На главную
costroma.k156.ru
К оглавлению

 


Е. Шиховцев



Памяти тёти Веры, моей всегдашней читательницы, которой ровно год нет с нами...



Открытие гравитационных волн
и звёздная статистика


Статистика, как известно, хуже большой лжи, так что отнеситесь ко всему нижеследующему с учётом этой мудрости.


Канва:


1. Открытие гравитационной волны.

2. Сфера LIGO и её внутренняя структура.

3. Население сферы LIGO.

4. Ранние оценки частоты слияний чёрных дыр.

5. Механизмы рождения чёрных дыр. И «пред-дыр».

6. Условия образования двойной чёрной дыры.

7. Механизм сближения чёрных дыр: «гравитационная праща».

7.1. Радиус нескомпенсированной гравитации.

7.2. «Гравитационная праща» при экстремально тесном сближении.

7.3. То же при сближении на бóльшей дистанции.

7.4. Фактор казино.

7.5. Фактор размерной асимметрии.

8. Звёзды как полухаотический газ.

8.1. Длины и длительности свободного полёта звёзд.

8.2. Сечение «столкновения» звёзд: определение через кинетическую энергию.

8.3. ... Или через угловое отклонение траектории.

8.4. Статистика «столкновений» звёзд.

9. Статистический расчёт ньютоновского сближения чёрных дыр.

10. Выводы.

10.1. Шанс не быть (грузной) звездой-одиночкой.

10.2. Шанс родиться достаточно упитанной звездой.

10.3. Шанс иметь достаточно упитанного партнёра.

10.4. Шанс иметь достаточно тесный союз.

10.4.1. Теснота уз и массы связаны?

10.4.2. Теснота уз и массы связаны по Гауссу??

10.5. Коллапс и шанс избежать развода.

10.6. Сведём все шансы воедино.

11. Послесловие. О статистике неслиянных дыр.

12. Дополнение 1. О времени жизни звёзд на главной последовательности.

13. Дополнение 2. Об амплитуде гравитационной волны.


1. Открытие гравитационной волны.


Бинго! Это случилось: после 12 лет наблюдений обсерватория LIGO зафиксировала гравитационную волну, пришедшую от слившейся в 1,3 млрд. св. лет от нас пары чёрных дыр массами 29 и 36 M (таким астрологическим индексом астрономы обозначают Солнце). А орбитальный телескоп «Ферми» зафиксировал слабый всплеск гамма-излучения из района созвездий Кита и Рыб спустя 0,4 сек. после прохода волн через детекторы LIGO*. Я не буду даже пытаться заходить на релятивистскую территорию: важность того, что это открытие произвело и произведёт там, описана и будет описываться гораздо более сведущими людьми. Однако польза от открытия LIGO несомненна и в других сферах, в частности, в более близкой мне области звёздной статистики (хотя и в ней я никак не могу считать себя патентованным специалистом).

_______

* Это «коварное» подтверждение: во-первых, слишком велика в масштабах динамики слияния разница в 0,4 сек., а во-вторых, само по себе наличие гамма-излучения характерно для слияния не двух чёрных дыр, а чёрной дыры с нейтронной звездой (см.: V. Connaughton и др. Fermi GBM Observations of LIGO Gravitational Wave event GW150914, p. 28 [http://gammaray.nsstc.nasa.gov/gbm/publications/preprints/gbm_ligo_preprint.pdf]). Но не будем придираться!


{Upd. 19/11/2017: Полтора года назад я завершил эту заметку пожеланием большей статистики, и оно прекрасно реализуется: гравитационными детекторами обнаружено ещё четыре вполне надёжных и одно возможное (12.10.2015) слияние чёрных дыр, а также на порядок более близкое к нам слияние нейтронных звёзд (17.08.2017)*:


M1/M

M2/M

ΔMgw/M

Δtgw, сек

nоб

ωgw, гц

Расстояние, м

Дата регистрации

~36

~29

~3

0,2

10

~150

~1,3•1025

14.09.2015

~23

~13

~1,5

~0,02

?

~100

~3•1025

12.10.2015

~14,2

~7,5

~1

~1

27

35→450

~1,4•1025

26.12.2015

~31,2

~19,4

~2,0

~0,3

~15

160→199

~2,8•1025

04.01.2017

~12

~7

~0,85

~1

...

~50→200

~1,1•1025

08.06.2017

~30,5

~25,3

~2,7

~0,27

~15

~50→200

~1,7•1025

14.08.2017

1,36÷2,26**

0,86÷1,36**

>0,025

~60

~3000

30→2048

~0,13•1025

17.08.2017

Даны массы сливающихся тел, часть массы, перешедшая в энергию гравитационных волн (ГВ), длительность излучения ГВ, число витков вокруг центра масс, частота ГВ, расстояние до события и дата регистрации

_______

* https://losc.ligo.org/events/; https://cplberry.com/tag/lvt151012/

** Суммарная масса M1 + M2 = 2,73÷2,78•M [http://iopscience.iop.org/article/10.3847/2041-8213/aa920c]. Отсюда (примерно) M1 ≈ 1,6•M; M2 ≈ 1,1•M.


Это при том, что чистого времени наблюдений на детекторах было довольно мало, преимущественно они находились на техобслуживании и модернизации. Выше я сказал, что наблюдения велись 12 лет, но из них собственно штатной работы было: 1347 суток на исходном оборудовании и, начиная официально с 18.09.2015, а по факту с 12.09.2015, ещё 392 суток на обновлённом оборудовании с втрое лучшей чувствительностью, которое 14.09.2015, ещё, как видим, до официального запуска, в тестовом прогоне поймало первую гравитационную волну. Такая, весьма любопытная, статистика требует существенной ревизии многих разделов моей заметки. Мысленно-то это делается, но вот руки, увы, до написания пока не доходят. Каюсь!... Постараюсь исправиться... А сейчас пока, кроме этой сводки-таблицы, добавляю только небольшое, но нужное дополнение по части базовых сведений.}

2. Сфера LIGO и её внутренняя структура.


Итак, мы получили некий бит информации о сфере радиусом в 1,3 млрд. св. лет от нас (назовём её сферой LIGO). Это немного больше того масштаба, с которого Вселенная становится однородной. (Принято считать, что любой компактный объём Вселенной средним размером «в поперечнике» порядка 0,5 млрд. св. лет – так сказать, ячейка однородности, – одинаков по всем своим макропараметрам.) Внутри же ячейки однородности Вселенная структурирована: галактики стянуты в гравитационные цепочки, цепочки сплетены в стенки. Если приблизиться, то галактики в цепочках представляют собой нечто вроде череды мини-Солнечных систем: не так чётко стянутых в тонкие блины, скорее уж в толстые и несколько выгнутые оладьи, но тем не менее отчётливо образующих свиты из нескольких десятков галактик-карликов* вокруг одной, а чаще пары из двух галактик-грандов (иногда грандов бывает и три, и четыре, и т. д., – но это уже всё более редкие случаи).

_______

* Карликовыми такие галактики называют по традиции, но отнюдь не по справедливости: гораздо правильнее было бы называть их типичными, ибо их – большинство.


Наш Млечный Путь, в частности, – гранд. Скорее всего, он войдёт в первый процент по массивности, если охватить подсчётом всю окружающую его ячейку однородности (а это с точки зрения статистики всё равно, что сосчитать всю Вселенную). Мельчайшие же из галактик-карликов могут быть и в миллионы раз легче его.


3. Население сферы LIGO.


В любой ячейке однородности Вселенной порядка 5% её объёма занято нитями галактик, остальные 95% – условная пустота. Внутри нитей, если говорить с точностью до порядка (а выше и не получится на данном этапе накопленных астрономами наблюдений), типичное расстояние между «оладьями» – несколько миллионов св. лет, т. е. локальную плотность «оладий» можно оценить величиной порядка от 10–20 до 10–18, а в «логарифмически-среднем» варианте – 10–19 (св. лет)–3.

Давайте прикинем: сфера LIGO имеет объём порядка 1028 (св. лет)3 (это примерно 80 ячеек однородности), 5% этого объёма – это примерно 5×1026 (св. лет)3, значит, там содержится порядка 50 млн. «оладий», а если считать, что в каждой из «оладий» по ~50 галактик, то это даст оценку числа галактик в сфере LIGO, близкую к 2–3 млрд. штук.

В одной «оладье» порядка нескольких триллионов звёзд, так что в сфере LIGO заключено порядка 1020, т. е. 100 тысяч квадриллионов звёзд. Вот с какого большого поля пришёл к нам бит ценной информации в виде гравитационной волны 14 сентября 2015 г.!

Лишь те звёзды, которые имеют массы не выше ~2 M, мы можем видеть полностью (то есть теоретически могли бы видеть: реально разрешающая способность нашей техники не позволяет увидеть никакие звёзды вне нашей Галактики, да и её-то звёзды мы можем видеть в очень малой части). Звёзды же более тяжёлые мы видим не все. Самые старые из них уже прошли свой цикл водородного горения (так наз. главную последовательность), затем сравнительно небольшой отрезок в стадии красного гиганта (не будем детализировать сложную картину эволюции звёзд, нам хватит упрощённой схемы) и стали одним из четырёх: либо рассеянным газом, либо белым карликом, либо нейтронной звездой, либо чёрной дырой. Чем массивнее звезда, тем короче её жизнь на главной последовательности: см. рисунки (вертикальная линия для любой исходной массы покажет судьбу звезды: сколько она просияет на главной последовательности, и каким цветом, затем – когда пройдёт стадию красного гиганта или вспышки сверхновой, и затем – чем станет после этого).


эволюция звезд легче 10 солнечных масс

эволюция звезд от 10 до 40 солнечных масс эволюция звезд от 40 до 300 солнечных масс

_______

* Дополнение 20.03.2016: Внимательная читательница Л. Шаройко задала вопрос: отчего на первом из трёх приведённых графиков у Солнца возраст жизни на главной последовательности явно превышает цифру ~10 млрд. лет, прекрасно известную всем любителям астрономии. Это хороший вопрос, и ответ на него см. в Дополнении 1.



4. Ранние оценки частоты слияний чёрных дыр.


По оценке 1994 года, которую приводит в своей книге 2016 года издания известный специалист Черепащук*, в нашей Галактике происходит порядка 1 слияния чёрных дыр в 10 млн. лет. В статье другой авторитетной группы учёных 2001 года, где учтено, что, как ни парадоксально это для интуиции, но импульс от взрыва второй звезды довольно часто не разводит, а сводит ближе получающиеся чёрные дыры, даются заметно более высокие оценки: 1 слияние за время от 100 тыс. до 1 млн. лет.** Стало быть, в сфере LIGO, где крупных галактик, подобных нашей, содержится 50–100 млн. штук, плюс в десятки раз большее число мелких и карликовых галактик, такое событие должно происходить едва ли не еженедельно, а в крайнем интервале оценок и ежечасно. А его детекторам LIGO пришлось ждать почти 150 месяцев***. Видимо, всё же оценки и 1994 и 2001 гг. следует на несколько порядков понизить.

_______

* Анатолий Черепащук. Тесные двойные звезды. Часть II. 2016, с. 96 [https://books.google.ru/books?id=y8p3CwAAQBAJ].

** Л. П. Грищук, В. М. Липунов, К. А. Постнов, М. Е. Прохоров, Б. С. Сатьяпракаш. Гравитационно-волновая астрономия: в ожидании первого зарегистрированного источника. Успехи физических наук, т. 171, № 1, с. 3–59 (январь 2001) [http://ufn.ru/ufn01/ufn01_1/Russian/r011a.pdf]. Эту очень информативную и образцово написанную статью коллектива ведущих специалистов в данной теме, поставивших себе – и, как мы теперь видим, во многом успешно решивших – амбициозную задачу предсказать, что и когда обнаружат (тогда ещё, по сути, не начатые) эксперименты по детектированию гравитационных волн, я далее при ссылках буду называть УФН. Конкретно приведённая мною оценка взята из довольно точно оценённого темпа слияний двойных нейтронных звёзд в галактике типа Млечного Пути (УФН, рис. 3) и соотношения темпов слияния двойных чёрных дыр и двойных нейтронных звёзд, равного ~0,06 (УФН, формула 11).

*** Эти 150 месяцев не вполне равноценны. Буквально за месяц до открытия было запущено новое оборудование, которое в ~10 раз чувствительнее, чем предыдущая схема. Но сигнал, пришедший 14 сентября, был сильнее фонового шума в 24 раза [http://www.physics-online.ru/php/paper.phtml?jrnid=null&paperid=19877&option_lang=rus]. При столь крупном профиле он и на старом оборудовании был бы замечен.


5. Механизмы рождения чёрных дыр. И «пред-дыр».


Чёрные дыры массами 29 и 36 M, слияние которых (предположительно) высветило гравитационную волну энергией 3 M, дошедшую до детекторов LIGO, должны были как-то родиться и как-то сблизиться. Теоретически чёрная дыра может родиться либо на заре времён, из квантовых флуктуаций гравитации, когда никаких других структурных единиц материи ещё не было, либо же в результате коллапса (самосхлопывания) центрального ядра массивной звезды, когда она взрывается в конце ядерного цикла*. У теоретиков есть сильные сомнения в том, что квантовые флуктуации могут породить дыры массой в десятки M, а чтобы эти дыры ещё и «спарились», – это уже вовсе невероятное совпадение.

_______

* Строго говоря, никогда внешний наблюдатель не может наблюдать рождение чёрной дыры, то есть образование её горизонта, границы абсолютного невозврата. Эта невозможность вытекает из самого определения чёрной дыры: она ведь очень сильно тормозит все внешние кванты и частицы, а на самом горизонте просто останавливает их. То есть нечему донести до нас информацию о том, что дыра родилась. Но этот нюанс, о котором мы ниже скажем ещё чуть подробнее, для регистрации гравитационных волн неважен. И волны, и ряд других эффектов, указывающих, что наблюдается именно процесс коллапса звезды в чёрную дыру, возникают заранее, когда масса сжата в объёме, превышающем конечный объём дыры в миллионы и миллиарды раз. Так что наблюдаем мы не дыры, а пред-дыры, которые пока что не сжались под границу невозврата, но не имеют шансов избежать этого – через очень малое время по их собственным часам, но через бесконечно большое время по нашему календарю. Дырами эти объекты и в популярной, и в научной литературе называют по давней традиции, просто для удобства речи. Не говорить же каждый раз «компактный гравитирующий объект, сжимающийся под горизонт», или что-то в таком роде.

{Upd. 18/11/2017: Хочу сам себя поправить. Насчёт «бесконечно большого времени». Да, в решении академической задачи о свободном падении материальной точки на шварцшильдовскую дыру возникает бесконечность на подходе точки к горизонту. Но, как принято считать, уравнения ОТО должны терять корректность на масштабах так называемого минимального или планковского расстояния от горизонта. Это lp ≈ 1,6•10–35 м. А на такое расстояние от горизонта точка, по часам далёкого наблюдателя, падает за отнюдь не бесконечное, а напротив, за ничтожно малое время: если громоздкую аналитическую формулу для расчёта этого времени, которую обычно приводят в литературе, разложить в ряд и записать через вспомогательную переменную x = (r/rg)0,5, она станет такой:

Δt = (rg/c)•{ln|[4•rg•(1+x)]/[lp•(x – 1)]| + (x2 + x + 4)•(x – 1)/A},

где r – расстояние от центра коллапсирующего объекта до падающей точки в момент начала отсчёта Δt; rg – радиус горизонта коллапсирующего объекта; А = 1,5•(Ro/rg)0,5 – параметр, зависящий от расстояния Ro, с которого точка некогда начала из состояния покоя (dr/dt = 0) падать к центру коллапса, и c – скорость света.

Рассмотрим для примера динамику падения точки на коллапсирующую массу порядка чёрных дыр события LIGO. При rg = 105 м и Ro = 1011 м точка практически по Ньютону (то есть как по собственным часам, так и для далёкого наблюдателя) упадёт с этого исходного расстояния в 100 млн. км до r = 10•rg за 6 с хвостиком суток и достигнет скорости dr/dt = 0,28•c. Далее перейдём на релятивистский расчёт по приведённой выше формуле и узнаем, что с r = 10•rg до планковской дистанции от горизонта наша точка упадёт за Δt = 0,039 сек по часам удалённого наблюдателя и за Δt* = 0,007 сек. по собственным часам (собственное время можно до конца считать по Ньютону).}

Событие, зарегистрированное детекторами LIGO, имело в пиковой фазе длительность порядка сотых долей секунды (см. рис. ниже); развивалось оно, по всем теоретическим моделям, с околосветовыми скоростями, то есть линейный масштаб его составил величину порядка тысяч километров. А гравитационные радиусы как исходных чёрных дыр, так и слившейся составляют, соответственно, от ~100 до ~200 км – на порядок меньше. {Upd. 18/11/2017: Всё неплохо сходится со сделанным абзацем выше дополнением: мы видим на рисунке последние 5–6 оборотов чёрных дыр вокруг общего центра масс, и с учётом (а) длины орбиты, устремляющейся к 2π•rg ≈ 600 км, и (б) числа оборотов, получаем путь порядка 3–4 тыс. км. По собственному времени дыры пролетели его за Δt* = ~0,01 сек, а по видимому нами времени – за Δt = ~0,02 сек. Соотношение времён, как видим, меньше, чем при финальном падении точки к горизонту, но ведь здесь и падает не точка «отвесно» по радиусу, и метрика, т. е. расчётные уравнения далеко не шварцшильдовские!}.


сигнал детекторов LIGO

[https://nplus1.ru/images/2016/02/11/ae06aec59fc9052134dd4db5843a03a6.png]


А вот коллапс подходит к данному случаю лучше. Если коллапсирует звезда массой от ~40 до ~200 M, то её ядро практически неизбежно даёт на выходе чёрную дыру (см. выше 2-й и 3-й рисунки в п. 3).


6. Условия образования двойной чёрной дыры.


Чтобы образовалась гравитационно связанная система из двух чёрных дыр, способная пережить центробежные эффекты при взрыве второй звезды, необходимо, чтобы обе дыры имели массу в несколько десятков M. А параметры исходных звёзд должны быть таковы:

массы каждой – не менее 60 M; радиус орбиты – не более 50 R*.

_______

* УФН, стр. 13.


И в слиянии, зарегистрированном LIGO, мы имеем как раз такие массивные дыры, а их звёзды-родительницы должны были быть ещё массивнее (потому что до 50% вещества звезды при взрыве рассеивается, а в процессе жизни чёрная дыра за счёт захвата близлежащего вещества почти не прибавляет в весе, вопреки тому, что часто пишут фантасты, а порою даже и популяризаторы науки).

Звёзды массой в 60–80 M, а то и больше – это в нашу чахлую эпоху последнего звёздообразования звери очень редкие. Но в две предыдущие эпохи они встречались почаще, а в самую первую эпоху, от нескольких сот миллионов до миллиарда лет после Большого Взрыва их рождалось больше всего. И парами звёзды рождаются чаще, чем поодиночке, так говорят нам прямые наблюдения неба. Во всяком случае, если мы анализируем событие, случившееся за 12 лет среди популяции в ~100 тыс. квадриллионов звёзд, то пара сколлапсировавших в чёрные дыры звёзд-гигантов – это совершенно не чудо.


7. Механизм сближения чёрных дыр: «гравитационная праща».


После завершения коллапсов обеих звёзд-родителей получившаяся чета чёрных дыр, как правило... перестаёт проявлять релятивистские свойства. Это две массы, вращающиеся вокруг общего центра масс практически по старому доброму закону Ньютона. Вокруг них вращаются спутники, как вращались бы вокруг пары звёзд, а могут продолжать вращаться и более мелкие звёзды, если исходная система звёзд была не двойной, а тройной, четверной и т. д. (подобные конгломераты тоже не редкость, гравитация явно любит семейственность, и диффузное вещество группируется ею не в одну точку, а в систему точек, которые затем становятся звёздами, планетами, кометами, астероидами и метеорными телами).

Небольшие потери энергии при вращении двух чёрных дыр имеют место, но в основном не из-за гравитационных волн (они мизерны по мощности), а из-за встреч с другими звёздами. Тут происходит примерно то же, что в полётах наших межпланетных спутников: вы, наверное, встречали термин «гравитационный манёвр» – это когда спутник ускоряется, проходя мимо планеты. В звёздной динамике часто употребим термин «гравитационная рогатка» или «гравитационная праща», ещё более образный и наглядный.


Проблема в том, что для перераспределения энергии при гравитационном взаимодействии необходимо участие не двух, а трёх и более тел. Теоретически-то это есть всегда, но нас интересуют практически ощутимые величины эффектов, а такое происходит далеко не всегда. Для этого, если пренебречь нюансами, нужно подойти к паре чёрных дыр достаточно близко (издали они просто будут притягивать звезду как одна большая масса, а вблизи начнёт ощущаться, что каждая тянет в свою сторону). Ну и, конечно, быть звездой, потому что чем больше масса пролетающего мимо тела, тем больше кинетической энергии оно может «отщипнуть» от системы чёрных дыр. Если мимо пролетит одинокая планета или комета, то «отщип» будет так мал, что сближение двух дыр будет мизерным.


Уравнениями это выразили Докучаев и Озерной в 1981 году*:

_______

* В. И. Докучаев, Л. М. Озерной. Письма в Астрономический журнал, 1981, № 7, с. 95. Цит. по статье: С. И. Блинников, И. Д. Новиков, Т. В. Переводчикова и А. Г. Полнарев. О возможности взрыва нейтронной звезды в тесной двойной системе [http://hea.iki.rssi.ru/pazh/ru/scans/11.pdf].


a) При рождении двойной дыры её компоненты должны быть друг от друга не далее расстояния Ro:

Ro = 15×R×[(M1 + M2)/M]×(105/vd)2,

где M1 и M2 – массы чёрных дыр, R и M – радиус и масса Солнца (они здесь появляются без всякой связи с нашим светилом, просто как удобные масштабные единицы), vd – среднее значение (на астрономическом языке, дисперсия) хаотических («броуновских») скоростей звёзд в окрестностях пары чёрных дыр (105 м/сек, или 100 км/сек. – это типичное значение таких скоростей, стоящее в формуле как ещё одна удобная масштабная единица).

б) при соблюдении условия (а) случайные проходы близких звёзд мимо пары чёрных дыр будут, в среднем, больше отнимать, чем прибавлять энергии к их системе; каждый отъём энергии будет сближать две чёрных дыры, и время их сближения от расстояния Ro до какого-то произвольного R равно:

t = (300 млн. лет)×(R/R)×(vd/105)3×[M/(M1 + M2)]2×(107 шт/пс3/С).

В последней части формулы появляется С – объёмная концентрация звёзд в окрестностях пары чёрных дыр, также сопровождающаяся типичной масштабной единицей – 10 млн. шт. в 1 кубическом парсеке, или, что то же, в 35 куб. св. годах.

в) по прошествии времени tс

tс = (10 млрд. лет)×(vd/105)0,8×[M/(M1 + M2)]1,4×(107 шт/пс3/С)0,8

пара дыр сближается на расстояние Rw

Rw = R×(vd/105)0,2×[(M1 + M2)/M]0,4×(107 шт/пс3/С)0,2,

и с этого времени, условно говоря, дальнейшее сближение идёт уже не под влиянием проходящих рядом звёзд, а благодаря собственному гравитационному излучению пары дыр. С гравитационными волнами уносится энергия, за счёт чего дыры и сближаются быстрее и быстрее. Весь «волновой» этап после tс занимает некоторое время tw << tc, поэтому в целом от рождения пары чёрных дыр до их слияния проходит время, практически равное tc.


Давайте рассмотрим подробно ключевую стадию будущего слияния двух дыр: процессы их постепенного сближения под действием проходящих мимо звёзд.


7.1. Радиус нескомпенсированной гравитации.


Вообще на расстояниях много больше десятков млн. км, – а это ещё ничтожно мало по сравнению с типичными близкими межзвёздными расстояниями в триллионы км, – никакие релятивистские эффекты не ощутимы. Тяготение там чисто ньютоновское. А у ньютоновского тяготения есть очень полезный для нас тезис: если некое тело окружает однородная среда, то какова бы ни была её плотность и масса, она тело не притягивает. (Просто потому, что тянет одинаково во все стороны, и результирующая сила равна нулю.)

Двойную дыру, как и любое другое небесное тело, издали мощно притягивает центр её галактики, задавая ей орбитальное галактическое движение. Оно нас интересовать не будет, потому что это общий поток всего локального окружения звёзд, и в этих локальных координатах данное движение обнулится. Кроме того, дыру хаотически тянут гравитационные силы от ближайших окружающих звёзд. Вот на этом остановимся подробнее.

Для локальной концентрации звёзд всегда есть некий средний радиус R1, в котором находится одна звезда-соседка. Находится тоже в среднем: когда есть, когда нет, когда несколько ближе, когда несколько дальше. Если мы мысленно станем кратно расширять окружающую сферу (2×R1, 3×R1 и т. д.), то, по кубическому закону, среднее число звёзд там будет расти как 8, 27, 64 и т. д. И здесь вступит в дело закон больших чисел. Если единице легко стать и нулём и двойкой и даже тройкой, то 64 и даже 27 почти всегда останутся самими собою, да и 8 изменится вряд ли хотя бы вдвое, от силы на десятки процентов.

А это, если мы вооружимся ньютоновским тезисом об однородности среды, сразу приведёт нас к заключению, что все события за пределами примерно 2×R1 на двойную дыру (и на любое другое небесное тело) гравитационно практически не влияют. А по-настоящему сильно влияют лишь визиты звёзд внутрь сферы радиусом R1. Запомним это.


7.2. «Гравитационная праща» при экстремально тесном сближении.


Модельный расчёт «гравитационной рогатки»:

Рассмотрим сначала самый простой (и статистически совершенно невероятный) случай, когда звезда подойдёт к двойной дыре очень близко – на расстояние, сравнимое с масштабами самой двойной дыры.

Пусть дыра массой М1 вращается вокруг дыры массой М2 по круговой орбите на расстоянии R (то есть мы точку отсчёта помещаем на вторую дыру). При этом потенциальная (гравитационная) энергия системы равна (здесь и далее – по модулю, чтобы не обращать внимание на знаки):

U = γ×M1×M2/R,

где γ – гравитационная постоянная.

Путём дифференцирования и небольших алгебраических преобразований отсюда получается, что

dU/U = dR/R,

то есть относительное сокращение размера системы двух чёрных дыр равно относительному уносу потенциальной энергии с прошедшей мимо звездой.

По смыслу гравитационного манёвра, добавка к скорости звезды не может превышать (в нашей системе отсчёта) скорость движения первой дыры по орбите вокруг второй дыры, т. е. первую космическую скорость vс. ΔU в системе чёрных дыр возникает из-за того, что звезда уносит кинетическую энергию ΔK:

ΔK = M3×(v22 – v12)/2

Поскольку на v2 есть ограничение:

v2 < v1 + vc,

ΔK может расти лишь за счёт M3.

Максимальное ΔK достигнется в идеальном случае при

v2 = v1 + vc

и составит, если мы проделаем алгебраические подстановки и преобразования:

ΔKmax = M3×(v1×vc + v12/2).

Приравняв ΔKmax к ΔU, мы через выражение

ΔU/U ≈ ΔR/R

найдём, что

ΔRmax/R ≈ (M3/M1)×(v1/vc + 0,5).

То есть чем больше масса и входная скорость проходящей звезды, тем (в среднем) больше она может сблизить чёрные дыры.


7.3. То же при сближении на бóльшей дистанции.


Если мы попробуем сделать модель чуть более реалистичной, – для случая, когда звезда пролетает не слишком близко от системы двух дыр, – математика сразу усложняется. Но на качественном уровне с помощью следующей картинки:

гравитационная праща

мы, наверное, сможем разобраться, как работает «гравитационная праща» в этом случае.

Внизу чёрным цветом изображена система чёрных дыр (точкой отсчёта вновь выбрана одна из них, а вторая вращается вокруг неё, направление вращения указывает стрелка на орбите). Вверху слева направо пролетает по красной траектории звезда. Точками на красной траектории и на чёрной орбите изображены пять последовательных моментов времени. Синие силовые линии показывают притяжение звезды к центральной дыре, которая у нас служит точкой отсчёта, а зелёными – ко второй (орбитальной) дыре. В левой части рисунка звезда ускоряется за счёт притяжения к дырам (дыры тянут её вперёд, т. е. вправо на нашем рисунке), а в правой части – тормозится (дыры тянут её назад, т. е. влево). Конечно, ускорение началось где-то далеко за левой стороной рисунка, а торможение закончится где-то далеко за правой стороной. Но мы видим момент наибольшего сближения, когда гравитационные эффекты максимальны.

И не просто максимальны. Я срежиссировал всё особенным образом. Фаза вращения дыры и относительные скорости вращения дыры по орбите и полёта звезды, если вы присмотритесь, подогнаны так, что в зоне ускорения зелёная линия всегда короче синей, а в зоне торможения – длиннее. И по ньютоновскому закону обратных квадратов, звезда ускорится сильнее, чем замедлится, то есть на уходе приобретёт дополнительную скорость, а это значит – унесёт из системы кинетическую энергию и тем самым сблизит дыры.

Орбита звезды будет близка к гиперболе, т. е. похожа на два прямых луча, сопряжённых слегка криволинейным участком в окрестностях точки наибольшего сближения с дырами. Можно условно считать, что этот участок и представлен на нашем рисунке, а слева и справа орбита звезды прямолинейна. Если мы вместо пяти точек изобразим их (мысленно) бесконечно много, то построим всю динамику процесса. Это большое множество точек будет геометрически почти симметрично относительно синих линий, т. е. для каждой из синих линий в жёлтой зоне рисунка найдётся почти такая же по длине и углу наклона синяя линия в сиреневой зоне. А если мы (мысленно) выгнем красную траекторию в прямую линию (это громоздко, но можно сделать подходящей заменой координат), то синие линии в зонах ускорения и торможения приобретут полную симметрию. Это значит, что их можно вовсе не учитывать: насколько в любой синей линии звезда ускорится в жёлтой зоне, настолько же она замедлится в симметричной синей линии в сиреневой зоне.

А вот с зелёными линиями будет не так. Возьмём (мысленно) в жёлтой зоне некую зелёную линию, распишем параллелограмм сил, выделим через синус нужного угла αi интересующее нас ускорение вдоль красной траектории – и легко найдём, что это ускорение будет пропорционально массе дыры, вращающейся по орбите, и обратно пропорционально квадрату расстояния ri, а расстояние (длину зелёной линии) можно выразить через длину синей линии Li за вычетом некоторой поправки ai:

(dv/dt)i = γ×M1×sin(αi)/(Li – ai)2

Теперь всё повторим для вроде бы симметричной зелёной линии из сиреневой зоны. Но там-то, как мы видели на примере наших пяти точек, надо не вычитать из Li какую-то поправку ai, а, наоборот, прибавлять к Li какую-то поправку bi:

(dv/dt)i = – γ×M1×sin(αi)/(Li + bi)2

Сложив два последних уравнения, мы в результате получим не ноль, а некую остаточную величину:

(dv/dt)i = γ×M1×sin(αi)×[1/(Li – ai)2 – 1/(Li + bi)2] =

= γ×M1×sin(αi)×[2×Li ×(ai + bi) + bi2 – ai2]/[(Li – ai)2×(Li + bi)2]

Выражение довольно громоздкое, но, если должным образом над ним поработать, можно прийти к довольно простой оценке: максимально возможный прирост скорости звезды на выходе из зоны окрестностей двойной чёрной дыры не должен превышать такую величину:

(Δvd)max ≤ ε×4×γ×M1×R/[vd×L2],

где ε – некоторая константа порядка единицы или менее (насколько менее – зависит от того, удачно или неудачно совпадут фаза и орбитальная скорость дыры со скоростью звезды), а L – расстояние наибольшего сближения звезды с системой чёрных дыр (примерно средняя синяя линия на нашем рисунке). Баллистик назвал бы L прицельным параметром.

Получив оценку для (Δvd)max, можно так же, как мы выше делали в модельном расчёте, прийти к оценке для максимального относительного сближения дыр, которое оставляет после себя прошедшая мимо звезда:

(ΔR/R)max ≤ 4×ε×(M3/M2)×(R/L)2×[1 + ε×(R/L)×(U3/K3)],

где

U3 = γ×M1×M3/L

– потенциальная энергия системы «звезда – вращающаяся по орбите дыра»;

K3 = M3×vd2/2

– «входная» кинетическая энергия звезды в нашей системе отсчёта.

При этом для всех статистически разумных случаев второе слагаемое в квадратных скобках последнего выражения меньше, и, чаще всего, намного меньше единицы: и R < L, и U3 < K3 (иначе бы звезда так легко мимо не пролетела), и ε < 1. Поэтому вторым слагаемым мы без большой ошибки пренебрежём, и выражение наше станет ещё проще:

(ΔR/R)max ≤ 4×ε×(M3/M2)×(R/L)2.

Как видим, на величину относительного сближения дыр масса звезды влияет линейно, а прицельный параметр её пролёта и того сильнее – квадратично.


7.4. Фактор казино.


Вдумчивый читатель должен сразу схватить меня за руку: да, на рисунке я подогнал фазу и скорость вращения дыры так, чтобы торможение преобладало; но что мешает одной из следующих звёзд подойти к двойной дыре, так сказать, в противофазе? Так, что, наоборот, ускорение будет меньше торможения, а в итоге звезда на выходе замедлится и отдаст кинетическую энергию в систему чёрных дыр, – то есть раздвинет их. Отвечаю: ничто не мешает! И так оно и будет происходить: то туда, то сюда. Но учтём, что число эффективных сближений звёзд с любой парой чёрных дыр за всё время жизни Вселенной весьма невелико, порядка 10. Значит, по теории вероятностей, примерно у 0,1% двойных чёрных дыр все столкновения сработают на сближение (это эквивалентно тому, что на рулетке десять раз подряд выпадет красное: вариант редкий, но не фантастически редкий). Вот эти ~0,1% пар и смогут слиться.


7.5. Фактор размерной асимметрии.


Есть ещё один фактор, так сказать, второго порядка малости, который тоже систематически подыгрывает сближению, а не расширению дыр. Это фактор линейного размера системы. В уменьшившуюся в размерах систему дыр «труднее попасть», чем в расширившуюся.

В наших модельных (т. е. сильно упрощённых) рассуждениях оба указанных фактора представляет множитель ε.


8. Звёзды как полухаотический газ.


При взгляде на небо звёзды кажутся стабильными. На самом деле они движутся: во-первых, упорядоченно, вокруг центров своих галактик, и во-вторых, хаотически, похоже на броуновские частицы*, под влиянием прежде всего импульса, с которым они родились, и в некоторой степени накопившейся истории гравитационных влияний соседей. Типичный порядок скорости хаотического движения звёзд – 100 км/сек с разбросом примерно на порядок между центром и периферией галактики (в астрономии, правда, не принято говорить «броуновское движение», хаотическую скорость там называют дисперсией). А типичное расстояние между соседними звёздами – несколько световых лет; правда, разброс между центром и периферией у этого параметра гораздо выше – примерно 3 порядка. Поделите одно на другое, и у вас выйдет, что в наших краях звезда от встречи до встречи ползёт этак в среднем с десяток тысяч лет, в центре типичной галактики – лет десять, а на периферии – сотни тысяч лет. Глазом не заметишь. Но в масштабах времени Вселенной – жуткое мельтешение!

_______

* Есть одно важное различие. Броуновские частицы чудовищно часто сталкиваются друг с другом, и поэтому находятся в тепловом равновесии, то есть их хаотические скорости распределены по максвелловскому закону. В случае же звёзд лишь в ядрах галактик и, может быть, шаровых скоплений звезда за время жизни успевает совершить с десяток – не столкновений, конечно, но эффективных сближений с другой звездой, при которых возможен обмен импульсами. Поэтому лишь в ядрах можно ожидать близкого к максвелловскому распределения хаотических скоростей звёзд. А в остальной части галактик звёзды сохраняют в течение всей жизни практически то значение хаотической скорости, с которым они родились.


8.1. Длины и длительности свободного полёта звёзд.


В звёздной динамике (как и в молекулярной) есть такое полезное понятие – длина свободного пробега. Это среднее расстояние, которое звезда пролетает без заметных взаимодействий (искривлений траектории, изменения скорости). Его вычисляют по формуле:

Rf = 0,7/(S×C),

где S – для молекул эффективное сечение, а для звёзд – какая-то эквивалентная величина (о ней мы порассуждаем чуть ниже), и C – для тех и других объёмная концентрация; для звёзд она имеет порядок 0,01 шт/куб. св. год, если брать «очень» в среднем, а если углубляться в детали, то С сильно (с разбросом на 9–10 порядков!) зависит от галактического района, где звезда находится. Причём в разных типах галактик звисит по-разному, и как именно, пока достоверно неизвестно даже для Млечного Пути. На нашем сайте* приводился степенной закон убывания объёмной плотности звёзд с расстоянием от центра в Млечном Пути; в единицах СИ это:

Cs ≈ 1,4×10–14/R1,8 шт/м3.

_______

* См. http://mir.k156.ru/astrasti/astrasti2.html.


В недавней обстоятельной работе большой группы астрономов приведены иные по виду формулы для численной плотности звёзд ρ (шт/пк3), учитывающие и радиальную (R) и высотную (Z) галактические координаты*:

ρs(d)(R, Z) ≈ 3×exp[–(R/2600)–(Z/300)] + 0,16×exp[–(R/3600)–(Z/900)];

ρs(h)(R, Z) ≈ 5×107×(R2 + 2,44×Z2)–1,39,

где при плотности индексы d и h относятся, соответственно, к звёздам в тонком и толстом дисках и в гало, а координаты R и Z выражены в парсеках.

_______

* Mario Jurić et al. The Milky Way Tomography with SDSS. I. Stellar Number Density Distribution. The Astrophysical Journal, vol. 673, pp. 864–914, 2008 February 1 [http://www.astro.washington.edu/users/ivezic/Publications/tomographyI.pdf]. В формулах, приведённых здесь в несколько модифицированном виде, использовано значение звёздной плотности в окрестностях Солнца из Википедии: 0,14 пк–3, подтверждающееся и другими источниками.



8.2. Сечение «столкновения» звёзд: определение через кинетическую энергию.


Что может быть величиной S для звёзд? В Википедии, например, со ссылкой на работу Засова и Постнова 2006 г.*, предлагается вариант: площадь окружности, диаметр которой равен расстоянию, на котором кинетическая энергия проходящей звезды удваивается по сравнению с энергией «на бесконечности». При таком определении

S = π×γ2×M32/(4×vd4),

что в окрестностях Солнца, где vd имеет порядок 20 км/сек., а средние звёздные массы – порядок 0,3×M (или ~6×1029 кг), соответствует величине сближения звёзд на расстояние ок. 100 млн. км – это порядок первых планетных орбит в Солнечной системе. Вероятность столь тесного сближения звёзд в данных окрестностях оказывается настолько мизерной, что любой произвольно взятой звезде ждать этого пришлось бы, по расчёту Засова и Постнова, в тысячу раз дольше, чем пока прожила Вселенная, а это значит – никогда не дождаться, потому что Вселенная, став старше, чем сегодня, не в тысячу, а «всего» в несколько раз, начнёт расширяться так быстро, что темп «растаскивания» звёзд даже теоретически похоронит возможность их сближения.

_______

* А. В. Засов, К. А. Постнов. Галактики и скопления галактик. В сб.: Общая астрофизика. Фрязино, 2006, с. 305—307.


В центре нашей Галактики хаотические скорости звёзд на порядок больше, что сокращает величину «столкновительного» сближения звёзд до расстояний порядка 1 млн. км. Это должно было бы удлинить время ожидания таких сближений примерно ещё в 10 тыс. раз, но в центрах галактик и концентрация звёзд в десятки и сотни миллионов раз выше, чем на периферии, и в итоге перемножения этих факторов время ожидания, наоборот, сокращается в те же ~10 тыс. раз, т. е. имеет порядок ок. 1 млрд. лет. Таким образом, центральные звёзды галактик реально за время своей жизни испытывают от нескольких до нескольких десятков «столкновительных» сближений. Всего в центре типичной галактики может находиться до десятков млн. звёзд.


8.3. ... Или через угловое отклонение траектории.


Можно задать S, например, как окружность такого радиуса Rh, на котором проходящие звёзды не искривляют свои траектории взаимной гравитацией более, чем на некий оговорённый угол, – допустим, более, чем на 0,01 радиана (это около 1,5° – довольно незначительное отклонение).

Угол гравитационного отклонения гиперболических траекторий рассчитывается по формуле:

Δ = π – 2×arctg(b/a),

где b – прицельный параметр (в нашем случае он и есть искомый Rh), а а – так наз. большая полуось гиперболы: для звезды массой М, движущейся со скоростью v,

a = γ×М/v2.

отсюда:

Rh = γ×М×tg(π/2 – Δ/2)/v2.

Беря типичные по порядку значения хаотических скоростей звёзд (~100 км/сек. с разбросом на порядок между центром и периферией галактики) и их масс (~0,3×M), можно оценить, что в этом варианте Rh имеет порядок дальних планетных орбит (сотни млн. км), а Rf – порядок миллиардов световых лет. Все рассуждения, касающиеся центральных звёзд галактик, здесь получаются теми же, что в предыдущем варианте задания S через кинетическую энергию.


8.4. Статистика «столкновений» звёзд.


В нашей задаче о тесных сближениях звёзд с двойной чёрной дырой организованное движение звёзд в поле тяготения всей галактики можно не учитывать: наша точка отсчёта помещена в одну из чёрных дыр, а их союз, будучи порождён некой родительской звёздной парой, в организованном движении по своей галактике как участвовал, так и участвует. Поэтому мы без большой ошибки можем считать, что двойная дыра просто окружена хаотическим газом звёзд в пределах данной части своей галактики. И длина свободного пробега звёзд заведомо намного (на порядки!) больше размеров и этой части, и галактики, и всей видимой Вселенной.

Это очень удачные обстоятельства. Задача становится довольно прозрачной. Мы хотим проследить эволюцию двойной дыры за некое космологически ощутимое время Т (сотни миллионов или миллиарды лет). За это время газ звёзд может «законтачить» с дырами те звёзды, которые расположены от них в сфере радиуса

RT = T×v.

(Например, для Т = 10 млрд. лет и v = 100 км/сек. получим

RT = ~300 св. лет = ~100 парсек,

что вполне разумно и не выходит из пределов даже маленькой – т. е., как мы знаем, типичной галактики).

Возьмём внутри этой сферы произвольный элемент объёма dV, отстоящий от системы дыр на расстояние Rj. Вероятность того, что в нём найдётся звезда массой от M до М + dM, равна:

dP1 = dC(M)×dV.

Здесь dC(M) – это объёмная концентрация звёзд, лежащих в указанном интервале масс. Вид этой функции мы пока знаем лишь для ближайших к нам 35 св. лет, там она примерно такова:

3(М) ≈ dСсл×(M3)q.

(Показатель степени q в окрестностях Солнца, по последним данным научного проекта RECONS, равен примерно 1,2, но насколько он отличен в других частях Млечного Пути и каков в других галактиках – пока неизвестно.) Подобный степенной закон распределения был впервые предложен Солпитером для галактик (и носит его имя), и в астрономии его нередко предполагают универсальным (хотя и попытки его уточнений для тех или иных категорий небесных тел не прекращаются). Поэтому, с известной оговоркой, давайте и мы примем, что вероятностный закон распределения звёзд по массам везде имеет вид:

dС(М) = const×dM/Mq.


статистика сближений звезд


Вероятность того, что траектория полёта этой звезды (синяя линия) заставит звезду пройти от системы дыр на расстоянии от L до L + dL, равна из геометрических соображений (см. рис.) отношению площади зелёного кольца к площади всей сферы, которую можно описать вокруг объёма dV радиусом sj, начинающимся в объёме dV и заканчивающимся в точке К, где синяя траектория касается тонкой зелёной сферы радиуса L:

dP2 = (2×π×rj×dL)/(4×π×sj2) = 0,5×L×dL/[Rj×(Rj2 – L2)0,5].

Это же рассуждение и выражение будут справедливыми для всех остальных элементарных объёмов dV, лежащих во все стороны от системы чёрных дыр на том же расстоянии Rj, поэтому вероятности для этих объёмов можно сложить, а вместо точечного объёма dV взять объём шарового слоя, окружающего пару чёрных дыр на расстоянии Rj (часть этого слоя показана красным пунктиром). Иными словами:

dP1 = const×dM×dV/Mq = const×4×π×Rj2×dRj×dM/Mq.

Вероятность того, что в шаровом слое радиуса Rj не только найдётся звезда массой М, но и траектория её будет направлена так, что звезда пройдёт от дыр на расстоянии L, по правилам теории вероятностей, равна произведению вероятностей dP1 и dP2:

dP1+2 = dP1×dP2 = const×2×π×L×dL×(Rj×dRj/(Rj2 – L2)0,5]×(dM/Mq).

Проинтегрировав эту вероятность по Rj для всего объёма, лежащего внутри RT (с разумными упрощениями благодаря тому, что L << RT), получим вероятность того, что за время Т хотя бы одна звезда массой М пройдёт рядом с системой чёрных дыр на расстоянии L:

dPT = const×2×π×RT×L×dL×dM/Mq = const×2×π×T×v×L×dL×dM/Mq.


9. Статистический расчёт ньютоновского сближения чёрных дыр.


Как мы выше уже установили, зная массу звезды М3 и расстояние L, на котором она прошла от пары чёрных дыр, можно сделать какие-то оценки, насколько это событие сблизит чёрные дыры. А вероятность, которую мы сейчас вывели, даёт величине сближения как бы статистический множитель, указывая, насколько вероятно именно такое сочетание М3 и L. За долгое время Т мимо чёрных дыр могут проходить звёзды разных масс и на разных расстояниях. Чтобы вычислить накапливающийся от этого эффект, нужно проинтегрировать по всем возможным диапазонам масс М3 и расстояний L величину относительного сближения дыр с учётом статистического множителя, т. е.:

d(ΔR/R) = const×2×π×T×v×L×dL×dM/Mq×[4×ε×(M/M2)×(R/L)2] =

= const×8×π×ε×T×v×R2×(dL/L)×M1–q×dM/M2.

Интегралы тут элементарные, да и вопрос о пределах интегрирования не так уж тёмен. Расстояние пролёта L, очевидно, не должно быть меньше R, иначе звезда залетела бы внутрь орбиты чёрных дыр, а там были бы не те закономерности, из которых мы исходили при выводе наших формул. И оно не должно быть больше R1, – радиуса, внутри которого в среднем в данных окрестностях всегда имеется одна звезда, – потому что в более обширной сфере в среднем будет иметь место задача не трёх тел (которую мы упрощённо моделировали), а задача четырёх, пяти, шести и т. д. тел, а затем уже и вовсе не задача N тел, а задача гравитирующей среды (см. п. 7.1). R1 выражается через среднюю локальную концентрацию звёзд всех масс Сср:

R1 = (4×π×Сср/3)–1/3.

Масса наименьших звёзд, для которых закон типа Солпитеровского удовлетворительно соблюдается, примерно 0,05 M, а масса наибольших звёзд, известных астрономам, лежит в области ~300 M. Интегрирование по L и M в таких пределах даёт следующее выражение:

ΔR/R = const×8×π×ε×T×v×R2×ln(R1/R)×(Mmax2–q – Mmin2–q)/[(2–q)×M2].

На отрезках времени в сотни миллионов, а в нашу эпоху медленной эволюции Вселенной даже на отрезках в миллиарды лет многие параметры, входящие в эту модель (средняя хаотическая скорость звёзд, их максимальные и минимальные массы, закон распределения по массам и конкретные константы, входящие в него), меняются незначительно. Делая оценки с точностью до порядка величин, все эти полупостоянные параметры можно условно объединить в некую (квази)постоянную А, и тогда полученная формула примет вид:

ΔR/R ≈ А×Т×R2×ln(R1/R).


Конечно, все эти рассуждения и выводы были сделаны с большим числом упрощений, но качественную картину они дают. А задаваясь разными значениями исходных параметров задачи, можно (формально) строить зависимость R(T) и пытаться от качественной картины перейти хотя бы к полуколичественной.

Давайте примем в предпоследнем уравнении:

const = 2×10–37 кг0,23 (это в 100 млн. раз больше, чем в окрестностях Солнца, – предположительно, таково может быть значение в типичном галактическом ядре),

R1 = ~1014 м (= ~0,01 св. года, или ~0,003 парсека: тоже близко к типичным значениям для центров галактик)*

и q = 1,2 (это примерное значение в окрестностях Солнца),

ε = 0,0001 (просто произвольно),

v = 3×105 м/сек. (типичное значение для центров галактик),

Mmax = 6×1032 кг (300 M – рождение более массивных звёзд принято считать невозможным физически),

Mmin ≈ 0

и массу дыры M2 = 6×1031 кг (30 M, что близко к «младшей» дыре из пары, принесшей волну к детекторам LIGO). Тогда последняя формула станет такой:

ΔR/R ≈ 2×10–45×Т×R2×ln[1014/R].

_______

* Для этого значения я взял не число индивидуальных звёзд в единице объёма, а число тесных систем в единице объёма. В масштабах межзвёздных расстояний тесная система (двойная, тройная и т. д. звезда) практически неотличима от точки, а мы выше рассуждали в логике статистики точек. По той же причине среднюю массу я брал не для индивидуальных звёзд, а для «точек-систем» (она больше в ~1,5 раза), и на тот же поправочный коэффициент 1,5 делил константу в уравнении распределения звёзд по массам.


Исходное расстояние Rо между чёрными дырами нужно принимать в диапазоне от ~20 R (~1,4×1010 м или 14 млн. км) и ниже (это условие из УФН, с. 12). Если решить для этих условий последнее уравнение, то оказывается, что в центре типичной галактики за ~700 млн. лет пара таких чёрных дыр довольно монотонно (см. рис. ниже) сближается до расстояния ~10 млн. км, после чего, согласно формуле (в) Докучаева и Озерного, начинается быстрая релятивистская часть сценария слияния чёрных дыр.


динамика ньютоновского сближения черных дыр


Если рассчитывать время сближения по формуле (в) Докучаева и Озерного, выйдет для условий в центре типичной галактики ок. 0,5 млрд. лет. Эту очень близкую, но несколько более круглую оценку я и предпочту в дальнейшем*.

_______

* К примеру, который мы рассчитывали (две дыры массами порядка 30 M сближаются с расстояния 14 млн. км до 10 млн. км), можно ещё подойти с точки зрения его энергетики. Такое сближение требует, чтобы от двух дыр была отведена энергия, равная изменению их потенциальной (гравитационной) энергии:

ΔU = γxM1xM2x(R1 – R2)/(R1xR2) ≈ 7x1042 Дж.

Это очень немалая энергия! Даже если рассредоточить её на 70 эффективных сближений (а мы понимаем, что это Тришкин кафтан: увеличивать число эффективных сближений – это, фактически, понимать под ними всё более отдалённые, т. е. менее эффективные сближения; а во что превратится при этом наш фактор казино, – страшно даже думать, вспомните задачу про шахматную доску и зёрнышки!); но если всё-таки рассредоточить и полагать, что в каждом из них отдаётся в среднем ~1041 Дж, то и этой энергии хватило бы, чтобы швырнуть среднюю по массе звезду (~0,3 M) со скоростью ок. 600 км/сек. – вдвое больше типичных дисперсионных скоростей звёзд в ядрах галактик!



10. Выводы.


Теперь, запасшись всевозможными исходными данными, перейдём к выводам. Какова же статистика двойных чёрных дыр, способных к слиянию?


10.1. Шанс не быть (грузной) звездой-одиночкой.


Каждая примерно вторая звезда – двойная. Это значит, что вероятность для звезды родиться в паре равна примерно 2/3 (берём 1 одиночную и 1 двойную звезду: всего звёзд три, а в двойные входят две из трёх). Однако это данные для типичных звёзд, то есть маломассивных. А звёзды с массами существенно выше M рождаются двойными (и более кратными) практически в 100% случаев*.

_______

* Так пишет известный специалист в данном вопросе А. А. Токовинин [http://crydee.sai.msu.ru/Universe_and_us/2num/v2pap3.htm].


10.2. Шанс родиться достаточно упитанной звездой.


Порядка нескольких процентов звёзд (~8%, если q = 1,2; ~2%, если q = 1,5) рождаются с массами более 60 M*. Будем считать эту вероятность равной 0,05.

_______

* Если dN/dM = const×/Mq, и этот закон Солпитера применим в пределах от Мmin = 0,05×M до Мmax = 300×M, то доля звёзд с массой больше некоего Мx вычисляется интегрированием по N: в числителе интеграл берётся в пределах от Мx до Мmax, в знаменателе – от Мmin до Мmax; константа при делении сокращается и остаётся выражение:

α(M > Мx) = (Мx1–q – М max1–q)/(Мmin1–q – М max1–q).


10.3. Шанс иметь достаточно упитанного партнёра.


Считая, что массы членов пары случайны, можно, по правилам теории вероятностей, оценить долю звёзд, у которых оба члена пары имеют массу более 60 M, произведением отдельных вероятностей:

0,05×0,05 = ~0,003.

Возможно, предположение о случайности соотношения масс неверно. По данным, которые сейчас будут подробно анализироваться в п. 10.4, похоже, что пар, у которых массы отличаются более чем в 100 раз, практически нет; между тем, сами массы звёзд отличаются в десятки тысяч раз. Возможно, отсутствие пар с сильно различными по массе компонентами – просто несовершенство наших телескопов. Но может быть и так, что сами законы звёздообразования, не до конца пока нами понятые, содержат тенденцию к сближению масс двойных звёзд.

Я склоняюсь ко второму варианту, и вот почему. Считая, что равновероятны любые пары звёзд, мы должны были бы заведомо переклассифицировать очень много звёзд из одинарных в двойные (одинарными они кажутся лишь потому, что мы ещё не различаем слабо светящихся малых компонентов). Если и сейчас 2/3 звёзд – в составе двойных, то после такой переклассификации доля двойных должна была бы увеличиться заметно. В пределе оказалось бы, что почти все звёзды – двойные (а не только звёзды-тяжеловесы).

Но ведь есть небольшая (радиусом около 20–30 св. лет), зато очень хорошо изученная область вокруг Солнца. В ней мало лишь звёзд-гигантов, а остальные типы звёзд представлены адекватно. И мы видим, что доля двойных там – те же 2/3, как и везде. И не видим никаких причин, почему бы этой локальной области радикально отличаться от остальной Галактики.

К сожалению, статистики масс двойных звёзд пока настолько мало, что я даже в порядке умозрительной гипотезы не решаюсь искать её математическое выражение, а лишь интуитивно приму, что доля двояко-массивных двойных звёзд должна быть увеличена примерно на порядок. То есть буду считать, что таких звёзд ~3%.


10.4. Шанс иметь достаточно тесный союз.


Связи между массой двойной системы и размерами орбиты отчётливо не наблюдается. Этот вывод иллюстрирует типичное «звёздное небо» на рисунке в координатах «суммарная масса – большая полуось»:


массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2

1 астрономическая единица (а. е.) = 150 млн. км (примерно радиус орбиты Земли).

(Построено по данным таблиц 2–6 из работы: Henry A. Kobulnicky, Daniel C. Kiminki, Michael J. Lundquist, Jamison Burke, James Chapman, Erica Keller, Kathryn Lester, Emily K. Rolen, Eric Topel, Anirban Bhattacharjee, Rachel A. Smullen, Carlos A. Vargas Alvarez, Jessie C. Runnoe, Daniel A. Dale, Michael M. Brotherton. Toward Complete Statistics of Massive Binary Stars: Penultimate Results From the Cygnus OB2 Radial Velocity Survey (25 June 2014) [http://arxiv.org/pdf/1406.6655v1.pdf]. Значения масс более лёгкого компонента М2, оценённые авторами с очень высокой неопределённостью – до двух порядков – усреднялись по границам указанных в таблицах интервалов.)


10.4.1. Теснота уз и массы связаны?


Однако, если, воспользовавшись прекрасным онлайн-сервисом [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-mnk-i-regressionniy-analiz], поискать потенциальную закономерность в этом «звёздном небе» точек, она с трудом, но, возможно, находится.

У серьёзных людей принято считать, что закономерность наблюдается, если коэффициент корреляции больше 0,5. В данном случае это имеет место, если «подправить» одну (самую «нетипичную») точку. На последнем графике эта манипуляция показана цветом: красная линия построена так, как сказано выше (и для неё коэффициент корреляции r = 0,47). У точки, сдвиг которой влево обозначен стрелкой, переходящей из красного в зелёный цвет, оценка М2 в таблице 5 работы Кобульницкого и др. дана такая: 31÷2,0 M (и почти для всех пар М2 дана там с подобной же большой неопределённостью, так что стрелка показывает масштаб возможных смещений влево-вправо почти для всех точек по оси абсцисс). Красная линия показывает результат линейной аппроксимации, если, по общей методике, считать

М2 = (31 + 2)/2 = 16,5 M.

А зелёная – если в данной точке принять

М2 = 2,0 M

(по нижней границе интервала). Эта манипуляция повышает коэффициент корреляции до 0,53.

В сущности, разница между зелёной и красной линией не так уж велика, да и статистическая база тоже вовсе не велика (24 точки, все относящиеся к одному и тому же звёздному агрегату в созвездии Лебедя примерно в 4,7 тыс. св. лет от нас), хотя принятый в приличном обществе критерий надёжности (отношение числа точек к числу подбираемых коэффициентов больше 10) она обеспечивает.

Если уж и поверить в то, что масса двойной системы и расстояние между компонентами как-то связаны, то для грубой оценки с точностью до одного-двух порядков можно, наверное, применять выражение:

а [а. е.] ≈ 0,001×(МΣ/M)2, или:

(а/R) ≈ 0,2×(МΣ/M)2.

Близость степени при массе к двойке наводит на мысль, что, возможно, в истинной зависимости фигурирует произведение масс членов пары (жаль, что по причине крайне малой точности оценки масс более лёгких компонентов в работе Кобульницкого и др. бессмысленно искать по их данным такого рода закономерность). А сочетание М1×М2 – это нечто весьма похожее на гравитационную энергию двойной звезды (все орбиты в работе Кобульницкого и др. незначительно отличаются от круговых, лишь у двух пар из 24 отношение осей эллипсов выходит за пределы 0,8÷1). В такой гипотетической интерпретации уловленная регрессионными формулами закономерность означала бы, что эта энергия тяготеет к постоянному значению. Что явно лишено интуитивной поддержки: отчего бы энергии вести себя так?


10.4.2. Теснота уз и массы связаны по Гауссу??


Интуиция указывает на больший смысл другого подхода. Давайте условно примем, что найденная зависимость задаёт наиболее вероятное значение большой полуоси, а вокруг этой линии на графике (проведём её через точку среднегеометрических значений координат) расположено некое облако убывающей вероятности. Охватим зону представленных данных плавной линией (я построил овал с центром в той же точке среднегеометрических и ориентацией оси по линии наибольшей вероятности), разлинуем внутренность овала линиями, параллельными линии максимальной вероятности (физический смысл каждой такой линии – большая полуось, отличающаяся в Х раз от наиболее вероятного значения, а Х зависит от частоты линовки овала) и посчитаем число точек, оказавшихся внутри каждой «дольки», в расчёте на единицу площади «дольки». (На рисунке площади «долек» в процентах от общей площади овала указаны голубыми цифрами.)


массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2


Результат подобных упражнений показывает, что вероятностное распределение размеров больших полуосей массивных двойных звёзд и в меньшую и в бóльшую стороны от наиболее вероятного значения выглядит довольно похоже на типичный «колокол» нормального гауссовского распределения (результаты подсчёта по «долькам» показаны на рисунке ниже синими прямоугольниками, а голубая линия – наиболее адекватная им функция Гаусса; синие прямоугольники по физическому смыслу представляют собой интегралы этой функции, то есть площади соответствующих секторов под голубой линией, и даже на глаз видно, что не так уж плохо представляют; на следующем рисунке сопоставлены фактические и рассчитанные по функции Гаусса количества точек для каждой «дольки»).


массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2 массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2


Стандартный поиск параметров распределения обнаруживает, что линию наиболее вероятных значений полуоси мы напрасно провели через среднегеометрическую точку; лучше всего соответствует нашему «облаку» из 24 двойных звёзд уравнение, сдвинутое практически к тому значению, которое выше мы взяли просто ради круглого числа:

аver [а. е.] ≈ 0,00103×(МΣ/M)2.

Среднеквадратичное отклонение σ = 0,650 (оно характеризует быстроту спадения вероятности при отклонениях а от аver), а плотность вероятности (функция Гаусса) задаётся выражением:

dlnN/dlg(aver/a) ≈ 0,614×exp[–1,18×lg2(aver/a)].

Зная эту функцию, можно, интегрируя её, узнать, какая доля двойных звёзд будет иметь большие полуоси, отличающиеся во столько-то раз от наиболее вероятного значения. Вот как выглядит это распределение с шагом в полпорядка:


массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2


Как видим, за пределами интервала (0,01÷100)×аver находится менее 0,5% двойных звёзд. Это, кстати, весь интервал, в котором с относительной надеждой на «профпригодность» (не верой, а именно надеждой – для веры данных недостаточно!) можно применять все вышеприведённые рассуждения о распределениях расстояний в двойных звёздах. Те цифры, которые даны на краях «холма» для более удалённых областей, – это уже вовсе гадательные экстраполяции. Они слишком далеко уходят за границы исходных данных и очень легко могут оказаться миражом, обманкой. Я привёл их сугубо «про запас»: вдруг когда-нибудь понадобятся оценки именно для этих дальних областей, и за неимением эмпирических данных волей-неволей придётся уходить в эмпиреи гипотез. А гипотез, кроме этой, у нас нет. Но важно помнить, что на этом пути мы вступаем в область фантазии!


Однако к делу. Вспомним требования к массам и орбитальному размеру двойной звезды (УФН, с. 13):

MΣ > 120 M; Ro < 50 R.

В единицах солнечного радиуса, по нашей гипотезе:

аver ≈ 0,2×R×(МΣ/M)2.

Для нужных нам масс

аver > ~3000 R.

То есть Rоver < ~0,015.

Обращаясь к «холмику вероятностей» с последнего рисунка, прикинем, что в этой области находится около 0,3% двойных звёзд. (Хотя это на самом краю сравнительно надёжной части «холмика».)


10.5. Коллапс и шанс избежать развода.


Время жизни массивной звезды до коллапса оценивают выражением:

tж ≈ 40×(M/M)2 млрд. лет.

(Это по нему строились на рисунках в п. 3 кривые, отделяющие жизнь звёзд [на главной последовательности] от «послежизни» в малоизлучающих формах).

В двойных звёздах первой коллапсирует, естественно, более тяжёлая. Около половины её вещества выбрасывается и возвращается в рассеянное состояние и далее в новый цикл звёздообразования. Остальное (ядро), если масса звезды была подходящей (от ~40 до ~200 M) коллапсирует в чёрную дыру. Та практически всегда получает некоторый импульс, потому что взрыв сверхновой идёт несимметрично, вещество внешних слоёв звезды выбрасывается струйно, а не во все стороны. За счёт импульса отдачи (УФН, с. 12 и др.) чёрная дыра нередко приближается к младшей звезде своей пары, а не удаляется от неё, как следовало бы из простого соображения, что масса стала меньше и притяжение, соответственно, тоже. Но, в общем, изменение орбиты происходит не на порядки, а максимум в разы или того меньше.

В свой срок коллапсирует и вторая звезда, – всё происходит так же, как у первой.

Если в итоге образуется пара чёрных дыр, то ей суждено существовать, практически не меняясь и практически не излучая гравитационных волн, от полумиллиарда лет и выше.

Вероятность успешного образования двойной чёрной дыры из двойной массивной звезды довольно велика. Количественных оценок я не нашёл, но, думаю, можно считать её порядка 50%.

Итак, с учётом оценки, данной в п. 10.3, выходит, что примерно одна из 70 родившихся звёзд в конце своей звёздной стадии станет членом пары массивных (несколько десятков M) чёрных дыр.


10.6. Сведём все шансы воедино.


Теперь перемножим все полученные вероятности:

0,03 [из п. 3] × 0,003 [из п. 4] × 0,5 [из п. 5] ≈ 5×10–5.

То есть примерно одна из 20 тысяч родившихся звёзд будет большой, двойной с такой же большой, после двух коллапсов образует двойную чёрную дыру, и эта дыра будет достаточно компактной, чтобы сближения с примерно десятком звёзд за ~0,5 млрд. лет сблизили её до критического расстояния Rw, когда она начнёт всё сильнее излучать гравитационные волны и быстро сольётся в одну дыру.

Но это случится лишь в том случае, если звёзды около неё так тесно расположены, как бывает преимущественно в центрах галактик. То есть в зоне, где находится всего 10÷100 млн. звёзд. Уменьшим это число на вероятностный фактор 5×10–5 – и получим, что в центре типичной галактики есть порядка 1500 двойных чёрных дыр, реально способных слиться.

Кроме центров галактик подходящие по тесноте условия могут быть в шаровых скоплениях, которых существует в типичной галактике несколько десятков штук (правда, там редки массивные звёзды). Скажем, это добавит ещё около порядка к численности двойных чёрных дыр.

Если двойных чёрных дыр в тесном окружении звёзд в типичной галактике ~10 тысяч, а их характерный жизненный цикл – ~0,5 млрд. лет, значит, мы вправе ожидать, что в среднем в такой галактике каждые ~50 тыс. лет будет происходить слияние очередной пары чёрных дыр.

И если в сфере LIGO порядка 3000 галактик, то слияние в ней будет происходить в среднем раз в ~17 лет.

А мы имеем первое зарегистрированное событие за 12 лет наблюдений. Ошиблись на 0,2 порядка.


Столь хорошее совпадение, конечно, – чистая случайность. Мы строили рассуждения на таком большом числе гипотез, предположений, манипуляций и произвольных постулатов, что итоговую конструкцию впору сравнить с шаткими пирамидами из разнообразных предметов, какие поражают нас в цирковых номерах. Отчасти нас могло выручить то, что ошибки разных этапов рассуждений случайно могли оказаться разнонаправлены и при сложении несколько компенсировали друг друга. (Например, мы могли переоценить число слияний в шаровых скоплениях, но недооценить факторы частоты образования тяжёлых звёзд и однородности масс при образовании двойных звёзд, о чём говорилось в п.п. 10.2 и 10.3, и т. п.)


11. Послесловие. О статистике неслиянных дыр.


А что же остальные дыры?


Вспомним рисунки из п. 3. Что из них следует? Что мы можем видеть звёзды массой 30 M, родившиеся только в последние 45 млн. лет (уже после динозавров), массой 40 M – лишь последних 25 млн. лет рождения, и т. д. Все родившиеся раньше уже перешли черту между жизнью и послежизнью. Если посмотреть в сторону меньших масс, окажется, что звёзды массой 20 M мы видим не далее чем за последние 100 млн. лет, массой 10 M – за последние 400 млн. лет, массой 5 M – за 1,6 млрд. лет, а массой 2 M – за 10 млрд. лет.

Однако за последние 10 млрд. лет условия звёздообразования менялись во Вселенной не принципиально. Вселенная была примерно втрое меньше, чем сейчас, газ был более плотным и горячим, в нём было меньше тяжёлых элементов, чем в нашу эпоху. Но это макропараметры, которые больше влияют на галактики, чем на процессы внутри галактик. А там, с точностью до порядка, как обычно в наших рассуждениях, условия звёздообразования и пропорции родившихся звёзд тоже можно считать примерно постоянными.

Тогда для любой массы мы можем довольно просто оценить, сколько от общего числа звёздорождений такой массы за 10 млрд. лет ещё живёт, не успев уйти в «послежизнь»:

α(M) = tж/(10 млрд. лет) ≈ 4×(M/M)2.

А сколько их родилось? На это пока нет ответа. Однако данные о распределении по массам 374 ближайших к нам звёзд* практически дают этот ответ для области небольших масс (до ~2 M), потому что это как раз те звёзды, которые ещё не успели уйти в «послежизнь» и которые составляют подавляющее большинство выборки (только 20 звёзд из неё – белые карлики, реликты отгоревших звёзд тяжелее ~2 M). Можно ли продлевать зависимость, найденную группой RECONS, в область более массивных звёзд? Никто не знает, но почему бы не сделать это в качестве гипотезы?

_______

* http://www.chara.gsu.edu/~thenry/RECONS/mf.2009.0.html. По-русски материалы коллектива RECONS см. на нашем сайте: http://mir.k156.ru/astrasti/astrasti2.html.


Распределение солпитеровского типа

dN/dM = const/Mq

при q = 1,2 (по данным RECONS) говорит, что звёзд от 40 до 200 M рождается примерно 9% – значит, столько их и родилось от общего числа звёздорождений за 10 млрд. лет. А звёзд легче 2 M рождается примерно 63% – и эти звёзды и есть почти 100% нашего звёздного неба. Число же живущих звёзд более высоких масс нужно находить с учётом коэффициента α(M):

dNж/dM = α(M)×const/Mq = const'/Mq + 2.

Проинтегрировав последнее уравнение по всем массам от 2 до 300 M*, мы найдём, что 96% этих звёзд уже отгорели и лишь 4% ещё светят. (Это 96% и 4% от их количества, которое составляет 100% – 63% = 37% от всего числа родившихся звёзд; поэтому к населению небосвода они добавляют лишь 37%×4% = ~1%.) Итак, на небе мы видим: все 63% родившихся лёгких звёзд + 1% родившихся тяжёлых звёзд. Итого 64%. И не видим 36% тяжёлых звёзд, ушедших в «послежизнь».

_______

* Результат интегрирования: Nж/Nж+пж ≈ 21 – q×(q – 1)×(2–1 – q – 300–1 – q)/[(q + 1)×(300q – 1 – 2q – 1)].


Если, не мудрствуя лукаво, по-чапаевски разбить все звёзды на пять качественных групп по массам (это примитивнее истинной картины, но с точностью до порядка приемлемо), то по вышеприведённым формулам можно посчитать практически всё о живущих звёздах этих групп:

I) массой от 0,05 до 2 M – коричневые и красные карлики и все звёзды от оранжевых до жёлтых – светят в том же виде, в каком родились;

II) массой от 2 до 10 M – звёзды от жёлто-белого до бело-голубого классов – порядка 9/10 из них уже ушли в «послежизнь»: в основном, пройдя стадию красного гиганта, стали белыми карликами; небольшие количества из тех, что полегче, рассеялись целиком; а небольшие количества из тех, что потяжелее, взорвались как сверхновые и породили нейтронные звёзды; но мы эти маргинальные случаи проигнорируем и условно примем, что все они в «послежизни» стали белыми карликами; то есть, не ушли с небосвода: хотя белые карлики и светят в тысячи раз тусклее звезды-родительницы, но, например, оптики Хаббла хватило бы, чтобы заметить типичный белый карлик с расстояний до ~2–3 диаметров Млечного Пути, если бы кто-то потратил массу его ценного времени на подобную бессмысленную задачу;

III) массой от 10 до 40 M – звёзды бело-голубого класса и начала голубого – порядка 99% из них уже ушли в «послежизнь», став после вспышки сверхновой (а иногда без вспышки) нейтронными звёздами; в оптике их не видно (хотя Хаббл заметил бы с нескольких сот св. лет), видно в рентгеновском диапазоне;

IV) массой от 40 до 200 M – звёзды голубого класса – порядка 99,9% из них уже ушли в «послежизнь», став после вспышки сверхновой чёрными дырами;

V) массой выше 200 M – звёзды голубого класса – порядка 99,99% из них уже ушли в «послежизнь», после вспышки сверхновой полностью рассеявшись.


Чтобы довести нашу упрощённую модель до конца, нужно включить в неё и «послежизнь». На нашем сайте уже приводились данные Kalirai и др. о связи массы белого карлика Mwd с массой родительской звезды Mo:

Mwd ≈ 0,11×Mo + 0,43×M.

Массу нейтронных звёзд можно с точностью до порядка считать константой:

Mn ≈ 1,5×M.

Меньше всего известно о массе чёрных дыр. В УФН авторитеты вынуждены были варьировать отношение масс чёрной дыры и родительской звезды перед вспышкой сверхновой в очень широких пределах: от 0,1 до 1. А мы, за неимением лучшего, просто примем логарифмически-среднее значение:

Mчд ≈ 0,3×Mо.


Поинтегрировав этот набор простых, хотя порою громоздких (особенно для белых карликов) уравнений в указанных диапазонах масс при разных значениях q, получим такие зависимости:

число звезд и черных дыр

Число чёрных дыр по порядку сопоставимо, но несколько меньше числа белых карликов и нейтронных звёзд, но превосходит число звёзд массами больше 2 M. При всех значениях q от 1,2 до 1,6 чёрные дыры, белые карлики и нейтронные звёзды составляют несколько процентов от числа возникших звёзд (их доля снижается с ростом q, особенно у чёрных дыр – на порядок), а звёзды массами менее 2 M – порядка 60–90% (их доля возрастает с ростом q).

(Крупные стрелки здесь и на рис. ниже схематично показывают эволюционные связи: чтó во чтó превращается в конце жизни).


Вот как выглядит относительная численность разных групп звёзд и чёрных дыр для крайних и среднего значений q (звёзд групп III–V так мало, что они в масштабе этих диаграмм неразличимы):

число звезд и черных дыр


Это современная наличествующая численность. Естественно, из-за несовершенства нашей наблюдательной аппаратуры, мы не можем сегодня фиксировать 100% того, что есть на небе. Но, если верить нашим выкладкам, оно там всё равно есть, независимо от того, что мы можем видеть.

Если отобразить то же самое не в штуках, а в килограммах, то картина несколько изменится. Во-первых, мы сразу видим космическую истинность выражения «из праха в прах»: от 85 до 95% газа, когда-то сгустившегося в звёзды, – и заведомо в планеты при них, – и наверняка в многообразные формы жизни там и сям, – сегодня, пройдя ад невообразимого огня и абсолютного холода, выброшено обратно и безучастно взирает с логарифмической высоты графика на те 5–15% вещества, которое ещё не вернулось в свободу мировых пространств:

масса звезд и черных дыр


В массовом распределении звёзды II группы заметно выходят вперёд, а чёрные дыры оттеснены к минорным звёздам III группы. Правда, как мы выше говорили, это если наобум взять для них среднелогарифмическое значение «коэффициента утилизации» родительской массы. Мера его неточности показана на краях рисунка чёрными интервалами. Если в дыру схлопывается почти всё вещество звезды (это маловероятно), то массовая доля чёрных дыр может приблизиться к почти совпадающим долям белых карликов и нейтронных звёзд; если же «коэффициент утилизации» окажется около 10%, то вес чёрных дыр в пространстве будет меньше, чем у звёзд III группы.

Убрав из баланса масс газ, мы получим такие соотношения масс для звёзд и чёрных дыр (для последних, принимая «коэффициент утилизации» равным 0,3, как у линии на предыдущем графике):

масса звезд и черных дыр


средняя масса звезд и относительная численность черных дыр и нейтронных звезд по отношению к остальным звездам

Проделанные вычисления позволяют найти ещё несколько наглядных величин. Во-первых, мы можем узнать среднюю массу видимых сегодня звёзд. Она с ростом q уменьшается от ~0,7 до ~0,4 M. А по статистике околосолнечных звёзд, их средняя масса близка к ~0,3 M. С этой точки зрения q = 1,6 кажется более вероятным значением. Во-вторых, можно посчитать, сколько обычных звёзд (I–V групп + белые карлики) приходится на одну чёрную дыру и на одну нейтронную звезду – представителей слабозаметной части небесного сообщества. Это оказываются, особенно при увеличении q, десятки звёзд. И, наконец, зная эту кратность, можно посчитать, каков же вероятный радиус сферы, где находится ближайшая к Солнцу чёрная дыра. Он составляет от ~8 до ~18 световых лет, возрастая с ростом q. (И дыра, повторюсь, не обязана быть на краю сферы, она может находиться в любой её точке.)


расстояние до ближайшей черной дыры


_________


Конечно, у нас нет уверенности, что функция Солпитера адекватна во всём интервале звёздных масс; что входящие в неё константы (прежде всего показатель степени q) – действительно константы, а не параметры, зависящие от локальных условий; что так уж однородны были и есть условия звёздообразования во времени и пространстве разных галактик; и т. д., и т. п.


Нужна статистика. Нужно больше статистики! Этим и завершим.



7 марта 2016



12. Дополнение 1. О времени жизни звёзд на главной последовательности.


Выше, как было вскользь замечено в начале п. 10.5, все расчёты и графики, где требовалось учитывать время жизни звёзд на главной последовательности, делались с помощью самой простой формулы:

tж ≈ 40×(M/M)2 млрд. лет.

Она считается неплохо применимой для массивных звёзд, но я распространил её (чтобы облегчить себе интегрирование) и в область звёзд массой вплоть до M. Там-то её худшая применимость и была замечена Лилией Шаройко. Для целей настоящей заметки о звёздной статистике и чёрных дырах я тем самым большой ошибки не внёс. Да, простая формула завышает время жизни звёзд, особенно в диапазоне от 1 до 2 M. Но доля этой узкой фракции звёзд в общей численности рождающихся звёзд не превышает 6–10% (в зависимости от принятого значения q), а все расчёты здесь делались с точностью в лучшем случае до порядка, так что ошибка невелика. Особенно если сравнить её с выигрышем в математической простоте.

Но как же на самом деле выглядит зависимость времени жизни звёзд на главной последовательности от их стартовой массы? Задавшись целью собрать данные по сравнительно новым источникам, я обнаружил в них некоторый разнобой, но в разумных пределах, и подобрал чисто эмпирическую формулу:

tж ≈ 6×(M/M + 0,14)4 млрд. лет,

которая неплохо этот разнобой описывает практически на всём диапазоне масс; по крайней мере, лучше, чем простая формула из п. 10.5 (см. рис. ниже):


время жизни звёзд разных начальных масс на главной последовательности и эпохи космологических распадов
Bремя жизни звёзд разных начальных масс на главной последовательности
и эпохи космологических распадов


Розовая линия простой формулы, оказывается, сильно занижает время жизни самых тяжёлых звёзд. Они, судя по теоретическим моделям, горят не менее нескольких млн. лет. При этом звёзды со стартовыми массами выше примерно 100–150 M даже в ходе водородного горения теряют огромное количество массы, буквально худеют в разы, и ко взрыву, заканчивающему их существование, подходят почти одинаковыми со звёздами массой 100–150 M. Это хорошо видно на рисунке:

время жизни сверхмассивных звёзд при разных параметрах моделирования по данным L. R. Yungelson et al., 2007
Bремя жизни сверхмассивных звёзд на главной последовательности при разных параметрах моделирования

По данным L. R. Yungelson et al., 2007 [http://www.aanda.org/articles/aa/full/2008/49/aa8345-07/aa8345-07.html].


Самокритично отмечу, что и камышового цвета кривая, представляющая подобранную эмпирическую формулу, не соответствует действительности в области малых начальных масс (красные и коричневые карлики и субкарлики). Она даёт этим звёздочкам времена жизни в триллионы и десятки триллионов лет. Но что будет во Вселенной в такие времена? В 2014 г. я это посчитал. Не буду приводить весь объёмистый материал соображений и расчётов (его когда-то надо будет поместить на сайте), а итог схематично показан в левой верхней части первого рисунка данного Дополнения.

Примерно через 20 млрд. лет наступит эра чёрного неба: за счёт расширения пространства Вселенной звёзды (кроме двойных и мультикратных) отдалятся настолько, что станут недоступны невооружённому глазу человека (как будто тогда ещё будут люди или невооружённые глаза! но тем не менее, для наглядности оставим эту веху полного мрака на всех небосводах миров);

– ещё через десяток-другой миллиардов лет начнут распадаться нити и стены галактик, а за ними, через сколько-то десятков или сотен млрд. лет, и ассоциации галактик (то, что мы выше называли «оладьями»);

через небольшое число сотен млрд. лет начнут разрушаться сами галактики;

– ко времени порядка триллиона лет от Большого взрыва начнут распадаться планетные системы звёзд;

– ещё через несколько сот млрд. лет начнут распыляться на молекулы крупные газовые планеты;

несколько сот млрд. лет спустя начнут разрушаться звёзды: сперва красные карлики, ещё через несколько сот млрд. лет белые карлики, а ещё через несколько сот млрд. лет и последние, нейтронные звёзды; в промежутке между белыми карликами и нейтронными звёздами распылятся на молекулы и твёрдые планеты;

– ко времени порядка трёх триллионов лет начнёт разрушаться вещество: сперва молекулы и близко по времени к ним атомы, через несколько сот млрд. лет ядра, а ещё через несколько сот млрд. лет и нуклоны.


Таким образом, какие бы цифры долголетия ни давала подобранная формула мини- и микрозвёздам, говорить о временах жизни звёзд более ~1,5–2 трлн. лет физически (космологически) бессмысленно, а антропоцентрически говорить бессмысленно даже об эпохе чёрного неба.


20 марта 2016





13. Дополнение 2. Об амплитуде гравитационной волны.


В § 16 книги Зельдовича и Новикова по гравитации* приводится выражение для амплитуды гравитационной волны (ГВ). Амплитуда ГВ h – это относительное изменение (колебание типа растяжение–сжатие) геометрии пространства, через которое проходит ГВ. Амплитуда зависит от физических констант (постоянной тяготения γ и скорости света с), и параметров ГВ (частоты ω и потока энергии F).

________

* Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. Теория тяготения и эволюция звёзд. М., Наука, 1971 [http://old.pskgu.ru/ebooks/zn_1/zn_1_gl01_16.pdf].


С оценочной точностью F можно выразить через энергию, перешедшую из массы в ГВ (ΔM•c2), характерное время Δt события, в результате которого излучились ГВ (или же через число витков сливающихся друг с другом тел n и характерную частоту ГВ, ω, поскольку ω ≈ n/Δt), и площадь сферы, на которую распространится ГВ, пройдя расстояние R до наблюдателя (S = 4•π•R2). Мы не внесём при этом грубых неточностей, поскольку, как показали первые регистрации ГВ, пиковая интенсивность ГВ в десятки и сотни раз превышает интенсивность до и после пика (то есть почти вся энергия ГВ именно в пиковом интервале и выделяется), а частота около пиковой области меняется не слишком резко, позволяя полагать, что её усреднение к некоему эффективному значению правомерно. Тогда:

F ≈ ΔM•c2/(S•Δt) = ΔM•c2•ω/(4•π•R2•n);

h = [(32•π•γ•F/c)0,5]/(c•ω) = [(8•π•γ•ΔM)/(n•ω)]0,5/R.


Как видим, амплитуда ГВ с расстоянием падает гораздо слабее, чем амплитуды излучения: обратно пропорционально не квадрату, а первой степени R. Это и позволяет детекторам на Земле ловить ГВ, излучённые за миллиарды световых лет. (Кстати, чтобы не забыть: а почему мы не регистрируем более близких событий? Ответ прост: потому что, если взять сферу радиусом 3 единицы и равномерно заполнить её событиями, то число событий во внутренней сфере радиусом в 1 единицу будет в 33 = 27 раз меньше, чем во всей сфере. Вот когда число регистраций ГВ достигнет двух-трёх десятков, тогда, вероятно, и зарегистрируют близкое слияние.)

Из последнего выражения оценим расстояние, на котором h ≈ 1, то есть сжатие-расширение линейных размеров за те доли секунды, пока через эту область проходит ГВ, достигает 100%. Это, возможно, зона катастрофического разрушения материи на субатомном уровне. А о целостности каких-либо молекул в ней заведомо говорить не приходится. Это расстояние:

R = [(8•π•γ•ΔM)/(n•ω)]0,5.

Данные из табличной сводки зарегистрированных ГВ показывают, что типичными и не слишком различающимися значениями являются:

ΔM ≈ 1,5•M = 3•1030 кг;     n ≈ 15;     ω ≈ 200 Гц.

Для этих значений расстояние 100%-ной амплитуды ГВ (h = 1) примерно равно:

R = [(8•π•6,6•10–11•3•1030)/(15•200)]0,5 = 7,3•108 м.

Это менее 1 млн. км. Оглянемся на предысторию слившихся чёрных дыр. Изначально они были двойной звездой, и должны были иметь на орбитах планеты, а за ними – облака малых тел. Затем более массивная звезда выгорела и сжалась в чёрную дыру, потеряв в ходе этой эволюции заметную часть массы. Планеты и малые тела от такого ослабления гравитационной привязи могли уйти на более далёкие орбиты, а часть гипотетически даже оторваться от системы в свободное плавание. Затем то же произошло со второй звездой, и аналогично ещё раз повлияло на оставшиеся планеты и малые тела.

В итоге, к моменту слияния чёрных дыр их планеты должны быть расположены не близко. По аналогии с Солнечной системой напрашиваются орбиты в сотни миллионов или миллиарды километров.

На таких расстояниях и h будет в сотни или тысячи раз меньше, то есть масштаб сжатия-растяжения там будет исчисляться долями процента.

Для квантовых облаков, коими являются молекулы, атомы и субатомные частицы, это, думается, ничто. Для жизни, если уж ей (что практически невероятно!) удалось бы некогда зародиться на планете в такой системе, а потом пережить массу смертельных передряг (изначальные нестабильности орбит, если не в катастрофическом смысле, то уж точно в смысле получаемой планетой энергии от своей звезды или от обеих звёзд; затем катаклизмы изменений орбит и убийственных излучений в ходе эволюции звёзд в чёрные дыры, и т. д. и т. п.) и где-то ещё теплиться, утилизируя остаточное тепло недр в бессолнечных условиях, – ну, для такой сверхстойкой жизни, думается, это тоже ничто. Для тектоники планеты? Не дам руку на отсечение, но интуиция говорит, что больших бед от такого краткого импульса искажений пространства на доли процента и в тектонике не случится.

Но в пределах миллиона или даже первого десятка миллионов километров от эпицентра, где материя представлена в основном остатками аккреционных дисков, расколбас будет нехилый! Я не знаю, как такую бурю выдержит эта несчастная материя, например, на кварковом уровне? Вот где простор для фантастов и теоретиков! Как повенчать ОТО с квантовой механикой?

А наблюдатели успокаивают нас в одном (но важном!) отношении: по крайней мере, материя не аннигилирует, ведь потоков излучения ни в каких частях спектра из областей слияния чёрных дыр приборы ни разу не зафиксировали.

Ну и на том спасибо!


19 ноября 2017



Высказаться

 

 

Яндекс.Метрика