Евг. Шиховцев

Жизнь максвелловских частиц без максвелловских полей

или

Динамика изотермической

агрегации частиц

без учёта действующих между ними сил

Eug. Shikhovtsev

Life of Maxwellian Particles without Maxwellian Fields

or

Dynamics of isothermal aggregation of particles

without taking into account the forces acting between them

Жарко выдохните (можно мысленно) на дисплей.

Поволока, ненадолго притуманившая мои буквы, – это мелкие капельки воды, сгустившиеся из молекул буквально за доли секунды.

Вы сотворили (даже если мысленно) настоящее чудо.

Ведь капелька диаметром в одну десятую миллиметра содержит 17,5 тысяч триллионов молекул воды! 17.500.000.000.000.000.

Я пишу это в День Знаний (вдогонку которого и поздравляю вас этой заметкой), до настоящих холодов в Костроме ещё есть время, но они придут, а если придут и к вам, то похожее чудо, облачко замерзшего пара, вы будете создавать при каждом своём выдохе.

Конечно, никакого чуда тут нет, чистая наука. Молекулы хаотически движутся, сталкиваются друг с другом, и при подходящих параметрах столкновения (скорость, угол, ориентация) слипаются, так и растёт капелька. Да?

А давайте проверим. Нужные для расчётов формулы появились в славное молекулярно-кинетическое двухдесятилетие между 1857 и 1877 годами. Наиболее глубоким идеологом молекулярно-кинетической теории тогда оказался 28-летний молодожён Джеймс Клерк Максвелл (James Clerk Maxwell, 1831–1879), безуспешно пытавшийся приобщать к математической и экспериментальной физике 70 или 80 студентов абердинского Маришаль-колледжа. Поэтому я и назвал в заголовке частицы, о которых мы будем говорить, его именем.

Но у заголовков свои законы, и что простительно там, непростительно в основном тексте, поэтому спешу отметить, что на интерес к данной области физики этого гениального и так мало пожившего человека навела статья 46-летнего цюрихского профессора математической физики Рудольфа Клаузиуса (Rudolf Julius Emanuel Clausius, 1822–1888), у которого, кстати, за год до этой статьи вышла другая, где была выведена ещё одна нужная нам впереди формула. Имя Клаузиуса, однако, в заголовок не вынесено – и не только из нежелания ломать лёгкую каламбурность, а и по делу: формула у Клаузиуса была без численного значения одной константы, то есть нерабочая, чисто теоретическая. Это значение более или менее точно нашёл лишь лет через пятнадцать 40-летний Д. И. Менделеев (о чём мне тут уже доводилось довольно подробно рассказывать, так что уж простите, но и Дмитрий Иванович в заголовок не попал). А по большому счёту, и Менделеев в данном случае выступил лишь как добросовестный экспериментатор-эмпирик, а физический смысл этой константы выяснили уже в XX веке Макс Планк и другие.

Да и вторая часть заголовка – скорее картинная, чем отражающая суть данной заметки. С одной стороны, мы в самом деле будем игнорировать именно те поля, которые математически описал Максвелл, и это, наверное, его главное достижение в науке. Но с другой стороны, понимание того, что именно эти поля ответственны за взаимодействие корпускул вещества, пришло много позже, когда и Максвелл, и Клаузиус, и Менделеев были мертвы. А с третьей стороны, мы в конце заметки будем игнорировать ещё и гравитационное поле, к которому никто из вышеназванных вообще не имел касательства. Ну что же делать, такие уж законы у заголовков, спросите любого журналиста!

Exhale hotly (you can do it mentally) onto the display.

The haze that briefly obscured my letters was tiny droplets of water that had condensed from molecules in literally a split second.

You have created (even if only mentally) a real miracle.

Indeed, a droplet with a diameter of one tenth of a millimeter contains 17.5 thousand trillion water molecules! 17,500,000,000,000,000.

I am writing this on Knowledge Day (in pursuit of which I congratulate you with this note), there is still time before the real cold weather in Kostroma, but it will come, and if it comes to you too, then you will create a similar miracle, a cloud of frozen steam, with each exhalation.

Of course, there is no miracle here, it is pure science. Molecules move chaotically, collide with each other, and with the right collision parameters (speed, angle, orientation) they stick together, and that is how the droplet grows. Right?

Well, let's check. The formulas needed for calculations appeared in the glorious molecular-kinetic two decades between 1857 and 1877. The most profound ideologist of the molecular-kinetic theory at that time was the 28-year-old newlywed James Clerk Maxwell (1831–1879), who unsuccessfully tried to introduce 70 or 80 students of Aberdeen's Marischal College to mathematical and experimental physics. That's why I named the particles we'll be talking about after him in the title.

But headlines have their own laws, and what is forgivable there is unforgivable in the main text, so I hasten to note that the interest of this brilliant and so short-lived man in this area of ​​physics was prompted by an article by the 46-year-old Zurich professor of mathematical physics Rudolf Clausius (Rudolf Julius Emanuel Clausius, 1822–1888), who, by the way, a year before this article published another one, where another formula that we need ahead was derived. Clausius' name, however, is not included in the headline - and not only out of reluctance to break the easy pun, but also for the cause: Clausius's formula was without the numerical value of one constant, that is, it was non-working, purely theoretical. This value was more or less accurately found only fifteen years later by 40-year-old Dmitry Ivanovich Mendeleev (which I have already had the opportunity to talk about in some detail here, so forgive me, but Dmitry Ivanovich did not get into the title too). Yet, by the highest criteria, Mendeleev in this case acted just as a conscientious empirical experimenter, whyle the physical meaning of this constant was found out already in the 20th century by Max Planck and others.

And the second part of the title is more pictorial than reflecting the essence of this article. On the one hand, we will indeed ignore specifically the fields that Maxwell described mathematically, and this is probably his main achievement in science. But on the other hand, the understanding that these fields are responsible for the interaction of matter corpuscles came much later, when Maxwell, Clausius, and Mendeleev were dead. And on the third hand, at the end of the article we will also ignore the gravitational field, to which none of the above had any relation at all. Well, what can you do, such are the laws of headlines, ask any journalist!

Р. Клаузиус, кон. 1850-х – 1860-е гг.

R. Clausius, late 1850s – 1860s

Дж. Максвелл в 1850-х гг.

J. C. Maxwell in the 1850s

Д. И. Менделеев в 1878 г.

D. Mendeleev in 1878

Мы создадим в нашем воображении мир тех или почти тех частиц, которые определил в своей важной статье 1860 года Максвелл: «маленькие, твердые и абсолютно упругие сферы, действующие друг на друга только во время удара».* Добавим мы к его частицам лишь четыре условия, упрощающих решение задачи. А именно: все частицы будут в каждый момент времени в среднем одинаковыми и сферическими; при каждом соударении они будут слипаться в новую сферическую частицу; и этот процесс будет идти при постоянной температуре частиц.

We will create in our imagination a world of those or almost those particles that Maxwell defined in his important work of 1859: «small, hard, and perfectly elastic spheres acting on one another only during impact.»* We will add to its particles only four conditions that simplify the solution of the problem. Namely: all particles will be on average identical and spherical at each moment of time; at each collision they will stick together into a new spherical particle; and this process will occur at a constant temperature of the particles.

Я не могу ручаться, что эти дополнительные условия не уведут нас слишком далеко от мира, описанного в работах Клаузиуса и Максвелла. Например, температуру они определяли для частиц молекулярных размеров, а у нас в конце процесса частицы будут видны невооружённым глазом. Число и скорости частиц в их выкладках были постоянной величиной (и это было важно), а у нас они будут меняться.

Но почти до конца процесса мир наших частиц будет всё же не настолько сильно отличаться от их мира, чтобы интуиция вскричала мне, что формулы Максвелла и Клаузиуса здесь уже категорически не применимы!

Наши частицы очень и очень долго будут малы и, соответственно, многочисленны, так что понятие температуры в том смысле, который в неё вкладывали Клаузиус и Максвелл, к ним всё ещё будет применимо. А изменения в их числе и скорости будут идти намного медленнее, чем бурная суета их соударений, так что квазипостоянство концентрации и скорости в масштабе их жизни будет неплохо сохраняться.

Формулы будут, конечно, работать чем дальше, тем хуже, но вряд ли даже к концу процесса мы накопим настолько грандиозные ошибки, что вся работа обессмыслится. Ошибки в разы возможны, но на порядки – едва ли.

То же касается и размеров частиц. В нашей модели они растут все дружно, в каждый момент времени они все одинаковы. В реальных условиях, конечно, имеет место разброс размеров. Но присмотритесь во время дождя или снегопада к падающим дождинкам или снежинкам, взгляните на размеры градин на земле, пока они не растаяли. Отличия есть, но всего лишь в разы, не на порядки.

Держа это в уме, давайте приступим к расчёту чуда водяного тумана в фантастическом мире без электромагнитного притяжения. Не совсем без: оно всё-таки суть причина слипания. Но вот так: до контакта шарика с шариком этой силы нет, а при контакте она возникает. Ерунда, конечно, но удобная.

Максвелл в цитированной статье заново вывел (поправив менее строгий вывод Клаузиуса*) соотношение средней длины пробега между соударениями l с концентрацией частиц N (штук в единице объёма) и расстоянием между центрами частиц при соударении s (а когда все частицы одинаковы, s – это их эффективный диаметр):

I cannot guarantee that these additional conditions will not take us too far from the world described in the works of Clausius and Maxwell. For example, they defined the temperature for particles of molecular size, while in our case, at the end of the process, the particles will be visible to the naked eye. The number and speed of particles in their calculations were constant (and this was important), while in our case they will change.

But almost until the end of the process, the world of our particles will still not differ so much from their world that intuition will scream out to me that the formulas of Maxwell and Clausius are no longer categorically applicable here!

Our particles will be small and, accordingly, numerous for a very, very long time, so that the concept of temperature in the sense that Clausius and Maxwell put into it will still be applicable to them. And the changes in their number and speed will be much slower than the violent bustle of their collisions, so that the quasi-constancy of concentration and speed on the scale of their life will be preserved quite well.

The formulas will, of course, work worse and worse as time goes on, but it is unlikely that even by the end of the process we will accumulate such colossal errors that the entire work will become meaningless. Errors of several times are possible, but those of orders of magnitude are unlikely.

The same applies to particle sizes. In our model, they all grow together, at any given moment they are all the same. In real conditions, of course, there is a spread of sizes. But take a closer look at the falling raindrops or snowflakes during rain or snowfall, look at the sizes of hailstones on the ground before they melt. There are differences, but only by several times, not by orders of magnitude.

With this in mind, let's start calculating the miracle of water fog in a fantasy world without electromagnetic attraction. Not quite without: it is, after all, the cause of sticking. But here's how: before the ball contacts the ball, this force does not exist, and upon contact it appears. Nonsense, of course, but convenient.

Maxwell in the cited article re-derived (by correcting the less rigorous conclusion of Clausius*) the relationship between the mean path length between collisions l and the particle concentration N (pieces per unit volume) and the distance between the centers of the particles during a collision s (and when all particles are identical, s is their effective diameter):

l = 2^–0,5·π^–1·s^–2·N^–1

(1)

_______

* Этот вывод у Клаузиуса не только менее точен, но и менее удобен, так как вместо концентрации частиц у него фигурирует среднее расстояние между ними: Ueber die mittlere Länge der Wege, welche bei der Molecularbewegung gasförmiger Körper von den einzelnen Molecülen zurückgelegt werden; nebst einigen anderen Bemerkungen über die mechanische Wärmetheorie; von R. Clausius // Annalen der Physik und Chemie, Leipzig, Band 105, St. 2, No. 10, 24 November 1858, S. 239–258 (статья датирована 14 августа 1858 г.), см. формулу 7 (S. 249). Максвелл читал эту статью в англ. переводе д-ра F. Guthrie в «The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science», L., Series IV, vol. 17, no. 112, February 1859, pp. 81–91, формула 7 (p. 88).

_______

* This conclusion of Clausius is not only less accurate, but also less convenient, since instead of the concentration of particles he uses the average distance between them: Ueber die mittlere Länge der Wege, welche bei der Molecularbewegung gasförmiger Körper von den einzelnen Molecülen zurückgelegt werden; nebst einigen anderen Bemerkungen über die mechanische Wärmetheorie; von R. Clausius // Annalen der Physik und Chemie, Leipzig, Band 105, St. 2, No. 10, 24 November 1858, S. 239–258 (article dated August 14, 1858), see formula 7 (S. 249). Maxwell read this article in English translation by Dr. F. Guthrie в «The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science», L., Series IV, vol. 17, no. 112, February 1859, pp. 81–91, formula 7 (p. 88).

Зная среднюю скорость движения частиц u, можно определить среднее время между соударениями t_c, деля средний пробег на среднюю скорость u:

Knowing the average speed of the particles u, we can determine the average time between collisions t_c by dividing the average distance by the average speed u:

t_c = l/u

(2)

Обратная t_c величина будет иметь смысл числа соударений одной частицы в единицу времени, а если мы её умножим на концентрацию частиц N, то получим число всех соударений в единицу времени в единице объёма. Но по одному из наших дополнительных условий, при каждом столкновении две частицы сливаются в одну, то есть происходит убыль числа частиц на единицу. Значит, величина, о которой мы говорим, будет иметь смысл убыли общего числа частиц в единицу времени в единице объёма, или, что то же, убыль концентрации частиц в единицу времени, иначе говоря, – скорость убыли концентрации –dN/dt:

The inverse t_c value will have the meaning of the number of collisions of one particle per unit of time, and if we multiply it by the concentration of particles N, we will get the number of all collisions per unit of time in a unit of volume. But according to one of our additional conditions, at each collision two particles merge into one, that is, there is a decrease in the number of particles per unit. Therefore, the value we are talking about will have the meaning of the decrease in the total number of particles per unit of time in a unit of volume, or, what is the same, the decrease in the concentration of particles per unit of time, in other words, the rate of decrease of concentration –dN/dt:

– dN/dt = N·(1/t_c) = N·(u/l) = 2^0,5·π·s²·u·N²

(3)

На этом этапе пора от концентраций переходить к массам наших сливающихся (и, соответственно, тяжелеюших) частиц. Если мы умножим концентрацию частиц N на массу одной частицы m, то получим снова концентрацию, но теперь уже массовую, ρ, выраженную в килограммах воды (если мы говорим о её будущих капельках) в единице объёма (воздуха). И это величина постоянная, потому что как бы ни укрупнялись капельки, их суммарная масса в единице объёма не меняется:

At this stage, it is time to move from concentrations to the masses of our merging (and, accordingly, heavier) particles. If we multiply the concentration of particles N by the mass of one particle m, we will again obtain a concentration, but now a mass concentration, ρ, expressed in kilograms of water (if we are talking about its future droplets) per unit of volume (of the air). And this is a constant value, because no matter how large the droplets become, their total mass per unit of volume does not change:

N·m = ρ = const

N = ρ/m

(4)

(5)

Теперь вспомним о той формуле, которую Клаузиус в 1857 году привёл в теоретической форме,* Менделеев измерил входящий в неё коэффициент, а последующие учёные привели её к современному виду, который нам и пригодится:

_______

* Ueber die Art der Bewegund, welche wir Wärme nennen; von R. Clausius // Annalen der Physik und Chemie, Leipzig, Band 100, No. 3, 13 März 1857, S. 353–380 (статья датирована 5 января 1857 г.), см. последнюю формулу 17-го раздела статьи (S. 375), n·m·u²/2 = T·Const.

Now let us recall the formula that Clausius presented in theoretical form in 1857,* Mendeleev measured the coefficient included in it, and subsequent scientists brought it to its modern form, which will be useful to us:

_______

* Ueber die Art der Bewegund, welche wir Wärme nennen; von R. Clausius // Annalen der Physik und Chemie, Leipzig, Band 100, No. 3, 13 März 1857, S. 353–380 (the article is dated January 5, 1857), see the last formula of section 17 of the article (S. 375), n·m·u²/2 = T·Const.

m·u² = 3·k·T

(6)

В этой формуле кинетическая энергия частиц связана с их температурой T (которая, напомню, по одному из наших дополнительных условий, постоянна) через постоянную Больцмана k = 1,38·10^–23 Дж/К. (Больцман, правда, эту константу никогда не выводил и даже не использовал, и Менделеев вычислял другую константу, а эту ввёл и рассчитал Планк; что же, в истории науки и не такое случалось с именными терминами...)

Из этой формулы можно выразить переменную (в нашей системе постулатов) среднюю скорость частиц u через их средние (переменные, ибо растущие) массы m и постоянные величины:

In this formula, the kinetic energy of particles is related to their temperature T (which, let me remind you, is constant according to one of our additional conditions)  via  the  Boltzmann  constant k = 1.38·10^–23 J/K. (Boltzmann, however, never derived or even used this constant, and Mendeleev calculated another constant too, while this one was introduced and calculated by Planck; well, in the history of science, even worse things have happened with nominal terms...)

From this formula we can express the variable (in our system of postulates) average velocity of particles u through their average (variable, because growing) masses m and constant values:

u = (3·k·T/m)^0,5

(7)

Последнее, что нам осталось – выразить растущий средний размер частиц s через их растущую среднюю массу m. Поскольку частицы сферичны, их объём V выражается известной формулой через диаметр s. При этом их плотность ρ_c (равная плотности жидкой воды) постоянна и равна отношению средней массы к среднему объёму:

The last thing that remains for us is to express the growing average particle size s through their growing average mass m. Since the particles are spherical, their volume V is expressed by the well-known formula through the diameter s. At the same time, their density ρ_c (equal to the density of liquid water) is constant and equal to the ratio of the average mass to the average volume:

V = π·s³/6

(8)

ρ_c = m/V = 6·m/(π·s³) = const

(9)

s = (6·m/π·ρ_c)^1/3

(10)

Продифференцируем по времени формулу (5), в которой переменными являются величины N и m:

Let us differentiate with respect to time formula (5), in which the variables are the quantities N and m:

dN/dt = – ρ·(dm/dt)/m²

(11)

Теперь подставим это выражение в левую часть формулы (3), а выражения (5), (7) и (10) – в правую часть формулы (3), и после приведения подобных членов получим:

Now we substitute this expression into the left-hand side of formula (3), and expressions (5), (7) and (10) into the right-hand side of formula (3), and after reducing similar terms we obtain:

dm/dt = [π^1/3·6^7/6·(k·T)^1/2·ρ/ρ_c^2/3]·m^1/6

(12)

В уравнении (12) легко разделить переменные m и t, после чего его так же легко можно проинтегрировать: по массам – от начальной массы частиц (которая заведомо на столько порядков меньше конечной массы, что её без всякого вреда для результата можно принять равной нулю) до текущей массы в некоторый момент времени m, а по времени – от нуля (начало взаимодействия частиц) до текущего значения t. Проделав это, получаем связь массы частиц со временем, то есть динамику роста частиц:

In equation (12), it is easy to separate the variables m and t, after which it can be integrated just as easily: by mass - from the initial mass of the particles (which is obviously so many orders of magnitude smaller than the final mass that it can be taken equal to zero without any harm to the result) to the current mass at some point in time m, and by time - from zero (the beginning of the interaction of the particles) to the current value t. Having done this, we obtain the relationship between the mass of the particles and time, that is, the dynamics of particle growth:

m = [π^2/5·5^6/5·6^1/5·(k·T)^3/5·ρ^6/5/ρ_c^4/5]·t^6/5 = [15,6·(k·T)^3/5·ρ^6/5/ρ_c^4/5]·t^6/5

(13)

t = [π^–1/3·(1/5)·6^–1/6·(k·T)^–1/2·ρ_c^2/3/ρ]·m^5/6 = [0,101·(k·T)^–1/2·ρ_c^2/3/ρ]·m^5/6

(14)

1

Приступим же к расчёту образования водяного тумана без помощи электромагнетизма.

Нам нужно подставить в (13) и (14) конкретные численные значения температуры и начальной массовой плотности паров воды. Речь у нас в начале шла о жарком выдохе. Поэтому температуру примем равной T = 310 K, это около 37°C. Выдыхаемый воздух практически всегда на 100% насыщен водяными парами. При атмосферном давлении и указанной температуре этому соответствует  плотность  водяного   пара   около   43,9   г/м³, т. е. ρ = 0,0439 кг/м³. Плотность жидкой воды при той же температуре равна ρ_c = 993 кг/м³. Значение постоянной Больцмана выше уже приводилось. Подставив в формулы (13) и (14) все эти численные значения, получим:

1

Let's proceed to calculating the formation of water fog without the help of electromagnetism.

We need to substitute specific numerical values ​​of temperature and initial mass density of water vapor into (13) and (14). At the beginning we were talking about a hot exhalation. Therefore, we will take the temperature to be T = 310 K, which is about 37°C. Exhaled air is almost always 100% saturated with water vapor. At atmospheric pressure and the specified temperature, this corresponds to a water vapor density of about 43.9 g/m³, i.e. ρ = 0.0439 kg/m³. The density of liquid water at the same temperature is ρ_c = 993 kg/m³. The value of the Boltzmann constant has already been given above. Substituting all these numerical values ​​into formulas (13) and (14), we obtain:

m = 8,82·10^–16·t^6/5

t = 3,51·10¹²·m^5/6

(15)

(16)

Здесь m выражается в килограммах, а t – в секундах.

И вот настал момент истины. Давайте вычислим, сколько времени в мире наших наполовину максвелловских частиц понадобится на образование капелек диаметром s = 0,1 мм (этому соответствуют объём капельки V = 5,24·10^–13 м³ и масса m = 5,20·10^–10 кг):

Here m is expressed in kilograms and t is expressed in seconds.

And now the moment of truth has arrived. Let's calculate how much time in the world of our half-Maxwellian particles it will take to form droplets with a diameter of s = 0.1 mm (this corresponds to a droplet volume of V = 5.24·10^–13 m³ and a mass of m = 5.20·10^–10 kg):

t = 3,51·10¹²·(5,20·10^–10)^5/6 = 64386

(17)

Это без семи минут 18 часов! Долго же жителям такого мира пришлось бы ждать у окна, чтобы оно от выдоха покрылось матовостью, на которой можно пальцем нарисовать сердечко или ещё что-нибудь.

А как у них там обстоит дело с дождями? Честно говоря, построить всю метеорологию мира без электромагнетизма мне совершенно не по плечу, поэтому впадём в очередное внутреннее противоречие, взяв типичные дождевые параметры из нашего мира. Примем, что процесс образования дождинок из молекул воды начинается в атмосфере на высоте около 2,5 км при температуре около нуля по Цельсию (T = 273 K), а воздух там так же насыщен влагой до максимума (находим по той же таблице, что при такой температуре плотность паров воды в нём ρ = 0,0049 кг/м³). Плотность жидкой воды при нуле по Цельсию равна ρ_c = 1000 кг/м³. Подставив в формулу (13) эти новые численные значения, получим:

That's just seven minutes less than 18 hours! The inhabitants of such a world would have to wait a long time at the window so that their exhalation would cover it with a matte spot on which they could draw a heart or something else with their finger.

And how do they deal with rain there? Frankly speaking, I am completely unable to construct the entire meteorology of the world without electromagnetism, so we will fall into another internal contradiction by taking typical rain parameters from our world. Let us assume that the process of formation of raindrops from water molecules begins in the atmosphere at an altitude of about 2.5 km at a temperature of about zero Celsius (T = 273 K), and the air there is also saturated with moisture to the maximum (we find from the same table that at such a temperature the density of water vapor in it is ρ = 0.0049 kg/m³). The density of liquid water at zero Celsius is ρ_c = 1000 kg/m³. Substituting these new numerical values ​​into formula (13), we obtain:

t = 3,37·10¹³·m^5/6

(18)

Массы дождевых капель в нашем мире могут заметно варьироваться, но в среднем составляют около 20 мг. Примем, что таковы же они и в полумаксвелловском мире (m = 2·10^–5 кг) и найдём, за какое время там из тучи начнёт капать:

The masses of raindrops in our world can vary significantly, but on average they are about 20 mg. Let's assume that they are the same in a semi-Maxwellian world (m = 2·10^–5 kg) and find out how long it will take for rain to start dripping from a cloud:

t = 3,37·10¹³·(2·10^–5)^5/6 = 4.09·10⁹

(19)

Это без семи месяцев 130 лет! Да, не часто там идут дожди...

Я, пожалуй, немного ощущаю себя при написании этой заметки Капитаном Очевидность. Но не вполне. Очевидно было, что при исключении взаимного притяжения частиц процесс их укрупнения замедлится. Но не очевидно было, в какой степени он замедлится. А теперь у вас есть формулы, и они говорят, что процесс замедляется не в разы, а на порядки, и если мы говорим об укрупнении от молекулярных размеров до макроскопических, то это немалое число порядков. Речь идёт об изменении скорости процесса в десятки или сотни тысяч раз, а то и в миллионы. Вот каким высокоэффективным катализатором здесь выступает электромагнитное взаимодействие!

(Кстати: я ни в коем случае не пионер подобных расчётов, они заведомо делались до меня и, скорее всего, делались профессиональнее. Но тут был такой случай, когда быстрее повторить путь самому, чем искать среди миллионов публикаций неведомых предшественников, которые, скорее всего, затеряны в серой зоне, не слишком актуальной ни для специалистов, ни для интересующихся дилетантов, и потом ещё адаптировать чужую работу в целях просвещения. Это также прошу иметь в виду.)

2

А теперь давайте применим полученные формулы к ещё более важному для всех нас процессу сгущения и укрупнения малых частиц – процессу образования Солнечной системы.

В нашем мире на первых порах катализатором слипаний были преимущественно электромагнитные силы, и лишь позже, когда по пространствам будущей Солнечной системы летали не пылинки, а камешки и даже валуны, всё заметнее стал проявлять себя второй катализатор – гравитация. Наука и сегодня не до конца способна непротиворечиво объяснить все детали этого процесса, но сообщество астрофизиков более или менее сходится в том, что планеты успели образоваться из газа и пыли за 10–20 миллионов лет.

А если бы не было ни электромагнетизма, ни гравитации?

Что же, наши постулаты сразу становятся ещё дальше от реальности. Трудно говорить о «температуре» летающих булыжников, скал и планет: не о той температуре, которую можно измерить, приложив к ним термометр, а о «температуре» их самих, частиц, хаотически летающих в пространстве, о «температуре» как мере их кинетической энергии. (Например, у скромного метеорита массой 10 кг, летящего с типичной для метеоритов скоростью 10 км/с, такая «температура», рассчитанная по формуле (6), равна умопомрачительной величине 24·10³⁰ K!)

Но и бумага всё стерпит, а ваш дисплей и подавно. Так что берём и считаем. Вот только надо разобраться с исходными данными. Их опять придётся брать из нашего мира, хотя это теперь ещё более нечестно, чем при расчётах тумана и дождя. Но что делать, больше ведь неоткуда!

Начнём с температуры. Мы же земляне, вот и будем считать, за сколько в том странном мире образовалась бы сестра-двойняшка нашей планеты. Если там светилась в центре газопылевого сгущения такая же звезда, как наше Солнце, то на орбите радиусом 150 миллионов км, где в нашем мире вращается Земля, создавалась бы примерно такая же равновесная температура, как на орбите Земли, а именно, T = 249 K.*

_______

* В нашем мире есть ещё такой фактор, как гравитационный разогрев. Когда частицы, изначально бывшие где-то в облаке Эпика – Оорта, притягиваются гравитацией ближе к Солнцу, их потенциальная энергия (гравитационная) уменьшается, и на столько же должны увеличиться кинетическая и внутренняя энергии (это, соответственно, скорость орбитального вращения и нагрев). Но в том мире, который мы тут моделируем, нет гравитации и нет гравитационного разогрева.

Следующий вопрос – о плотности частиц. Опять-таки, в нашем мире планеты имеют плотности от 0,7 (Сатурн) до 5,5 (Земля) г/см³, схожие диапазоны и у астероидов и у метеоритов. Примем, что в ненашем мире плотность частиц будет равна ρ_c = 2500 кг/м³, это нечто среднее.

Сложнее оценить объёмную плотность частиц в пространстве. В своё время я был изумлён, открыв (вряд ли первым в мире!), что в Солнечной системе существует очень красивый закон распределения плотностей:

That's seven months shy of 130 years! Yes, it doesn't rain there often...

I feel like Captain Obvious a little bit when writing this article. But not quite. It was obvious that if the mutual attraction of particles were excluded, the process of their enlargement would slow down. But it was not obvious to what extent it would slow down. And now you have formulas, and they say that the process slows down not by several times, but by orders of magnitude, and if we are talking about enlargement from molecular to macroscopic sizes, then this is a considerable number of orders of magnitude. We are talking about a change in the speed of the process by tens or hundreds of thousands of times, or even millions. That is what a highly effective catalyst electromagnetic interaction is here!

(By the way: I am by no means a pioneer of such calculations, they were obviously done before me and, most likely, were done more professionally. But here was a case when it was faster to repeat the path myself than to search among millions of publications for unknown predecessors, who are most likely lost in a gray area, not very relevant either for specialists or for interested amateurs, and then adapt someone else's work for educational purposes. I ask you to keep this in mind.)

2

Now let us apply the obtained formulas to an even more important for all of us process of thickening and enlargement of small particles – the process of the formation of the Solar System.

In our world, at first, the catalyst for adhesions was mainly electromagnetic forces, and only later, when not dust particles but pebbles and even boulders flew through the spaces of the future Solar System, the second catalyst – gravity – began to manifest itself more and more noticeably. Even today, science is not fully capable of consistently explaining all the details of this process, but the community of astrophysicists more or less agrees that the planets managed to form from gas and dust over 10–20 million years.

What if there was no electromagnetism or gravity?

Well, our postulates immediately become even further from reality. It is difficult to talk about the "temperature" of flying boulders, rocks and planets: not about the temperature that can be measured by applying a thermometer to them, but about the "temperature" of them themselves, particles chaotically flying in space, about the "temperature" as a measure of their kinetic energy. (For example, for a modest meteorite weighing 10 kg, flying at a typical meteorite speed of 10 km/s, such a "temperature", calculated by formula (6), is equal to the mind-boggling value of 24·10³⁰ K!)

But paper will tolerate everything, and your display even more so. So let's go ahead and count. We just need to figure out the source data. They will have to be taken from our world again, although this is now even more dishonest than when calculating fog and rain. But what can you do, there is nowhere else to get it from!

Let's start with temperature. We are earthlings, so we will calculate how long it would take for our planet's twin sister to form in that strange world. If a star like our Sun shone in the center of a gas and dust thickening there, then in an orbit with a radius of 150 million km, where the Earth rotates in our world, approximately the same equilibrium temperature would be created as in the Earth's orbit, namely, T = 249 K.*

_______

* In our world, there is another factor called gravitational heating. When particles that were originally somewhere in the Öpik - Oort cloud are attracted by gravity closer to the Sun, their potential energy (gravitational) decreases, and the kinetic and internal energies (these are, respectively, the speed of orbital rotation and heating) should increase by the same amount. But in the world that we are modeling here, there is no gravity and no gravitational heating.

The next question is about the density of particles. Again, in our world, planets have densities from 0.7 (Saturn) to 5.5 (Earth) g/cm³, similar ranges are found in asteroids and meteorites. Let's assume that in another world the density of particles will be equal to ρ_c = 2500 kg/m³, this is something in between.

It is more difficult to estimate the volume density of particles in space. At one time I was amazed to discover (hardly the first in the world!) that in the Solar System there is a very beautiful law of density distribution:

ρ/ρ_☉ = (R_☉/R)³

(20)

Здесь ρ_☉ = 1409 кг/м³ – плотность Солнца, R_☉ = 696.000 км – радиус Солнца, r (км) – расстояние от центра Солнца до области измерения объёмной плотности ρ (кг/м³). В 2012-м году я не догадался, что в законе нужно было учитывать объёмную плотность не только обычного вещества, но и тёмного, из-за чего у меня в облаке Эпика – Оорта закон переставал хорошо соблюдаться. Эта мысль пришла мне в голову несколько лет назад, но всё недосуг было сделать дополнение к старой статье, так что сделаю это хотя бы здесь. Хотя здесь нам такие нюансы совершенно не понадобятся, так как в зоне планет всё прекрасно укладывается в этот закон и без тёмной материи, её здесь гораздо меньше, чем обычной.

Нам важнее другой аспект. Это распределение плотности существует сейчас. Но было ли оно таким все 4,6 миллиарда лет существования Солнечной системы? Ответа у меня нет. Интуитивно-то я верю, что данное равновесие между движением, вращением и гравитацией в газопылевом облаке, из которого вышла Солнечная система, установилось очень быстро и с тех пор не менялось. Но доказать этого не могу.

К счастью, доказывать и не надо, мы же сами лепим тот странный мир. Просто введём ещё один постулат: что в том мире плотность на орбите с радиусом 150 млн. км была именно такой и такой оставалась там всё время:

Here ρ_☉ = 1409 kg/m³ is the density of the Sun, R_☉ = 696,000 km is the radius of the Sun, r (km) is the distance from the center of the Sun to the region of measurement of the bulk density ρ (kg/m³). In 2012, I did not guess that the law had to take into account the bulk density of not only ordinary matter, but also dark matter, which is why the law ceased to be well observed in the Öpik - Oort cloud. This idea occurred to me several years ago, but I never had time to make an addition to the old article, so I will do it at least here. Although here we will not need such nuances at all, since in the zone of planets everything fits perfectly into this law even without dark matter, which is much less abundant here than usual one.

Another aspect is more important to us. This density distribution exists now. But has it been like this for all 4.6 billion years of the Solar System's existence? I don't have an answer. Intuitively, I believe that this equilibrium between motion, rotation, and gravity in the cloud of gas and dust, from which the Solar System emerged, was established very quickly and has not changed since then. But I can't prove it.

Fortunately, there is no need to prove it, we are the ones who are creating that strange world. Let's just introduce another postulate: that in that world the density in an orbit with a radius of 150 million km was exactly like that and remained like that all the time:

ρ = ρ_☉·(R_☉/R)³ = 1409·(0,696/150)³ = 1,41·10^–4

(21)

С принятыми значениями параметров уравнения, описывающие планетарный рост, получают вид:

With the accepted values ​​of the parameters, the equations describing planetary growth take the form:

m = 3,76·10^–19·t^6/5

(22)

t = 2,26·10¹⁵·m^5/6

(23)

(Масса здесь по-прежнему выражается в килограммах, а время в секундах.)

По уравнению (22) я посчитал, до какой средней массы дорастут зародыши будущих планет того странного мира за миллион лет, 50 миллионов, миллиард и 4,6 миллиарда лет (это всё время существования Солнечной системы). Получилась такая динамика роста: 6 граммов, 650 граммов, 23,6 кг, 147,6 кг. Как видим, исчерпав всё имеющееся время, мы едва дошли до размеров средней руки метеоритов! Не слишком впечатляюще...

Тогда по уравнению (23) я посчитал, сколько времени там ушло бы на создание планеты с массой Земли (m = 5,97·10²⁴ кг). Оказалось, что это 3,18·10¹⁹ миллиардов лет. Тридцать два миллиарда миллиардов миллиардов чёртовых лет!!! От нашего мира давно останётся одна чёрная пустота, а у них только заведутся первые амёбы!

Вот так-то, друзья. Если электромагнетизм ускорял процессы слияния, по нашей грубоватой оценке, в десятки-сотни тысяч раз, от силы в миллионы, то могучая гравитация делает это в миллиарды миллиардов раз! Да, вторая оценка намного грубее, ну пусть даже мы ошиблись в сто или тысячу раз неизвестно в какую сторону, но всё равно результат внушает почтение.

Поэтому, если кто-то реальные физические процессы типа тех, что мы тут для примера взяли, попытается вам объяснять при помощи простого броуновского движения частиц, вы теперь усмехнётесь со знанием дела и отправите такого лектора изучать законы движения в электромагнитных и гравитационных полях. Которыми так счастливо пронизан весь наш мир, – разумеется, лучший из всех миров – и управляемый лучшими из его представителей! С Днём Знаний вас!

1–3 сентября 2025 г., Кострома

Высказаться

(Here mass is still expressed in kilograms and time in seconds.)

Using equation (22), I calculated the average mass that the embryos of the future planets of that strange world would grow to in a million years, 50 million, a billion, and 4.6 billion years (the entire time of the Solar System's existence). The following growth dynamics were obtained: 6 grams, 650 grams, 23.6 kg, 147.6 kg. As we can see, having exhausted all the available time, we have barely reached the size of an average meteorite! Not too impressive...

Then, using equation (23), I calculated how much time it would take to create a planet with the mass of the Earth (m = 5.97·10²⁴ kg). It turned out to be 3.18·10¹⁹ billion years. Thirty-two billion billion billion bloody years!!! Our world will have long since been reduced to nothing but a black void, and they will only just have their first amoebas!

That's it, friends. If electromagnetism accelerated the fusion processes, according to our rough estimate, by tens to hundreds of thousands of times, at most millions, then powerful gravity does it by billions of billions of times! Yes, the second estimate is much rougher, well, even if we were wrong by a hundred or a thousand times, it is not known in which direction, but still the result inspires respect.

Therefore, if someone tries to explain to you real physical processes like those we have taken here as an example, using simple Brownian motion of particles, you will now smile knowingly and send such a lecturer to study the laws of motion in electromagnetic and gravitational fields. Which permeats so happily our entire world - of course, the best of all worlds - and ruled by the best of its representatives! Happy Knowledge Day to you!

September 1–3, 2025, Kostroma

To comment