенятова. Попытка следующего шага, для устранения вновь наблюдавшегося небольшого систематического отклонения y₁ от кривой Рэлея, выявила x₂ = Re^0,5, но вид y₂ требовал полинома четвёртой степени или ещё более замысловатого выражения, которое чересчур загромоздило бы расчёт и вряд ли придало ему больше реальной точности, поэтому попытки эти были оставлены.

Константа в x₁ подбиралась формально, методом наименьших квадратов отклонений, но, по-видимому, она имеет и физический смысл: её куб (для сопоставимости со степенью Re в x₁) 65,2³ = 277168, а это хорошо соотносится с так называемой областью кризиса (резким провалом С_х) на кривой Рэлея, где происходит смена ламинарного, гладкого движения тела сквозь среду на турбулентное, вихревое движение, что меняет физическую природу сопротивления среды движению тела.

Итак, для сферических аэростатов мы сможем найти С_х; по-видимому, он же будет подходить и для случаев деформирования оболочки внешним давлением (как у шарльеров и розьеров ночью или в результате утечки рабочего газа) либо материей атмосферы (как, например, при резком взлёте аэростата в случае сброса балласта). Но что можно сказать о С_х для аэростатов других форм, например, каплевидных? Опытных данных почти нет, в литературе сообщается лишь о работе Eric Loth (2008 г.), где для сплющенного сфероида с отношением осей 1:2 при ~10⁴ < Re < ~3•10⁵ было найдено, что его С_х примерно вдвое больше, чем у сферы равного объёма*. В диссертации D. Scholes (2011 г.) показано, что С_х умеренно-каплевидного баллона (см. рис. справа) на 1–2% меньше, чем у сферы, причём различие медленно нарастает с ростом Re от 10⁴ к 10⁵, – но это не измерение, а моделирование**.

________

* A. Gallice et al. Modeling the ascent of sounding balloons. // Atmospheric Measurement Techniques, vol. 4, 2011, pp. 2235–2253, esp. p. 2239 [http://www.atmos-meas-tech.net/4/2235/2011/amt-4-2235-2011.pdf].

** Daniel Burton Scholes. Evaluation of the Aerodynamic Differences of a Balloon Shape and a Sphere Using Computational Fluid Dynamic Modeling in Fluent. Utah State University, May 2011, p. 29, tabl. 5 [http://digitalcommons.usu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1868&context=etd].

Остаётся прибегнуть к аналогиям. Баллон-капля при падении аэродинамически близок к конусу, движущемуся остиём вперёд. Для такого конуса С_х типично близок к сфере (для твёрдых сфер при Re ≈ 10⁴ Википедия даёт С_х = 0,47, для конусов – 0,50). Если же мы примем во внимание, что встречный поток, обогнув баллон-каплю, не ломается на плоском основании, как у конуса, а более гладко обтекает верхний сфероид баллона, то С_х должен уменьшиться. По-видимому, он будет близок к С_х шара, и для падений баллонов всех форм пригодны значения С_х шара. Однако при взлёте баллона-капли та же самая форма становится аэродинамически идеальной, и для этого случая при Re ≈ 10⁴ Википедия даёт С_х = 0,04.

Помимо формы тела, на С_х довольно заметно влияет турбулентность атмосферы, характеризуемая параметром Tu – отношением стандартного отклонения флуктуаций скорости набегающего потока к средней его скорости. Чем выше Tu, тем меньше С_х при том же Re, что ясно видно из рис. справа*, где степень турбулентности между Tu = 6% и Tu = 8% характерна для земной тропосферы. А в случае, которым мы заняты, то есть не в лабораторном измерении С_х (обычно в аэродинамической трубе или подобной установке, где тело фиксировано и обдувается потоком переменных параметров), а при свободном движении баллона в атмосфере существует ещё так наз. подъёмно-обусловленная (lift-induced) сила сопротивления, по-видимому, объясняющаяся колебательным характером взаимодействия стенки баллона со средой. Так, в работе C. Veldhuis et al. (2009) было показано, что при свободном подъёме сферы в воздухе при Re = 1000÷2000 величина С_х в 1,5÷2 раза превосходила ту, которую даёт кривая Рэлея; видимо, этим же объясняются наблюдения W. Mapleson (1954) о значительных, до 5 раз, превышениях С_х над кривой Рэлея при запусках атмосферных зондов в области Re = ~(5÷8)•10⁵**. О том же свидетельствует и кривая из зелёных крестиков на рис. справа, для которой авторы предложили такую формулу**:

С_х = 0,04808•(lnRe)² – 1,406•lnRe + 10,490.

________

* A. Gallice et al. Op. cit., р. 2240, fig. 2b, по данным E. Achenbach (1972) [пунктир, Tu = 0,45%; соответствует кривой Рэлея] и K. Son et al. (2010) [кружки: Tu = 4%; квадратики: Tu = 6%; треугольники: Tu = 8%] для идеальной сферы. Зелёными крестиками показаны рассчитанные авторами статьи значения по данным, полученным F. Immler (2008 г.) в 10 ночных запусках японских водородных зондов TX1200 (латексовых, близких к сферической форме диаметром при запуске 1,79 м, с разрывным диаметром 9,1 м на высоте разрыва 34,2 км).

** Ibid., p. 2241.

В студенческой научной работе W. Taresh и др. (2010–2011) также было замечено, что подъём аэростата в свободном режиме сопровождался постоянным ростом С_х*. А из курсовой работы S. Winther-Larsen (2016)** по кадрированию свободного падения нагруженных воздушных шариков диаметрами 13, 22 и 29 см при Re в диапазоне от ~10.000 до ~70.000 можно извлечь данные о С_х, указывающие на превышение значений по кривой Рэлея в ~1,7÷5 раз. С другой стороны, в сходно организованных опытах Rod Cross*** по падению слегка нагруженного воздушного шарика в форме вытянутого сфероида диаметром 20 см и длинной осью 25 см с высоты 3 м был найден С_х = 0,5, а расчёт даёт для условий его опыта Re ≤ ~28000, чему на кривой Рэлея соответствует С_х ≈ 0,46: отличие формально на 8%, а по существу – в пределах погрешностей.

________

* W. Taresh et al. Analysis of Anomalous Variations in High Altitude Balloon Ascent Rates near the Tropopause. University of Idaho, 2011 [https://solarsystem.nasa.gov/docs/11_Taresh_Ascent_Rate_Poster.pdf].

** Sebastian G. Winther-Larsen. Air Drag (May 2016)[https://folk.uio.no/sebastwi/FYS2150/Air%20Drag.pdf]. В этой работе изучалось падение шариков слабоэллиптической формы (см. фото справа) трёх разных диаметров с разновеликими грузами до достижения v_max; по данным видеофиксации рассчитывались значения Re, C_x и др.

*** Rod Cross. Aerodynamics of a party balloon [http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/37.%20partyballoonB.pdf].

Таким образом, имея неплохие данные по кривой Рэлея и с достаточным основанием полагая, что практически все аэростаты (кроме каплевидного в режиме подъёма), скорее всего, будут показывать почти такие же С_х, мы в расчёте реальных свободных движений баллонов должны вводить весьма неопределённую, но явно значительную поправку на фактор этого дополнительного торможения. Всё, что о нём выше изложено, это, фактически, две расплывчатые точки: около Re = 1000÷2000 этот фактор k_f ≈ 1,5÷2, а в области Re = ~(5÷8)•10⁵ он меняется от неизвестного уровня до ~5. Можно, наверное, ввести ещё одну точку, разумно предположив, что в области стоксовского режима (Re ≈ 1) этот фактор должен стремиться к 1. Как ни странно, эти скудные отправные данные при регрессионной обработке дают не такую уж плохую с физической точки зрения функцию, показанную на рис. справа:

k_f ≈ 1 − 0,116•lnRe + 0,03•(lnRe)².

Оставляя открытым вопрос о том, зависит ли (и как) k_f ещё от каких-либо факторов движения и среды, кроме Re, будем считать, что в рамках последних достижений науки и эксперимента мы имеем рабочую формулу для расчётов силы сопротивления при вертикальных свободных перемещениях аэростатов любых форм в любых атмосферах:

F_c ≈ 0,5•k_f•С_х•ρ_a•v²•S_cеч.

(А то, что в будущем эта формула будет нуждаться если не в полной замене, то в существенных корректировках, у меня сомнений не вызывает. Но пока что вопрос об изучении этого дополнительного фактора торможения только-только входит в повестку дня экспериментаторов и теоретиков.) Имея данные о высотных профилях плотности и вязкости атмосферы и о размерах аэростата, можно задать для начальной высоты произвольно малое стартовое значение скорости v, вычислить Re, затем по нему k_f и С_х, и можно вычислять F_c.

Результирующая сила, действующая на аэростат в вертикальном направлении, будет векторной суммой архимедовой, гравитационной и тормозящей сил, и она будет придавать массе аэростата (рабочего газа, оболочки и полезного груза) ускорение dv/dτ:

±(F_g − F_A) − F_c = ±(M_б − V_б•ρ_a)•g − 0,5•k_f•С_х•ρ_a•v²•S_cеч = M_б•(dv/dτ).

Знак при разности (F_g − F_A) в этом уравнении будет определяться выбором знака для скорости: если считать положительной центростремительную, то нужно ставить плюс, и наоборот; я предпочёл бы первый вариант, тогда скорость снижения будет положительной, скорость подъёма − отрицательной. А F_c всегда направлена против вектора v, поэтому в уравнении она с минусом.

Все входящие в это обманчиво-простое на вид уравнение величины явно или неявно являются сложными функциями высоты и времени, и аналитическое его решение невозможно. Но численное решение, если есть нужная информация или хотя бы модель атмосферы по высоте, трудностей не составляет. Пример такого решения дан в Приложении 5.

Однако одно простое решение строится на том, что изменения параметров по высоте и по времени достаточно медленны, а из практики известно, что при свободном падении или взлёте аэростатов равномерная скорость движения достигается очень быстро. При этом dv/dτ ≈ 0, и можно из левой части уравнения выразить эту равномерную скорость (максимальную для данного аэростата на данной высоте атмосферы: главным образом от высоты зависят входящие в формулу физические величины):

v_max ≈ [2•g•(M_б − V_б•ρ_a)/(k_f•С_х•ρ_a•S_cеч)]^0,5.

Нетрудно заметить, что в этой формуле надо знать ответ ещё до решения, так как для расчёта v нужны k_f и С_х, зависящие от Re, а для расчёта Re нужна v. Как обычно в подобных случаях, прибегают к методу итераций, задаваясь из каких-то соображений нулевым значением v (например, зная из практики земной аэростатики, что вертикальные скорости шаров не превосходят десятков м/с, можно интуитивно скорректировать этот порядок величины на отличия в плотности чужой атмосферы и так получить первую оценку). А далее повторяют цикл, подставляя в Re значение v, вычисленное в предыдущем цикле, и т. д., пока различие между v_i+1 и v_i не окажется пренебрежимо мало.

Ещё один простой вывод можно получить для небезынтересного частного случая снижения аэростатов вследствие утечки рабочего газа. В начальный момент времени аэростат парит на рабочей высоте, и все члены уравнения сил равны нулю. Затем из-за утечки уменьшается на величину dV_б диаметр баллона, делая слагаемое архимедовой результирующей слева ненулевым и давая начало соразмерному росту правой части уравнения, то есть ускорению спуска. Процесс утечки − достаточно медленный по сравнению с остальными динамическими переменными этой задачи, и его вполне можно в начальной стадии аппроксимировать простой линейной функцией времени:

dV_б = −V_o•u•dτ;       ΔV_б = −V_o•u•τ,

где u − безразмерная скорость утечки (в долях исходного объёма V_o в единицу времени). Слагаемое силы торможения в начальной стадии процесса, при малой скорости снижения, можно также упростить. Малая скорость означает малое значение числа Рейнольдса, а при малых Re можно принять:

k_f ≈ 1;       С_х ≈ 24/Re = 24•μ_а/(1,241•ρ_а•v•V_б^1/3).

Из заключительной части геометрического введения мы также знаем, что в начале процесса с достаточной точностью

S_сеч ≈ D_o²•(0,0462 + 0,730•V_б/V_o) = 0,730•D_o²•(1,06 − dV_б/V_o) ≈ 0,776•D_o².

Сделав указанные подстановки в уравнение сил, получим его вид для начала спуска:

V_o•u•ρ_а•g•τ − 9,31•D_o•μ_а•v = M_б•(dv/dτ).

Оно имеет аналитическое решение вида:

v = (A/B²)•(e^−B•τ + B•τ − 1),       где A = u•g,       B = 9,31•μ_а•D_o/M_б.

Если в нём экспоненту разложить в ряд по степеням τ и, ввиду малости τ, ограничиться квадратичным членом ряда, получим выражение, показывающее, что в начале процесса спуска скорость растёт довольно быстро, пропорционально квадрату времени (при ньютоновском свободном падении, даже без учёта сопротивления среды, скорость растёт пропорционально лишь первой степени времени*):

v ≈ 0,5•А•τ² = 0,5•u•g•τ²,

но этот быстрый рост так же быстро приводит к нарушению принятых нами упрощений, и данное разложение перестаёт быть точным. В аналитическом решении масштаб времени задаёт параметр B, порядок которого мы можем оценить примерно тысячными долями обратных секунд, или обратными часами, так как вязкости атмосфер имеют порядок 10⁻⁵ Па•с, диаметры баллонов − это метры или десятки метров, массы аэростатов − это порядок десятков килограммов. Следовательно, спустя примерно часы после начала спуска безразмерная величина B•τ, входящая в аналитическое решение, достигнет порядка нескольких единиц, и тогда экспонента и единица в круглых скобках аналитического решения станут, с точностью до порядков, пренебрежимо малы, и рост скорости спуска перейдёт в режим квазисвободного падения:

v ≈ (А/В)•τ = [0,107•u•g/(μ_а•D_o)]•τ,

который далее, по мере отклонения реального спуска от принятых упрощений начальной стадии, перейдёт в режим торможения с выходом на v_max.

________

* Это не означает, конечно, что худеющий аэростат в первые мгновения падает или хотя бы ускоряется вниз быстрее свинцового грузика. Ускорение грузика равно g, а ускорение баллона равно dv/dτ = u•g•τ. В последнем выражении и τ (по условиям нашей задачи) и u (благодаря работе материаловедов) довольно-таки малы, так что оно должно быть много меньше g.

_______________

Этим, конечно, необходимая математика и физика не исчерпываются, но для введения уже достаточно, а следующие вопросы будем разбирать по мере изложения.

*   *   *

Исторический обзор
Historical survey

Некоторые технологические решения для будущих инопланетных аэростатов были получены в ходе двух американских миссий Эхо (Echo)* по запуску воздушных шаров на высокие орбиты (1524/1684 км у 30,5-метрового Эхо-1 в августе 1960 г. и 1029/1316 км у 41-метрового Эхо-2 в январе 1964 г.). Эти миссии имели ряд научных и военных задач: изучение свойств экзосферы Земли, солнечного ветра, спутниковая связь, геодезия (в частности, точное координирование Москвы для потенциальной ядерной атаки) и др. Наземная антенна, построенная для этих миссий, засекла в 1965 г. реликтовое излучение Большого взрыва.

________

* https://en.wikipedia.org/wiki/Project_Echo. Илл. испытаний Эхо-2 ниже оттуда же.

Шары миссий Эхо, разработанные в Лаборатории Белла, были сделаны из майлара (у нас его называют лавсан или полиэтилентерефталат, материал пластиковых бутылок) с алюминиевым покрытием. Шар Эхо-1 имел толщину плёнки 12,7 мкм и толщину алюминия 0,2 мкм, он был мягким и для удержания сферической формы требовал постоянной подкачки газа, утекавшего сквозь материал оболочки и микропоры, возникавшие в ней от ударов микрометеороидов. Рабочим газом в нём был воздух, которого в высоком вакууме на орбите Эхо-1 потребовалось для надутия шара всего порядка 1 кг, хотя на Земле такой объём потребовал бы 18 тонн воздуха. Любопытным решением проблемы наддува стало помещение в оболочку твёрдых (по другим данным, также жидких) химикатов, способных к сублимации. Сама оболочка весила 56,1 кг, компонент с высоким давлением паров – 4,5 кг и компонент с заметно меньшим давлением паров – 10,6 кг. Метод превзошёл даже ожидания авторов, Эхо-1 пробыл на орбите не до 1964–65 гг., как рассчитывали, а до мая 1968 г., после чего сгорел, войдя в плотные слои атмосферы.

Если на Эхо-1 отработали технологию надувки в высоком вакууме мягкой оболочки, то на Эхо-2 оболочка была условно-жёсткой. В ней 9 мкм майлара были заключены между двумя слоями алюминия толщиной по 4,5 мкм (это соответствует весу оболочки порядка 0,2 т). Заполнение воздухом было рассчитано так, чтобы в надутом виде алюминий был слегка растянут, а майлар оставался эластичным. Такое сочетание внутренних напряжений делало оболочку достаточно жёсткой и не боящейся метеоритных микропробоин, что позволило исключить систему наддува. Эхо-2 отработал на орбите до июня 1969 г. Обе эти технологии надувки крупных по размеру оболочек из сложенного в ракете-носителе состояния имели интерес и для инопланетных аэростатов.

Ещё с 1960-х годов конструкторы и в CCCP и в США стали разрабатывать проекты аэростатов для Венеры, которые должны были дрейфовать на высоте, где давление составляло около 0,5 атм. (сопоставимо с земным высокогорьем 5,5 км), а температура – порядка +30°С (по современным данным, это высота порядка 55 км).

В 1969 г. на авиационно-космической выставке в Ле-Бурже американская фирма Martin Marietta (в её послужном списке тогда уже были: плавучая АЭС; монорельсовый поезд; самолёт X-24, ставший предтечей знаменитых Шаттлов; первая в мире управляемая тактическая ракета AGM-12; первая высокоточная бомба AGM-62 с теленаведением и ракета AGM-65; семейства ракет Титан, Атлас и Першинг; и мн. др.) представила макет венерианского аэростатного зонда с массой гондолы 4,5 кг. Рабочим газом в нём служил водород, а доставить его к Венере должен был космический аппарат типа «Маринер».*

________

* А. А. Чернов. Путешествия на воздушном шаре. М., 1975 [http://fly-history.ru/books/item/f00/s00/z0000007/st014.shtml].

Через несколько лет фирма разработала для НАСА два существенно более масштабных венерианских аэростата, под ракету-носитель Пионер. Меньший из них, Venus Balloon System (см. рис. справа*), с полезным весом 90 кг, должен был дрейфовать в атмосфере на той же высоте порядка 50 км в течение месяца, периодически сбрасывая зонды на парашютах для исследований поверхности Венеры и её недр на глубину ударного вхождения пробника, оценённую примерно в 1 м. Научный комплект включал систему ориентации, приборы измерения давления, температуры, солнечного излучения, радарный высотометр. Источником питания был радиоизотопный термоэлектрогенератор с батареей для подпитки в период пикового потребления. Баллон был с избытком давления и мог изменять высоту дрейфа по мере сбрасывания зондов, игравших здесь роль балласта.

________

* Вся информация и илл. даются по статье разработчиков: Patrick C. Carroll, Charles L. Deats. Venus Balloon Systems. Proceedings of AFCRL Scientific Balloon Symposium (8th) held at Hyannis, Massachusetts on 30 September to 3 October 1974, pp. 433–450 [http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a003398.pdf].

Больший аэростат представлял собой плавучую лабораторию по изучению состава атмосферы. Масс-спектрометр и газовый хроматограф определяли химический состав и изотопные соотношения, нефелометр изучал аэрозоли и пыль, датчик солнечного излучения и ИК-спектрометр изучали оптические свойства, 3D-акселерометр измерял турбулентность, радар фиксировал профиль поверхности. В конце миссии газ из баллона стравливался, и измерения продолжались в ходе снижения аэростата (по оценке, до высоты около 30 км, где при +224°C должна была выйти из строя электроника).

Была разработана схема развёртки и наполнения баллона аэростата, которая затем повторялась практически во всех разработках внеземных аэростатов (см. ниже).

Развёртывание тормозного парашюта, а затем и сложенного в полёте баллона происходили в схеме по датчику давления, а дальнейшие операции – по таймеру. После отстрела пустых газовых ёмкостей включался радиоизотопный генератор и активировалась система контроля избытка давления. Вначале баллон заполнялся с 10% избытком, затем, по мере подъёма к рабочей высоте, излишек давления стравливался через клапан.

Была тщательно выбрана компоновка спускаемого аппарата (см. рис. ниже), чтобы при развёртывании и надувке баллона не происходило сверхкритичного смещения центра тяжести, и снижение шло бы в стабильном режиме. В то же время она в ходе 4–5-месячного полёта к Венере позволяла отводить тепло, постоянно выделяемое радиоизотопом генератора.

Надписи на рисунке: Диаметр 175,3 см. Белый: контейнер со сложенным баллоном. Жёлтый: упаковка парашюта. Голубой: гондола. Фиолетовый: сбрасываемые зонды (7 шт.). Оранжевый: Радиоизотопный термоэлектрогенератор. Зелёный: ёмкость со сжатым газом в форме сплющенного сфероида. Пурпурный: сбрасываемые зонды-пробойники (могут парой заменять любой из фиолетовых зондов).

Опытным путём было найдено, что баллон можно упаковать в капсуле до плотности ок. 384 кг/м³. В тестах с 5-метровым в диаметре майларовым баллоном в аэродинамической трубе была выбрана оптимальная скорость надувки: для подавления флаппинга (хлопания) рекомендовано закачивать газ в течение примерно 1 мин.

Было подчёркнуто, что утечка газа через стенки будет составлять серьёзную проблему, для решения которой рекомендовано дополнительно повысить стартовое давление в баллоне. Обширные исследования разных материалов, проведённые специалистами Martin Marietta с 1969 г., выявили нестойкость майлара и того же полимера в виде волокон (дакрона) к серной кислоте, в итоге рекомендовано делать оболочку трёхслойной: газоупорный внутренний слой, тканая основа в середине для прочности и кислотостойкое покрытие снаружи (из фторуглеродов).

Были также разработаны рекомендации по конструкции исследовательской аппаратуры и др. И хотя ни одному из аэростатов Martin Marietta не суждено было полететь к Венере, Марсу или Титану (о последних разработках будет сказано ниже), их данные и рекомендации заложили базовые основы данного направления и нашли применение практически во всех последующих проектах внеземной аэростатики.

В советской печати можно было встретить прожекты венерианских «летающих островов» поперечником в сотни метров, где азотно- или гелиево-кислородная атмосфера под многослойной прозрачной синтетической плёнкой, внутри слоёв которой «циркулируют газовые составы, содержащие вещества-индикаторы», и обеспечивала дыхание людей и растений в оранжереях и придавала аэростату-острову плавучесть (проект С. Житомирского):

«Техника – молодёжи», 1971, № 9 (сентябрь), 4-я стр. обложки [http://epizodsspace.airbase.ru/bibl/tm/1971/9/obl4.jpg].

Ряд любопытных, хотя не всегда реалистичных конструкторских идей для венерианских аэростатов предложил в 1970-х и начале 1980-х гг. Г. Москаленко:*

• использование крупных высотных аэростатов-носителей (рис. справа), от которых на подвесах опускаются или поднимаются небольшие исследовательские зонды;

• применение малых шаров-поплавков для компенсации веса и нагрузки фалов-подвесов и для подъёма зондов над основным аэростатом-носителем;

• комбинация дирижабля и самолёта (рис. 1 внизу);

• дископлан с изменяемой геометрией в зависимости от давления в точке полёта (диск – шар – цилиндр, рис. 2 внизу), причём в нижних слоях атмосферы, где он принимает форму диска, используется и аэродинамическая подъёмная сила;

• аппараты-батискафы переменного объёма с маршевыми двигателями (рис. 3 внизу);

• использование в качестве наполнителя аэростата-дирижабля жидких при перевозке с Земли веществ (вода, аммиак, метанол), испаряющихся при венерианской температуре;

• испарение/конденсация подобных наполнителей (в т. ч. смешанных) для управления высотой полёта (рис. 4, 5 внизу);

• сочетание высотных и горизонтальных манёвров для управления режимом движения аэростата-дирижабля (рис. 6);

• использование ветрогенератора для утилизации энергии при подъёмах и спусках аэростата.

________

* Г. Москаленко. Аэростат в атмосфере Венеры. «Авиация и космонавтика», 1973, № 10, с. 34–35 (рис. станции и 1–3) [http://testpilot.ru/espace/bibl/a-i-k/1973/10-aerostat.html]; Г. Москаленко. Дирижабль для Венеры. «Наука и жизнь», 1981, № 9, с. 85–87 (рис. 4–6) [http://epizodsspace.airbase.ru/bibl/n_i_j/1981/9/9-dir.html].

Более реальный проект разработал В. Г. Перминов в НПО им. С. А. Лавочкина в 1968 г.* Его спускаемый аппарат массой 3 т в процессе снижения на парашюте в атмосфере должен был разделиться на три составляющие:

1) аэростатный зонд с массой гондолы 5 кг для исследования облачного слоя при давлении 0,5 атм.;

2) аэростатную станцию с массой гондолы 400 кг для исследования облачного слоя, при давлении 10 атм., с использованием масс-спектрометра и газового хроматографа с передачей научной информации с аэростатной станции непосредственно на Землю;

3) посадочный аппарат массой 600 кг для исследования нижней атмосферы и поверхности Венеры.

________

* В. Перминов. Аэростаты в небе Венеры. К 20-летию полета АМС «Вега». «Новости космонавтики», 2005, № 8 [http://galspace.spb.ru/index222.html]. Изложение проекта «Вега» далее в основном опирается на эту публикацию, оттуда же взяты иллюстрации.

Позже к вопросу создания венерианских аэростатов подключилось Долгопрудненское КБ автоматики – разработчик аэростатных систем, но с 1973 года, когда «Интеркосмос» АН СССР и космическое агентство Франции подписали соглашение о совместной разработке проекта «Венера», создание аэростата было передано французской стороне. Аэростатная станция должна была нести гондолу массой 240 кг.

В 1980 г. в программу проекта были внесены существенные изменения. После исследований Венеры аппаратура должна была исследовать комету Галлея. Проект был переименован в «Вега» (Венера–Галлей), и ввиду отказа французской стороны от работ по аэростатной системе, эта задача была передана советской стороне. В. Перминов в указанной статье вспоминал: «Долгопрудненское КБ автоматики от разработки венерианского аэростата отказалось из-за обнаруженных в облачном слое Венеры капелек концентрированной серной кислоты. Создание аэростата и гондолы зонда взяло на себя НПО имени С. А. Лавочкина. Разработка аэростатного зонда велась под руководством начальника отдела НПО К. М. Пичхадзе при активном участии талантливого конструктора А. В. Тертерашвили*. Разработка аэростатного зонда подразумевала создание автономной системы с минимальными связями со спускаемым аппаратом. <...>.

________

* Амиран Владимирович Тертерашвили (р. 1945) был выпускником ракетного факультета МАИ 1972 года; в 2000-х в НИЦ им. Бабакина разрабатывал надувной «космический парашют». – Е. Ш.

После нескольких попыток была найдена отличная компоновка: аэростатный зонд как единый агрегат разместили над тормозным щитком спускаемого аппарата. Доработки конструкции спускаемого аппарата были минимальными: на верхней части сферической теплозащитной оболочки были установлены узлы для крепления аэростатного зонда, а на цилиндрической части парашютного отсека – стеклотекстолитовые направляющие, обеспечивающие безударный сход зонда. Основу конструкции аэростатного зонда составил силовой конус, центральной частью которого был тор с разъёмом по плоскости. В торе размещались гондола с подвеской и оболочка аэростата. На верхней части силового конуса устанавливались системы: автоматики, наполнения аэростата с гелиевыми баллонами высокого давления и парашютный контейнер аэростата.

Гондола аэростата массой 6,7 кг состояла из трёх частей: антенно-фидерного устройства, блока научной аппаратуры с радиокомплексом, блока источников питания, в нижней части которого размещался агрегат для крепления и сброса балласта. Эти части были соединены между собой гибкими связями. Блок научной аппаратуры включал в себя приборы для измерения: температуры, давления, вертикальных компонент скорости ветра, плотности облачного слоя, освещённости, а также прибор для фиксации световых вспышек. Предусматривался опрос научной информации каждые 75 сек с записью на запоминающее устройство и последующей передачей информации непосредственно на Землю через каждые 30 минут.

Очень сложной оказалась проблема создания оболочки аэростата, способного длительное время функционировать в облачном слое Венеры, насыщенном капельками концентрированной серной кислоты. Промышленность выпускала фторлоновые и стеклонитроновые ткани, нейтральные к серной кислоте, но они, как все ткани, свободно пропускали воздух. Для гелия, с его высокой текучестью, которым заполнялась оболочка аэростата, требования по её герметичности были очень высокие. В конце концов решение было найдено. Оболочку аэростата диаметром 3,4 м изготовили из фторлоновой* ткани, сшитой из фрагментов, напоминающих по форме дольки апельсина. Для обеспечения герметичности ткань и стыки покрыли несколькими слоями специального лака».

________

* Фторлон – советское название тефлона (фторопласта-4). – Е. Ш.

15 и 21 декабря 1984 г. две ракеты «Протон» отправили к Венере два идентичных 5-тонных космических аппарата «Вега-1» и «Вега-2», в составе каждого из которых был и аэростатный зонд. 9 июня 1985 г. от «Веги-1» отделился спускаемый аппарат, а 11 июня он со скоростью 11 км/сек вошёл в верхние слои атмосферы Венеры. Вот как описывал дальнейшее В. Перминов: «Перегрузка стала стремительно увеличиваться. Одновременно с ростом перегрузки возрастала частота и амплитуда колебаний относительно поперечных осей. Наконец был достигнут максимум продольной перегрузки, вес каждой детали спускаемого аппарата увеличился в 400 раз! Затем перегрузка и колебания начали уменьшаться. При снижении перегрузки до 2 единиц автоматика выдала команду на ввод парашюта увода верхней полусферы и запуск программно-временных устройств (ПВУ) спускаемого аппарата и аэростатного зонда. На высоте около 65 км по команде ПВУ спускаемого аппарата был введен вытяжной парашют, а пирозаряд мгновенно отрезал верхнюю часть теплозащитной оболочки диаметром 2,4 м, которая вместе с аэростатным зондом под действием вытяжного парашюта отошла от спускаемого аппарата и попутно ввела тормозной парашют аэростатного зонда. С этого момента события на спускаемом аппарате и аэростатном зонде стали проходить по разным сценариям.

<...> После увода верхней полусферы <...> по сигналу ПВУ аэростатного зонда подорвались пироболты – и аэростатный зонд отделился от верхней полусферы спускаемого аппарата, попутно раскрыв парашют ввода аэростата. Торовый отсек по сигналу ПВУ разделился по плоскости. Под тяжестью нижней части тора оболочка аэростата вытравилась из верхней части, сработал пироклапан наполнения аэростата гелием. На высоте около 53 км аэростат наполнился, парашют с системой наполнения оболочки отделился. Под действием веса нижней части тора, которая выполняла роль балласта, аэростат продолжал снижение. При давлении 0,09 МПа [0,9 атм. – Е. Ш.] нижняя часть тора отделилась, и аэростатный зонд, общая масса которого составляла 21 кг, вышел на высоту дрейфа: высота 50 км, давление 0,05 МПа [0,5 атм. – Е. Ш.], температура атмосферы 30°С. [Зонд висел под баллоном на 13-метровом подвесе. – Е. Ш.]

Аэростат функционировал в атмосфере Венеры 46 час 30 мин. Научная информация принималась советскими радиотелескопами большой площади, расположенными в Уссурийске и в Евпатории. Дрейф аэростатного зонда сопровождала сеть радиотелескопов всей Земли, измеряя его координаты и скорость движения в атмосфере Венеры по сигналам радиопередатчика».

15 июня 1985 г. в атмосферу Венеры вошёл и спускаемый аппарат «Веги-2». Его аэростатный зонд также передавал информацию в течение 46,5 часов. У обоих зондов к этому времени истощилось бортовое питание, но дрейф их, уже без связи с Землёй, продолжался (ниже мы попробуем реконструировать их судьбу).

Эти два отечественных аппарата были и остаются до сих пор единственными аэростатами, побывавшими в небе другой планеты.

В 1970-х годах, почти одновременно с венерианскими аэростатами, фирма Martin Marietta разрабатывала для НАСА и предложения по исследованию Титана, в том числе с помощью аэростатов. Тогда ещё мало знали об условиях в атмосфере этого спутника, поэтому разработка велась скорее концептуально, чем технически. Были предложены схемы монгольфьера (для модели «горячей атмосферы») и шарльеров (для моделей и «горячей» и «разреженной атмосферы»).*

________

* Изложение и илл. по официальному отчёту для НАСА: Tindle E. L. et al. A Titan exploration study: Science, technology, and mission planning options, vol. 2, Jun 01, 1976, pp. III-76–III-82 [https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19760022053.pdf].

Баллон монгольфьера (см. рис. справа и внизу) заполнялся горячими продуктами горения атмосферного метана в привезённом с Земли окислителе. Базовым окислителем был выбран тетраоксид азота N₂O₄, но как варианты назывались жидкий кислород или какое-либо однокомпонентное топливо.

СН₄ + N₂O₄ = N₂ + СO₂ + 2Н₂O.

Вес окислителя в этой схеме составлял 9 кг, время горения – 2,5 часа, баллон диаметром 9,7 м и объёмом 482 м³ имел каплевидную форму и должен был парить на высоте ок. 42 км. (Где, как мы сейчас знаем, температура атмосферы порядка 70 К, давление ок. 0,12 атм. и плотность около 0,6 кг/м³; но в 1970-х могли только строить гипотезы, и в модели «горячей атмосферы», для которой они рекомендовали монгольфьер, на высоте 42 км давление было 50 мбар, температура 103 К и плотность 0,16 кг/м³.) Общий вес на плаву составлял 29 кг, из которых 7 кг приходилось на полезную нагрузку (научно-инженерный модуль), а остальное было весом самого баллона (11,5 кг), окислителя (9 кг) и его ёмкости (1,5 кг). Развёртка баллона предусматривалась как в процессе спуска (по типу венерианских), так и с опустившегося на поверхность посадочного модуля. В свёрнутом виде баллон находился в тороидальной капсуле прямо над горелкой. После её зажжения горячие продукты сгорания должны были вытянуть вверх из капсулы лишь небольшую по массе часть оболочки, которая перекрывала тор, и на каждую следующую выходящую из капсулы часть оболочки вес более высоких частей не давил, так как был уже уравновешен подъёмной силой. При окончательном заполнении баллон поднимал с корпуса спускаемого аппарата гондолу и взлетал с нею (см. рис. внизу).

Тетраоксид азота используется как окислитель в ракетной технике, но применение его на Титане, при глубоких отрицательных температурах (–200°С и ниже), вызывает вопросы, ведь при обычном давлении он остаётся жидким только в интервале от 262 до 294 К (–11°С ÷ +21°С). Способен ли кристаллический тетраоксид азота достаточно эффективно реагировать при –200°С с газообразным метаном (при том, что метана в азотной атмосфере в самых богатых им приповерхностных слоях не более 5,7%, а на высоте 42 км, как мы сейчас знаем, его всего 1,5%), – без эксперимента не скажешь. Насколько сильно будет обледеневать изнутри корпус баллона за счёт осаждения продуктов реакции, водного и углекислотного льдов, тоже желательно проверить в эксперименте. Интуитивно же мне такое кажется почти неизбежным при контакте этих паров с тонкой оболочкой площадью ок. 300 м², за которой –180°С или ниже.

Если исходить из того, что в факеле горелки и исходные реагенты и продукты реакции будут газообразны, и температура реакции будет близка к тем 298 К, для которых приводятся табличные данные по энтальпиям, то можно оценить, что на 1 г продуктов выделяется порядка 1270 калорий тепла, а за счёт конденсации воды и СO₂ и перехода их в твёрдую фазу (примем такой сценарий) выделяется ещё порядка 260 кал/г, итого примерно 1,5 ккал/г. На 1 г продуктов реакции потребляется 0,15 г метана, но, поскольку он атмосферный, то в факел вместе с ним поступает и 9,85 г азота; ещё 0,26 г. азота образуется по реакции, и эти суммарно 10,1 г. азота, составляющие всю газовую фазу на выходе, и нагреваются этими 1,5 ккал. Исходя из теплоёмкости азота (~0,25 кал/г•К), можно оценить, что нагреваются примерно на 600 К. Конечно, так считать нельзя, это чисто проверочная оценка, чтобы увидеть, в каких примерно диапазонах температур мы работаем.

Реально и в момент горения часть химической энергии высвечивается в виде излучения, и немалая доля теплоты конденсации воды и СO₂ отдаётся в атмосферу через тонкую стенку, и за счёт лучеиспускания и конвекции от этой разогретой стенки баллона тепло будет постоянно сниматься в атмосферу. По данным разработчиков, 9 кг окислителя расходовались за 2,5 часа; это ровно 1 г/сек. По уравнению реакции, на 1 г продуктов требуется 0,85 г окислителя, значит, в среднем окислитель в горелке баллона давал в секунду 1,17 г продуктов и выделял теоретически 1,76 ккал (=7,38 кДж) тепла (включая теплоту конденсации). Иными словами, теоретическая мощность горелки составляла 7,38 кВт. Примем, что полезная мощность, идущая на нагрев азота в балоне, была ~5 кВт.

По рисунку баллона у разработчиков, его форму можно модельно принять как сплющенный сфероид с соотношением осей 3:2, стыкующийся с конусом, с общей высотой фигуры, равной 4/3 диаметра сфероида (см. рис. в геометрическом введении). Объём и площадь поверхности такой фигуры и их взаимное соотношение равны, как говорилось во введении:

V = 0,455•D³;     S = 3,61•D²;    S = 6,11•V^2/3.

Применив последнюю формулу к известному нам объёму баллона 482 м³, получим площадь его поверхности 375 м². Она позволит нам найти среднюю мощность излучения тепла с единицы поверхности баллона; в данном случае это примерно 5000/375 = 13 Вт/м².

Понятно, что конструкторы сделали бы всё возможное, чтобы ценное тепло терялось как можно меньше, и, в частности, приняли бы меры к уменьшению коэффициента излучения материала баллона; но если мы для грубой оценки примем этот коэффициент равным 0,5÷0,9, то такое, скорее всего, завышенное значение будет у нас неявно учитывать унос тепла конвекцией, точный расчёт которой непрост. Зная удельную мощность излучения W = 13 Вт/м² и температуру атмосферы Титана на высоте дрейфа аэростата (70 К), можно по закону Стефана – Больцмана оценить температуру газа внутри баллона Т:

W = 5,67•10^–8•(0,5÷0,9)•(T⁴ – 70⁴) = 13;     T = 149÷130 K.

По такой оценке получается, что азот в шаре примерно вдвое горячее (= вдвое легче), чем снаружи, и, значит, его удельная подъёмная сила равна примерно половине наружной плотности, т. е. порядка 0,3 кг/м³, или около 150 кг для баллона объёмом 482 м³. Это в пять раз больше цифры, приводимой в описании (29 кг). С одной стороны, довольно огрублённо делали оценки мы; с другой стороны, при отсутствии информации неверно были приняты параметры атмосферы Титана специалистами Martin Marietta (по их оценке температуры атмосферы 103 К газ в баллоне выходил бы легче не вдвое, а примерно на 32–40%, что при их значении плотности атмосферы 0,16 кг/м³, давало бы подъёмную силу порядка 0,06 кг/м³ или 29 кг для баллона объёмом 482 м³). В общем, при пятикратном «запасе прочности», подаренном реальной атмосферой Титана, можно верить, что схема подобного монгольфьера была вполне работоспособной.

Гелиевый шарльер для той же модели атмосферы был также рассчитан на подъём к отметке 42 км. Его баллон диаметром 5,2 м и объёмом 72,6 м³ изготовлялся из полиэтилентерефталата двух видов: прочностной тканой основы (дакрон) и газоупорной плёнки (майлар). Для компенсации утечки гелия создавался 20%-ный избыток внутреннего давления в сравнении с наружным. Его форма, типично для баллонов с избыточным давлением, была сферической, вес оболочки составлял 2,8 кг, гелия 2,1 кг, научного блока те же 7 кг, как и в случае монгольфьера. Сжатый гелий в посадочном аппарате хранился до закачки в эпоксидированной ёмкости массой 24,3 кг.

Эпоксидные полимеры отличаются разнообразием состава. В отчёте вид эпоксидных компонентов не уточнён. Здесь показана самая распространённая структура, продукт конденсации эпихлоргидрина с бисфенолом А.

Гелиевый шарльер для модели разреженной атмосферы (см. рис. справа) предлагался большего размера, его диаметр был 14,8 м и объём баллона 1700 м³. Он должен был развёртываться и подниматься со спускаемого аппарата, севшего на грунт, потому что в разреженной атмосфере спуск происходил бы очень быстро, и развернуть баллон в полёте не удалось бы.

Вес научного модуля, включая батарею питания, составлял 6,9 кг, гелия – 7,2 кг, оболочки баллона из двуслойного кевлара толщиной 6,3 + 6,3 мкм – 12,6 кг, и общий вес на плаву – 26,7 кг. Аэростат должен был просто подняться в течение часа к своей высоте равновесия и там дрейфовать. (В этой модели атмосферы высота дрейфа оказывалась на 25 км, при давлении там 8,2 мбар, температуре 94 К и плотности 0,0157 кг/м³; сегодня мы знаем, что на 25 км давление порядка 32 мбар, температура ок. 75 К и плотность ок. 1,63 кг/м³, 8 мбар характерны для высоты 49 км, 94 К – для 66 км, а плотность 0,0157 кг/м³ достигается на 111 км. Ещё дальше от реальности в этой модели оказывались параметры атмосферы у поверхности: давление 17 мбар, температура 78 К, плотность 0,042 кг/м³.). По ходу подъёма научный блок, включавший газовый хроматограф, передавал бы данные об атмосфере либо на спускаемый аппарат, либо на орбитальный.

Структура кевлара (ниже): http://cnx.org/resources/87acbe5a71c13c11b86f02738d22576834f58362/CNX_Chem_20_04_kevlar1.jpg.

Отмечалось, что замена гелия водородом улучшила бы плавучесть, но водород под давлением нельзя было транспортировать в титановых ёмкостях, так как в металле он вызывает развитие хрупкости (а перегрузки при входе спускаемого аппарата в атмосферу доходят до 400 g!). Как выход предлагалось разработать технологию намоточных ёмкостей из прочного эпоксидного волокна, которые были к тому же и легче (титановые для данного количества гелия весили 92 кг, а эпоксидные – 68 кг).

Избыток давления в баллоне не предусматривался, поскольку цель дрейфа на постоянной высоте не ставилась.

Ещё одной модификацией шарльера был небольшой гелиевый баллон диаметром 2,2 м и общей массой оболочки и гелия 3,1 кг, связанный со спускаемым аппаратом, работающим на поверхности (см. рис. справа). Его задачей был подъём научной платформы к нужной высоте, он был связан с основным аппаратом линиями связи и питания. Баллон мог поднять камеру для панорамной и стереоскопической съёмки массой 6 кг, которая и была его главным инструментом.

Этот проект в начале 1990-х гг. был разработан той же фирмой-первопроходцем Martin Marietta Astronautics совместно со Space Dynamics Lab. Ракета Delta 7925 должна была доставить к Марсу 8 капсул диаметром 1,1 м каждая с упакованными аэростатами. За 10 дней до подлёта к Марсу капсулы должны были выйти из космического аппарата и разделиться, чтобы войти в атмосферу в разных точках, обеспечив широкий охват поверхности. После входа в атмосферу капсулы тормозились парашютами диаметром 20,8 м, затем в процессе снижения развёртывался и заполнялся баллон каждого аэростата, после чего парашют, капсула и узел закачки отстреливались и доставляли на поверхность один блок научной аппаратуры, а аэростаты, стабилизировавшись на высоте около 7–8,5 км, приступали к своей программе, главным пунктом которой было детальное фотографирование поверхности Марса в цвете с высоким разрешением (до 20 см/пиксел).

Гондола весом 8 кг несла две фотокамеры, 1 кг научного оборудования, дополнительные инструменты, устройства записи и передачи данных, аккумуляторы и солнечные батареи. Благодаря новым разработкам баллон должен был обеспечить неслыханно долгий рабочий цикл – сотни или даже тысячи дней. За 10–30 дней он совершал бы полный оборот вокруг планеты.

Баллоны диаметром 18,2 м предлагалось сделать из коммерчески доступного биаксиально ориентированного** нейлона 6 (biaxial nylon 6; в России обычно именуется капроном) толщиной 12 мкм.

Выглядя как паутинка, он, тем не менее, оказался удивительно газонепроницаем, поскольку в нём отсутствовали поры. За счёт этого он мог днём выдерживать избыточное давление нагреваемого Солнцем газа и не менял высоту дрейфа, несмотря на значительные перепады температур (T_ноч ≈ 183 K [–90°С]; T_дн ≈ 216 K [–57°С]). Компания успешно провела тест наиболее рискованной операции развёртки баллона в стратосфере Земли на высоте 45 км, где плотность примерно соответствовала марсианской в зоне развёртывания баллона. Было рекомендовано надувать баллон сверху, вначале медленно, по 20 г газа в сек, чтобы не перегружать материал на границе развернутой и свёрнутой частей баллона, а через 20 сек увеличивать скорость надувки до 170 г/сек.

________

* Рис. William Mitchell [http://www.wmmitchell.com/illustration?lightbox=image1vm7].

** При биаксиальном ориентировании плёнка создаётся из двух слоёв, с перекрёстной ориентацией макромолекул. Это весьма улучшает её механические свойства и вдобавок уменьшает плотность, что очень важно в аэростатике. Структура капрона: [http://patentimages.storage.googleapis.com/EP1852022B1/imgb0004.png].

*** Mark Bergin. Exploration of Mars. Brighton, 2002, p. 10 [https://books.google.ru/books?id=sSsY3kfMRwsC].

Капсула общей массой 90,1 кг включала:

защитный тормозной экран (aero-shield) – 12,9 кг;

задний щиток (base cover and drogue) – 9,5 кг;

система главного парашюта (main parachute system) – 15,9 кг;

посадочный метеоблок (surface meteorology package) – 3,0 кг;

антиротационное оборудование (despin device) – 1,0 кг;

газовые ёмкости, коммуникации, клапаны (tanks, lines valves) – 18,3 кг;

контейнер баллона (balloon container) – 3,7 кг;

баллон с принадлежностями (balloon and associated systems) – 16,5 кг;

газ (gas mass) – 2,1 кг;

научная платформа (gondola payload) – 8,0 кг, куда входили:

– Ni-металлогидридная батарея на 18 Вт-ч. (Battery [Nickel-metal Hydride, 18 W-hrs]) – 0,5 кг;

– солнечная батарея на 40 Вт-ч площадью 0,22 м² (Solar Array [40 W-hrs, 0.22 m²] – 0,5 кг;

– радиопередатчик (Radio Transmitter) – 1,1 кг;

– компьютер (Computer) – 1,0 кг;

– термозащита и др. (Thermal Protection and misc structure) – 1,5 кг;

– камеры (Cameras) – 0,6 кг;

– атмосферные датчики (Atmospheric monitors) – 0,1 кг;

– спектрометры (масс-, нейтронный, ИК) и др. (EMS, Neutron Spec, IR Spec, etc.) – 1,3 кг;

– проводка (Cabling) – 0,3 кг;

– на непредвиденное (Contingency) – 1,1 кг.

Тем не менее, и эта разработка Martin Marietta осталась нереализованной, хотя их оценка стоимости миссии MAP (без учёта цены запуска) была весьма скромна: порядка 150 млн. $.*

________

* Robert Zubrin et al. The Mars Aerial Platform mission – A global reconnaissance of the Red Planet using super-pressure balloons. Space Programs and Technologies Conference and Exhibit, AIAA SPACE Forum (1993) [http://web.archive.org/web/20040415010517/http://www.nw.net/mars/docs/maphunts.txt] и [https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/6.1993-4741]. Robert Zubrin with Richard Wagner. The Case For Mars. N. Y., 1996, pp. 49–50 [https://books.google.ru/books?id=NC8XZEddojs].

Этот российско-французский проект стартовал в 1987 году, вначале он назывался Марс-94, затем Марс-96. Он разрабатывался в конкуренции с вышеописанным проектом MAP, затем вошёл в трудные для России 1990-е годы и в итоге был закрыт в конце 1995 г. после двух неудачных атмосферных тестов на развёртку баллона. Спускаемый аппарат, разрабатывавшийся российской стороной, идеологически во многом повторял «Вегу». Аэростат с оборудованием надувки размещался на защитном тормозном экране (внизу показаны первоначальная и позднейшая конфигурации).

После входа в атмосферу Марса и стабилизации главным парашютом должна была начаться 5-минутная развёртка и надувка сжатым гелием цилиндрического баллона диаметром 13,5 м и вышиной 42 м (объём баллона – 5500 м³, вес – 24,5 кг, материал – полиэтилентерефталат толщиной 6 мкм). Описав обычную для таких операций U-образную траекторию (рис. справа), аэростат выходил на высоту дрейфа.

Аэростат должен был нести гондолу весом 15 кг на 25-метровом подвесе и пробоотборник-гайдроп весом 13,5 кг в виде 7-метровой «змеи», привязанной к гондоле 50-метровым эластичным подвесом (общая высота аппарата составляла 120 м). Коммуникации весили 6 кг и гелий в баллоне – 6,4 кг. Вначале аэростат разрабатывался по типу розьера (баллон с водородом или гелием плюс монгольфьер, днём разогреваемый Солнцем), но позже от этой идеи остался лишь подогрев гелия солнечным теплом. За счёт этого аэростат днём должен был парить в атмосфере на высоте до 3 км, к вечеру снижаться, а ночью пробоотборник должен был волочиться по поверхности, собирая образцы грунта (рис. справа). Общая продолжительность миссии планировалась порядка 10 суток.*

________

* A. Vargas, J. Evrard, and P. Mauroy. Mars 96 Aerostat – An overview of technology developments and testing. International Balloon Technology Conference, Balloon Systems Conferences [https://arc.aiaa.org/doi/pdf/10.2514/6.1997-1449].

В 1997 году Лаборатория реактивного движения НАСА, опираясь на успехи, достигнутые миссией «Вега», приступила к разработке аэростата для Марса. Его баллон сферической формы диаметром 27 м вмещал 10,5 тыс. м³ водорода или гелия (масса газа, находившегося под небольшим избыточным давлением, 20 Па ночью и 240 Па днём, составляла 12 кг, баллона – 55 кг) и мог нести 15 кг полезной нагрузки, паря на высоте 6,5 км (ночью ниже, днём выше). Баллон должен был делаться из специально разработанного композита, показавшего высокие характеристики в диапазоне от +23°C до –198°C, а также в условиях радиации. Его состав: майлар толщиной 3,5 мкм, кевларовая основа, полиэтиленовое покрытие толщиной 6 мкм; поверхностная плотность 19,66 г/м². Верхняя половина шара алюминизировалась для предотвращения конденсации CO₂, нижняя была белой. Система развёртки и заполнения баллона газом, с учётом неудач тестов «Марса-96», была переделана на подачу газа снизу, а геометрия модуля была изменена для оптимизации распределения масс и нагрузок при надувке. Плановая продолжительность миссии была увеличена до 90 дней. Энергопитание на столь долгий срок обеспечивала как батарея весом 540 г, так и солнечная батарея площадью 0,76 м² и весом 1520 г. Масса оборудования составляла 13,2 кг, балласта – 3 кг, пиковая мощность – 3 Вт, суточное потребление ок. 0,07 кВт-ч.*

________

* Kerry T. Nock et al. Mars 2001 Aerobot/Balloon System Overview. 1997. [http://www.gaerospace.com/wp-content/uploads/2015/09/AIAA-1997-1447-Mars-Aerobot.pdf]. Илл. системы развёртки оттуда же. Эта статья самым полным образом очерчивает многие проблемы марсианского (и вообще инопланетных) аэростатов.

В 1997 г. НАСА поручило Лаборатории реактивного движения разработать марсианский аэростат, в несколько раз меньший, чем предыдущие проекты Аэроплатформы и Аэробота. Новая разработка получила название The Mars Aerobot Technology Experi-ment (MABTEX)*. Это был гелиевый аэростат диаметром 10 м с избыточным давлением, способный нести 2,5–3 кг аппаратуры. Для него был разработан специальный диффузор, позволявший провести быструю надувку без риска повреждения баллона, толщина стенок которого была испытана в диапазоне от 8,5 до 12,5 мкм. В 1998–2001 годах были проведены пять стратосферных тестов по заполнению гелием 10-метрового сферического баллона из майлара толщиной 12 мкм, из них два не смогли достичь стратосферы, а из остальных успехом завершился лишь один. В июне 2002 г. на Гаити под руководством Виктора Кержановича и Джеффри Холла были проведены тесты майларового баллона сферической формы и полиэтиленого с укрепляющими стяжками, придающими баллону форму тыквы (его диаметр был 12 м, объём – 520 м³). Каждый, предварительно проверенный на отсутствие микропор и других повреждений, поднимался транспортным аэростатом на высоту 34 км, где условия напоминают приповерхностную атмосферу Марса, оттуда сбрасывался на парашюте, и в падении заполнялся газом. Испытание выдержал только полиэтиленовый баллон**.

________

* V. V. Kerzhanovich et al. MABVAP: One Step Closer to an Aerobot Mission to Mars. [https://www.academia.edu/22983561/MABVAP_One_Step_Closer_to_an_Aerobot_Mission_to_Mars].

** V. V. Kerzhanovich, J. A. Cutts, & J. L. Hall. Low-cost balloon missions to Mars and Venus. 16th ESA Symposium on European Rocket and Balloon Programmes and Related Research, 2–5 June 2003, Sankt Gallen, Switzerland. Ed.: Barbara Warmbein. ESA SP-530, Noordwijk: ESA Publications Division, 2003, pp. 285–291 [http://articles.adsabs.harvard.edu//full/2003ESASP.530..285K/0000290.000.html].

Развертывание (слева) и дрейф аэростата НАСА с избыточным давлением на Марсе [https://www.nirgal.net/mars_balloons.html]

Развитие технологий всё это время вело к снижению веса научной аппаратуры, и в 1998 г. НАСА заключило с Pioneer Astronautics (куда в то время перешёл Роберт Зубрин, один из главных аэростатиков Martin Marietta) контракт на разработку марсианского микроаэростата, способного нести менее 1 кг аппаратуры. Этот проект получил название Mars Micro Balloon Probe (MMBP).* Ставка в нём делалась на солнечный монгольфьер/розьер, который мог заполняться как атмосферным газом, так и более лёгкими компонентами (H₂O, NH₃, CH₃OH). Он должен был в процессе спуска достаточно быстро разогреться и перейти на восходящую траекторию (дневная высота дрейфа в диапазоне примерно от 4 до 7 км). Было исследовано, какую удельную плавучесть обеспечивают разные рабочие газы при разных типах покрытия оболочки баллона (чёрной краской, золотом и алюминием). Наилучший результат показал амммиак с золотым покрытием: 7,9 г/м³. Баллоны предлагалось использовать из имеющихся на рынке лёгких полиэтиленовых, объёмом 538 м³ и 1529 м³. Они имели стандартную каплевидную форму (полусфера + конус), а плотность их плёнки составляла 8,3 г/м² у меньшего и 7,2 г/м² у большего. На случай, если они в условиях Марса окажутся недолговечны, предлагалась альтернатива: баллоны из майлара плотностью ок. 13 г/м².

________

* Robert Zubrin et al. Report on the Analysis, Design, Construction, and Testing of a Prototype Mars Micro Balloon Probe. (1998) [www.pioneerastro.com/Projects/Mmb/MMBP_Final_Report.doc].

Но всё же в НАСА решили, что аэростаты не смогут на Марсе конкурировать с другими способами планетарного исследования. В 2008 г. программы марсианского аэростата были прекращены.

В 1999 г. был успешно испытан на заполнение прототип венерианского баллона, а в 2006 г. та же лаборатория в сотрудничестве с ещё несколькими (NASA Wallops и ILC Dover) провела сернокислотный тест баллона диаметром 5,5 м с избыточным давлением гелия, предназначенного для дрейфа в атмосфере Венеры на высоте 55 км. Оболочка его состояла, снаружи внутрь, из тефлона (для кислотостойкости), алюминия (для отражающей способности), майлара (для минимизации утечки гелия) и вектрановой ткани с полиуретановым покрытием (для механической прочности; вектран по свойствам близок к широко известному кевлару)*.

________

* V. V. Kerzhanovich, J. A. Cutts, & J. L. Hall. Op. cit.

Я бы только уточнил, что роль главного барьера против утечки гелия в этом слоёном материале оболочки должна быть отдана не майлару, а алюминию, гораздо более стойкому в этом отношении. – Е. Ш.

Вектран: https://s3.amazonaws.com/data.tackk.com/mio/48182855/14558996740709/large.png;
полиуретан: http://www.pslc.ws/macrog/images/ureth01.gif.

В 2007 г. этот баллон перекочевал в программу VALOR (Venus Aerostatic-Lift Observatories for in-situ Research, Венерианские аэростатические обсерватории для исследования на месте), где были указаны такие его характеристики: масса оболочки – 23,7 кг, поверхностная плотность – 176 г/м², полезная нагрузка – 44 кг, масса гелия – 7,8 кг; толщина тефлона – 25,4 мкм, майлара – 12,7 мкм, облегающего майлар алюминиевого ламината – 0,03 мкм снаружи и 0,1 мкм внутри. В течение 330-часового теста никакой измеримой утечки гелия не было замечено. Аэростат предназначался для длительного дрейфа на высоте 54–56 км. За счёт минимального отношения коэффициентов излучения и поглощения материала оболочки (α/ε) аэростат должен был сравнительно мало перемещаться по высоте при ночном остывании и дневном прогреве, в пределах 1 км (у «Веги» при переходе с освещённой на теневую часть Венеры амплитуда высотных перемещений была порядка 3 км). Баллон также хорошо выдержал тесты на развёртывание (см. рис. выше, перегрузка имитировалась сбросом 27-кг груза, который, пролетев 9 м в свободном падении, рывком меньше чем за 1 сек. вытягивал баллон из упаковки).* Однако и эта программа венерианского аэростата была закрыта в 2013 г., а в следующем – и программа аэростата для Титана, разрабатывавшаяся чисто теоретически.**

________

* K. H. Baines et al. Exploring Venus with balloons: Science objectives and mission architectures. 5^th International Planetary Probe Workhop Bordeaux, France, June 25-29, 2007 [https://solarsystem.nasa.gov/docs/3_Baines_Venus_Balloons.pdf]. Илл. теста на развёртку оттуда же.

** Thomas Schumann. Space balloons at Venus, Mars and Titan (December 11, 2016) [https://www.spaceboard.eu/articles/space-out/space-balloons-at-venus-mars-and-titan]. Илл. 2007 г. выше справа оттуда же.

Для Титана Лаборатория реактивного движения в 1990-х гг. разработала три концепции:

гелиевого аэростата-шарльера 3-метрового диаметра, способного дрейфовать на 10-километровой высоте с полезным грузом 50 кг, а при наличии узла испарения/конденсации аргона или смеси из двух либо более компонентов: кислорода, азота, двуокиси углерода и аргона (по типу водно-аммиачно-метанольных систем того же типа, предлагавшихся для Венеры) способного и к управляемым вертикальным перемещениям; конструкция предусматривала волочащуюся по твёрдой или жидкой поверхности «змею» – сборщик образцов, но позже от неё отказались из-за риска застревания (см. рис. слева внизу);

аэростата-розьера, где вертикальные перемещения порядка ±20 м обеспечивались дозируемым подогревом гелиевого баллона внешним атмосферным (азотным) баллоном от радиоуправляемого источника тепла (радиоизотопного термоэлектрогенератора), – см. рис. справа внизу; в схему также входил узел конденсации атмосферного метана (ещё один лёгкий газ) и поглотитель газа, откуда газ при необходимости мог извлекаться в баллон путём нагрева;

и надувной амфибии: 20- или 50-килограммового вездехода с тремя сферическими надувными колёсами по 1,5 или 2 м диаметром, способного перемещаться и по поверхности (твёрдой и жидкой) и в атмосфере, совершая, регулированием подкачки гелия и сброса балласта, неоднократные спуски и подъёмы. (См. ниже схему реализации миссии и прототип аэровера-амфибии на фотоколлаже под следующим абзацем). По расчётам, 6-ваттный микродвигатель мог разогнать его до скорости 5 км/час. Колёса предполагалось сделать из кевлароподобного пластика: уже упомянутого вектрана или спектра (сверхвысокомолекулярного полиэтилена), но рассматривалась и возможность использования зайлона (он же ПБО или полиоксазол), отличающегося высочайшей термостабильностью. Амфибия могла пермещаться автономно или в соединении с одним из баллонов, описанных выше.*

________

* Jack A. Jones, Jiunn Jeng Wu, Aaron Bachelder, and Michael Pauken. Titan Amphibious Aerover. AIAA Space 2000 conference, Long Beach, CA, Sept 19-21, 2000 [http://www2.jpl.nasa.gov/adv_tech/balloons/Baln_ppr/jjAIAA00.pdf]. Илл. выше и под этим абзацем оттуда же. Зайлон: Википедия.

Перевод этапов миссии после сброса модуля надувки: Аэровер достигает высоты парения 7 км и стабилизируется; Выбрав место для сбора образцов воздуха, система снижается и развёртывает сборник образцов, подвесной стержневой или волочащийся змеевидный; оболочка пробоотборника сбрасывается в качестве балласта*; [аэровер взлетает к высоте парения]; Неоднократные спуски к поверхности*; возможны скольжение/зависание над поверхностью для съёмки и сбора проб; Аэровер выбирает наиболее перспективное место спуска по результатам съёмки и снижается для работы на поверхности; Остаточный гелий служит для смягчения посадки; Ездит во всех направлениях и замещает гелий [в колёсах] окружающей атмосферой; Возвращается к выбранному перспективному месту.

* Варианты контроля высоты парения: балласт; воздушный шар; нагрев колёс [гелия в них].

Затем была предложена концепция аэровера: дирижабля-вездехода массой 100 кг и длиной 10 м с двигательной установкой внизу для поверхностных перемещений со скоростью до 2 м/сек. и двумя 20-ваттными пропеллерами для полётов (см. илл. внизу справа и схему под ней). Вертикальные перемещения в амплитуде 10 км планировались за счёт нагрева/охлаждения гелия в сигарообразном баллоне переменного сечения от регулируемого теплообменника, использующего солнечное тепло, а двигатели обеспечивал энергией 500-ваттный радиоизотопный термоэлектрогенератор.* Однако в 2014 г. и эта программа была свёрнута.

________

* Jack A. Jones. Inflatable Robotics for Planetary Applications. 6th International Symposium on Artificial Intelligence, Robotics, and Automation in Space," I-SAIRAS, Montreal, Canada, June 19–21, 2001 [http://www2.jpl.nasa.gov/adv_tech/balloons/Baln_ppr/jj01.pdf]. Илл. оттуда же.

Концептуальные итоги проведённых работ таковы:

Марс: Высокий перепад температур день/ночь, доходящий до 100 градусов (около 50%), делает практически неосуществимым аэростат, находящийся в равенстве с внешним давлением. Его жизненный цикл ограничен одной сменой дня и ночи. Несколько стабильнее был бы аэростат с давлением внутри выше атмосферного, но он имеет худшую плавучесть, требуя более лёгкого и прочного материала для оболочки. В наличии такого материала нет.

Другой альтернативой является равновесный с атмосферным давлением аэростат, работающий на принципе монгольфьера с разогревом от солнечного тепла: днём прямого, а ночью – отдаваемого почвой (см. рис. справа). Реалистичная полезная нагрузка таких систем ограничена 1–3 кг.

Венера: для достижения высокотемпературных нижних слоёв атмосферы рекомендовано делать оболочку аэростата из термостойкой полиимидной плёнки – каптона. В верхних холодных слоях атмосферы оптимальным материалом является дешёвый, лёгкий и кислотно-стойкий полиэтилен. В средних слоях может быть хорош тефлон. Оправданно применение как баллонов с равновесным, так и с избыточным по отношению к атмосфере давлением. Технология баллонов с жидкостно-газовыми смесями, использующими испарение и конденсацию отдельных компонентов, требует больших дополнительных исследований. Реалистичная полезная нагрузка может составлять 5–15 кг.*

Титан: наиболее перспективным признан дирижабль-амфибия (последнего типа из представленных выше), но не отброшены и остальные варианты;**

Юпитер и Сатурн: предложена технология Solar Infrared Mongolfiere Aerobots (SIRMAs): аэроботы-монгольфьеры на солнечном нагреве. Днём атмосферный газ в баллоне нагревается от Солнца непосредственно и дрейфует в области давлений около 0,1 атм, ночью же получает тепло, отдаваемое планетой, и снижается к области давлений около 0,2 атм. Баллон массой 112 кг на Юпитере способен нести полезную нагрузку 10 кг; при использовании чисто водородного баллона последний весил бы для той же послезной нагрузки в 10 раз больше. На Сатурне баллон SIRMA, несущий 10 кг, сам весил бы около 220 кг, что приемлемо.**

Уран и Нептун: Технология SIRMA для этих планет недоступна ввиду слишком малой интенсивности солнечного излучения. Единственной реалистичной возможностью остаётся заполнение баллона лёгким безметановым газом из стратосфер этих планет с тем, чтобы он приобрёл подъёмную силу в их нижних слоях с большей молярной массой, на уровне слоя метановых облаков или под ними. По расчётам, баллон весом 10 кг мог бы нести гондолу такого же веса, способную к прямой связи с Землёй.**

________

* V. V. Kerzhanovich et al. Op. cit.

** Dr. Jeff Hall. Balloon Technology for Outer Planets [http://www2.jpl.nasa.gov/adv_tech/balloons/outer.htm].

В 2005 г. в Европейском Космическом Агентстве была в основном разработана концепция венерианского аэростата. Сейчас на этой базе в ЕКА существует программа Venus Entry Probe по запуску двух орбитальных спутников и аэростата (аэробота) массой 91 кг* на Венеру примерно в 2020-х годах. В этой миссии 14-дневный дрейф аэростата, ограниченный по сроку утечкой газа, предусматривается на высоте 55 км при 30°C и 0,5 атм., а несомая гондола менее чем метровых размеров после отстрела паршюта и выпуска газа в баллон аэростата должна будет весить 60 кг.

________

* Из них: корпус гондолы (включая запас газа, выпускаемого в баллон аэростата на высоте ок. 55 км после отстрела парашюта) – 25 кг; баллон аэростата – 7 кг; баллон с запасом газа – 17 кг; парашют 3,6 м – 7 кг; система спуска, включая карбон-фенольный защитный экран, – 38 кг; более детально вес гондолы состоит из: научной аппаратуры – 8 кг; средств связи – 1,5 кг; бортового обработчика данных – 1 кг; конструктивных элементов и подвески – 7 кг; источника питания – 5,5 кг; газовой аппаратуры – 2 кг [http://sci.esa.int/trs/35987-venus-entry-probe/].

В проспекте миссии ЕКА упомянута возможность замены транспортировки газа в баллоне на применение разрабатываемого агентством холодного газового генератора. Детали там не раскрываются.

По заявке ЕКА коллаборация Лаборатории реактивного движения НАСА и европейских специалистов разработала в 2011 г. проект Аэроисследователь Титана (TAE), планируемый к запуску с космодрома Куру 21 декабря 2022 г ракетой-носителем Союз-Фрегат. Проведя месяц на околоземной эллиптической орбите, корабль отправится в 9,5-летний путь к Титану с двумя венерианскими и двумя земными гравитационными манёврами, а также четырьмя двигательными. Войдя в 1270 км над поверхностью Титана в его экзосферу со скоростью 6,2 км/сек, спускаемый аппарат диаметром 3 м и высотой 2,6 м типа Гюйгенса совершит типовые операции, апробированные «Вегами» и показанные на схеме внизу:

А. Разогрев об атмосферу при входе; B. Развёртывание тормозного парашюта (20 м²); C. На высоте 150 км: отстрел верхней части капсулы с тормозным парашютом и нижней с тепловым экраном; развёртка главного парашюта; D. На высоте 9 км: развёртка баллона аэростата; E. На высоте 8,9 км: начало заполнения баллона аэростата (время заполнения – 10–20 мин.); F. На высоте 6 км: окончание надувки баллона, отстрел главного парашюта и системы заполнения баллона; G. На высоте 8 км: поднявшийся и принявший сферическую форму баллон достигает высоты полёта. В нижнем ряду: Спускаемый модуль внутри ракеты-носителя; Внутренняя компоновка спускаемого модуля; Вид аэростата в полёте в рабочем режиме.

Информация и илл. по проекту TAE – из статьи Jeffery L. Hall et al. Titan Aerial Explorer (TAE): Exploring Titan by balloon (2011) [http://solarsystem.nasa.gov/docs/Hall_TAE-Paper.pdf].

Под действием ветра шар диаметром 4,6 м с гелием под небольшим избыточным давлением будет дрейфовать чуть южнее экватора со скоростью порядка 1 м/сек, выполняя 3-месячную научную программу, а по истечении 6 месяцев совершит полный оборот вокруг Титана. Полная масса полезного груза (включая 28 кг сжатого гелия) составит 170 кг, из которых 19 кг придётся на научные приборы, смонтированные на цилиндрической гондоле диаметром ~1,5 м: фотокамеру (2 кг; 5 Вт), спектрометр (2,5 кг; 11 Вт), радар (8 кг; 15 Вт), газоанализатор (0,5 кг; 1 Вт), метеонабор (1 кг; 3 Вт) и приборы для измерения электромагнитных полей (0,5 кг; 3,5 Вт). Потребляемую ими мощность 240 Вт обеспечат два радиоизотопных генератора типа ASRG (Advanced Stirling Radioisotope Generators), а выделяемое ими тепло (1 кВт) будет поддерживать в гондоле температуру ок. 20°C. (Рассматривался вопрос об использовании этого тепла по принципу розьера, но из-за технологической неиспытанности и отсутствия нужных данных для расчёта конвекции было решено ограничиться более простым, надёжным и отработанным шарльером.)

Планируется получить значительный объём сведений о геологии, гидрологии, метеорологии и аэрономии Титата и об органических реакциях в его атмосфере и на поверхности (порядка 1 Гб информации). Их с гондолы будет передавать широкополосная антенна диаметром 0,75 м.

Избыточное давление в баллоне (1000 Па, т. е. порядка 1% от давления атмосферы на высоте 8 км) обеспечит стабильность высоты дрейфа (вариации порядка десятков метров). Однако клапан выпуска газа и запас балласта (5 кг) позволят осуществить несколько высотных манёвров. Материал стенок (полиэфирная плёнка на многослойной основе плотностью 75 г/м²) сохранит гелий в баллоне в течение срока миссии, от 3 минимальных до 6 желаемых месяцев. Практически вся утечка будет обусловлена микропорами (см. справа расчётный график снижения избыточного давления при наличии 20 пор диаметрами по 10 мкм). При среднем темпе утечки 1 г/день сброс балласта из расчёта 6 г/день способен компенсировать утерю плавучести. Материал прошёл криогенный тест и показал хорошие механические свойства вплоть до температуры 77 К (температура атмосферы в зоне дрейфа – ок. 85 К). Состав его не раскрывается, но к полиэфирам относится из тестировавшихся ранее материалов майлар.

В 2010-х гг. в Отделе анализа космических миссий Дирекции НАСА по анализу систем и концептуальным разработкам (Space Mission Analysis Branch of NASA’s Systems Analysis and Concepts Directorate at Langley Research Center) была изучена возможность широкомасштабного освоения Венеры, возвращающая нас к тем фантастическим идеям 1960-х годов, с которых начинался наш небольшой исторический обзор инопланетной аэростатики. Итогом этой работы стал проект HAVOC (High Altitude Venus Operational Concept) – Концепция деятельности в высотных слоях венерианской атмосферы*. По мнению разработчиков, Дэйла Арни и Криса Джонса (Dale Arney и Chris Jones), почти все технологии, задйствованные в этом проекте, уже на подходе (near-term). Единственное, чего придётся ждать примерно до 2020-х годов, – это ракета-носитель большой грузоподъёмности.

________

* Информация о нём здесь взята из статьи Evan Ackerman «NASA Study Proposes Airships, Cloud Cities for Venus Exploration» (16 Dec 2014) [http://spectrum.ieee.org/aerospace/space-flight/nasa-study-proposes-airships-cloud-cities-for-venus-exploration]; есть также русское изложение: «NASA предлагает осваивать атмосферу Венеры прежде поверхности Марса» [https://geektimes.ru/post/243103/].

Программа состоит из пяти этапов:

1) Исследование автоматикой;

2) Пилотируемое исследование с орбиты в течение 30 дней;

3) Пилотируемое исследование в атмосфере в течение 30 дней;

4) Пилотируемое исследование в атмосфере в течение года;

5) Постоянное пребывание людей.

На всех этапах будут задействованы крупные гелиевые аэростаты-дирижабли из пластика: для автоматических миссий длиной 31 м, для пилотируемых – длиной 129 м и максимальным диаметром 34 м (рис. справа). Их объём составит 77.521 м³, полезная нагрузка – 70 т (из них 60 т. приходится на возвращаемый корабль), масса гелия – 8183 кг, ёмкостей для него – 6623 кг, корпуса – 6455 кг, силового оборудования и двигателей – 4511 кг, итого: 95,8 т. Потребляемая мощность составит 240 кВт, из них возобновляемая – 53 кВт, которую обеспечат солнечные панели на корпусе площадью 1044 м²; ёмкость аккумуляторов с циклом зарядки 66 часов составит 1959 кВт-ч.

Упакованный корпус аэростата с орбиты в транпортнике доставляется к высоте ожидания экипажа (см. схему внизу), после стыковки с подобным же транспортником, доставившим с орбиты экипаж, и перехода экипажа в рабочий модуль на базе ракеты Пегас, находящийся в первом транспортнике, производится спуск с орбиты (высота 200 км, скорость 7 км/сек), затем на высоте 82,7/75,1 км (первые значения здесь и далее соответствуют автоматической миссии, а вторые – пилотируемой) начинается парашютное торможение транспортника; через 44/64 сек. на высоте 76,2/64,1 км при скорости 96/99 м/сек. корпус транспортника отстреливается, и начинается развёртывание и надувка корпуса аэростата; 5/2 мин. спустя на высоте 66,2/55,6 км, при скорости менее 10/41 м/сек. отстреливается тормозной парашют (в этой фазе корпус аэростата уже достаточно велик для аэродинамического торможения), и в завершение полностью надутый аэростат с рабочим корпусом-ракетой под ним приступает к плановой работе в атмосфере. И на американском, и на русском сайтах, указанных в сноске выше, есть не только рисунки, но и 3-минутное видео, где показан этот процесс. По завершении программы экипаж переходит в головную часть ракеты, отделяется от аэростата и возвращается в корабль, ждущий на орбите.

http://spectrum.ieee.org/image/MjU4MzIwNQ.jpeg

Высота полёта планируется немного ниже 50 км, в зоне, где давление равно 1 атм, а температура составляет +75°C. С учётом скорости ветров на высоте полёта (ок. 100 м/сек.), даже не включая двигатели, аэростат будет огибать планету за 110 часов, что и определит для экипажей цикл смены дня и ночи (собственное вращение Венеры намного медленнее; границу света и тени на ней можно в сравнении со скоростями ветров считать почти фиксированной).

На пятом этапе предстоит создать на Венере своего рода облачные города: огромные аэростаты-причалы для аэростатов, участвоваших в предыдущих этапах (см. рис. внизу).

[https://sacd.larc.nasa.gov/files/2016/06/havoc_slider.png]

Этот проект, планируемый на 2020-е годы, предусматривает доставку к Венере в составе российской станции «Венера-Д» (Д = долгоживущая) как минимум двух аэростатных зондов, разработанных НАСА (рассматривалась также возможность доставки японского аэростата: возможно, того, который JAXA, Японское космическое агентство, разрабатывало в 2009 г. для исследования нижних слоёв атмосферы Венеры;* этот аэростат должен был дрейфовать около высоты 35 км, рабочим телом в нём был водяной пар**, форма баллона, если положиться на илл. с сайта JAXA, была весьма необычна, см. рис. справа***). На официальном сайте проекта**** приведена лишь маленькая схематичная иллюстрация, из которой следует, что форма баллонов сферична, и сказано, что высоты дрейфа составят 55 и 48 км, то есть над и под облачным слоем. Срок жизни зондов – порядка 8 дней или более. В 2016 г. проект был исключён из Федеральной космической программы, но в марте 2017 г. переговоры по нему между ИКИ/Роскосмос и НАСА были возобновлены.

________

* E. Chassefière et al. European Venus Explorer: An in-situ mission to Venus using a balloon platform. Advances in Space Research, vol. 44 (2009), pp. 106–115 [https://www2.physics.ox.ac.uk/contacts/people/wilsonc/publications/115550].

** http://www.univie.ac.at/EVE/whatiseve.htm.

*** Интервью с разработчиком, проф. Tetsuya Yoshida [http://global.jaxa.jp/article/interview/vol42/p3_e.html].

**** [http://www.venera-d.cosmos.ru/index.php?id=658]. Дополнительные детали взяты из Википедии.

* * *

Методы расчётов
Calculation approaches

Посмотрим, какие вопросы ставит перед конструктором аэростат типа монгольфьера, где разогревается местный газ атмосферы. Прежде всего: чем разогревается?

Варианты с горелками или аккумуляторами мы заведомо не будем рассматривать: никакое топливо не содержит столько химической энергии на единицу массы, чтобы оправдать затраты на его космическую транспортировку и обеспечить сколько-нибудь продолжительное функционирование аэростата. (Упомянутый выше проект монгольфьера с горелкой для Титана, где 9 кг земного окислителя обеспечивали 2,5 часа дрейфа, всё-таки остался в экзотическом одиночестве в многочисленном семействе инопланетных аэростатов.)

Лазерная накачка с орбиты специалистами не рассматривается, и это указывает на то, что и такой путь невыгоден. Перенос источника на орбиту не снимает вопроса, откуда там возьмётся нужная мощность, а ответов всего два-три: либо с Земли, либо от Солнца, либо то и другое. О Солнце мы поговорим в следующей главке, а с Земли, по-видимому, целесообразно везти не химическую, а атомную энергию, которой в единице доставляемой массы может быть на порядки больше.

Рассмотрим конструкционно и по весу простейший вариант: прямой нагрев газа радиоизотопом, помещённым в центре сфероподобного корпуса радиусом R.

Нам, очевидно, желательно разогреть газ до максимальной температуры T_max, которую способен выдержать в рабочем состоянии материал оболочки.Оболочка, разогретая до этой температуры, будет сколько-то мощности излучать в атмосферу и сколько-то отдавать ей же путём конвекции. Точный расчёт относительной доли каждого из этих двух механизмов весьма сложен, а чаще просто невозможен, но существуют оценки, говорящие, что в первом приближении вклад обоих механизмов сопоставим. Поэтому, если нельзя уточнить расчёт, зная что-то конкретное о конструкции и режимах работы аэростата, можно для оценочной прикидки считать, что потери энергии в атмосферу равны удвоенной мощности излучения.

Эффективную мощность излучения (разность того, что оболочка излучает в атмосферу и получает от неё) легко посчитать по закону Стефана – Больцмана, для этого надо знать только R, T_max, температуру атмосферы в зоне полёта T_атм и коэффициенты излучения и поглощения оболочки аэростата ε, α и атмосферы в зоне полёта ε_атм, α_атм. (Если какие-то из коэффициентов точно неизвестны, можно оценочно принять их равными ~0,5.) Эту потерю и должна компенсировать мощность поглощённого газом аэростата излучения радиоактивного источника.

Излучение источника, скорее всего, плохо повлияет на работу аппаратуры, которую несёт аэростат, но этого можно отчасти избежать, подвесив аппаратуру на длинном фале под шаром аэростата, если к тому нет метеорологических, кинематических и иных препятствий. Но излучение также может ухудшать технические параметры оболочки, и с этой точки зрения желательно, чтобы оно в достаточной мере поглощалось газом внутри оболочки. Это же желательно и с позиций улучшения к. п. д. источника. Но здесь, к сожалению, мало что от нас зависит. Доля поглощённого излучения не слишком чувствительна к типу атомов и молекул, сквозь которые оно распространяется. В первом приближении можно сказать, что эта доля зависит только от числа нуклонов, встреченных по ходу луча, то есть от плотности газа в аэростате и от толщины слоя поглощения, который в данном случае по понятным причинам совпадает с R.

Для земного воздуха при обычной плотности ок. 1,2 кг/м³ расстояние половинного ослабления гамма-излучения равно ~150 м, 100-кратного ослабления – ~1 км. Очевидно, что гамма-источники вряд ли нам подойдут. Альфа- и бета-излучения поглощаются лучше. Они, по закону сохранения заряда, всегда сочетаются, а из-за колоссального различия масс альфа- и бета-частиц, до 98% энергии приходится на альфа-излучение. При поглощении бета-излучения возникает, правда, тормозное рентгеновское излучение с высокой проникающей способностью, но для нашего, самого низкомолекулярного, поглотителя, водорода, его доля составляет менее 0,1% и не должна доставить проблем.

Однако у альфа-источников плохое соотношение цена/мощность и ещё более плохое соотношение мощность/долговечность. Так, у полония-210, применявшегося для обогрева аппаратуры спутников (что говорит о его практической оптимальности в ряду других альфа-излучателей), мощность составляет всего 0,14 кВт/г, при цене 1 г порядка 1 млн. руб. и периоде полураспада 138 суток, чего совершенно недостаточно для межпланетных перелётов.

Итак, вариант аэростата с подобным прямым разогревом местного газа, по-видимому, следует полностью отклонить.

Но, как мы видели из Исторического обзора работ по внеземной аэростатике, существуют (и продолжают совершенствоваться) радиоизотопные термоэлектрогенераторы, обычно на ²³⁸PuO₂ с периодом полураспада 86 лет и мощностью альфа-излучения 0,41 Вт/г, которые, по мнению специалистов, в некоторых случаях будут вполне эффективны для нагрева газа в баллонах монгольфьеров и/или розьеров (в том числе за счёт утилизации тепловыделения).

Andrew J. Ball et al. Planetary Landers and Entry Probes. Cambridge, 2007, p. 96 [http://www.e-reading.club/bookreader.php/138786/Ball_-_Planetary_Landers_and_Entry_Probes.pdf].

Солнечное тепло одинаково облучает баллон аэростата и окружающую атмосферу. Но двухатомные газы почти не поглощают электромагнитное излучение, а из трёх- и более атомных во внеземных атмосферах в основном представлены СО₂ (доминантные компоненты на Марсе и Венере) и СН₄ (в небольшом количестве на Титане). Поэтому практически любая оболочка баллона имеет больший коэффициент поглощения, и поглощаемая ею доля мощности солнечного потока будет выше. За счёт этого газ в ней нагреется до некоторой более высокой температуры Т, чем тот же газ в окружающей атмосфере Т_а. Став горячее окружающего газа, оболочка начнёт сильнее отдавать тепло атмосфере как излучением, так и конвекцией. В итоге при какой-то температуре баллона Т > Т_а установится равновесие отдаваемого атмосфере и поглощаемого от Солнца потоков тепла. Точной теории этого сложного процесса нет, но на практике вычисляют поток тепла от горячего тела к газу по тем или иным полуэмпирическим формулам, уточняемым в экспериментах. Пример можно посмотреть в Приложении 1, а здесь лишь опишем процедуру.

Основным расчётным уравнением становится далее уравнение баланса: мощность исходящего от оболочки потока тепла должна быть равна мощности поглощаемой оболочкой энергии. В общем случае оболочка поглощает:

а) прямое солнечное излучение (ослабленное прохождением через вышележащие слои атмосферы);

б) отражённое от планеты и/или атмосферы солнечное излучение (ещё более ослабленное прохождением до грунта и обратно до высоты дрейфа аэростата);

в) термическое излучение планеты;

г) термическое излучение атмосферы.

Отдаёт энергию она тоже несколькими каналами:

а) конвекций в атмосферу и внутрь баллона;

б) термическим излучением.

В НАСА есть разработанная Р. Фарли (R. E. Farley) программа для такого рода расчётов (для служебного пользования), а в Сети имеется очень обстоятельно написанная диссертация И. Ван Досселаера, где описаны несколько иные алгоритмы и даны и нужные формулы и различные табличные данные для аэростатов и атмосфер Земли, Венеры, Марса и Титана*.

________

* Ignace Van Dosselaer. Buoyant Aerobot Design and Simulation Study BADS. Delft University of Technology, 2014 [http://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:59356102-9032-44b4-84a0-f798effc823c/datastream/OBJ/download&usg=AFQjCNG9lH_PRnTObLRqmSC5zk_AwFFyFA]. К сожалению, наряду с добротным (лишь местами некритическим и некреативным) изложением в разделе о тепловом балансе аэростата, раздел об утечке газа сквозь оболочку баллона у Досселаера изложен слишком упрощённо.

Задав высоту дрейфа и имея профили давления и температуры атмосферы, находят для этой высоты температуру Т_а и плотность ρ (кг/м³) атмосферы, мощность солнечного излучения на этой высоте I (Вт/м²), а также ряд нужных для расчётов физических параметров атмосферы (или хотя бы её доминантного компонента): коэффициенты поглощения α и излучения ε (можно ограничиться трёхатомными газами), теплоёмкость С_p (Дж/кг•К), динамическую вязкость μ (Па•с), коэффициент теплопроводности К (Вт/м•К). Нужно также иметь под рукой альбедо планеты а и ускорение свободного падения g (м/с²) (а если это Титан, у которого радиус мал, то и формулу зависимости g от высоты дрейфа). По геометрии баллона из специальных таблиц (которые не всегда есть, особенно для сложных форм!) берут те или иные коэффициенты формы, входящие в полуэмпирические уравнения теплообмена, и вычисляют излучающую и поглощающую поверхности баллона (они не совпадают: например, сфера излучает в атмосферу со всей своей поверхности 4π•R² и конвективно греет атмосферу тоже всей поверхностью, поглощает солнечное и планетарное излучение только «освещённой» половиной поверхности, которая в расчётах представлена площадью сечения π•R², а атмосферное излучение хотя физически и поглощает всей поверхностью, но в расчётной формуле, вывод которой дан в Приложении 4, фигурирует также площадь сечения). А для материала оболочки баллона находят в справочных источниках (если повезёт!) значения его коэффициентов поглощения α_об и излучения ε_об.

Далее анализируют компоненты теплового баланса: порою заведомо ясно, что то или иное слагаемое будет пренебрежимо мало, и его не включают в баланс. Оставшиеся компоненты расписывают в явном виде: излучательные слагаемые – через закон Стефана – Больцмана; конвективные – через коэффициент теплопередачи, а поглощательные – через мощность приходящих к баллону излучений и его площадь сечения. Если миссия длится не часы, а дни или дольше, то необходимо усложнять формулы для солнечного излучения астрономическими и геометрическими поправками для учёта переменности всех трёх солнечных по природе излучений (прямого, отражённого от планеты и планетарного) по временам местных суток, по удалённости и наклону орбиты вращения планеты вокруг Солнца (временам местного года) и по широте и долготе текущих координат дрейфа.

В конечном счёте единственным неизвестным в довольно сложном итоговом уравнении баланса остаётся температура рабочего газа в баллоне Т, которую и находят, решая это уравнение численно.

Газ в баллоне практически всегда находится в среднем в температурном равновесии с оболочкой. И многочисленные данные о запусках монгольфьеров и розьеров на Земле, и модельный расчёт, приведённый в конце Приложения 1, говорят, что это равновесие достигается очень быстро, за время порядка земных минут.

Сама оболочка также находится в температурном равновесии с окружающей атмосферой, но это не означает, что её температура равна температуре атмосферы. Довольно объёмистое Приложение 1 посвящено разбору этого вопроса для нескольких материалов оболочки в условиях марсианской атмосферы. В общих чертах вывод таков: у каждого материала оболочки есть своя поправка ΔТ, причём исчисляющаяся величинами вплоть до сотен градусов, к температуре атмосферы:

Т = Т_а ± ΔТ.

Эта поправка может заметно квазисинусоидально меняться в ходе цикла день/ночь, вплоть до перемены знака, и в некоторой степени (не слишком сильно) зависит от высоты.

По Т из универсального газового закона находят плотность газа в баллоне ρ. Вначале находят её стандартное (оно же минимальное) значение ρ_о, для условий, когда в баллоне давление равно или больше внешнего атмосферного Р_а (разумно положить его примерно равным давлению атмосферы на плановой высоте дневного дрейфа Р_{а (д)}), и баллон занимает свой стандартный (он же максимальный) объём V_о:

ρ_о = Р_{а (д)}•μ_г/(R_г•T),

где μ_г – молярная масса рабочего газа [кг/кмоль], а R_г – универсальная газовая постоянная (индекса «г» у них обычно нет, но здесь он введён, чтобы избежать путаницы с динамической вязкостью и радиусом баллона).

Плановая программа миссии почти наверняка будет предусматривать целевой или вынужденный (например, циклом день/ночь) дрейф на других высотах и при других температурах атмосферы Т_{а (н)}, где давление атмосферы Р_{а (н)} может быть больше, чем расчётное давление внутри баллона для Т_(н) = Т_{а (н)} ± ΔТ_(н), вычисленное по универсальному газовому закону:

Р_{г (н)} = Т_(н)•ρ_о•R_г/μ_г = Р_{а (д)}•Т_(н)/Т.

При Р_{г (н)} < Р_{а (н)} произойдёт деформация с уменьшением объёма баллона до V_(н) и соответственно, при постоянной массе рабочего газа в баллоне, с возрастанием плотности газа в деформированном баллоне до:

ρ_{г (н)} = (μ_г/R_г)•Р_{а (н)}/Т_(н).

И, наконец, зная плотности газа в баллоне при всех режимах работы, по закону Архимеда делают расчёт плавучести, подъёмной силы, массы полезного груза, размера баллона, высоты дрейфа днём и ночью, и т. д.

Каждая планета получает от Солнца ровно столько же энергии, сколько излучает в космос. Если бы этот баланс не сходился всего на 1%, то, как можно подсчитать, вооружившись знаниями о солнечных постоянных, массах, диаметрах и средних теплоёмкостях планет, за несколько сот тысяч лет планеты земной группы нагревались бы на 1 градус, то есть через несколько сотен миллионов лет дошли бы до точки плавления и кипения горных пород, а к нынешнему возрасту Солнечной системы как раз успели бы полностью испариться. Но солнечное излучение ночью падает до нуля, тогда как собственное излучение планеты до нуля никогда не падает. Значит, днём некоторое количество энергии запасается планетой, чтобы израсходоваться за ночь. (Аналогично работает и цикл зима/лето.)

Мощность солнечного излучения (прямого и отражённого от поверхности планеты) заметно (а на Марсе даже очень заметно) меняется в течение цикла день/ночь. Меняются и температуры атмосферы и поверхности любой планеты (а у атмосфер температуры меняются и по высоте), что влечёт на каждой высоте циклические, а в совокупности времени и высоты порой довольно сложные изменения мощности теплового излучения, воздействующего на баллон. Соответственно циклично или более сложно меняются и температура, и плотность газа в баллоне. В Приложении 1 есть даже парадоксальный пример того, как ночью газ в баллоне становится теплее окружающей атмосферы, хотя, как правило, ночью он становится холоднее её. Остывая ночью, газ в баллоне сокращается в объёме, и, если это розьер, то есть в баллоне лёгкий газ, и баллон изолирован от атмосферы, газ может сжаться до объёма меньше, чем объём баллона (что приведёт к той или иной деформации баллона, его сморщиванию или принятию грушевидной формы). Тогда закон Архимеда надо будет переписать в ином виде, с учётом непостоянства объёма газа. Все перечисленные факторы дополнительно усложняют расчёты солнечных монгольфьеров и розьеров, а при необходимости точно учесть эти эффекты усложняется и расчёт любого типа аэростата, поскольку эффекты-то универсальны, вопрос лишь в том, насколько они количественно значимы в том или ином случае.

Если баллон меняет объём (а следовательно, и форму, т. е. геометрию), то единственной постоянной величиной (и то условно: если считать пренебрежимо малой суточную утечку газа!) будет количество газа в баллоне в единицах массы или числа молей.

Не всегда будет соблюдаться равенство давления в баллоне с внешним давлением атмосферы. Если газ сжимается до объёма менее базового сферического объёма баллона, то, благодаря гибкости оболочки, давление внутри можно считать равным наружному. Но если газ перегрет, и его расчётный объём должен был бы превысить стандартный сферический объём баллона, картина будет иной. Баллон гибок, но практически нерастяжим, и принять больший объём он не сможет, поэтому объём остановится на этой сферической отметке, а расти начнёт давление внутри баллона. Оно будет расти до тех пор, пока баллон не лопнет, или не сработает предохранительный стравливающий клапан (но тогда необратимо потеряется часть рабочего газа!), или не начнётся конденсация какого-то из компонентов рабочей газовой смеси с переходом в жидкое или твёрдое состояние.

Средние суточные колебания давления атмосферы сравнительно малы, поскольку величина давления в основном определяется массой атмосферы, которая расположена над данной отметкой высоты, и средней температурой этой массы, определяющей, насколько кинетическая энергия молекул убавит или прибавит веса этой массе в поле тяготения планеты. И масса и температура гораздо сильнее меняются хаотичными крупномасштабными движениями атмосферы (циклоны, антициклоны, вихри и т. п.), чем средними циклическими вариациями. Например, на Земле среднесуточные колебания давления не превышают 1–2 мм рт. ст., а погодные колебания могут достигать за сутки в десятки раз бóльших значений. Поэтому переменными по суточному циклу можно считать только средние температуры атмосферы и баллона и объём баллона.

Понятно, что ночные и дневные температуры не сменяют друг друга скачком, а имеют гладкую динамику. Поэтому для получения полной картины суточных вертикальных смещений аэростата нужно много раз численно составлять и решать уравнения теплового баланса и проделывать все указанные расчёты. Задача не из лёгких! В Приложении 1 дан пример весьма упрощённого и облегчённого расчёта солнечного монгольфьера для Марса, и желающие могут по нему оценить сложность настоящего подобного расчёта.

Уменьшение объёма баллона при одновременном возрастании плотности газа в нём (это очевидные и без расчётов следствия ночного остывания) крайне негативно скажутся на плавучести аэростата. Для борьбы с этим применяют приём избыточного давления. Избыточное давление тоже, конечно, увеличивает плотность газа в баллоне и снижает плавучесть. Но зато подкачанный избыточным давлением баллон дольше сохраняет объём ночью. В целом это стабилизирует высоту дрейфа и сглаживает синусоидальность полёта в течение суток.

Как мы видели в Историческом обзоре исследований по внеземной аэростатике, специалисты, проделав эти непростые расчёты, пришли к выводу, что для ряда планет солнечные монгольфьеры или розьеры оказываются практически приемлемой схемой исследования.

Но всё же более универсальной схемой оказывается шарльер, и дальше мы им и займёмся, тем более, что его расчёт заметно проще, и мы сможем детально его разобрать. Оговорю, что в реальности всякий шарльер является розьером, потому что даже если его не нагревает сконструированный узел, это днём делает Солнце. На примере солнечных монгольфьеров для Марса (Приложение 1) можно видеть, что вклад Солнца в повышение плавучести аэростата даже на удалении четвёртой от Солнца планеты весьма ощутим, а в Историческом обзоре говорилось, что и на удалении пятой планеты из этого вклада можно кое-что полезное выжать. Но расчёт этого вклада весьма трудоёмок, и мы его делать не будем, предоставив то желающим энтузиастам. Однако в уме станем держать, что к расчётной плавучести надо будет всегда прибавлять ещё какой-то солнечный бонус.

Запуски аэростатов на Земле происходят в подавляющем большинстве случаев с поверхности. Баллон, наполненный водородом не до упора, достигнув плавучести, взмывает вверх. По мере подъёма он оказывается в областях всё меньшего давления, а так как оболочка мягкая, то внутри баллона давление всегда практически равно внешнему. Если баллон герметичен (не сообщается с атмосферой), то количество газа в нём при падении давления стремится занять пропорционально больший объём. Вначале газ просто расправляет оболочку и стремится, если её материал растяжим, придать ей максимальный объём. Затем, когда этот ресурс исчерпан, шар (если его плавучесть всё ещё движет его вверх) оказывается в ситуации, когда давление в нём выше окружающего. Самый первый, запущенный в 1783 г. шар с водородом прошёл через этот этап и в конце концов треснул по шву, когда перепад внутреннего и внешнего давлений превысил предел прочности тканево-каучуковой оболочки. (Поэтому следующие шары на старте предусмотрительно недозаполняли водородом.)

При запуске же аэростата на другой планете всё будет симметрично наоборот. Доставивший его космический аппарат произведёт запуск заведомо с высокой орбиты. Оптимальным с точки зрения баллонной группы было бы заполнить шар рабочим газом на той высоте, где перепад давлений в шаре и снаружи увязан с прочностью оболочки и гарантирует неразрыв последней внутренним давлением. Но сложная динамика спуска не даёт такой возможности, и корпус надувается в падении, испытывая как механические и термические стрессы торможения об атмосферу, так и кинематические (и, кстати, термические тоже) воздействия расширяющегося изнутри газа. (Газы при расширении охлаждаются, так что хотя бы термические шоки отчасти взаимно гасятся.)

Нам имеет смысл проверить потенциально возможные планеты-кандидаты, из которых особняком стоят Марс, Венера и спутник Сатурна Титан, а Юпитер и другие газовые гиганты весьма напоминают друг друга, и из них достаточно будет разобрать ближайший к нам Юпитер. Во всех их атмосферах нет кислорода, и это устраняет главный на Земле аэростатический недостаток водорода – его горючесть и взрывчатость. Поэтому без лишних оговорок дальше мы водородными аэростатами и ограничимся, хотя конструкторы-практики, как мы видели, предпочитают иметь дело с более инертным гелием, и, наверное, не без оснований. (Одна из причин – гелий при долгом межпланетном полёте к цели, в отличие от водорода, не повышает хрупкость стенок ёмкости, где он в сжатом виде хранится. А хрупкость чревата катастрофой на этапе входа в атмосферу, где перегрузки могут достигать сотен g!)

Итак, раздувшийся до предела шар с подвешенной научной аппаратурой начинает с некоей высоты накачки своё падение в нижележащие слои атмосферы. Внешнее давление по мере падения растёт. Вполне может быть, что программа исследований подразумевает использование аэростата на разных высотах, и тогда он может сразу при запуске или позже оказаться и в таких слоях атмосферы, где внешнее давление станет больше внутреннего. В этом случае начнётся деформация оболочки, её сморщивание, смятие и т. п.

Всякий газ по природе склонен просачиваться через любую щель и даже микропору. С проблемой просачивания водорода наружу сквозь практически любые оболочки столкнулись ещё на заре воздухоплавания. Тогда ещё не знали, что у водорода минимальный размер молекулы, что и облегчает ему проникновение сквозь твёрдое тело. Ничего не попишешь: и высокая плавучесть (низкая молярная масса), и высокая текучесть (малый объём молекулы и слабое химическое сродство), объясняясь близкими механизмами, идут почти всегда рука об руку! Так, при 25°С гелий проникает через майлар, весьма популярный в инопланетной аэростатике, почти вдвое сильнее, чем водород*, хотя и весит вдвое больше по молярной массе, и Ван дер Ваальсов размер его атома (280 пм) больше межъядерного расстояния в молекуле водорода (74 пм). Однако при низких температурах (ниже ~100 К: такова, например, температура атмосферы Титана) соотношение меняется, потому что у майлара разная чувствительность водородо- и гелиепроницаемости к температуре.**

________

* 170,0 против 94,4 см³/(100 дм²•24 ч•атм•mil): см. Л. Е. Ветрова и др. Ткани с эластомерным покрытием для мягких оболочечных конструкций [http://niirp.com/articles/tkani_s_elastomernym_pokrytiem/barernye_plenki/] (Табл. 2.17).

** Зависимость газопроницаемости через полимерную плёнку Ф от температуры выражается уравнениями вида log₁₀Ф = A – B/T, где А и В – константы, зависящие от состава плёнки и газа и парциального давления газа. Для майлара эти зависимости изображены справа (Л. Е. Ветрова и др. Указ. соч., рис. 2.10). По ним можно вычислить и для водорода и для гелия значения их констант А и В. Константа А зависит от размерности Ф и может меняться, но константа В выражается в Кельвинах, и по графику справа её можно примерно оценить для водорода величиной 1296 К, а для гелия – 1374 К.

Чтобы избавиться от константы А, можно записать выражение для отношения проницаемости при двух температурах: Ф_Не(Т₁)/Ф_Не(Т₂) = 10^{1374•(1/Т₂ – 1/Т₁)}; Ф_Н2(Т₁)/Ф_Н2(Т₂) = 10^{1296•(1/Т₂ – 1/Т₁)}. Поделив одно из этих уравнений на другое и перегруппировав отношения Ф не по виду газа, а по температурам, получим выражение:

Ф_Не(Т₂)/Ф_Н2(Т₂) = [Ф_Не(Т₁)/Ф_Н2(Т₁)]•10^{–78•(1/Т₂ – 1/Т₁)}.

Если мы в этом выражении примем в качестве Т₁ температуру 25°С (298 К), для которой мы знаем у майлара (причём в одной и той же размерности) и Ф_Не и Ф_Н2 (см. в предыдущей сноске), и подставим эти численные значения, то получим рабочее выражение для сравнения гелие- и водородопроницаемости майлара при разных температурах (возможно, тем менее точное, чем дальше мы экстраполируем за пределы изученного и показанного на графике интервала температур от 0°С до 65–70°С):

Ф_Не(Т)/Ф_Н2(Т) = 3,29•10^–78/Т.

Вид этой зависимости показан внизу справа.

При запуске аэростата не снизу, а сверху возрастает риск приобретения оболочкой микроскважин. Ведь чем мы выше над планетой, тем больше там концентрация несгоревших в атмосфере микрометеоритов, которые, несясь со скоростями, ещё достаточно близкими к космическим, способны легко прошить насквозь оболочку аэростата. Микроскважины очень сильно портят показатели утечки. Она может возрастать в сотни раз.

В учебной и научной литературе можно найти множество теоретических и практических сведений о диффузии газов через плёнки разной химической природы. Для земной атмосферы современные аэростаты чаще всего делают из полимерных плёнок, и для Венеры два наших аэростата были полимерными, однако в последних разработках и для Венеры и для других планет их, как мы видели, часто дополнительно металлизируют алюминием. Это, помимо прочего, улучшает показатели утечки, так как у металлов газопроницаемость заметно меньше, чем у полимеров. А алюминий – один из лучших металлов по устойчивости к водородопроницаемости.

Введение в полимерную часть оболочки определённых наполнителей способно в несколько раз снизить гелиепроницаемость. Наилучшие результаты по соотношению проницаемость/плотность у фторполимерных плёнок из сополимеров винилиденфторида с трифторхлорэтиленом марок СКФ-32 и Ф-32Л в соотношении 80:20 показали добавки слюдяных частиц (вермикулита и флогопита). Гелиепроницаемость при 20°С в пересчёте на толщину плёнки 0,15 мм снизилась с 6 до 2,6 л/(м²•сут), т. е. в 2,3 раза, а плотность выросла с 1222 до 1353 кг/м³, т. е. в 1,11 раза*.

________

* А. Е. Дрогун, А. А. Колесников. Гелиепроницаемость наполненных фторполимерных плёнок. Известия ВУЗов. Химия и химическая технология, 2010, том 53, вып. 1, с. 73–75 [http://www.docme.ru/doc/1224401/14173].

Итак, мы видим, что химические работы последнего времени позволили уже получить хорошие конструкционные полимерные и композитные материалы для инопланетной аэростатики: с малой утечкой водорода, гелия и других потенциальных рабочих газов, с высокой механической прочностью, с сохранением прочности и эластичности в широком интервале температур, с которыми можно столкнуться вне Земли, с устойчивостью к радиации, и при этом достаточно лёгких, технологически освоенных и не слишком дорогих. Причём, судя по всему, потенциал улучшения рабочих параметров на этом пути ещё далеко не исчерпан, и в обозримом будущем можно ожидать дальнейшего совершенствования подобных синтетических материалов, а может быть и создания новых их классов с ещё более привлекательными свойствами.

В качестве модельного образца в первой версии этого обзора были рассмотрены чисто металлические корпуса баллонов, и было показано, что они везде, кроме Венеры, оказываются слишком тяжёлыми, зачастую – просто запредельно тяжёлыми. Из данной отредактированной версии эта линия убрана как слишком далёкая от реальных предложений. Вместо неё мы разберём ниже алгоритмы расчётов для аэростатов из тех или иных пластиков, ламинированных алюминием. Алюминий будет сдерживать утечку водорода (для более реалистичного гелия всё уже посчитано, что ясно демонстрирует Исторический обзор, а водород пока менее исследован). А подходящие пластики призваны изолировать алюминий от агрессивной части атмосфер и проявить в сложных инопланетных рабочих условиях то, что требуется от оболочки аэростата: гибкость, прочность и нужные излучательно-поглощательные термические свойства.

Начнём с того, что может быть главным фактором, ограничивающим долговечность аэростата: с утечки водорода. При исследовании водородопроницаемости металлов применяют такое уравнение*:

Ф = P_H•S•P^0,5/d,

где Ф – поток (= утечка) водорода (моль/сек); умножением на 2•10^–3 кг/моль размерность Ф переводится в кг/сек;

P_H – коэффициент водородопроницаемости [моль/(с•м•Па^0,5)]: константа, зависящая от состава металла и температуры по закону P_H = P_Hо•е^{–(Е_а/R_г)/T} = P_Hо•е^–T_H/T;

P_Hо, Е_а, T_H – константы конкретного металла (из них Е_а – энергия активации), R_г – универсальная газовая постоянная;

S – площадь поверхности, через которую происходит утечка, то есть у нас – поверхности баллона (м²);

P – давление водорода на входе, т. е. в нашем случае – в баллоне аэростата, а если используется смесь газов, то парциальное давление водорода в ней (Па);

d – толщина слоя металла (м). Толщину полимерной части оболочки здесь, по-видимому, можно не учитывать, так как по сравнению с алюминием она для водорода почти не препятствие; во всяком случае, типично P_H у полимеров на несколько порядков выше, чем у алюминия.

________

* Ю. Н. Гордиенко и др. Применение метода водородопроницаемости в реакторных экспериментах по исследованию взаимодействия изотопов водорода с конструкционными материалами. // Бюллетень Томского политехнического университета, 2014, т. 324, вып. 2, с. 151 [http://www.lib.tpu.ru/fulltext/v/Bulletin_TPU/2014/v324/i2/24.pdf]. Аналогично: В. И. Грицына и др. Водородопроницаемость стали Cr12Mn20W2V. // Вопросы атомной науки и техники, 2001, № 4, с. 84 [http://vant.kipt.kharkov.ua/ARTICLE/VANT_2001_4/article_2001_4_83.pdf].

Если мы величину потока Ф (кг/сек) поделим на объём баллона V (м³), получим скорость убывания плотности водорода в баллоне, dρ/dτ [кг/(м³•сек)]. Давление P мы по универсальному газовому закону можем также выразить через плотность и температуру водорода в баллоне T (К):

P = ρ•T•8,314/0,002 = 4157•ρ•T,

а если нужно парциальное давление, то дополнительным сомножителем в правой части будет объёмная доля водорода в смеси х_H. C такими подстановками исходное уравнение примет вид:

dρ/dτ = 2•10^–3•P_H•S•(4157•ρ•T)^0,5/(d•V) = 0,13•P_H•(ρ•T)^0,5•[S/(d•V)].

Температура в нём, конечно, будет меняться в ходе цикла день/ночь, но мы собираемся рассматривать длительные экспедиции, так что не будем отвлекаться на эту короткопериодическую пульсацию, а станем исследовать тенденцию, приняв, с некоторой долей условности, что в тенденции мы не слишком ошибёмся, положив Т ≈ const. Давление при надувке баллона в верхних слоях атмосферы могло некоторое (малое) время быть больше окружающего атмосферного, но потом оно всё время практически равно ему. Если программой исследований или какой-либо аварией аэростат не вынужден летать на разных высотах, то разумный конструктор под любую фиксированную высоту полёта подобрал бы такое количество водорода, при котором баллон на этой высоте имел бы форму, максимально близкую к сферической. Это оптимальная форма по соотношению подъёмной силы к собственному весу баллона.

При таких условиях последнее уравнение содержит всего две переменные, плотность и время, и легко интегрируется, давая потерю плотности по нисходящей параболе:

ρ = (ρ_o^0,5 – const•τ)².

Реально же этот процесс сопровождался бы соразмерным изменением высоты дрейфа, очень чувствительной к плотности газа в баллоне. Изменение высоты сопровождалось бы заметным (экспоненциальным!) изменением давления окружающей атмосферы, а это вызвало бы деформацию баллона, выражение в квадратных скобках в предыдущем уравнении не осталось бы константой, к тому же изменение высоты полёта аэростата привело бы к переменности уже не только реальной текущей, но и среднесуточной температуры, а это при рассмотрении тенденции игнорировать было бы нельзя, и в силу этих причин наше интегрирование быстро стало бы неверным.

Проще и полезнее для оценки времени утечки водорода рассмотреть сравнительно небольшой начальный этап процесса, когда все параметры ещё почти постоянны. Например, убыль плотности водорода на 1%. Обозначив время, за которое произойдёт эта убыль, как τ_1% и заменив dρ/dτ на 0,01ρ/τ_1%, а площадь и объём выразив через диаметр шара D (м), мы после преобразований получим:

τ_1% = (0,013/P_H)•d•D•(ρ/T)^0,5.

Задавшись планетой, нужной высотой полёта в её атмосфере, массой научной аппаратуры G (кг), которую должен нести аэростат, и плановой продолжительностью его миссии τ_м (сут.), мы сможем в дополнение к предыдущему уравнению получить ещё два:

a) условие долговечности:

τ_м•86400 = n•τ_1%;

(здесь 86400 – коэффициент перевода суток в секунды, а n – выбирается при планировании научной программы: например, если важно, чтобы аэростат всё время находился на одной высоте, то нужно тщательно сохранять начальные условия, и в этом случае n следует принять равным, например, 1 или даже менее, что будет означать пребывание аэростата в течение всей миссии в области τ_1% или в ещё более узкой и близкой к начальным параметрам; если же допустимо, чтобы со временем аэростат начал снижаться, то n может быть и больше единицы, вплоть до десятков);

б) условие плавучести (для режима дрейфа около рабочей плановой высоты):

(π•D³/6)•(ρ_а – ρ) = G + π•D²•ρ_об,

где ρ_а – плотность атмосферы в зоне полёта (кг/м³), а ρ_об – поверхностная плотность материала оболочки (кг/м²). Последнее уравнение суть просто разновидность закона Архимеда, только не для весов, а для масс: разность плотностей атмосферы и водорода в объёме баллона должна уравновесить массу аппаратуры и оболочки. На плановой высоте дрейфа наиболее типичной стратегией является создание в баллоне давления, не слишком сильно превышающего внешнее давление атмосферы на этой высоте. Чем выше будет это давление, тем дольше оно сможет охранять оболочку от деформации при плановых или вынужденных снижениях в область всё более высоких давлений (это хорошо), но тем меньше будет подъёмная сила, так как сильнее сжатый рабочий газ, естественно, имеет более высокую плотность при той же температуре (это плохо).

Если давления в баллоне и снаружи примерно равны, а температуры отличаются на ±ΔТ ≈ f(α, ε, τ), причём для определённого материала оболочки мы знаем коэффициенты поглощения α и излучения ε, и для дневного режима дрейфа ±ΔТ ≈ f(τ) ≈ const, то можно выразить ρ с помощью универсального газового закона:

ρ/ρ_а = (μ/μ_а)•(T_а/T) ≈ const,

и условие плавучести можно записать так:

(π•D³/6)•ρ_а•[1 – (2/μ_а)•(T_а/T)] = G + π•D²•ρ_об,

а если форма баллона из каких-либо соображений выбрана не сферичная, а иная, то в общем случае вместо π/6 в левой части должен быть коэффициент k_v, а вместо π в правой части – коэффициент k_s (см. геометрическую главку Введения). Это уравнение переводится в однопараметровую форму

А•δ³ – δ² – 1 = 0

точно такой же подстановкой, какая описана в алгебраической главке Введения:

D = [G/(k_s•ρ_об)]^0,5•δ,

только в принятой здесь форме записи параметр A примет несколько иной вид:

А = ρ_а•[1 – (2/μ_а)•(T_а/T)]•G^0,5/(k•ρ_об)^1,5.

Итак, для двух неизвестных (D, d) у нас есть два независимых уравнения. Чтобы их решить, нужно знать, кроме вышеперечисленных параметров планеты и миссии, зависимость P_H от Т.

Водородопроницаемость алюминия исследовал в докторской диссертации А. Ф. Вяткин в 1997 г.* Энергия активации, найденная им (E_Al = 27000±500 ккал/кг-атом), хорошо согласуется с более ранними данными REB Research & Consulting**, по которым в тех же единицах получается E_Al = 29240 ккал/кг-атом. (Строго говоря, это характеризует водородопроницаемость уже не чистого алюминия, а алюминия, покрытого плёнкой его гидрида AlН₃, который образуется при контакте алюминия с водородом при температурах выше +300°С, но нам это не так важно.) Поскольку Вяткин измерял водородопроницаемость как величину, пропорциональную Р_Н2, а данные REB Research & Consulting относятся к более употребительной форме с пропорциональностью Р_Н2^0,5, далее будут использоваться они, в форме, рассчитанной по исходному графику:

P_H(Al) [моль/(м•с•Па^0,5)] = 4,82•10^–5•e^{–14736/T[K]}.

________

* А. Ф. Вяткин. Кинетические закономерности твёрдофазных процессов на поверхностях и межфазных границах. Дисс. ... на соиск. учён. степ. д. ф.-м. н. Черноголовка, 1997 г. [http://tekhnosfera.com/kineticheskie-zakonomernosti-tverdofaznyh-protsessov-na-poverhnostyah-i-mezhfaznyh-granitsah].

** The permeability of hydrogen in several unoxidized metals. REB Research & Consulting, 1996 [http://www.rebresearch.com/H2perm2.htm].

Рассмотрим пример решения этих уравнений для пяти небесных тел: Венеры, с горячей и плотной углекислотной атмосферой; Земли; Марса с атмосферой углекислотной, но холодной и разреженной; Юпитера с водородно-гелиевой атмосферой и ближней частью таких же «недр», представляющих очень широкий спектр физических условий (он будет представлять также остальные три качественно однотипные с ним планеты, Сатурн, Уран и Нептун), а также Титана с холодной, но весьма плотной азотной атмосферой. Будем исходить из того, что миссия рассчитана примерно на три года (1000 дней), полёт аэростата должен происходить на фиксированной высоте 1 км* (n = 1), а вес научной аппаратуры примем равным 700 кг (примерно как у зонда «Кассини – Гюйгенс»).

________

* Температура атмосферы Венеры на этой высоте – ок. 727 К (454°С). Каптон, предлагаемый как материал корпуса баллона, термостоек до 400°С. Однако, как будет сказано чуть ниже, корпус холоднее окружающей атмосферы не менее чем на 70 К, так что каптон будет находиться в зоне своей термостойкости.

Материал оболочки будет в каждом случае свой, продиктованный условиями в атмосферах. (Тут почти всё сделано до нас, берём нужные данные по аналогии с тем, о чём говорилось в Историческом обзоре.)

Для Венеры это будет каптоново-алюминиевый композит с усиленным слоем алюминия для лучшей сохранности водорода. Кроме того, как мы чуть ниже увидим, на Венере оболочка будет находиться при температурах, приближающихся к 380°С, тогда как выше 300°С алюминий довольно заметно реагирует с водородом. В лабораторных условиях образование гидридной плёнки не мешает алюминию хорошо держать водород (возможно, даже помогает). Но вряд ли кто-то исследовал, как будет обстоять дело в течение 1000-дневного и более контакта алюминия с водородом при высоких температурах и давлениях. Не исключено, что с ростом толщины гидрида картина может и поменяться. Из осторожности в условиях такой долгой миссии, как наша, стоило бы отделить алюминий от водорода дополнительным слоем каптона или иного термостойкого полимера. Это не устранит контакт (полимеры гораздо прозрачнее для водорода, чем металл), но хотя бы заметно снизит парциальное давление водорода на алюминий и скорость образования гидрида. Эта дополнительная изоляция прибавит поверхностной плотности и изменит ε и α. По диаграмме Эриксона, приводимой в Приложении 1, можно принять для этого варианта ρ_об(о) = 50 г/м², ε = 0,5, α = 0,4. (Эти 50 г/м² ещё не учитывают усиление алюминиевого слоя, его мы будем находить расчётом.) По изложенным в Приложении 1 методикам можно примерно оценить*, что для этого материала в данных атмосферных условиях Т/Т_a ≈ 0,92.

________

* Тепловые потоки, действующие на баллон на расстоянии 1 км от грунта Венеры, я моделировал так:

1) солнечный, опираясь на данные Титова (Dmitry V. Titov et al. Radiation in the Atmosphere of Venus. // В сб.: Exploring Venus as a Terrestrial Planet. Geophys. Monogr. Ser., vol. 176, AGU, Washington, 2007, pp. 121–138 [http://lasp.colorado.edu/~espoclass/ASTR_5835_2015_Readings_Notes/Titov_Et_Al-EVTP.pdf]) о величине потока на грунте и сравнительно слабых поглощательных свойствах нижней атмосферы, принял равным 70 Вт/м²;

2) поверхностный, по тем же данным о том, что лишь 17 Вт/м² из падающих ~65 Вт/м² грунт поглощает, – следовательно, остальные 48 Вт/м² отражает, – и эта мощность переводится в поверхностный поток на баллон аэростата по формуле для f_W(1→0) (см. во втором разделе Приложения 3): 48•1,25 = 60 Вт/м²;

3) для оценки атмосферного, по номограмме Редеманна и Шпехта (считая, что при высоких давлениях поправка на давление → 1) построил график в координатах lg(ε_CO2) = f(1/lg[P•l]), который выглядел как прямая lg(ε_CO2) = –0,0275 – 3,7053/lg(P•l[Па•м]). В области значений l порядка 10³ м вниз и 10^4÷5 м вверх и Р порядка 10⁷ Па внизу и порядка 10^5÷7 Па вверху, имеем внизу и вверху ε_{CO2 (н/в)} ≈ 0,4, а температуры внизу составляют порядка 730 К, вверху варьируются от ~730 К до ~200 К, в среднем ~500 К. Отсюда по закону Стефана – Больцмана получаем оценку приходящей к баллону удельной мощности излучения порядка ~7800 Вт/м², а округляя, чтобы тем самым косвенно учесть солнечное и поверхностное излучение, – ~8000 Вт/м².

С этой оценкой параметр А₂ ≈ 0,1; по данным об атмосфере Венеры, для высоты 1 км параметр А₁ ≈ 18; отсюда параметр θ = T/T_a ≈ 0,92. (Об этих параметрах см. главку Алгебра температур и Приложение 1, разд. Нахождение Т_max.) При вдвое большей величине удельной мощности приходящего излучения 16000 Вт/м² параметр θ = 0,93, т. е. наша оценка достаточно точна.

Для Марса (см. Приложение 1) оптимальным материалом оболочки будет майларово-алюминиевый композит с ρ_об = 13,5 г/м², ε = 0,05, α = 0,2, Т/Т_a ≈ 1,64.

Для Земли можно взять тот же майларово-алюминиевый композит, но в условиях нашей атмосферы на высоте 1 км у него будет иное значение* Т/Т_a ≈ 1,264.

________

* По данным Википедии (но пересчитанным из усреднённых в максимальные значения умножением на коэффициент 1367/341 = 4, по солнечному излучению), удельные мощности солнечного излучения (1367 Вт/м²), поверхностного (1600 Вт/м²) и атмосферного (1330 Вт/м²) дают максимально приходящую к баллону удельную мощность излучения 1367 + 1600•4,73 + 1330 = 10260 Вт/м². Отсюда (см. выше прим. к абзацу о Венере) А₂ = 28,6; по данным об атмосфере Земли, для высоты 1 км параметр А₁ = 154; отсюда параметр θ = T/T_a = 1,264. Это оценка для ясного летнего полдня, и мы, для сопоставимости с другими планетами, где также берутся максимальные потоки излучения, примем её; а при усреднённой по климату и глобусу вчетверо меньшей величине удельной мощности приходящего излучения 2565 Вт/м² параметр θ = 1,085, т. е. прогрев втрое ниже.

Для Юпитера, по-видимому, можно воспользоваться тем же самым майларово-алюминиевым композитом. Параметр Т/Т_a в этом случае оценочно примем равным ~1,01.*

________

* Солнце поставляет к внешней границе атмосферы Юпитера ~50 Вт/м², поглощает атмосфера слабо, и примерно то же значение будет действовать на баллон в условиях нашей задачи. Ещё ~80 Вт/м² поступает из недр Юпитера в виде отражённого и переизлучённого солнечного излучения и собственного тепла планеты. Чтобы в данном случае воспользоваться формулами, приведёнными в Приложении 3 или Приложении 4, мы, за неимением лучшего, прибегнем к такой грубоватой модели. Представим, что где-то в недрах Юпитера на глубине H_эф есть некая эффективная поверхность, излучающая этот поток. Поглощением в слое между эффективной поверхностью и аэростатом в этой модели пренебрежём. Интуитивно представляется, что эта поверхность вряд ли ляжет ниже областей тысячных температур, так как далее будет уже квазиплазменная область, мало прозрачная для излучения. А тысячные температуры на Юпитере достигаются в глубине порядка 1000 км, т. е. можно принять H_эф = 0,5÷2 тыс. км. Удельная величина потока, при огромном диаметре Юпитера D_ю = ~140 тыс. км, качественно не поменяется при углублении на 0,5–2 тыс. км, если мы считаем этот слой прозрачным, и будет теми же ~80 Вт/м². Формула из Приложения 3 в данной схеме фактически даёт к исходящему с эффективной поверхности потоку умножающий коэффициент К_ю = 0,5•ln(D_ю/H_эф) = 0,5•ln(140/0,5÷2) = 2,8÷2,1 ≈ 2,5.

Таким образом, приходящий к единице сечения баллона поток от излучения Юпитера можно оценить как 50 + 80•2,5 ≈ 250 Вт/м². По данным об атмосфере Юпитера, на высоте 1 км параметр А₁ ≈ 2258; параметр А₂ для удельной мощности 250 Вт/м² составляет А₂ ≈ 6,1, откуда θ = 1,01; для А₂ = 4÷8, θ = 1,007÷1,013.

Для Титана в проектах гелиевых аэростатов с избытком давления чаще всего фигурировали майларовые композиты с поверхностными плотностями от 18 до 75 г/м², а мы посчитаем для майларово-алюминиевого, аналогичного тому, который был взят для Марса, Земли и Юпитера. Ввиду отсутствия данных для расчёта параметра Т/Т_a, его оценочно примем равным ~1.*

________

* Солнце поставляет к внешней границе атмосферы Титана ~15 Вт/м², но в углеводородной дымке неизвестного состава это излучение полностью поглощается, как, по-видимому, и слабое тепловое излучение, идущее от поверхности (не более ~4 Вт/м²), так что баллон на высоте 1 км должен испытывать преимущественно тепловой приток от этой дымки, но ни её прозрачность, ни коэффициент излучения, ни хотя бы суточные градиенты температур по высотам неизвестны. Видимо, условия в нижней атмосфере Титана близки к равновесным, т. к. опубликованные в 2016 г. данные мисии «Кассини» за 2004–2016 гг. показывают, что весь годичный климатический перепад температур поверхности составляет лишь ~3,5 К [http://lfly.ru/v-nasa-byli-opublikovany-temperaturnye-karty-titana.html]. Параметр А₁ на высоте 1 км в атмосфере Титана, как можно оценить по имеющимся данным, близок к 4550; параметр А₂ должен быть менее того, который можно вычислить по солнечной мощности, т. е. < 3,6. Для А₂ = 3,6, θ = 1,004; для А₂ = 1, θ = 1, откуда и берём оценку θ ≈ 1.

Данные о температурах, плотностях и молярных массах атмосфер на высоте 1 км (из литературы), о температурах и поверхностных плотностях оболочек баллона (из полученных оценочных соотношений), и о P_H при соответствующих температурах оболочек (по приведённой выше формуле) для удобства сведём в таблицу:

Данные для высоты в 1 км:

________

¹ Robert A. Braeunig. Atmospheric Models, 2014 [http://www.braeunig.us/space/atmmodel.htm].

²http://tehtab.ru/Guide/GuidePhysics/GuidePhysicsHeatAndTemperature/GuidePhysicsHeatAndTemperatureTemperature/TemperatureAirHeight/, http://tehtab.ru/Guide/GuidePhysics/GuidePhysicsDensity/DensityAirHeight/

³ Dr. Tim Schofield. Weather Reports From Mars, 1997 [http://mars.nasa.gov/MPF/science/weather.html].

⁴ Alvin Seiff et al. Op. cit., pp. 22873, 22875, Tabl. 7, 8.

⁵ Athena Coustenis, Fredric W. Taylor. Titan: Exploring an Earthlike World, 2-nd ed., 2008, Fig. 2.5 (p. 24) [https://books.google.ru/books?id=j3O47dxrDAQC].

Первым шагом рассчитаем из условия долговечности (a) величину d•D:

d•D = τ_м•86400•P_H•(T/ρ_а)^0,5/(n•0,013)

Во всех случаях, кроме Венеры, это произведение благодаря ничтожным значениям P_H оказывается исчезающе малым (менее 2•10^–10 м²) и гарантирует устойчивость аэростата к утечкам водорода на всём протяжении 1000-дневной миссии при любой технологически достижимой тонкости слоя алюминия. На Венере же оно равно 0,000195 м², предвещая необходимость в сравнительно толстом слое алюминия в составе оболочки.

Поэтому дальнейшие расчёты нам придётся провести по-разному. Для Венеры мы решим условие плавучести (б), найдя вначале параметр А при поверхностной плотности оболочки без учёта утолщения алюминия в сравнении с 0,13 мкм, затем, по формуле (б) из алгебраической главки Введения, найдём δ = 1/А^1/3 + 1/(3•А) и, наконец, определим D:

А = 700^0,5•62,9•[1 – (2/43,44)•(727/669)]/(4,836•0,05)^1,5 = 13289;
δ = 1/13289^1/3 + 1/(3•13289) = 0,042;
D = [700/(π•0,05)]^0,5•0,042 = 2,82 м.

Затем найдём толщину алюминиевого слоя в оболочке:

d = (d•D)/D = 0,000195/2,82 = 6,6•10^–5 м (69 мкм).

Каждый микрон алюминия добавляет к поверхностной плотности

10^–6[м/мкм]•10³[г/кг]•2800[кг/м³] = 2,8 г/м²,

и к поверхностной плотности 50 г/м², которую мы приняли вначале, добавится 193 г/м², дав в итоге ρ_об = 243 г/м².

Поскольку величина ρ_об участвовала в расчётах, их следует повторить с новым полученным значением этой величины (и итерационно повторять до тех пор, пока величина ρ_об не перестанет меняться), однако в данном случае (из-за достаточно большого А) мы находимся в области, когда от ρ_об заметно зависят лишь промежуточные параметры, используемые в расчёте, а сам диаметр баллона после повторного расчёта изменяется на доли процента: D = 2,83 м. Итерационный цикл нужен лишь для уточнения значений d и связанных с ними значений ρ_об, которые в ходе итераций меняются довольно заметно, стабилизируясь на значениях: d = 99,6 мкм, ρ_об = 328,6 г/м².

С этими значениями получается вполне приемлемая масса оболочки:

М_об = π•D²•ρ_об = 3,142•2,83²•328,6/1000 = 8,3 кг.

Плотность и масса водорода в баллоне составят:

ρ_H2 = ρ_а•(2/μ_а)•(T_а/T) = 62,87•(2/43,44)•(727/669) = 3,15 кг/м³;
M_H2 = (π•D³/6)•ρ_H2 = (3,142•2,83³/6)•3,15 = 37,3 кг.

Казалось бы, хорошая пропорция, 45,6 кг тягловых компонентов на 700 кг полезного груза. Но проблема в том, что водород нужно довезти до Венеры. На Земле его хранят и транспортируют в баллонах, причём вес баллона в 60 и более раз превосходит вес содержимого, что, конечно, не радует в условиях нашей задачи.

Можно получать водород химическим путём; с наименьшим побочным весом – по реакции:

LiH + H₂O = LiOH + H₂,

где из 13 кг сырья получается 1 кг водорода. Если на оборудование, обеспечивающее процесс, добавить ещё хотя бы 2 кг на 1 кг водорода, мы получим, что масса тягловых компонентов равна

8,3 + 37,3 + 37,3•(12 + 2) = 568 кг.

Это, конечно, уже не так хорошо, поскольку не ясна целесообразность дорогой транспортировки столь тяжёлого аппарата на Венеру. Окупит ли научный итог 3-летней миссии такие расходы? (Пусть даже не 3-летней, ведь через 3 года аэростат потеряет всего 1% водорода; он ещё многие годы будет дрейфовать, опускаясь ниже и ниже, пока не упадёт на грунт.) Ясного ответа у меня нет.

Благодаря высокой молярной массе венерианской атмосферы, там можно заменить водород целым спектром лёгких молекул, которые обеспечат хотя и меньшую плавучесть, но зато, возможно, не потребуют такого существенного веса для своей транспортировки. Весьма популярными альтернативами водороду, помимо гелия, являются вода и аммиак, которые можно использовать и порознь и вместе. С H₂О в формулу плавучести вместо 2/μ_а нужно подставить 18/μ_а, а с NH₃ – 17/μ_а (где 2, 18 и 17 – молярные массы H₂, H₂О и NH₃).

Алюминий изнутри нужно изолировать от аммиака, с которым он реагирует (совсем отказаться от алюминия мы не можем, это его удачные значения ε и α обеспечивают выхолаживание оболочки по сравнению с окружающей атмосферой, термически стабилизируя каптон). Поэтому примем для данного варианта ρ_об(о) = 50 г/м², ε = 0,5, α = 0,4, Т/Т_а = 0,92, как и в случае с водородом.

С водой из химических соображений можно было бы взять самый тонкий каптоново-алюминиевый композит, так как с водяным паром алюминий ниже +500°С заметно ещё не реагирует. У такого материала, по диаграмме Эриксона из Приложения 1, ρ_об(о) = 18 г/м², ε = 0,33, α = 0,32. Однако при этом получается Т/Т_а = 0,94, Т = 683 К (410°С), что на 10° выходит за предел термостойкости каптона, 400°С. Поэтому нам и здесь придётся взять тот же материал, как для аммиака, тяжёлый, но лучше самоохлаждаемый.

С аммиаком в результате итерационного расчёта получаются диаметр и масса оболочки D = 3,35 м, М_об = 10,1 кг, а масса аммиака М_NH3 = 526 кг. С водой значения близкие: D = 3,4 м, М_об = 10,2 кг, М_H2О = 582 кг.

Аммиак и воду можно транспортировать в виде жидкого раствора NH₄ОН, но, как видно по полученным данным, чистые химические массы в сумме с массой контейнера для транспортировки и узла диссоциации дадут общую тягловую массу, скорее всего, бóльшую, чем в водородной схеме. Но зато, как предлагал Г. Москаленко (см. Исторический обзор), такая рабочая смесь, благодаря способности переходить из газовой в жидкую фазу и наоборот, позволяет маневрировать по высоте с минимальными затратами энергии. Это важное преимущество, ради которого в каких-то миссиях вполне оправданной будет бóльшая масса.

Расчёты для остальных планет будут идти по другому алгоритму. Там нет смысла сверяться с условием долговечности, она заведомо гарантирована при любой технологически возможной тонкости оболочки. Поэтому толщину алюминиевого слоя d мы выбираем минимальной, которая, судя по Историческому обзору, составляет 0,13 мкм. Постоянными при этом будут и ρ_об = 13,5 г/м², ε = 0,05, α = 0,2. С ними решениями условия плавучести будут:

D_зем = 10,9 м;         D_марс = 49,4 м;         D_юпит = 41,6 м;         D_титан = 6,6 м.

Соответствующие массы корпуса, водорода и всего вместе с 700 кг аппаратуры составят:

М_зем = 5 кг + 41 кг + 700 кг = 0,75 т;         М_марс = 103 кг + 23 кг + 700 кг = 0,83 т;
М_юпит = 73 кг + 5093 кг + 700 кг = 5,87 т;         М_титан = 2 кг + 472 кг + 700 кг = 1,17 т.

По-видимому, для Юпитера и Титана есть смысл серьёзно проработать вопрос о получении водорода для заполнения баллона из местных источников. Доставлять его с Земли, даже по литиевой схеме, потребует везти более 75 тонн к Юпитеру, более 7 тонн к орбите Сатурна, – это слишком затратно! Уменьшить габариты юпитерианских и марсианских аэростатов вряд ли возможно. На Юпитере причина в том, что его атмосфера и сама на 86% состоит из водорода. Только 14% гелия в ней и создают для нашего аэростата крошечный запас плавучести. На Марсе же хотя и хорошая для аэростатики высокомолярная углекислотная атмосфера, но чрезвычайно разреженная. Чтобы из её мизерной удельной подъёмной силы наскрести на грузоподъёмность для дрейфа серьёзной аппаратуры, нужен колоссальный объём баллона. Но там хотя бы его содержимое, в силу этой самой разреженности среды, исчисляется не тоннами, а центнерами.

Однако с подачи Ю. А. Лебедева я хочу для Юпитера и негласно стоящих за ним членов клуба (Сатурна, Урана, Нептуна) закончить не за упокой. Пессимистичные выводы в предыдущем абзаце касались того, что у них принято именовать атмосферой; но ведь мы можем направить аэростат и в ближние недра этих планет.

Опираясь на полученные данные о характеристиках «недр» Юпитера на глубинах до 750 км, можно для любой глубины в этом интервале найти и диаметр баллона аэростата D, и массу корпуса баллона M_об, и массу водорода, необходимого для его заправки, чтобы он дрейфовал на этой глубине, M_H2, и общую массу баллона, водорода и научной аппаратуры, M_summ. При этом для Юпитера (и прочих газовых планет) в алгоритме расчётов имеются некоторые особенности.

Водородопроницаемость оболочки мы везде, кроме Венеры, считали пренебрежимо малой, и условием (а) не пользовались. Для атмосфер это верно: они достаточно холодны. Но, углубляясь в недра, мы рано или поздно окажемся в зоне настолько высокой температуры, что водородопроницаемость оболочки станет высокой. Там придётся считать по первому алгоритму (как для Венеры), но с важной модификацией. Атмосфера газовых планет состоит в основном из водорода, и сквозь оболочку идут два встречных потока газа: больший, из баллона в атмосферу, и меньший, из атмосферы в баллон. Утечкой будет разность этих потоков:

Ф = P_H•S•(P_внутр^0,5 – P_внеш^0,5)/d.

Давления здесь имеются в виду парциальные. В баллоне, где находится только водород, его парциальное давление равно общему и ввиду мягкости оболочки совпадает с атмосферным. А снаружи оно равно произведению атмосферного давления на объёмную долю водорода в атмосфере x_H (для Юпитера это ~0,86). C учётом этого формула примет вид:

Ф = P_H•S•P_атм^0,5•(1 – х_Н^0,5)/d.

Как видим, она отличается от той, которой мы пользовались для безводородных атмосфер, лишь множителем в круглых скобках; для Юпитера он равен 0,0726, то есть снижает утечку почти в 14 раз. Этот же множитель перейдёт в расчётное уравнение для величины d•D, приведя его к виду:

d•D = 6,65•10⁶•τ_м•P_H•(T/ρ_а)^0,5•(1 – х_Н^0,5)/n,

и для нашего примера (τ_м = 1000 сут., n = 1, x = 0,86) это даёт:

d•D = 4,83•10⁸•P_H•(T/ρ_а)^0,5.

Рассчитав для любой глубины по этой формуле величину d•D, а затем найдя по второму алгоритму значение D, нам нужно будет, поделив первое на второе, оценить толщину алюминиевого слоя оболочки аэростата d, и если она окажется больше той толщины, которой мы задавались (d = 0,13 мкм), то это будет означать, что мы уже в зоне достаточно сильной утечки, и надо пересчитывать D не по второму, а по первому (венерианскому) алгоритму. Также надо контролировать температуру, растущую вглубь Юпитера довольно быстро, чтобы своевременно менять материал оболочки на более термостойкий. Наш универсальный майлар размягчается при 518 К, что соответствует на Юпитере глубине ок. 177 км. Каптон, с его пределом термостойкости в 673 К, может работать до глубины ок. 255 км. Сам алюминий расплавится на глубине ок. 388 км (его точка плавления повышается с ростом давления на 0,0065 К/атм*, и на этой глубине, где давление ок. 480 атм., она на 3 К выше, чем при давлении 1 атм., и равна ~936 К). В литературе сообщается, что ряд пластиков (кремнийорганических, полиперфторфениленовых и др.) сохраняет термостойкость до 600°С и выше, есть и клеи, термостойкие даже при более высоких температурах. Поэтому будем оптимистично считать, что удастся создать полимерно-алюминиевый ламинат и устойчивый вплоть до точки плавления алюминия, и механически способный к спуску, торможению, атмосферной развёртке и заполнению в подобных непростых условиях. Примем, с известной осторожностью, что поверхностная плотность его полимерной части составит 50 г/м², а алюминиевый слой, как обычно, добавит к ней по 2,8 г/м² на каждый микрон своей толщины.

________

* G. E. Totten, D. S. MacKenzie (ed.). Handbook of Aluminum, Vol. 1, N. Y., Basel, 2003, p. 59 [https://books.google.ru/books?id=Wbwv3nt1gp0C].

Расчёты показали, что зона утечки (и переход ко второму алгоритму расчётов) начнётся в первой трети каптоновой области, ок. глубины 203 км. Диаметр баллона, начинаясь от ~40 м, снижается на всей майларовой и каптоновой областях и продолжает снижаться в пост-капотновой области до глубин ~300 км, где он составляет ~13 м, а затем начинает расти, и к концу области достигает почти 16 м. Масса оболочки в майларовой зоне снижается с глубиной от 69 кг до 12 кг, в каптоновой зоне она скачком возрастает до 27 кг, проходит небольшой минимум (25,5 кг) на глубинах 225–230 км, и к концу зоны возрастает до 29,5 кг, то есть меняется мало. В пост-каптоновой зоне она вновь скачком возрастает до ~63 кг и далее растёт с ускорением, достигая к концу зоны ~1,3 т. Масса водорода является главным слагаемым тягловой массы. Она слабо меняется в майларовой и каптоновой зонах, составляя ~4,9–5,1 т, а в пост-каптоновой зоне растёт с ускорением, достигая к концу ~14,2 т. Но если, как говорилось выше, удастся ценой меньшей массы найти способ получения водорода из его безграничных местных количеств, то это слагаемое из тягловой массы уйдёт, заменившись соответствующим технологическим слагаемым. И в такой перспективе схема длительных и обстоятельных аэростатных исследований юпитерианских недр (как и недр других подобных ему водородных планет-гигантов) начинает выглядеть вполне реальной.

Если же удалось бы решить и техническую задачу подкачки водорода в баллон по мере утечки, то отпала бы нужда в утолщении алюминиевого слоя, и масса оболочки на всём интервале термостойкости алюминия исчислялась бы десятками килограммов.

Глубину погружения в Юпитер у нас ограничила точка плавления алюминия, а он был необходим как материал, сдерживающий утечку водорода. Однако, как видно из графика на рис. справа*, есть два ещё лучших с этой точки зрения металла, серебро и золото. Их молярные коэффициенты водородопроницаемости, судя по данным графика, должны так зависеть от температуры:

Р_HAg = 3,31•10^–6•е^–13287/Т [моль/(м•Па^0,5•с)];
Р_HAu = 0,0862•е^–24309/Т [моль/(м•Па^0,5•с)].

________

* The permeability of hydrogen in several unoxidized metals. REB Research & Consulting, 1996 [http://www.rebresearch.com/H2perm2.htm].

Они, к тому же, заметно более тугоплавкие, серебро плавится при 1234 К (это температура примерно 540-километровой глубины на Юпитере, где давление достигает ~900 атм, а плотность – ~20 кг/м³), золото – при 1336 К (ок. 590 км, ~1200 атм, ~24,5 кг/м³). Правда, химикам ещё нужно поработать над синтезом такого лёгкого, прочного и, главное, термостойкого материала, который бы смог стать носителем тонкого слоя металла в корпусе баллона и доставить его в жаркие недра Юпитера, но мы условились в этом отношении быть оптимистами. Единственное, с чем ничего не поделаешь, это плотность. Оба благородных маталла намного тяжелее алюминия, серебро на каждый микрон толщины добавит к поверхностной плотности оболочки не 2,8 г/м², а 10,5 г/м², золото же – 19,3 г/м².

Расчёт показал, что без механизма подпитки утекающего водорода на нижних термически возможных глубинах дрейфа требуются запредельные толщины и массы оболочек, это уже не аэростаты, а толстостенные батискафы: у серебряного, диаметром 8,15 м, толщина серебра должна быть 3,2 см, а масса приближается к 71 т, а у золотого, ввиду того, что при температурах выше ~1084 К (это на Юпитере соответствует глубине ок. 463 км) золото начинает хуже держать водород, чем серебро, параметры батискафа для глубины 590 км ещё фантастичнее: при диаметре 7,63 м он должен иметь стенки толщиной более 50 см золота и массу свыше 1777 т!

В то же время подпитка, позволяющая свести массу металла к скромным единицам–десяткам килограммов, нужна не такая уж сильная. Мы в расчётах исходили из того, что за 1000 дней утечка должна составить 1% массы водорода. Эта масса стабильна на всех глубинах до 600 км и составляет порядка 5 тонн. То есть утекает за 1000 дней всего 50 кг водорода. Это 50 г/сут. Если технология подпитки будет позволять извлекать из атмосферы Юпитера и переправлять в баллон, скажем, в 20 тыс. раз больше, 20% его заправки, то есть 1 тонну водорода, мы, соответственно, в те же 20 тыс. раз сможем сократить толщину стенок и массу металла, уложившись в ~3,5 кг серебра или ~90 кг золота.

Другой резерв сокращения массы драгметалла – перестройка программы миссии.

Очень заметно экономит массу сокращение глубины погружения, как видно из рис. справа, где эта масса показана в относительных единицах, считая за 100% массу на предельно низкой глубине, а на меньших глубинах показывая массу, которая там обеспечит ту же скорость утечки водорода. Сокращение времени 1%-ной утечки также даст прямо пропорциональное сокращение массы металла. Оба эти пути можно сочетать, ведь τ_1% – не время жизни аэростата, а лишь время его работы в условиях от 100% до 99% исходной заправки. И с 99%, и с 98%, и т. д., аэростат ещё на плаву, он просто погружается глубже и глубже, мерно теряя подъёмную силу. И это даёт возможность экономным и естественным путём изучать высотный срез атмосферы (или газовых «недр»), что в целом ряде вопросов даже существенно лучше, чем работа на практически постоянной высоте.

Как происходит такого рода снижение, мы в Приложении 5 проследим на примере аэростатов проекта «Вега».

Приложение 1 / Appendix 1

Пример расчёта солнечного монгольфьера для Марса
Example of calculations for Martian solar montgolfier

Попробуем, со всеми возможными упрощениями, рассчитать солнечный монгольфьер для Марса, хотя бы в условиях стационарного полёта, то есть, условно говоря, в полдень, когда он дрейфует в условиях временно установившегося равновесия. Для дополнительного упрощения рассмотрен будет монгольфьер, который не изолирован от атмосферы и, значит, объём его не меняется.* (Нужные формулы и константы, где не оговорено, взяты из диссертации Ван Досселаера**.)

________

* Те, кто с успехом клеит из чёрной полиэтиленовой плёнки и запускает в небо солнечные монгольфьеры во дворах, выкладывая ролики на youtube, могут оспорить это: во-первых, порывы ветра реально приминают бок баллона и, если отверстие его достаточно велико, то выдавленный наружу тёплый воздух приводит к потере плавучести и завалу шара; во-вторых, если шар при ночном похолодании не просто снижает высоту дрейфа, а ложится на грунт, то его объём, конечно, тоже меняется, и может даже настолько, что днём сплющенный шар уже не поднимется. Но мы в расчёте этими факторами для упрощения всё же пренебрежём.

** Ignace Van Dosselaer. Buoyant Aerobot Design and Simulation Study BADS. Delft University of Technology, 2014 [http://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:59356102-9032-44b4-84a0-f798effc823c/datastream/OBJ/download&usg=AFQjCNG9lH_PRnTObLRqmSC5zk_AwFFyFA].

Ван Досселаер в своём алгоритме пренебрегает и собственным тепловым излучением и поглощением марсианской атмосферы. В литературе вообще часто, со ссылкой на крайнюю разреженность этой в основном углекислотной атмосферы говорится, что солнечный поток на поверхность Марса приходит, практически не ослабляясь. Тем не менее, даже в ясный солнечный полдень до 7% (~43 Вт/м²) солнечной энергии атмосфера Марса поглощает, к вечеру такого же ясного дня поглощение доходит до ~50 Вт/м² и более (~50%), а при наличии пыли атмосфера может поглощать, отражать и переизлучать в космос и до 2/3 (~288 Вт/м²) солнечного излучения, как видно на рис. выше справа* по разницам между сплошными линиями замеров в верхних слоях атмосферы и прерывистыми линиями замеров у грунта. Впрочем, возможно, что и в ясный полдень атмосфера взаимодействует с проходящим излучением активнее, чем кажется по итоговым цифрам, ведь более 150 Вт/м² его, как показывает рисунок, доходит до уровня грунта в форме не прямых лучей, а рассеянного излучения. А рассеянное вполне может быть поглощённым и переизлучённым.

________

* R. M. Haberle et al. Atmospheric effects on the utility of solar power on Mars. Fig. 9 [http://www.uapress.arizona.edu/onlinebks/ResourcesNearEarthSpace/resources30.pdf].

Между тем известен закон Кирхгофа о том, что, как правило, коэффициент излучения примерно равен коэффициенту поглощения. И хотя у газов этот закон выполняется хуже, но совсем сбрасывать его со счетов нельзя. Так что вопрос об излучении атмосферы Марса не так прост. Я вынес его в отдельное Приложение 2, а здесь лишь сообщаю итоговый вывод: атмосфера греет баллон на уровне ~15% от аналогичного разогрева Солнцем. К тому же она почти с той же интенсивностью греет его и ночью. Поэтому в нашем расчёте этот вклад будет учтён.

Далее, по условию стационарности, будем считать, что потоки тепла от газа внутри баллона к стенке и от стенки внутрь уравновешены, и их учитывать не будем.

1) Оболочка баллона будет поглощать прямое солнечное излучение – площадью сечения S_сеч, то есть получать напрямую от Солнца мощность*:

W₁ = α_об•I_s•S_сеч = 545•α_об•S_сеч.

________

* Значение I_s = 545 Вт/м² выбрано из следующих соображений: в перигее Марс получает от Солнца 717 Вт/м², в апогее – 493 Вт/м² (Ibid.). Взято среднее из этих величин и уменьшено на 10% (атмосферное поглощение).

2) Отражённое от планеты излучение и собственное тепловое излучение поверхности Марса будет захватывать несколько больше площади оболочки, потому что исходит не из удалённой точки, как прямое солнечное, а с поверхности, которая под аэростатом заключена в линии горизонта. Расчёт показывает (см. Приложение 3), что поверхностное излучение при высоте дрейфа Н и радиусе планеты R передаст оболочке следующую мощность (в условиях нашей задачи применяем последнее, наиболее простое уравнение):

W₂ = α_об•(I_пов•S_сеч/2)•[ln(2R/H) – 2•k_α•(2•R•H)^0,5],

где коэффициент поглощения k_α на основании данных последнего рисунка можно для ясного дня оценить величиной порядка 0,001 км^–1 (при этом на 100-километровой атмосфере как раз и поглотится порядка 10% излучения), а I_пов складывается из отражённого солнечного излучения (умножаем I_s на альбедо а) и собственного поверхностного излучения песков Марса:

I_пов = а•I_s + ε_пов•σ•Т⁴_пов,

где σ = 5,67•10^–8 Вт/(м²•К⁴) – постоянная Стефана – Больцмана, ε_пов – коэффициент излучения поверхности и Т_пов – её температура. Для Марса можно принять дневную температуру равной 228 К, а ε_пов по аналогии с земными песками принять равным 0,9. Альбедо Марса равно 0,17 Отсюда:

I_пов = 0,17•545 + 0,9•5,67•10^–8•228⁴ = 231 Вт/м².

С этими численными значениями выражение для расчёта W₂ получает вид:

W₂ = α_об•S_сеч•115,5•[ln(2R/H) – 0,16•H^0,5] = α_об•S_сеч•[1019 – 115,5•ln(H) – 19•H^0,5],

где высота дрейфа Н выражена в км, а R = 3390 км.

3) У атмосферы нет поверхности, и к её излучению плохо применимо понятие поверхностной мощности излучения. Но итоговую нужную нам величину, удельную мощность, приходящую от атмосферного излучения к сечению аэростата, W_A/S_сеч [Вт/м²], рассчитать можно. В Приложении 4 дана довольно громоздкая расчётная формула для общего случая, но здесь, для более узкого интервала высот дрейфа и конкретно выбранного значения коэффициента поглощения k_α = 0,001 км^–1, результат расчёта по ней, показанный на рис. справа, можно с достаточной точностью (погрешность в доли процента) описать более простым эмпирическим уравнением:

W_A/S_сеч = 105 – 1,4•Н – 6,3•e^–1,3•H,

где высота дрейфа Н (на графике она обозначена Н_д) выражена в км. Отсюда получаем выражение для расчёта поглощённой оболочкой мощности атмосферного излучения:

W₃ = α_об•S_сеч•(105 – 1,4•Н – 6,3•е^–1,3•H).

А всего поглощаемая оболочкой мощность составит:

W_погл = W₁ + W₂ + W₃ =

= α_об•S_сеч•[1669 – 115,5•ln(H) – 19•Н^0,5 – 1,4•Н – 6,3•e^–1,3•H].

Как меняется вклад каждого компонента излучения и итоговой суммы  с высотой, показано на рис. справа (область до 1 км может быть неточной по причинам, отмеченным в Приложении 3). Видно, что солнечное и атмосферное излучение практически постоянны и составляют несколько менее половины общего приходящего потока, а излучение от поверхности, как и следовало ожидать, более чувствительно к высоте. Из-за него меняется с высотой и суммарно поглощённое излучение, хотя и не слишком радикально.

Выше мы рассматривали ситуацию в ясный полдень. Но на Марсе суточные (точнее, соловые: марсианские сутки называются сол) перепады температур гораздо заметнее, чем на Земле. В нужном здесь готовом виде полных (максимальных) перепадов с профилем по высоте атмосферы найти не удалось, поэтому данные, показанные на рис. справа, являются синтетическими. По двум сериям частичных измерений*, о которых подробнее сказано в Приложении 2, был гипотетически построен типичный (калибровочный) 24-часовой профиль температуры в безразмерной координате. Анализом данных было установлено, что режим сильного выхолаживания от почвы распространяется за ночь примерно на высоту 3 км, а выше атмосфера Марса остывает по собственному закону. Косвенным путём, до 3 км – по соловому калибровочному профилю, выше – по собственной скорости остывания атмосферы, данные были пересчитаны на полный 24-часовой цикл.

В полулогарифмических координатах пересчитанные данные удовлетворительно выстроились в виде двух примерно линейных серий, быстрого остывания до 3 км и медленного после 3 км. Гладкая кривая на рисунке представляет собой соответствующие экспоненты (ΔT_сол = 60•e^–0,355•H и ΔT_{сол (верхн)} = 28•e^–0,098•H, где Н в км), сшитые в районе 3 км гладким переходом.

Вычисленные таким образом величины ΔT_сол вычитались из значений полуденных температур для каждой высоты. (Полуденный профиль, согласно общепринятым данным, усреднённо принимался линейным, начинаясь от 228 К на поверхности и убывая на 1,77 К с каждым километром высоты.)

________

* Данные D. P. Hinson et al, 1999 и M. D. Smith et al, 2006, взятые из: A. Petrosyan et al. The Martian atmospheric boundary layer. Reviews of Geophysics, 2011, vol. 49, p. RG3005, Fig. 8, 15 [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/2010RG000351/pdf].

Итак, в холодный предрассветный час, когда I_s = 0, грунт Марса остыл за ночь на ~60 К, то есть в наших условиях принял температуру ~168 K, и атмосфера остыла тоже на десятки градусов внизу и на десяток-полтора градусов выше 1 км, то есть в среднем с ~220 K до ~205 K, поверхность баллона сможет поглотить гораздо меньше марсианского тепла:

W_{погл (ночь)} = W_{2 (ночь)} + W_{3 (ночь)};

I_{пов (ночь)} = 0,9•5,67•10^–8•168⁴ = 40,7 Вт/м²;

W_{2 (ночь)} = α_об•S_сеч•[180 – 20,4•ln(H) – 3,4•H^0,5];

W_{3 (ночь)} ≈ W_{3 (день)}•(Т_ночь/Т_день)^3,5 ≈ W_{3 (день)}•(205/220)^3,5 ≈
≈ 0,78•W_{3 (день)} = α_об•S_сеч•(82 – 1,1•H – 4,9•e^{– 1,3•H});

W_{погл (ночь)} = α_об•S_сеч•[262 – 20,4•ln(H) – 3,4•H^0,5 – 1,1•H –
– 4,9•e^{– 1,3•H}].

Вклады атмосферного и поверхностного излучений, приходящих к единице площади баллона, показаны на рис. справа. По сравнению с дневным аналогичным рисунком общая приходящая удельная мощность примерно в 7 раз ниже, а вклады атмосферы и поверхности по порядку сопоставимы (хотя атмосферное всё же и в данном случае в среднем вдвое ниже).

Зато ночью, если баллон остывает очень быстро, иногда появляется ещё один механизм его нагрева: конвективный отбор тепла от атмосферы. (Днём он, конечно, тоже есть, но работает на остывание баллона, и для дневного времени мы его рассмотрим при расчёте исходящей от баллона тепловой мощности.) Оболочка баллона в темноте излучает собственное тепло гораздо эффективнее воздуха и может довольно быстро (как мы ниже увидим, за минуту или меньше) сделаться холоднее окружающей атмосферы. Тогда, по второмуначалу термодинамики, оболочка начнёт вытягивать тепло из атмосферы. (Подробнее детали будут рассмотрены ниже, в главке про ночной тепловой баланс.) Мощность этого процесса зависит от площади поверхности баллона S, разности температур оболочки Т_об и атмосферы в её окрестностях Т_a, а также коэффициента конвективной теплоотдачи h [Вт/(м²•К)]:

W_конв = h•(T_a – T_об)•S.

Забегая вперёд, скажу, что проделанные расчёты позволили оценить вклад конвекции в суммарные тепловые потоки. У полиэтиленового баллона он оказался порядка 2÷3% днём и 0÷5% ночью; у баллона из алюминизированного каптона – порядка 1,5÷3% днём и 0÷21% ночью; у баллона с покрытием из полированного алюминия – порядка 28÷30% днём и 22÷57% ночью; и у баллона из гипотетического материала с радиационными параметрами типа никелевой черни – порядка 13÷16% днём и 20÷38% ночью.

Расчёт h – это скорее ритуал, чем алгоритм. Формулы распадаются на частные эмпирические закономерности, умеренно точные (ошибка в несколько, а то и в 10% считается неплохим результатом), с редко известными уточняющими и поправочными коэффициентами, нередко зависящими от искомого ответа, а проверить, верно ли выбрана формула, зачастую можно только в конце решения, и если окажется, что неверно, придётся вернуться и пойти с начала, но уже другим путём.

Вначале нужно узнать, свободная или вынужденная конвекция будет преобладать. Нам, в силу того, что мы заранее упростили модель, приняв, что монгольфьер уже достиг равновесия, не спускается, не поднимается, и скорость его относительно окружающего газа атмосферы очень близка к нулю, можно не проверять тип конвекции расчётом (довольно громоздким), а сразу, по определению, выбрать свободную конвекцию. Для неё h рассчитывается по формуле:

h = Nu_a•K_a/D_об,

где Nu_a – так называемое число Нуссельта, K_a – коэффициент теплопроводности атмосферы в зоне дрейфа, а D – для сферической оболочки её диаметр, а для оболочек других форм – некий характерный размер (тут уже начинается произвол и работа на интуиции).

Число Нуссельта с использованием эмпирических коэффициентов формы (для каплевидной формы аэростатов они вовсе неизвестны, но для различных эллипсоидов и цилиндров собраны Досселаером в Приложении С), а также эмпирических констант ламинарного и турбулентного режима конвекции (ламинарные в том же Приложении С у Досселаера есть, о турбулентных он, по итогам собственных изысканий и консультаций со специалистами, честно пишет, что этих коэффициентов нет вовсе, но я в монографии С. Кутателадзе нашёл усреднённые значения турбулентной константы для газов и жидкостей, лежащие в достаточно узком диапазоне от 0,130 до 0,135 для тел довольно разных форм: горизонтальных и вертикальных проволок, труб и шаров*).

________

* С. С. Кутателадзе. Основы теории теплообмена. М., 1979, с. 235 (формула 17.3.1), с. 236 (рис. 17.2) [http://info.sernam.ru/book_ott.php?id=140].

Основой же для расчёта числа Нуссельта является так называемое число Рэлея, Ra (теплотехники часто вместо него используют произведение двух других чисел, Прандтля и Грасгофа, но нам здесь это не так важно). В число Рэлея входят характерный размер тела, отдающего тепло, D [м], температуры тела (в данном случае, оболочки Т_об [K]) и окружающего газа Т_a [K], ускорение свободного падения g [м/с²], а также ряд физических параметров газа: теплоёмкость C_p [Дж/(кг•К)], плотность ρ_a [кг/м³], коэффициент теплопроводности K_a [Вт/(м•К)] и вязкость μ_a [Па•с]:

Ra = D³•(Т_об – Т_a)•[C_p•ρ_a²•g/(K_a•μ_a•T_a)].

Та часть величин, которая стоит в квадратных скобках, зависит только от высоты над поверхностью. Подсчёт показывает, что у поверхности Марса этот комплекс величин в размерности СИ [м^–3/K] составляет ок. 19 тыс., а с высотой экспоненциально убывает и на высоте 8 км составляет 6,2 тыс. Да и на других планетах даже невооружённым глазом видно, что этот комплекс величин будет измеряться в тысячах или десятках тысяч ед. СИ. Для достижения подъёмной силы солнечный аэростат должен иметь и крупный диаметр (метры или десятки метров) и заметную разницу температуры с окружающей атмосферой (градусы или десятки градусов). Так что с учётом этих дополнительных сомножителей ясно, что во всех атмосферах, когда речь зайдёт о солнечных аэростатах, число Рэлея всегда будет очень большим, не менее десятков или сотен тысяч безразмерных единиц.

Это очень удачное для нас обстоятельство, потому что при таком порядке величины числа Рэлея практически вся величина конвективной теплоотдачи определится турбулентным вкладом, и мы сможем избежать усложнения формул.*

________

* Полная процедура описана у Досселаера в уравнении 104 и приложении С. Вначале вычисляется число Прандтля (Pr = μ_a•C_p/K_a; в тех нижних 8 км Марса, для которых я делал расчёт, Pr = 0,77, очень незначительно возрастая с высотой). Затем по таблице из прил. С у Досселаера, в зависимости от значения Pr и формы баллона, выбираются вспомогательные параметры (для каплевидной формы данных нет, но, поскольку разброс не так велик, можно, положась на интуицию, выбрать для нашего случая примерно такие: Nu_cond ≈ 3; G ≈ 0,8; n ≈ 1,07; C_l ≈ 0,105; m ≈ 10). Затем последовательно вычисляются: 1) Nu^T = G•C_l•Ra^1/4 ≈ 0,084•Ra^1/4;

2) Nu_l = [Nu_condⁿ + (Nu^T)ⁿ]^1/n = (3,24 + 0,0706•Ra^0,268)^0,935; при Ra = 10⁴; 10⁵; 10⁶... Nu_l = 3,72; 4,32; 5,43...;

3) Nu_t = C_t•Ra^1/3 ≈ 0,13•Ra^1/3; при Ra = 10⁴; 10⁵; 10⁶... Nu_t = 2,80; 6,03; 13,0..., то есть от значений Ra порядка десятков тысяч (в данном примере при Ra > ~28000) Nu_t быстро начинает обгонять Nu_l;

4) Nu_a = (Nu_l^m + Nu_t^m)^1/m = (Nu_l¹⁰ + Nu_t¹⁰)^0,1; при Ra = 10⁴; 10⁵; 10⁶... Nu_a = 3,74; 6,06; 13,0..., то есть фактически большее из двух слагаемых в последних скобках полностью определяет величину Nu_a. А в наших случаях, как мы видели, больше всегда Nu_t.

Нашей расчётной формулой будет:

Nu_a = 0,13•Ra^1/3 = 0,13•D•(Т_об – Т_a)^1/3•[C_p•ρ_a²•g/(K_a•μ_a•T_a)]^1/3.

Подставив это значение в выражение для h, мы сможем сократить D (прекрасный бонус!):

h = Nu_a•K_a/D = 0,13•(Т_об – Т_a)^1/3•[C_p•ρ_a²•g•K_a²/(μ_a•T_a)]^1/3;
W_конв = 0,13•(Т_об – Т_a)^4/3•[C_p•ρ_a²•g•K_a²/(μ_a•T_a)]^1/3•S.

В этом выражении все параметры зависят, при заданном времени суток, только от высоты дрейфа аэростата. Единственным неизвестным в нём является Т_об. Для нахождения этой температуры нужно составить уравнение теплового баланса оболочки аэростата. Все поглощаемые ею потоки тепла, и излучением и конвекцией, у нас теперь выписаны, как для полудня, когда атмосфера разогрета максимально, так и для предрассветного часа, когда она в пике похолодания. Остаётся выписать отдаваемые потоки.

Отдача тепловой мощности как излучением, так и конвекцией (которая, правда, ночью часто с отдачи меняется на поглощение – если T_об < T_a) происходит у оболочки не с сечения, а со всей поверхности S:

W_отд = W_изл ± W_конв = [ε_об•σ•Т_об⁴ + h•(T_об – T_a)]•S,

где h [Вт/(м²•К)] – коэффициент конвективной теплоотдачи, рассчитываемый и для нагрева и для охлаждения баллона одинаково. В этом выражении также все параметры зависят, при заданном времени суток, только от высоты дрейфа аэростата, а единственным неизвестным является Т_об.

В реальности отдаваемая и поглощаемая мощность не равны друг другу. Солнечный монгольфьер постоянно находится то в режиме нагрева, то в режиме остывания. Однако мы решаем стационарную (или квазистационарную) задачу: вариант, когда баллон максимально нагрелся, и потоки тепла от него и к нему практически уравнялись, и аналогичный случай для точки максимального остывания. Первый вариант достигается около полудня и длится, видимо, порядка часа (это ширина плоской верхушки температурного графика атмосферы), а второй, соответственно, в предрассветный час и длится столько же или меньше. В этих двух случаях:

W_погл = W_отд.

Мы видели, что:

W_погл = f_погл(Т_об)•S_сеч;         W_отд = f_отд(Т_об)•S.

Если в уравнении баланса поделить обе части на S, тогда в левой части у нас будет отношение S_сеч/S, которое для сферы равно 0,25, а для тел иных форм оно переменно (зависит от угла прихода луча). Мы пока не задавались формой нашего солнечного монгольфьера, но наиболее вероятны, исходя из приведённых в Историческом обзоре сведений, сфера и капля (груша). В большинстве случаев по линии лучей, идущих к каплевидному баллону, тот будет видеться окружностью (вклад верхней полусферы) с немного выступающим сбоку треугольником (вклад нижнего конуса). То есть его площадь сечения для этих лучей будет несколько больше площади круга радиуса полусферы R. Общая площадь поверхности каплевидного баллона с верхней полусферой радиуса R выше приводилась в геометрическом введении; она на 6% больше площади поверхности сферы радиуса R. Поскольку и S_сеч и S оказываются немного больше соответствующих величин для сферы, можно принять, что их отношение будет весьма близко к тем же 0,25. Приняв S_сеч/S = 0,25, мы избавимся от последнего геометризма, и в нашем уравнении

0,25•f_погл(Т_об) = f_отд(Т_об)

останутся только константы (g = 3,71 м/с²; R = 3390 км; σ = 5,67•10^–8 Вт/м²•К⁴; ε_об и α_об) и функции высоты дрейфа* (Т_a, C_p, ρ_a, K_a, μ_a) и времени суток, сезона и запылённости на Марсе (I_s, I_пов, k_α). А единственным неизвестным будет Т_об. Она будет практически совпадать с температурой газа в баллоне T, поскольку там, в сравнительно небольшом объёме, тепловое равновесие стенки и газа достигается довольно быстро.

________

* Для диапазона высот от 0 до 8 км, которым я ограничился, исходя из того, что предлагалось для марсианских солнечных монгольфьеров в реальных разработках, расчётные функции были найдены линейными или квадратичными аппроксимациями (в них Н – высота [км]):

Т_a [K] = 228 – 1,767•H; C_p [Дж/(кг•К)] = 767 + 1,931•Н; ρ_a [кг/м³] = 0,0141 – 0,00112•Н + 0,000035•Н²;

K_a [Вт/(м•К)] = 0,0115 – 0,000123•H; μ_a [Па•с] = (1,15 – 0,0085•H)•10^–5;

[C_p•ρ_a²•K_a²/(μ_a•T_a)]^1/3 [с^2/3/(м^1/3•К^4/3)] = 0,198 – 0,0115•H + 0,00029•Н².

Эти и все другие приведённые в данной работе аппроксимации были получены с помощью прекрасного онлайн-сервиса http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-mnk-i-regressionniy-analiz.

Априорно нам желательно, чтобы оболочка поглощала тепло из всех источников максимально (α_об → 1), а излучала его минимально (ε_об → 0). Коэффициенты поглощения и излучения для разных материалов и покрытий, используемых в космической отрасли, показаны справа. Расчёт мы сделаем для чёрного полиэтилена (α = 0,94; ε = 0,92) и для полированного алюминиевого покрытия (α = 0,2; ε = 0,05), которые предлагались в качестве материалов для марсианских монгольфьеров и розьеров, в том числе для солнечных. Также посчитаем, что дало бы применение алюминизированного каптона толщиной 25 мкм (α = 0,38, ε = 0,67) и гипотетического материала с высоким поглощением и малым излучением, который было бы очень желательно разработать для покрытия солнечных аэростатов, с α = 0,9 и ε = 0,1 (такими свойствами обладают некоторые чернёные металлы, например, никелевый Maxorb, но на полимеры их пока, кажется, наносить не удавалось).

________

* [http://pages.erau.edu/~ericksol/courses/sp300/ch10/thermal_ch10.html].

Из полученных выше уравнений для W_погл и W_отд в дневном режиме выразим функции f_{погл (дн)}(Т_об) и f_{отд (дн)}(Т_об):

f_{погл (дн)}(Т_об) = W_{погл (дн)}/S_сеч =
= α_об•[1669 – 115,5•ln(H) – 19•Н^0,5 – 1,4•Н – 6,3•e^–1,3•H];

f_{отд (дн)}(Т_об) = W_{погл (дн)}/S = ε_об•σ•Т_об⁴ + h•(T_об – T_a)_(дн) =
= ε_об•5,67•10^–8•Т_об⁴ + 0,13•(Т_об – Т_a)^4/3•[C_p•ρ_a²•g•K_a²/(μ_a•T_a)]^1/3.

Подставив эти функции в уравнение баланса

0,25•f_погл(Т_об) = f_отд(Т_об)

и задав для каждого материала оболочки его значения α и ε, мы получим уравнение, в котором будет фактически заключена зависимость Т_об = f(H)*. Решив его, мы найдём температуру, которая, по смыслу, будет максимальной в ходе дневного цикла, Т_max.

________

* В явном виде она (исходя из вышеизложенного) такова:

(Т_об – 228 + 1,767•H)^4/3•(1 – 0,058•H + 0,00148•H²) + ε_об•1,42•10^–6•Т_об⁴ =
= α_об•[10471 – 725•ln(H) – 119•Н^0,5 – 8,8•Н – 40•e^–1,3•H].

Аналитического решения уравнение баланса не имеет. Но оно в данном случае очень хорошо, за 1–2 шага, решается итерационным способом, упомянутым в алгебраической главке Введения. Введём для сокращения записи безразмерную переменную θ = Т_об/Т_а и два безразмерных параметра, A₁ и A₂:

A₁ = 0,13•[C_p•ρ_a²•g•K_a²/(μ_a•T_a)]^1/3/(ε_об•5,67•10^–8•T_a^8/3);
A₂ = 0,25•α_об•[1669 – 115,5•ln(H) – 19•Н^0,5 – 1,4•Н – 6,3•e^–1,3•H]/(ε_об•5,67•10^–8•T_a⁴).

С этими обозначениями уравнение дневного баланса получает двухпараметровый вид:

θ⁴ + A₁•(θ – 1)^4/3 – A₂ = 0.

Общие методы его решения изложены в той же алгебраической главке Введения, но в данном случае, как показали расчёты, на всём диапазоне высот и со всеми материалами оболочки баллона первый член уравнения всегда численно оказывается больше второго, поэтому даже нулевое приближение (когда мы пренебрегаем вторым членом) уже даёт неплохой результат:

θ_о = A₂^1/4.

При алгебраическом анализе двухпараметрового уравнения и численных расчётах по нему оказалось возможно подобрать полуэмпирическую формулу для быстрой оценки величины Т_max:

Т_max ≈ Т_а•(A₂^1/4 – 0,0265•A₁).

Для чёрного полиэтилена она даёт погрешность в доли градуса, для полированного алюминия лишь на высотах более 6 км немного выходит за 1 К, для двух других материалов не превышает полутора-двух градусов, что, в общем, приемлемо. Рассчитывать параметры A₁, A₂ по тем громоздким формулам, которые приведены в предыдущей главке, не обязательно. У них в интервале 1–8 км оказались довольно точные и простые аппроксимации:

A₁ ≈ (0,358 – 0,0112•H)/ε_об;
A₂^1/4 ≈ (1,255 + 0,0059•H + 0,054•е^–0,609•H)•(α_об/ε_об)^1/4,

где высота дрейфа Н выражена в км.

От высоты и Т_max и в ещё большей мере разность температур между баллоном и окружающей атмосферой, ΔТ_max, как видно из рисунков справа, зависят в диапазоне 1–8 км довольно слабо. Температура баллона в пике его солнечного нагрева уменьшается с ростом высоты дрейфа на ~1,5–2 К/км, а разность температур баллона и атмосферы, параметр, который нам важен гораздо больше для дальнейших расчётов, колеблется на всём интервале высот в весьма узком диапазоне ~1–5 К. Средние их значения, как выяснилось, с высокой точностью (до долей градуса) линейно зависят от единственной переменной, определённого параметра свойств оболочки, который можно оказалось сконструировать, проанализировав исходную полуэмпирическую аппроксимацию*. Этот параметр имеет вид:

k_об = (α_об/ε_об)^1/4 – 0,00636/ε_об.
Т_max = 3,7 + 280,2•k_об;         ΔТ_max = –216,4 + 280,2•k_об.

________

* Запишем аппроксимацию в виде: Т_max ≈ Т_а•[f₂(H)•(α_об/ε_об)^1/4 – 0,0265•f₁(H)/ε_об],

где f₁(H), f₂(H) – соответствующие функции из выражений для A₁, A₂. Вынеся f₂(H) за скобки, получим:

Т_max ≈ Т_а•f₂(H)•{(α_об/ε_об)^1/4 – 0,0265•[f₁(H)/f₂(H)]/ε_об}.

Расчёт показал, что f₁(H)/f₂(H) ≈ 0,28 – 0,009•H[км] ≈ const. В среднем эта константа ≈ 0,24. Отсюда:

(α_об/ε_об)^1/4 – 0,0265•[f₁(H)/f₂(H)]/ε_об ≈ (α_об/ε_об)^1/4 – 0,0265•0,24/ε_об = (α_об/ε_об)^1/4 – 0,00636/ε_об = k_об.

Таким образом, для быстрой оценки важных в дальнейшем расчёте температурных параметров солнечного монгольфьера в первых 8 км марсианской атмосферы не требуется никаких иных данных, кроме k_об. Это весьма приятная неожиданность!

Хороша и величина прогрева, исчисляемая для полимерных оболочек десятками градусов, для алюминиевого покрытия полутора сотнями, а если удастся получить гипотетический материал типа никелевой черни, то его разогрев будет таким высоким (на ~260 градусов, т. е. выше +200°С!), что впору задуматься о термостойкости оболочки (см. последний рис.).

По величине параметра k_об наши четыре материала выстраиваются так:

алюминизированный каптон: k_об = (0,38/0,67)^1/4 – 0,00636/0,67 = 0,86;

чёрный полиэтилен: k_об = (0,94/0,92)^1/4 – 0,00636/0,92 = 1,00;

полированный алюминий: k_об = (0,2/0,05)^1/4 – 0,00636/0,05 = 1,29;

гипотетический материал типа никелевой черни: k_об = (0,9/0,1)^1/4 – 0,00636/0,1 = 1,67.

Ночью тепловые потоки претерпевают изменения. Солнце и его отражённое от поверхности излучение выбывают из баланса. Собственное излучение баллона, грунта и атмосферы остаются в уравнении баланса на прежних местах. А конвекция, в зависимости от лучистых свойств оболочки баллона, т. е. от величин α_об и ε_об, может быть как механизмом отдачи тепла в атмосферу (если оболочка по расчёту окажется теплее её), так и механизмом нагрева баллона от атмосферы (в обратном случае). Поскольку тепловое равновесие внутри баллона устанавливается, как мы скоро увидим, очень быстро, то и весь газ в нём может быть как холоднее (= плотнее) атмосферы, так и теплее (=легче) её. В первом случае солнечный монгольфьер ночью неизбежно ляжет на грунт. Произойдёт это со скоростью его автопарашютного спуска, и нам остаётся только сделать баллон герметичным, чтобы он не сплющился в блин, а более или менее сохранил объём до утра, когда Солнце его нагреет, и он сможет опять вознестись вверх.

Правда, есть вариант, когда дрейф аэростата возможен при определённых условиях и при температуре газа ниже атмосферной. Для этого потерю плавучести от температурного уплотнения должен перекрывать низкий удельный вес газа, то есть баллон должен быть не монгольфьером, как в нашем примере, а розьером, – но алгебры теплового баланса это не меняет.

Мы опять будем решать задачу в стационарном приближении, то есть искать ту равновесную температуру, с которой дрейфует (если дрейфует!) солнечный монгольфьер в самый холодный предрассветный час сола.

Запишем уравнение баланса и раскроем его члены (конвективный член запишем для случая, когда температура баллона ниже атмосферной, но с формальной точки зрения ничего не изменится и в обратном случае, просто член автоматически поменяет знак, т. е. физически станет не нагревающим, а охлаждающим членом баланса):

W_{погл (ночь)}/S = W_{отд (ночь)}/S;
W_{погл (ночь)}/S = α_об•0,25•[262 – 20,4•ln(H) – 3,4•H^0,5 – 1,1•H – 4,9•e^{– 1,3•H}] + h•(T_a – T_об);
W_{отд (ночь)}/S = ε_об•5,67•10^–8•T_об⁴.

Введём вновь безразмерные параметры и переменную, как мы это делали для решения уравнения дневного баланса. При этом изменится только значение параметра A₂ (для отличия будем обозначать его A'₂), и переменная θ будет не всегда больше единицы:

θ = Т_об/Т_а;          A₁ = 0,13•[C_p•ρ_a²•g•K_a²/(μ_a•T_a)]^1/3/(ε_об•5,67•10^–8•T_a^8/3);
A'₂ = 0,25•α_об•[262 – 20,4•ln(H) – 3,4•H^0,5 – 1,1•H – 4,9•e^{– 1,3•H}]/(ε_об•5,67•10^–8•T_a⁴).

С этими обозначениями уравнение дневного баланса получает двухпараметровый вид:

θ⁴ – A₁•(1 – θ)^4/3 – A'₂ = 0.

Как видим, это практически то же уравнение, как и для дневного баланса, а если θ > 1, то оно полностью совпадёт с ним. Однако из-за того, что параметр A'₂ почти на порядок меньше параметра A₂, алгоритм итераций, применявшийся в дневном уравнении, сходится на один-два шага дольше (за исключением алюминизированного каптона: с ним для достижения точности в тысячных долях A'₂, то есть в десятых долях градуса при переводе в температурную шкалу, пришлось делать более 12 итераций!).

Результаты расчётов равновесной ночной температуры баллона и разности её с температурой окружающей атмосферы показаны на левом и среднем рисунках внизу. В отличие от дневного случая, относительная стабилизация (точнее, медленная динамика изменений с высотой) обоих этих величин достигается выше 3 км, в зоне, где ослабевает влияние грунта как конвективного холодильника ночной атмосферы. Но именно излучение грунта, которое так активно его остужает, а с ним и приземную атмосферу, на баллон на низких высотах действует эффективно согревающе. Дело в том, что поглощение любой твёрдой поверхности намного лучше, чем у атмосферы, и оно внизу, в зоне наиболее сильного воздействия грунтового излучения, перекрывает конвективное остывание баллона.

У низкопоглощающего полированного алюминия подогрев при спуске от 3 км до отметки грунта, отображаемый разницей ΔT_0...3 = (T_об – T_атм)_{0 км} – (T_об – T_атм)_{3 км}, составляет порядка 28 градусов, у остальных трёх материалов – порядка 43–50 градусов (правый рис. вверху). У чёрного полиэтилена, который на всех высотах обнаружил слишком высокую теплоотдачу излучением и остывал ниже температуры окружающей атмосферы, уходя в отрицательную плавучесть, на спуске в пределах сотен метров от грунта становится теплее атмосферы. Учитывая, что скорость автопарашютного спуска для него – порядка 5÷7 м/с на высотах от 3 км и прогрессивно ниже при приближении к грунту (так как растёт архимедова сила из-за нагрева), а скорость установления внутреннего температурного равновесия в оболочке – менее 1 мин.*, можно заключить, что, если этого согрева хватит для восстановления плавучести, он может успеть выровняться и не лечь на грунт. И только каптоновый баллон не выходит из статуса отрицательной плавучести практически до последних метров, где наши расчётные формулы заметно теряют надёжность. Теоретически, с ним возможны варианты, от реалистичного лежания на грунте до утра, или гипотетического волочения под влиянием ветра, до маловероятного, но не исключённого парения на очень малой высоте над грунтом (метры или дециметры?).

________

* Подробнее вопросы об автопарашютном спуске баллона и скорости установления теплового равновесия в баллоне будут рассмотрены ниже. В общей формуле для максимальной скорости свободного падения с учётом сопротивления среды (С. М. Тарг. Краткий курс теоретической механики. М., 1986, с. 196 [http://stu.sernam.ru/book_stm.php?id=82]) v_max = [2•G/(C_х•ρ_a•S_сеч)]^0,5 в данном случае: вес баллона с оболочкой и гондолой G = (V_об•Δρ + S_об•ρ_об + 1)•g; g = 3,71 м/с²; коэффициент формы C_х ≈ 1,2; объём баллона, площадь сечения и площадь оболочки с помощью геометрических коэффициентов выражаются через диаметр баллона: V_об = 0,55•D³, S_об = 3,32•D², S_сеч ≈ S_об/4 = 0,83•D²; поверхностная плотность оболочки для полиэтилена ρ_об = 0,008 кг/м²; и в нашем случае разница плотностей обусловлена разностью температур, поэтому Δρ/ρ_a ≈ –ΔT/T_a. С учётом этого формула приводится к виду v_max ≈ 2,1•[(0,048+2/D²)/ρ_a–ΔT•D/T_a]^0,5, где D – диаметр баллона [м], ρ_a – плотность атмосферы [кг/м³]. Величина T_a ночью выше 3 км, где происходит падение, равна ~200 K, величина ΔT там для полиэтиленового баллона – порядка –20÷–25 К, плотность атмосферы Марса на высоте 3÷8 км ρ_a = 0,008÷0,012 кг/м³. Отсюда при диаметре баллона 10÷40 м скорость его автопарашютного спуска в интервале высот 3÷8 км получается ~5÷7 м/с. (Забегая немного вперёд, скажу, что положительная плавучесть в данном случае начинается от D ≈ 17 м и выше.)

Параметр A'₂ с погрешностью, при переводы в температурные единицы (Т_a•ΔA'₂), не более 1 градуса, что практически вполне приемлемо, можно рассчитывать на высотах от 1 км до 8 км по простой формуле:

A'₂^1/4 ≈ (0,857 + 0,266•е^{–0,581•Н[км]})•(α_об/ε_об)^1/4.

Для параметра A₁ сохраняется та же формула, которая приводилась в аналогичной главке в разделе дневного баланса, поскольку в его расчёте ничего не меняется.

Температура баллона и её разница с температурой окружающей атмосферы меняются с высотой у всех типов материала оболочки и сильнее и сложнее, чем в дневную фазу, поэтому искать зависимость их только от α_об, ε_об, как мы делали в дневном случае, без учёта влияния высоты дрейфа, здесь не очень полезно*. Общий вид кривых на левом и среднем рисунках вверху наводит на мысль искать аппроксимацию в виде суммы двух функций: первая из них отражала бы быстрые изменения температур в нижних ~3 км атмосферы, где заметно конвективное влияние грунта, а вторая – медленные изменения в более высоких слоях, обусловленные уже в основном лучистым теплообменом.

________

* Заметно, что зависимости любых величин, вероятно, ощутимо меняют вид при переходе от A'₂ > 1 к A'₂ < 1. С высотой эта разница уменьшается, и уже, например, ΔT₈ = (T_об – T_атм)_{8 км} с погрешностью не более ±1,5 К описывается выражением такого же вида, какое мы имели в дневном случае для среднего значения ΔT_max:

ΔT₈ ≈ –173,8 + 148,75•k'_об;          k'_об = (α_об/ε_об)^1/4 – 0,00249/ε_об.

При этом масштаб изменения первой функции, характеризуемый для температурных разниц величиной ΔT_0...3 = (T_об – T_атм)_{0 км} – (T_об – T_атм)_{3 км}, обнаружил неплохую (погрешность не более ±0,5 К) и физически осмысленную зависимость от коэффициента поглощения материала оболочки:

ΔT_0...3 ≈ 52,8 – 2,85•α_об^–4/3 = 52,8•(1 – 0,054•α_об^–4/3),

а масштаб изменения второй функции, характеризуемый для температурных разниц величиной ΔT_4...8 = (T_об – T_атм)_{4 км} – (T_об – T_атм)_{8 км}, обнаружил ещё лучшую (погрешность не более ±0,04 К) и тоже физически осмысленную зависимость от коэффициента излучения материала оболочки:

ΔT_4...8 ≈ 3,44 – 0,040•ε_об^–4/3 = 3,44•(1 – 0,0116•ε_об^–4/3).

Для поиска вида этих функций были построены (см. рис. внизу) в логарифмических и обычных координатах графики 1-километровых разностей

ΔT_{1 i} = (T_об – T_атм)_Hi – (T_об – T_атм)_{Hi + 1 км} ≈ dΔT/dH = f(H_i + 0,5 км).

Линейный в первых ~3 км вид ΔT_{1 i} = f(H_i + 0,5 км) в логарифмических координатах указывает на то, что производная нижней («быстрой») функции ΔT_{min ноч}(H) ведёт себя подобно степенной. Аналогично, линейный вид для высот ~4÷8 км той же функции в обычных координатах указывает на то, что производная верхней («медленной») функции ведёт себя подобно экспоненте. Заметная параллельность линий для пар «полиэтилен – каптон» и «Al – чернь» на левом (логарифмическом) графике может указывать на то, что важную роль в поведении нижней функции ΔT_{min ноч} = f(H) играет водораздел между A'₂ > 1 и A'₂ < 1.

На логарифмическом графике для первых трёх точек, а на втором графике – для заключительных четырёх точек были рассчитаны по методу наименьших квадратов коэффициенты линейных аппроксимаций ln(ΔT_{1 i}) = a₁ + b₁•ln(H_i + 0,5) и ΔT_{1 i} = a₂ + b₂•(H_i + 0,5). Их значения приведены в подписях под графиками.

Сравнительная близость всех четырёх b₁ к минус единице (по меньшей мере на отрезке от 1,5 до 2,5 км, т. е., фактически, по охвату разниц, между 1 и 3 км), скорее всего, вытекает из того, что в быстрой функции ΔT_{min ноч} = f(H) проявляется сильное влияние логарифмического слагаемого в параметре A'₂, так как dy/dx = const/x характерно для y = const + ln(x).

Делать же ещё какие-то предположения об эмпирических зависимостях функции ΔT_{min ноч} = f(H, α_об, ε_об) не представляется надёжным в условиях отсутствия единой для всех четырёх материалов тенденции. Хотя не исключено, что какие-то эмпирически простые зависимости подобного рода имеют место.

Оценки ночной равновесной температуры газа в баллоне показали нам одно важное при конструировании обстоятельство: для каптона почти наверняка, для полиэтилена с определённой вероятностью, да и для двух других материалов заранее не исключено, что в предрассветный час монгольфьер может потерять плавучесть и лечь на грунт. Мы при этом не должны дать ему сплющиться, так как иначе утром, даже при благоприятном температурном режиме, просто нечему в нём будет раздуться от солнечного тепла и восстановить подъёмную силу (или же придётся тратить дополнительный вес и энергию на специальный узел утренних закачек атмосферного газа в баллон, что выглядит крайне нерационально). А рациональной альтернативой будет то, что предлагается для марсианских солнечных монгольфьеров в реальных разработках: замкнутый (изолированный от атмосферы) баллон с небольшим избыточным давлением.

Избыточным оно станет только в полдень и на рабочей высоте дрейфа, причём избыток будет настолько мал, что без большой погрешности им можно при расчётах подъёмной силы пренебречь. Для монгольфьера постоянной массы рабочего газа с давлением, равным атмосферному, по универсальному газовому закону плотности газа в баллоне и в окружающей атмосфере, соответственно, равны:

ρ_б = P_a•μ/(R_г•T_б);             ρ_a = P_a•μ/(R_г•T_a).

Удельная подъёмная сила F [г/м³] равна разности этих плотностей:

F = ρ_a – ρ_б = P_a•μ/R_г•(1/T_a – 1/T_б) = ρ_a•(1 – T_a/T_б).

Поскольку F зависит не только от ΔT, но и от плотности атмосферы, которая с высотой падает, наблюдается падение F с высотой (рис. внизу слева), выходящее после 1–2 км на экспоненциальный темп (рис. внизу в центре). Между 1 км и 8 км высоты F уменьшается у всех оболочек примерно одинаково, в 1,7 раза (минимально у каптоновой – в 1,64 раза, максимально у гипотетической чернёной – в 1,75 раза). На первом километре высоты данные расчётов не очень надёжны, потому что там, как указано в Приложении 3, может плохо работать логарифмическое выражение для мощности поверхностного излучения. Поэтому к нулевой отметке высоты значения F были пересчитаны по экспоненциальной зависимости с интервала 1÷8 км (для каптона – 2÷8 км, поскольку с ним экспоненциальность устанавливается выше).

Поскольку F линейно связана с Т_а/Т_max, а Т_max линейно связана с параметром k_об, естественно хотелось проверить, не окажется ли и F_о связана с k_об. Полученные данные показали (см. правый рис. внизу) хорошую, с погрешностью не более 1%, зависимость F_о от величины

Т_а(о)/Т_max = 218/(3,7 + 280,2•k_об).

При этом погрешность обнаружила отчётливую корреляцию с коэффициентом поглощения, что дало возможность сократить ошибку до долей процента (не более ±0,01 г/м³):

ΔF_о ≈ 0,066 – 0,0235/α_об;             F_о ≈ 14,07 – 11,09/(k_об + 0,013) – 0,0235/α_об.

Это открывает возможность для быстрой оценки величины F_о по данным всего лишь об ε и α материала оболочки, а зная F_о, можно быстро оценить и F на любой высоте дрейфа Н [км] либо по среднему значению экспоненциального убывания (левая формула), либо по уточнённому (правая формула):

F(H) ≈ F_о•e^{–0,076•Н};            F(H) ≈ F_о•e^{–[0,0806 – 0,0017/(k_об – 0,779)]•Н}.