На главную
costroma.k156.ru
К оглавлению

 


Е. Шиховцев



Памяти тёти Веры, моей всегдашней читательницы, которой ровно год нет с нами...



Открытие гравитационных волн
и звёздная статистика


Статистика, как известно, хуже большой лжи, так что отнеситесь ко всему нижеследующему с учётом этой мудрости.


Канва:


1. Открытие гравитационной волны.

2. Сфера LIGO и её внутренняя структура.

3. Население сферы LIGO.

4. Ранние оценки частоты слияний чёрных дыр.

5. Механизмы рождения чёрных дыр. И «пред-дыр».

6. Условия образования двойной чёрной дыры.

7. Механизм сближения чёрных дыр: «гравитационная праща».

7.1. Радиус нескомпенсированной гравитации.

7.2. «Гравитационная праща» при экстремально тесном сближении.

7.3. То же при сближении на бóльшей дистанции.

7.4. Фактор казино.

7.5. Фактор размерной асимметрии.

8. Звёзды как полухаотический газ.

8.1. Длины и длительности свободного полёта звёзд.

8.2. Сечение «столкновения» звёзд: определение через кинетическую энергию.

8.3. ... Или через угловое отклонение траектории.

8.4. Статистика «столкновений» звёзд.

9. Статистический расчёт ньютоновского сближения чёрных дыр.

10. Выводы.

10.1. Шанс не быть (грузной) звездой-одиночкой.

10.2. Шанс родиться достаточно упитанной звездой.

10.3. Шанс иметь достаточно упитанного партнёра.

10.4. Шанс иметь достаточно тесный союз.

10.4.1. Теснота уз и массы связаны?

10.4.2. Теснота уз и массы связаны по Гауссу??

10.5. Коллапс и шанс избежать развода.

10.6. Сведём все шансы воедино.

11. Послесловие. О статистике неслиянных дыр.

12. Дополнение 1. О времени жизни звёзд на главной последовательности.

13. Дополнение 2. Об амплитуде гравитационной волны.


1. Открытие гравитационной волны.


Бинго! Это случилось: после 12 лет наблюдений обсерватория LIGO зафиксировала гравитационную волну, пришедшую от слившейся в 1,3 млрд. св. лет от нас пары чёрных дыр массами 29 и 36 M (таким астрологическим индексом астрономы обозначают Солнце). А орбитальный телескоп «Ферми» зафиксировал слабый всплеск гамма-излучения из района созвездий Кита и Рыб спустя 0,4 сек. после прохода волн через детекторы LIGO*. Я не буду даже пытаться заходить на релятивистскую территорию: важность того, что это открытие произвело и произведёт там, описана и будет описываться гораздо более сведущими людьми. Однако польза от открытия LIGO несомненна и в других сферах, в частности, в более близкой мне области звёздной статистики (хотя и в ней я никак не могу считать себя патентованным специалистом).

_______

* Это «коварное» подтверждение: во-первых, слишком велика в масштабах динамики слияния разница в 0,4 сек., а во-вторых, само по себе наличие гамма-излучения характерно для слияния не двух чёрных дыр, а чёрной дыры с нейтронной звездой (см.: V. Connaughton и др. Fermi GBM Observations of LIGO Gravitational Wave event GW150914, p. 28 [http://gammaray.nsstc.nasa.gov/gbm/publications/preprints/gbm_ligo_preprint.pdf]). Но не будем придираться!


{Upd. 19/11/2017: Полтора года назад я завершил эту заметку пожеланием большей статистики, и оно прекрасно реализуется: гравитационными детекторами обнаружено ещё четыре вполне надёжных и одно возможное (12.10.2015) слияние чёрных дыр, а также на порядок более близкое к нам слияние нейтронных звёзд (17.08.2017)* [+ 23/02/2020: и ещё четыре надёжных слияния чёрных дыр в данных 2017 г. (29.07, 9.08, 18.08, 23.08) иодно слияние (25.04.2019) либо нейтронных звёзд, но с аномально большой массой (чему, впрочем, предложены теоретические объяснения), либо же нейтронной звезды с чёрной дырой или двух чёрных дыр, но тогда с аномально маленькой для дыр массой (хотя теоретики и тут предлагают варианты объяснений, вплоть до того, что дыры или дыра могли быть первичными, а не послезвёздными)***]:


M1/M

M2/M

ΔMgw/M

Δtgw, сек

nоб

ωgw, гц

Расстояние, м(a)

Дата регистрации

~36

~29

~3

0,2

10

~150

~1,3•1025

14.09.2015

~23

~13

~1,5

~0,02

?

~100

~3•1025

12.10.2015

~14,2

~7,5

~1

~1

27

35→450

~1,4•1025

26.12.2015

~31,2

~19,4

~2,0

~0,3

~15

160→199

~2,8•1025

04.01.2017

~12

~7

~0,85

~1

~90***

~50→200

~1,1•1025

08.06.2017

~53***

~34

~4,8

~0,07

~6

~35→130

~8,8•1025

29.07.2017

~36***

~24

~2,7

>0,25

>13

~40→250

~3,2•1025

09.08.2017

~30,5

~25,3

~2,7

~0,27

~15

~50→200

~1,7•1025

14.08.2017

1,36÷2,26**

0,86÷1,36**

>0,025

~60

~3000

30→2048

~0,13•1025

17.08.2017

~36***

~27

~2,7

>0,2

>11

~60→250

~3,3•1025

18.08.2017

~42***

~29

~3,3

>0,2

>9

~40→250

~6,0•1025

23.08.2017

1,61÷2,52***

1,12÷1,68

~1,4

~128

~3900

19,4→2048

~0,5•1025

19.04.2019

Даны массы сливающихся тел, часть массы, перешедшая в энергию гравитационных волн (ГВ), длительность излучения ГВ, число витков вокруг центра масс, частота ГВ, расстояние до события и дата регистрации

_______

(a) 1025 м = 1,056 млрд. св. лет.

* https://losc.ligo.org/events/; https://cplberry.com/tag/lvt151012/

** Суммарная масса M1 + M2 = 2,73÷2,78•M [http://iopscience.iop.org/article/10.3847/2041-8213/aa920c]. Отсюда (примерно) M1 ≈ 1,6•M; M2 ≈ 1,1•M.

[+ 23/02/2020:] *** Событие 25.04.2019 г. зарегистрировал только один из трёх детекторов коллаборации (второй LIGO был в нерабочем статусе, а на третьем, менее чувствительном Virgo, сигнал статистически мало превышал шум). См. релизы [https://dcc.ligo.org/public/0165/G2000002/015/GW190425_Factsheet.pdf], [https://spaceaustralia.com/feature/neutron-star-merger-creates-unusually-high-mass-object] и анализы [https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1811/1811.12907.pdf], [https://dcc.ligo.org/public/0161/P190425/007/gw190425-discovery.pdf ], по которым заполнены соответствующие строки в таблице событий.


Это при том, что чистого времени наблюдений на детекторах было довольно мало, преимущественно они находились на техобслуживании и модернизации. Выше я сказал, что наблюдения велись 12 лет, но из них собственно штатной работы было: 1347 суток на исходном оборудовании и, начиная официально с 18.09.2015, а по факту с 12.09.2015, ещё 392 суток на обновлённом оборудовании с втрое лучшей чувствительностью, которое 14.09.2015, ещё, как видим, до официального запуска, в тестовом прогоне поймало первую гравитационную волну. Такая, весьма любопытная, статистика требует существенной ревизии многих разделов моей заметки. Мысленно-то это делается, но вот руки, увы, до написания пока не доходят. Каюсь!... Постараюсь исправиться... А сейчас пока, кроме этой сводки-таблицы, добавляю только небольшое, но нужное дополнение по части базовых сведений.}

2. Сфера LIGO и её внутренняя структура.


Итак, мы получили некий бит информации о сфере радиусом в 1,3 млрд. св. лет от нас (назовём её сферой LIGO). Это немного больше того масштаба, с которого Вселенная становится однородной. (Принято считать, что любой компактный объём Вселенной средним размером «в поперечнике» порядка 0,5 млрд. св. лет – так сказать, ячейка однородности, – одинаков по всем своим макропараметрам.) Внутри же ячейки однородности Вселенная структурирована: галактики стянуты в гравитационные цепочки, цепочки сплетены в стенки. Если приблизиться, то галактики в цепочках представляют собой нечто вроде череды мини-Солнечных систем: не так чётко стянутых в тонкие блины, скорее уж в толстые и несколько выгнутые оладьи, но тем не менее отчётливо образующих свиты из нескольких десятков галактик-карликов* вокруг одной, а чаще пары из двух галактик-грандов (иногда грандов бывает и три, и четыре, и т. д., – но это уже всё более редкие случаи).

_______

* Карликовыми такие галактики называют по традиции, но отнюдь не по справедливости: гораздо правильнее было бы называть их типичными, ибо их – большинство.


Наш Млечный Путь, в частности, – гранд. Скорее всего, он войдёт в первый процент по массивности, если охватить подсчётом всю окружающую его ячейку однородности (а это с точки зрения статистики всё равно, что сосчитать всю Вселенную). Мельчайшие же из галактик-карликов могут быть и в миллионы раз легче его.


3. Население сферы LIGO.


В любой ячейке однородности Вселенной порядка 5% её объёма занято нитями галактик, остальные 95% – условная пустота. Внутри нитей, если говорить с точностью до порядка (а выше и не получится на данном этапе накопленных астрономами наблюдений), типичное расстояние между «оладьями» – несколько миллионов св. лет, т. е. локальную плотность «оладий» можно оценить величиной порядка от 10–20 до 10–18, а в «логарифмически-среднем» варианте – 10–19 (св. лет)–3.

Давайте прикинем: сфера LIGO имеет объём порядка 1028 (св. лет)3 (это примерно 80 ячеек однородности), 5% этого объёма – это примерно 5×1026 (св. лет)3, значит, там содержится порядка 50 млн. «оладий», а если считать, что в каждой из «оладий» по ~50 галактик, то это даст оценку числа галактик в сфере LIGO, близкую к 2–3 млрд. штук.

В одной «оладье» порядка нескольких триллионов звёзд, так что в сфере LIGO заключено порядка 1020, т. е. 100 тысяч квадриллионов звёзд. Вот с какого большого поля пришёл к нам бит ценной информации в виде гравитационной волны 14 сентября 2015 г.!

Лишь те звёзды, которые имеют массы не выше ~2 M, мы можем видеть полностью (то есть теоретически могли бы видеть: реально разрешающая способность нашей техники не позволяет увидеть никакие звёзды вне нашей Галактики, да и её-то звёзды мы можем видеть в очень малой части). Звёзды же более тяжёлые мы видим не все. Самые старые из них уже прошли свой цикл водородного горения (так наз. главную последовательность), затем сравнительно небольшой отрезок в стадии красного гиганта (не будем детализировать сложную картину эволюции звёзд, нам хватит упрощённой схемы) и стали одним из четырёх: либо рассеянным газом, либо белым карликом, либо нейтронной звездой, либо чёрной дырой. Чем массивнее звезда, тем короче её жизнь на главной последовательности: см. рисунки (вертикальная линия для любой исходной массы покажет судьбу звезды: сколько она просияет на главной последовательности, и каким цветом, затем – когда пройдёт стадию красного гиганта или вспышки сверхновой, и затем – чем станет после этого).


эволюция звезд легче 10 солнечных масс

эволюция звезд от 10 до 40 солнечных масс эволюция звезд от 40 до 300 солнечных масс

_______

* Дополнение 20.03.2016: Внимательная читательница Л. Шаройко задала вопрос: отчего на первом из трёх приведённых графиков у Солнца возраст жизни на главной последовательности явно превышает цифру ~10 млрд. лет, прекрасно известную всем любителям астрономии. Это хороший вопрос, и ответ на него см. в Дополнении 1.

* Дополнение 23.02.2020: В 2016 г. я поленился перерисовать графики, и до последнего времени они оставались тут в неверных исходных версиях (а, б, в). Наконец-то руки дошли, и теперь вы видите графику, соответствующую Дополнению 1 в заметно обновленной версии 2020 года.



4. Ранние оценки частоты слияний чёрных дыр.


По оценке 1994 года, которую приводит в своей книге 2016 года издания известный специалист Черепащук*, в нашей Галактике происходит порядка 1 слияния чёрных дыр в 10 млн. лет. В статье другой авторитетной группы учёных 2001 года, где учтено, что, как ни парадоксально это для интуиции, но импульс от взрыва второй звезды довольно часто не разводит, а сводит ближе получающиеся чёрные дыры, даются заметно более высокие оценки: 1 слияние за время от 100 тыс. до 1 млн. лет.** Стало быть, в сфере LIGO, где крупных галактик, подобных нашей, содержится 50–100 млн. штук, плюс в десятки раз большее число мелких и карликовых галактик, такое событие должно происходить едва ли не еженедельно, а в крайнем интервале оценок и ежечасно. А его детекторам LIGO пришлось ждать почти 150 месяцев***. Видимо, всё же оценки и 1994 и 2001 гг. следует на несколько порядков понизить.

_______

* Анатолий Черепащук. Тесные двойные звезды. Часть II. 2016, с. 96 [https://books.google.ru/books?id=y8p3CwAAQBAJ].

** Л. П. Грищук, В. М. Липунов, К. А. Постнов, М. Е. Прохоров, Б. С. Сатьяпракаш. Гравитационно-волновая астрономия: в ожидании первого зарегистрированного источника. Успехи физических наук, т. 171, № 1, с. 3–59 (январь 2001) [http://ufn.ru/ufn01/ufn01_1/Russian/r011a.pdf]. Эту очень информативную и образцово написанную статью коллектива ведущих специалистов в данной теме, поставивших себе – и, как мы теперь видим, во многом успешно решивших – амбициозную задачу предсказать, что и когда обнаружат (тогда ещё, по сути, не начатые) эксперименты по детектированию гравитационных волн, я далее при ссылках буду называть УФН. Конкретно приведённая мною оценка взята из довольно точно оценённого темпа слияний двойных нейтронных звёзд в галактике типа Млечного Пути (УФН, рис. 3) и соотношения темпов слияния двойных чёрных дыр и двойных нейтронных звёзд, равного ~0,06 (УФН, формула 11).

*** Эти 150 месяцев не вполне равноценны. Буквально за месяц до открытия было запущено новое оборудование, которое в ~10 раз чувствительнее, чем предыдущая схема. Но сигнал, пришедший 14 сентября, был сильнее фонового шума в 24 раза [http://www.physics-online.ru/php/paper.phtml?jrnid=null&paperid=19877&option_lang=rus]. При столь крупном профиле он и на старом оборудовании был бы замечен.


5. Механизмы рождения чёрных дыр. И «пред-дыр».


Чёрные дыры массами 29 и 36 M, слияние которых (предположительно) высветило гравитационную волну энергией 3 M, дошедшую до детекторов LIGO, должны были как-то родиться и как-то сблизиться. Теоретически чёрная дыра может родиться либо на заре времён, из квантовых флуктуаций гравитации, когда никаких других структурных единиц материи ещё не было, либо же в результате коллапса (самосхлопывания) центрального ядра массивной звезды, когда она взрывается в конце ядерного цикла*. У теоретиков есть сильные сомнения в том, что квантовые флуктуации могут породить дыры массой в десятки M, а чтобы эти дыры ещё и «спарились», – это уже вовсе невероятное совпадение.

_______

* Строго говоря, никогда внешний наблюдатель не может наблюдать рождение чёрной дыры, то есть образование её горизонта, границы абсолютного невозврата. Эта невозможность вытекает из самого определения чёрной дыры: она ведь очень сильно тормозит все внешние кванты и частицы, а на самом горизонте просто останавливает их. То есть нечему донести до нас информацию о том, что дыра родилась. Но этот нюанс, о котором мы ниже скажем ещё чуть подробнее, для регистрации гравитационных волн неважен. И волны, и ряд других эффектов, указывающих, что наблюдается именно процесс коллапса звезды в чёрную дыру, возникают заранее, когда масса сжата в объёме, превышающем конечный объём дыры в миллионы и миллиарды раз. Так что наблюдаем мы не дыры, а пред-дыры, которые пока что не сжались под границу невозврата, но не имеют шансов избежать этого – через очень малое время по их собственным часам, но через бесконечно большое время по нашему календарю. Дырами эти объекты и в популярной, и в научной литературе называют по давней традиции, просто для удобства речи. Не говорить же каждый раз «компактный гравитирующий объект, сжимающийся под горизонт», или что-то в таком роде.

{Upd. 18, 23/11/2017: Хочу сам себя поправить. Насчёт «бесконечно большого времени». Да, в решении академической задачи о свободном падении материальной точки на шварцшильдовскую дыру возникает бесконечность на подходе точки к горизонту. Но, как принято считать, уравнения ОТО должны терять корректность на масштабах так называемого минимального или планковского расстояния от горизонта. Это lp ≈ 1,6•10–35 м. А на такое расстояние от горизонта точка, по часам далёкого наблюдателя, падает за отнюдь не бесконечное, а напротив, за ничтожно малое время: если громоздкую аналитическую формулу для расчёта этого времени, которую обычно приводят в литературе, разложить в ряд и записать через вспомогательную переменную x = (r/rg)0,5, она станет такой:

Δt = (rg/c)•{ln|[2•rg•(1+x)]/[lp•(x – 1)]| + 2•(x2 + x + 4)•(x – 1)/3},

где r – расстояние от центра коллапсирующего объекта до падающей точки в момент начала отсчёта Δt; rg – радиус горизонта коллапсирующего объекта; c – скорость света.

Рассмотрим для примера динамику падения точки на коллапсирующую массу порядка чёрных дыр события LIGO. Чтобы точка упала точно в центр коллапса, т. е. в другую точку, она должна в физических условиях какими-то способами терять энергию, иначе она будет лишь циркулировать вокруг этой точки. Но подобный расчёт и в ньютоновской гравитации, и тем более в ОТО громоздок, и обычно рассматривают физически невероятный, но математически простой случай, когда падающая точка в начальный момент времени покоится на расстоянии Ro от центра коллапса. Тогда её падение будет происходить радиально.

Примем, что rg = 105 м (100 км) и Ro = 1011 м (100 млн. км). Такая точка практически по Ньютону (то есть как по собственным часам, так и для далёкого наблюдателя) упадёт с этого исходного расстояния до r = 10•rg за 6 с хвостиком суток и пересечёт эту отметку в восприятии далёкого наблюдателя со скоростью dr/dt = 0,285•c (по собственным часам скорость будет ненамного больше: dr/dt* = 0,316•c). Далее перейдём на релятивистский расчёт по приведённой выше формуле и узнаем, что с r = 10•rg до планковской дистанции от горизонта наша точка упадёт за Δt = 0,043 сек по часам удалённого наблюдателя и за Δt* = 0,007 сек. по собственным часам (собственное время можно до конца считать по Ньютону). От Ro эти величины практически не зависят, только от rg. Так что вся бесконечность будущего, оказывается, если и есть, то лежит на территории квантовой гравитации.}

Событие, зарегистрированное детекторами LIGO, имело в пиковой фазе длительность порядка сотых долей секунды (см. рис. ниже); развивалось оно, по всем теоретическим моделям, с околосветовыми скоростями, то есть линейный масштаб его составил величину порядка тысяч километров. А гравитационные радиусы как исходных чёрных дыр, так и слившейся составляют, соответственно, от ~100 до ~200 км – на порядок меньше. {Upd. 18/11/2017: Всё неплохо сходится со сделанным абзацем выше дополнением: мы видим на рисунке последние 5–6 оборотов чёрных дыр вокруг общего центра масс, и с учётом (а) длины орбиты, устремляющейся к 2π•rg ≈ 600 км, и (б) числа оборотов, получаем путь порядка 3–4 тыс. км. По собственному времени дыры пролетели его за Δt* = ~0,01 сек, а по видимому нами времени – за Δt = ~0,02 сек. Соотношение времён, как видим, меньше, чем при финальном падении точки к горизонту, но ведь здесь и падает не точка «отвесно» по радиусу, и метрика, т. е. расчётные уравнения далеко не шварцшильдовские!}.


сигнал детекторов LIGO

[https://nplus1.ru/images/2016/02/11/ae06aec59fc9052134dd4db5843a03a6.png]


А вот коллапс подходит к данному случаю лучше. Если коллапсирует звезда массой от ~40 до ~200 M, то её ядро практически неизбежно даёт на выходе чёрную дыру (см. выше 2-й и 3-й рисунки в п. 3).


6. Условия образования двойной чёрной дыры.


Чтобы образовалась гравитационно связанная система из двух чёрных дыр, способная пережить центробежные эффекты при взрыве второй звезды, необходимо, чтобы обе дыры имели массу в несколько десятков M. А параметры исходных звёзд должны быть таковы:

массы каждой – не менее 60 M; радиус орбиты – не более 50 R*.

_______

* УФН, стр. 13.


И в слиянии, зарегистрированном LIGO, мы имеем как раз такие массивные дыры, а их звёзды-родительницы должны были быть ещё массивнее (потому что до 50% вещества звезды при взрыве рассеивается, а в процессе жизни чёрная дыра за счёт захвата близлежащего вещества почти не прибавляет в весе, вопреки тому, что часто пишут фантасты, а порою даже и популяризаторы науки).

Звёзды массой в 60–80 M, а то и больше – это в нашу чахлую эпоху последнего звёздообразования звери очень редкие. Но в две предыдущие эпохи они встречались почаще, а в самую первую эпоху, от нескольких сот миллионов до миллиарда лет после Большого Взрыва их рождалось больше всего. И парами звёзды рождаются чаще, чем поодиночке, так говорят нам прямые наблюдения неба. Во всяком случае, если мы анализируем событие, случившееся за 12 лет среди популяции в ~100 тыс. квадриллионов звёзд, то пара сколлапсировавших в чёрные дыры звёзд-гигантов – это совершенно не чудо.


7. Механизм сближения чёрных дыр: «гравитационная праща».


После завершения коллапсов обеих звёзд-родителей получившаяся чета чёрных дыр, как правило... перестаёт проявлять релятивистские свойства. Это две массы, вращающиеся вокруг общего центра масс практически по старому доброму закону Ньютона. Вокруг них вращаются спутники, как вращались бы вокруг пары звёзд, а могут продолжать вращаться и более мелкие звёзды, если исходная система звёзд была не двойной, а тройной, четверной и т. д. (подобные конгломераты тоже не редкость, гравитация явно любит семейственность, и диффузное вещество группируется ею не в одну точку, а в систему точек, которые затем становятся звёздами, планетами, кометами, астероидами и метеорными телами).

Небольшие потери энергии при вращении двух чёрных дыр имеют место, но в основном не из-за гравитационных волн (они мизерны по мощности), а из-за встреч с другими звёздами. Тут происходит примерно то же, что в полётах наших межпланетных спутников: вы, наверное, встречали термин «гравитационный манёвр» – это когда спутник ускоряется, проходя мимо планеты. В звёздной динамике часто употребим термин «гравитационная рогатка» или «гравитационная праща», ещё более образный и наглядный.


7½. Кто придумал «пращу».


(Дополнение 10-11.02.2021.)

Illustrated Colour Card

7½. Who invented
the "sling".


(Update 02/10-11/2021.)

Фрагмент цветной открытки (Fragment of Illustrated Colour Card) "Propelled Weapons. Prehistoric man with sling" [https://www.ebay.co.uk/itm/Prehistoric-Hunting-Sling-Cave-Man-Illustrated-Colour-Card-VGC-/383671491028].


Авторство идеи гравитационной пращи обычно возводят к статье одного из отцов американской водородной бомбы, поляка Станислава Улама, напечатанной в 1958 году в серии отчётов Лос-Аламосской Научной Лаборатории (LASL)*. В 1990 году эта статья, или, как справедливо именует её Улам, заметка «О возможности извлечения энергии из гравитационных систем космическими судами», была переиздана в сборнике его трудов, став более доступной широкому кругу читателей, тем более, что в Гугл-букс её страницы удачно попали в доступную для чтения порцию книги**.

The authorship of the idea of the gravitational sling is usually traced to an article by one of the fathers of the American hydrogen bomb, Pole Stanisław Ulam, published in 1958 in the Los Alamos Scientific Laboratory (LASL) Report Series*. In 1990, this article, or, as Ulam rightly calls it, the little note "On the Possibility of Extracting Energy from Gravitational Systems by Navigating Space Vehicles", was republished in the collection of his works, becoming more accessible to a wide range of readers, especially since in Google Books its pages successfully fit into the readable portion of the book**.

_______

* S. Ulam. On the Possibility of Extracting Energy from Gravitational Systems by Navigating Space Vehicles. [Report written: April 1, 1958; distributed: June 19, 1958] // LAMS-2219, 7 pp. [https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc502357/m2/1/high_res_d/metadc502357.pdf].

** Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S. M. Ulam and his Los Alamos Collaborators. Berkeley, Los Angeles, Oxford, 1990, pp. 185–188 [https://books.google.ru/books?id=kaJ4NVn1pm8C&pg=PA185].


Но вот чем оканчивает заметку Улам: «Эта заметка служит лишь введением к аналитическому исследованию и расчётам, выполненным с Кеннетом У. Фордом и К. Дж. Эвереттом из LASL». Это исследование с расчётами, судя по всему, так и остаётся неопубликованным, хотя книжное переиздание заметки Улам предваряет замечанием, что полученные результаты не раз были востребованы в американских космических миссиях.

But this is how Ulam ends the note: "This little note is meant merely as an introduction to exploratory analyses and calculations undertaken with Kenneth W. Ford and C. J. Everett of LASL." This analyses with calculations, apparently, remains unpublished, although Ulam introduces the book edition of the note with a remark that the results of the work have been used repeatedly in U. S. planetary missions.


Станислав Улам (Stanisław Marcin Ulam, 3 April 1909 – 13 May 1984) и Корнелиус Эверетт (Cornelius Joseph Everett, 19.9.1914 – 15.5.1988) (справа) в 1942 году       Кеннет Форд (Kenneth William Ford, born May 1, 1926) в 1952 году


Слева направо: Станислав Улам (3.4.1909 – 13.5.1984) и Корнелиус Эверетт (19.9.1914 – 15.5.1988) в 1942 г.*;
Кеннет Форд (р. 1 мая 1926 г.) в 1952 г.**

From left to right: Stanisław Marcin Ulam (3.4.1909 – 13.5.1984) and Cornelius Joseph Everett (19.9.1914 – 15.5.1988) in 1942*;
Kenneth William Ford (born May 1, 1926) in 1952.**

_______

* Los Alamos Science, Special Issue, 1987, p. 16 [https://permalink.lanl.gov/object/tr?what=info:lanl-repo/lareport/LA-UR-87-3600-02].

** New Memoir by Participant in U.S. H-Bomb Program Sheds Light on the Making of the First Test Device [https://nsarchive2.gwu.edu/nukevault/ebb507/].


А теперь о том, как тесен мир: не кто иной как Кеннет У. Форд стал в 2001 году моим соавтором при написании биографии Эверетта (нет, не того, который считал гравитационные манёвры*, а его однофамильца, Хью Эверетта III, введшего в квантовую механику концепцию множественности миров).

_______

And now about how small the world is: none other than Kenneth W. Ford became my co-author in 2001 in writing a biography of Everett (no, not the one who calculated gravitational maneuvers*, but his namesake, Hugh Everett III, who introduced the concept of many worlds into quantum mechanics).

_______

* Если об Уламе и Форде можно прочесть даже в Википедии, не говоря о многих других сетевых источниках, то о Корнелиусе Эверетте я нашёл неизмеримо меньше сведений, чем в своё время о Хью Эверетте. Даже даты его жизни сообщают разные**. Единственное фото и почти вся информация нашлись в мемуарной книге Улама (включая предисловие редакторов). Пишут, что «Си-Джей» был совершенно необщительным человеком большого ума, эксцентричным и стеснительным затворником***.

** В предисловии к книге мемуаров Улама его кончину относят к 1987 году, а на сайте некрополей указывают даты: 9.9.1914 – 18.5.1988 [https://www.findagrave.com/memorial/133487223/cornelius-joseph-everett]. Я выше указал даты, взятые из официальных документов: [https://sortedbyname.com/letter_e/e135669.html] и [https://www.fold3.com/record/80649285/cornelius-j-everett-social-security-death-index].

While you can read about Ulam and Ford even on Wikipedia, not to mention many other online sources, I found immeasurably less information about Cornelius Everett than about Hugh Everett in my time. Even the reported dates of his life are different **. The only photo and almost all the information was found in Ulam's memoir book (including the editors' foreword). They write that "C. J." was a completely non-social person of great witness, an eccentric and shy recluse ***.

** In the foreword to the book of Ulam's memoirs, his death is attributed to 1987, and on the website of the necropolises the dates are indicated: 9.9.1914 - 18.5.1988 [https://www.findagrave.com/memorial/133487223/cornelius-joseph-everett]. I have given the dates above, taken from the official docs: [https://sortedbyname.com/letter_e/e135669.html] and [https://www.fold3.com/record/80649285/cornelius-j-everett-social-security-death-index].

*** «C. J. Everett, who died in 1987, was a mathematician with whom Ulam worked on a conceptual as well as technical level in Wisconsin and at Los Alamos, where he became a member of Ulam's group. An eccentric, shy, and witty man, he was quite probably the only person who ever opted for bus transportation to come to Los Alamos for a hiring interview, and he was known for having turned in a monthly progress report-in which staff members were supposed to describe their research-which said tersely "progress was made on last month's progress report."» (A. R. Bednarek, Francoise Ulam. Foreword // S. M. Ulam. Adventures of a Mathematician. University of California Press, 1991, p. XI [https://publishing.cdlib.org/ucpressebooks/view?docId=ft9g50091s]);

«It turned out that C. J. Everett was a recluse at the Lab [LASL. – E. Sh.], and he avoided most human contacts» (Michael Waterman. Skiing the Sun. New Mexico Essays, p. 17 [https://cseweb.ucsd.edu/classes/sp16/cse182-a/notes/newmex.pdf]).


Сделав вчера эту вставку (чуть более сжатую), я осмелился после многолетнего перерыва написать Кеннету Форду об этом скромном деянии. Какова же была моя радость, когда этот великий человек тотчас откликнулся! А он действительно велик и не думает поддаваться годам: лет пять-шесть назад, в канун своего 90-летия, Кеннет героически выдержал и выиграл битву с нелепыми бюрократами своей страны (да, это племя процветает не только в России!), которые настаивали на удалении многих десятков якобы секретных страниц из его мемуаров о создании водородной бомбы; я уж не говорю о том, что он полвека летал на лёгких самолётах (и об этом тоже написал книгу), и т. п.

И Кеннет не только прислал тёплый привет, но и сообщил очень ценные подробности об их совместной работе:

«Я вспоминаю Стэна Улама с большой теплотой. Он действительно был замечательным человеком. Насколько я помню, как-то он вошел в мой офис в Лос-Аламосе и сказал: "Я сейчас думал о том, как ускорить космические корабли с помощью своего рода эффекта бумеранга". [или, может быть, он сказал "эффекта пращи"; я сейчас не могу припомнить.] "Поскольку вы физик, вы можете помочь мне проработать эту идею". Так что мы весело провели время, рассматривая проблему, и особенно то, как конечный размер ускоряющегося тела будет ограничивать возможный "прирост" скорости.

Я также хорошо помню Корнелиуса Эверетта – очень застенчивого, замкнутого, но и очень приятного человека. Он и Стэн Улам составили отличную пару и работали со взаимным уважением, хотя вряд ли можно было найти две более разные личности. Когда Эверетт шел по коридору, он часто подходил близко к одной стене, постукивая по ней тыльной стороной ладони. Он объяснил, что так ему не нужно было думать о ходьбе, а вместо этого он мог думать о той проблеме, которая была у него на уме в данный момент».

Теперь ты, читатель, знаешь из первых рук историю разработки приёма, позволившего человечеству отправлять миссии и в дальний космос, и к окрестностям нашего светила. И давай вернёмся к физике того, как этот приём реализует сама природа.

Having made this insert yesterday (a little more short), I dared, after a long break, to write to Kenneth Ford about this modest act. What was my joy when this great man immediately responded! And he is really great and does not think to succumb to years: five or six years ago, on the eve of his 90th birthday, Kenneth heroically withstood and won the battle with the ridiculous bureaucrats of his country (yes, this tribe flourishes not only in Russia!) who insisted on removing dozens of supposedly secret pages from his memoirs on the creation of a hydrogen bomb; I'm not even talking about the fact that he flew light airplanes for half a century (and wrote another book about this), etc.

And Kenneth not only sent warm greetings, but also provided very valuable details about their collaboration:

"I remember Stan Ulam with great fondness. He was indeed a wonderful person. As I recall, he walked into my Los Alamos office one day and said, "I've just been thinking about how to accelerate spaceships by a kind of boomerang effect." [or maybe he said slingshot effect; I can't remember now.] "Since you are a physicist, you can help me work through this idea." So we had fun considering the problem, and especially how the finite size of the accelerating body would put a limit on how much of a speed "boost" could be achieved.

I also well remember Cornelius Everett—a very shy, reclusive person, and also a very pleasant person. He and Stan Ulam made a great pair, and worked with mutual respect, although their personalities could hardly have been more different. When Everett walked along a corridor, he often walked close to one wall, tapping it with the back of his hand as he went along. He explained that he then didn't have to think about walking, but could instead think about whatever problem was on his mind at the moment."

Now you, the reader, know the first-hand history of the development of a technique that allowed humanity to send missions both into deep space and to the vicinity of our star. And let's get back to the physics of how nature itself implements this technique.


Проблема в том, что для перераспределения энергии при гравитационном взаимодействии необходимо участие не двух, а трёх и более тел. Теоретически-то это есть всегда, но нас интересуют практически ощутимые величины эффектов, а такое происходит далеко не всегда. Для этого, если пренебречь нюансами, нужно подойти к паре чёрных дыр достаточно близко (издали они просто будут притягивать звезду как одна большая масса, а вблизи начнёт ощущаться, что каждая тянет в свою сторону). Ну и, конечно, быть звездой, потому что чем больше масса пролетающего мимо тела, тем больше кинетической энергии оно может «отщипнуть» от системы чёрных дыр. Если мимо пролетит одинокая планета или комета, то «отщип» будет так мал, что сближение двух дыр будет мизерным.


Уравнениями это выразили Докучаев и Озерной в 1981 году*:

_______

* В. И. Докучаев, Л. М. Озерной. Письма в Астрономический журнал, 1981, № 7, с. 95. Цит. по статье: С. И. Блинников, И. Д. Новиков, Т. В. Переводчикова и А. Г. Полнарев. О возможности взрыва нейтронной звезды в тесной двойной системе [http://hea.iki.rssi.ru/pazh/ru/scans/11.pdf].


a) При рождении двойной дыры её компоненты должны быть друг от друга не далее расстояния Ro:

Ro = 15×R×[(M1 + M2)/M]×(105/vd)2,

где M1 и M2 – массы чёрных дыр, R и M – радиус и масса Солнца (они здесь появляются без всякой связи с нашим светилом, просто как удобные масштабные единицы), vd – среднее значение (на астрономическом языке, дисперсия) хаотических («броуновских») скоростей звёзд в окрестностях пары чёрных дыр (105 м/сек, или 100 км/сек. – это типичное значение таких скоростей, стоящее в формуле как ещё одна удобная масштабная единица).

б) при соблюдении условия (а) случайные проходы близких звёзд мимо пары чёрных дыр будут, в среднем, больше отнимать, чем прибавлять энергии к их системе; каждый отъём энергии будет сближать две чёрных дыры, и время их сближения от расстояния Ro до какого-то произвольного R равно:

t = (300 млн. лет)×(R/R)×(vd/105)3×[M/(M1 + M2)]2×(107 шт/пс3/С).

В последней части формулы появляется С – объёмная концентрация звёзд в окрестностях пары чёрных дыр, также сопровождающаяся типичной масштабной единицей – 10 млн. шт. в 1 кубическом парсеке, или, что то же, в 35 куб. св. годах.

в) по прошествии времени tс

tс = (10 млрд. лет)×(vd/105)0,8×[M/(M1 + M2)]1,4×(107 шт/пс3/С)0,8

пара дыр сближается на расстояние Rw

Rw = R×(vd/105)0,2×[(M1 + M2)/M]0,4×(107 шт/пс3/С)0,2,

и с этого времени, условно говоря, дальнейшее сближение идёт уже не под влиянием проходящих рядом звёзд, а благодаря собственному гравитационному излучению пары дыр. С гравитационными волнами уносится энергия, за счёт чего дыры и сближаются быстрее и быстрее. Весь «волновой» этап после tс занимает некоторое время tw << tc, поэтому в целом от рождения пары чёрных дыр до их слияния проходит время, практически равное tc.


Давайте рассмотрим подробно ключевую стадию будущего слияния двух дыр: процессы их постепенного сближения под действием проходящих мимо звёзд.


7.1. Радиус нескомпенсированной гравитации.


Вообще на расстояниях много больше десятков млн. км, – а это ещё ничтожно мало по сравнению с типичными близкими межзвёздными расстояниями в триллионы км, – никакие релятивистские эффекты не ощутимы. Тяготение там чисто ньютоновское. А у ньютоновского тяготения есть очень полезный для нас тезис: если некое тело окружает однородная среда, то какова бы ни была её плотность и масса, она тело не притягивает. (Просто потому, что тянет одинаково во все стороны, и результирующая сила равна нулю.)

Двойную дыру, как и любое другое небесное тело, издали мощно притягивает центр её галактики, задавая ей орбитальное галактическое движение. Оно нас интересовать не будет, потому что это общий поток всего локального окружения звёзд, и в этих локальных координатах данное движение обнулится. Кроме того, дыру хаотически тянут гравитационные силы от ближайших окружающих звёзд. Вот на этом остановимся подробнее.

Для локальной концентрации звёзд всегда есть некий средний радиус R1, в котором находится одна звезда-соседка. Находится тоже в среднем: когда есть, когда нет, когда несколько ближе, когда несколько дальше. Если мы мысленно станем кратно расширять окружающую сферу (2×R1, 3×R1 и т. д.), то, по кубическому закону, среднее число звёзд там будет расти как 8, 27, 64 и т. д. И здесь вступит в дело закон больших чисел. Если единице легко стать и нулём и двойкой и даже тройкой, то 64 и даже 27 почти всегда останутся самими собою, да и 8 изменится вряд ли хотя бы вдвое, от силы на десятки процентов.

А это, если мы вооружимся ньютоновским тезисом об однородности среды, сразу приведёт нас к заключению, что все события за пределами примерно 2×R1 на двойную дыру (и на любое другое небесное тело) гравитационно практически не влияют. А по-настоящему сильно влияют лишь визиты звёзд внутрь сферы радиусом R1. Запомним это.


7.2. «Гравитационная праща» при экстремально тесном сближении.


Модельный расчёт «гравитационной рогатки»:

Рассмотрим сначала самый простой (и статистически совершенно невероятный) случай, когда звезда подойдёт к двойной дыре очень близко – на расстояние, сравнимое с масштабами самой двойной дыры.

Пусть дыра массой М1 вращается вокруг дыры массой М2 по круговой орбите на расстоянии R (то есть мы точку отсчёта помещаем на вторую дыру). При этом потенциальная (гравитационная) энергия системы равна (здесь и далее – по модулю, чтобы не обращать внимание на знаки):

U = γ×M1×M2/R,

где γ – гравитационная постоянная.

Путём дифференцирования и небольших алгебраических преобразований отсюда получается, что

dU/U = dR/R,

то есть относительное сокращение размера системы двух чёрных дыр равно относительному уносу потенциальной энергии с прошедшей мимо звездой.

По смыслу гравитационного манёвра, добавка к скорости звезды не может превышать (в нашей системе отсчёта) скорость движения первой дыры по орбите вокруг второй дыры, т. е. первую космическую скорость vс. ΔU в системе чёрных дыр возникает из-за того, что звезда уносит кинетическую энергию ΔK:

ΔK = M3×(v22 – v12)/2

Поскольку на v2 есть ограничение:

v2 < v1 + vc,

ΔK может расти лишь за счёт M3.

Максимальное ΔK достигнется в идеальном случае при

v2 = v1 + vc

и составит, если мы проделаем алгебраические подстановки и преобразования:

ΔKmax = M3×(v1×vc + v12/2).

Приравняв ΔKmax к ΔU, мы через выражение

ΔU/U ≈ ΔR/R

найдём, что

ΔRmax/R ≈ (M3/M1)×(v1/vc + 0,5).

То есть чем больше масса и входная скорость проходящей звезды, тем (в среднем) больше она может сблизить чёрные дыры.


7.3. То же при сближении на бóльшей дистанции.


Если мы попробуем сделать модель чуть более реалистичной, – для случая, когда звезда пролетает не слишком близко от системы двух дыр, – математика сразу усложняется. Но на качественном уровне с помощью следующей картинки:

гравитационная праща

мы, наверное, сможем разобраться, как работает «гравитационная праща» в этом случае.

Внизу чёрным цветом изображена система чёрных дыр (точкой отсчёта вновь выбрана одна из них, а вторая вращается вокруг неё, направление вращения указывает стрелка на орбите). Вверху слева направо пролетает по красной траектории звезда. Точками на красной траектории и на чёрной орбите изображены пять последовательных моментов времени. Синие силовые линии показывают притяжение звезды к центральной дыре, которая у нас служит точкой отсчёта, а зелёными – ко второй (орбитальной) дыре. В левой части рисунка звезда ускоряется за счёт притяжения к дырам (дыры тянут её вперёд, т. е. вправо на нашем рисунке), а в правой части – тормозится (дыры тянут её назад, т. е. влево). Конечно, ускорение началось где-то далеко за левой стороной рисунка, а торможение закончится где-то далеко за правой стороной. Но мы видим момент наибольшего сближения, когда гравитационные эффекты максимальны.

И не просто максимальны. Я срежиссировал всё особенным образом. Фаза вращения дыры и относительные скорости вращения дыры по орбите и полёта звезды, если вы присмотритесь, подогнаны так, что в зоне ускорения зелёная линия всегда короче синей, а в зоне торможения – длиннее. И по ньютоновскому закону обратных квадратов, звезда ускорится сильнее, чем замедлится, то есть на уходе приобретёт дополнительную скорость, а это значит – унесёт из системы кинетическую энергию и тем самым сблизит дыры.

Орбита звезды будет близка к гиперболе, т. е. похожа на два прямых луча, сопряжённых слегка криволинейным участком в окрестностях точки наибольшего сближения с дырами. Можно условно считать, что этот участок и представлен на нашем рисунке, а слева и справа орбита звезды прямолинейна. Если мы вместо пяти точек изобразим их (мысленно) бесконечно много, то построим всю динамику процесса. Это большое множество точек будет геометрически почти симметрично относительно синих линий, т. е. для каждой из синих линий в жёлтой зоне рисунка найдётся почти такая же по длине и углу наклона синяя линия в сиреневой зоне. А если мы (мысленно) выгнем красную траекторию в прямую линию (это громоздко, но можно сделать подходящей заменой координат), то синие линии в зонах ускорения и торможения приобретут полную симметрию. Это значит, что их можно вовсе не учитывать: насколько в любой синей линии звезда ускорится в жёлтой зоне, настолько же она замедлится в симметричной синей линии в сиреневой зоне.

А вот с зелёными линиями будет не так. Возьмём (мысленно) в жёлтой зоне некую зелёную линию, распишем параллелограмм сил, выделим через синус нужного угла αi интересующее нас ускорение вдоль красной траектории – и легко найдём, что это ускорение будет пропорционально массе дыры, вращающейся по орбите, и обратно пропорционально квадрату расстояния ri, а расстояние (длину зелёной линии) можно выразить через длину синей линии Li за вычетом некоторой поправки ai:

(dv/dt)i = γ×M1×sin(αi)/(Li – ai)2

Теперь всё повторим для вроде бы симметричной зелёной линии из сиреневой зоны. Но там-то, как мы видели на примере наших пяти точек, надо не вычитать из Li какую-то поправку ai, а, наоборот, прибавлять к Li какую-то поправку bi:

(dv/dt)i = – γ×M1×sin(αi)/(Li + bi)2

Сложив два последних уравнения, мы в результате получим не ноль, а некую остаточную величину:

(dv/dt)i = γ×M1×sin(αi)×[1/(Li – ai)2 – 1/(Li + bi)2] =

= γ×M1×sin(αi)×[2×Li ×(ai + bi) + bi2 – ai2]/[(Li – ai)2×(Li + bi)2]

Выражение довольно громоздкое, но, если должным образом над ним поработать, можно прийти к довольно простой оценке: максимально возможный прирост скорости звезды на выходе из зоны окрестностей двойной чёрной дыры не должен превышать такую величину:

(Δvd)max ≤ ε×4×γ×M1×R/[vd×L2],

где ε – некоторая константа порядка единицы или менее (насколько менее – зависит от того, удачно или неудачно совпадут фаза и орбитальная скорость дыры со скоростью звезды), а L – расстояние наибольшего сближения звезды с системой чёрных дыр (примерно средняя синяя линия на нашем рисунке). Баллистик назвал бы L прицельным параметром.

Получив оценку для (Δvd)max, можно так же, как мы выше делали в модельном расчёте, прийти к оценке для максимального относительного сближения дыр, которое оставляет после себя прошедшая мимо звезда:

(ΔR/R)max ≤ 4×ε×(M3/M2)×(R/L)2×[1 + ε×(R/L)×(U3/K3)],

где

U3 = γ×M1×M3/L

– потенциальная энергия системы «звезда – вращающаяся по орбите дыра»;

K3 = M3×vd2/2

– «входная» кинетическая энергия звезды в нашей системе отсчёта.

При этом для всех статистически разумных случаев второе слагаемое в квадратных скобках последнего выражения меньше, и, чаще всего, намного меньше единицы: и R < L, и U3 < K3 (иначе бы звезда так легко мимо не пролетела), и ε < 1. Поэтому вторым слагаемым мы без большой ошибки пренебрежём, и выражение наше станет ещё проще:

(ΔR/R)max ≤ 4×ε×(M3/M2)×(R/L)2.

Как видим, на величину относительного сближения дыр масса звезды влияет линейно, а прицельный параметр её пролёта и того сильнее – квадратично.


7.4. Фактор казино.


Вдумчивый читатель должен сразу схватить меня за руку: да, на рисунке я подогнал фазу и скорость вращения дыры так, чтобы торможение преобладало; но что мешает одной из следующих звёзд подойти к двойной дыре, так сказать, в противофазе? Так, что, наоборот, ускорение будет меньше торможения, а в итоге звезда на выходе замедлится и отдаст кинетическую энергию в систему чёрных дыр, – то есть раздвинет их. Отвечаю: ничто не мешает! И так оно и будет происходить: то туда, то сюда. Но учтём, что число эффективных сближений звёзд с любой парой чёрных дыр за всё время жизни Вселенной весьма невелико, порядка 10. Значит, по теории вероятностей, примерно у 0,1% двойных чёрных дыр все столкновения сработают на сближение (это эквивалентно тому, что на рулетке десять раз подряд выпадет красное: вариант редкий, но не фантастически редкий). Вот эти ~0,1% пар и смогут слиться.


7.5. Фактор размерной асимметрии.


Есть ещё один фактор, так сказать, второго порядка малости, который тоже систематически подыгрывает сближению, а не расширению дыр. Это фактор линейного размера системы. В уменьшившуюся в размерах систему дыр «труднее попасть», чем в расширившуюся.

В наших модельных (т. е. сильно упрощённых) рассуждениях оба указанных фактора представляет множитель ε.


8. Звёзды как полухаотический газ.


При взгляде на небо звёзды кажутся стабильными. На самом деле они движутся: во-первых, упорядоченно, вокруг центров своих галактик, и во-вторых, хаотически, похоже на броуновские частицы*, под влиянием прежде всего импульса, с которым они родились, и в некоторой степени накопившейся истории гравитационных влияний соседей. Типичный порядок скорости хаотического движения звёзд – 100 км/сек с разбросом примерно на порядок между центром и периферией галактики (в астрономии, правда, не принято говорить «броуновское движение», хаотическую скорость там называют дисперсией). А типичное расстояние между соседними звёздами – несколько световых лет; правда, разброс между центром и периферией у этого параметра гораздо выше – примерно 3 порядка. Поделите одно на другое, и у вас выйдет, что в наших краях звезда от встречи до встречи ползёт этак в среднем с десяток тысяч лет, в центре типичной галактики – лет десять, а на периферии – сотни тысяч лет. Глазом не заметишь. Но в масштабах времени Вселенной – жуткое мельтешение!

_______

* Есть одно важное различие. Броуновские частицы чудовищно часто сталкиваются друг с другом, и поэтому находятся в тепловом равновесии, то есть их хаотические скорости распределены по максвелловскому закону. В случае же звёзд лишь в ядрах галактик и, может быть, шаровых скоплений звезда за время жизни успевает совершить с десяток – не столкновений, конечно, но эффективных сближений с другой звездой, при которых возможен обмен импульсами. Поэтому лишь в ядрах можно ожидать близкого к максвелловскому распределения хаотических скоростей звёзд. А в остальной части галактик звёзды сохраняют в течение всей жизни практически то значение хаотической скорости, с которым они родились.


8.1. Длины и длительности свободного полёта звёзд.


В звёздной динамике (как и в молекулярной) есть такое полезное понятие – длина свободного пробега. Это среднее расстояние, которое звезда пролетает без заметных взаимодействий (искривлений траектории, изменения скорости). Его вычисляют по формуле:

Rf = 0,7/(S×C),

где S – для молекул эффективное сечение, а для звёзд – какая-то эквивалентная величина (о ней мы порассуждаем чуть ниже), и C – для тех и других объёмная концентрация; для звёзд она имеет порядок 0,01 шт/куб. св. год, если брать «очень» в среднем, а если углубляться в детали, то С сильно (с разбросом на 9–10 порядков!) зависит от галактического района, где звезда находится. Причём в разных типах галактик звисит по-разному, и как именно, пока достоверно неизвестно даже для Млечного Пути. На нашем сайте* приводился степенной закон убывания объёмной плотности звёзд с расстоянием от центра в Млечном Пути; в единицах СИ это:

Cs ≈ 1,4×10–14/R1,8 шт/м3.

_______

* См. http://mir.k156.ru/astrasti/astrasti2.html.


В недавней обстоятельной работе большой группы астрономов приведены иные по виду формулы для численной плотности звёзд ρ (шт/пк3), учитывающие и радиальную (R) и высотную (Z) галактические координаты*:

ρs(d)(R, Z) ≈ 3×exp[–(R/2600)–(Z/300)] + 0,16×exp[–(R/3600)–(Z/900)];

ρs(h)(R, Z) ≈ 5×107×(R2 + 2,44×Z2)–1,39,

где при плотности индексы d и h относятся, соответственно, к звёздам в тонком и толстом дисках и в гало, а координаты R и Z выражены в парсеках.

_______

* Mario Jurić et al. The Milky Way Tomography with SDSS. I. Stellar Number Density Distribution. The Astrophysical Journal, vol. 673, pp. 864–914, 2008 February 1 [http://www.astro.washington.edu/users/ivezic/Publications/tomographyI.pdf]. В формулах, приведённых здесь в несколько модифицированном виде, использовано значение звёздной плотности в окрестностях Солнца из Википедии: 0,14 пк–3, подтверждающееся и другими источниками.



8.2. Сечение «столкновения» звёзд: определение через кинетическую энергию.


Что может быть величиной S для звёзд? В Википедии, например, со ссылкой на работу Засова и Постнова 2006 г.*, предлагается вариант: площадь окружности, диаметр которой равен расстоянию, на котором кинетическая энергия проходящей звезды удваивается по сравнению с энергией «на бесконечности». При таком определении

S = π×γ2×M32/(4×vd4),

что в окрестностях Солнца, где vd имеет порядок 20 км/сек., а средние звёздные массы – порядок 0,3×M (или ~6×1029 кг), соответствует величине сближения звёзд на расстояние ок. 100 млн. км – это порядок первых планетных орбит в Солнечной системе. Вероятность столь тесного сближения звёзд в данных окрестностях оказывается настолько мизерной, что любой произвольно взятой звезде ждать этого пришлось бы, по расчёту Засова и Постнова, в тысячу раз дольше, чем пока прожила Вселенная, а это значит – никогда не дождаться, потому что Вселенная, став старше, чем сегодня, не в тысячу, а «всего» в несколько раз, начнёт расширяться так быстро, что темп «растаскивания» звёзд даже теоретически похоронит возможность их сближения.

_______

* А. В. Засов, К. А. Постнов. Галактики и скопления галактик. В сб.: Общая астрофизика. Фрязино, 2006, с. 305—307.


В центре нашей Галактики хаотические скорости звёзд на порядок больше, что сокращает величину «столкновительного» сближения звёзд до расстояний порядка 1 млн. км. Это должно было бы удлинить время ожидания таких сближений примерно ещё в 10 тыс. раз, но в центрах галактик и концентрация звёзд в десятки и сотни миллионов раз выше, чем на периферии, и в итоге перемножения этих факторов время ожидания, наоборот, сокращается в те же ~10 тыс. раз, т. е. имеет порядок ок. 1 млрд. лет. Таким образом, центральные звёзды галактик реально за время своей жизни испытывают от нескольких до нескольких десятков «столкновительных» сближений. Всего в центре типичной галактики может находиться до десятков млн. звёзд.


8.3. ... Или через угловое отклонение траектории.


Можно задать S, например, как окружность такого радиуса Rh, на котором проходящие звёзды не искривляют свои траектории взаимной гравитацией более, чем на некий оговорённый угол, – допустим, более, чем на 0,01 радиана (это около 1,5° – довольно незначительное отклонение).

Угол гравитационного отклонения гиперболических траекторий рассчитывается по формуле:

Δ = π – 2×arctg(b/a),

где b – прицельный параметр (в нашем случае он и есть искомый Rh), а а – так наз. большая полуось гиперболы: для звезды массой М, движущейся со скоростью v,

a = γ×М/v2.

отсюда:

Rh = γ×М×tg(π/2 – Δ/2)/v2.

Беря типичные по порядку значения хаотических скоростей звёзд (~100 км/сек. с разбросом на порядок между центром и периферией галактики) и их масс (~0,3×M), можно оценить, что в этом варианте Rh имеет порядок дальних планетных орбит (сотни млн. км), а Rf – порядок миллиардов световых лет. Все рассуждения, касающиеся центральных звёзд галактик, здесь получаются теми же, что в предыдущем варианте задания S через кинетическую энергию.


8.4. Статистика «столкновений» звёзд.


В нашей задаче о тесных сближениях звёзд с двойной чёрной дырой организованное движение звёзд в поле тяготения всей галактики можно не учитывать: наша точка отсчёта помещена в одну из чёрных дыр, а их союз, будучи порождён некой родительской звёздной парой, в организованном движении по своей галактике как участвовал, так и участвует. Поэтому мы без большой ошибки можем считать, что двойная дыра просто окружена хаотическим газом звёзд в пределах данной части своей галактики. И длина свободного пробега звёзд заведомо намного (на порядки!) больше размеров и этой части, и галактики, и всей видимой Вселенной.

Это очень удачные обстоятельства. Задача становится довольно прозрачной. Мы хотим проследить эволюцию двойной дыры за некое космологически ощутимое время Т (сотни миллионов или миллиарды лет). За это время газ звёзд может «законтачить» с дырами те звёзды, которые расположены от них в сфере радиуса

RT = T×v.

(Например, для Т = 10 млрд. лет и v = 100 км/сек. получим

RT = ~300 св. лет = ~100 парсек,

что вполне разумно и не выходит из пределов даже маленькой – т. е., как мы знаем, типичной галактики).

Возьмём внутри этой сферы произвольный элемент объёма dV, отстоящий от системы дыр на расстояние Rj. Вероятность того, что в нём найдётся звезда массой от M до М + dM, равна:

dP1 = dC(M)×dV.

Здесь dC(M) – это объёмная концентрация звёзд, лежащих в указанном интервале масс. Вид этой функции мы пока знаем лишь для ближайших к нам 35 св. лет, там она примерно такова:

3(М) ≈ dСсл×(M3)q.

(Показатель степени q в окрестностях Солнца, по последним данным научного проекта RECONS, равен примерно 1,2, но насколько он отличен в других частях Млечного Пути и каков в других галактиках – пока неизвестно.) Подобный степенной закон распределения был впервые предложен Солпитером для галактик (и носит его имя), и в астрономии его нередко предполагают универсальным (хотя и попытки его уточнений для тех или иных категорий небесных тел не прекращаются). Поэтому, с известной оговоркой, давайте и мы примем, что вероятностный закон распределения звёзд по массам везде имеет вид:

dС(М) = const×dM/Mq.


статистика сближений звезд


Вероятность того, что траектория полёта этой звезды (синяя линия) заставит звезду пройти от системы дыр на расстоянии от L до L + dL, равна из геометрических соображений (см. рис.) отношению площади зелёного кольца к площади всей сферы, которую можно описать вокруг объёма dV радиусом sj, начинающимся в объёме dV и заканчивающимся в точке К, где синяя траектория касается тонкой зелёной сферы радиуса L:

dP2 = (2×π×rj×dL)/(4×π×sj2) = 0,5×L×dL/[Rj×(Rj2 – L2)0,5].

Это же рассуждение и выражение будут справедливыми для всех остальных элементарных объёмов dV, лежащих во все стороны от системы чёрных дыр на том же расстоянии Rj, поэтому вероятности для этих объёмов можно сложить, а вместо точечного объёма dV взять объём шарового слоя, окружающего пару чёрных дыр на расстоянии Rj (часть этого слоя показана красным пунктиром). Иными словами:

dP1 = const×dM×dV/Mq = const×4×π×Rj2×dRj×dM/Mq.

Вероятность того, что в шаровом слое радиуса Rj не только найдётся звезда массой М, но и траектория её будет направлена так, что звезда пройдёт от дыр на расстоянии L, по правилам теории вероятностей, равна произведению вероятностей dP1 и dP2:

dP1+2 = dP1×dP2 = const×2×π×L×dL×(Rj×dRj/(Rj2 – L2)0,5]×(dM/Mq).

Проинтегрировав эту вероятность по Rj для всего объёма, лежащего внутри RT (с разумными упрощениями благодаря тому, что L << RT), получим вероятность того, что за время Т хотя бы одна звезда массой М пройдёт рядом с системой чёрных дыр на расстоянии L:

dPT = const×2×π×RT×L×dL×dM/Mq = const×2×π×T×v×L×dL×dM/Mq.


9. Статистический расчёт ньютоновского сближения чёрных дыр.


Как мы выше уже установили, зная массу звезды М3 и расстояние L, на котором она прошла от пары чёрных дыр, можно сделать какие-то оценки, насколько это событие сблизит чёрные дыры. А вероятность, которую мы сейчас вывели, даёт величине сближения как бы статистический множитель, указывая, насколько вероятно именно такое сочетание М3 и L. За долгое время Т мимо чёрных дыр могут проходить звёзды разных масс и на разных расстояниях. Чтобы вычислить накапливающийся от этого эффект, нужно проинтегрировать по всем возможным диапазонам масс М3 и расстояний L величину относительного сближения дыр с учётом статистического множителя, т. е.:

d(ΔR/R) = const×2×π×T×v×L×dL×dM/Mq×[4×ε×(M/M2)×(R/L)2] =

= const×8×π×ε×T×v×R2×(dL/L)×M1–q×dM/M2.

Интегралы тут элементарные, да и вопрос о пределах интегрирования не так уж тёмен. Расстояние пролёта L, очевидно, не должно быть меньше R, иначе звезда залетела бы внутрь орбиты чёрных дыр, а там были бы не те закономерности, из которых мы исходили при выводе наших формул. И оно не должно быть больше R1, – радиуса, внутри которого в среднем в данных окрестностях всегда имеется одна звезда, – потому что в более обширной сфере в среднем будет иметь место задача не трёх тел (которую мы упрощённо моделировали), а задача четырёх, пяти, шести и т. д. тел, а затем уже и вовсе не задача N тел, а задача гравитирующей среды (см. п. 7.1). R1 выражается через среднюю локальную концентрацию звёзд всех масс Сср:

R1 = (4×π×Сср/3)–1/3.

Масса наименьших звёзд, для которых закон типа Солпитеровского удовлетворительно соблюдается, примерно 0,05 M, а масса наибольших звёзд, известных астрономам, лежит в области ~300 M. Интегрирование по L и M в таких пределах даёт следующее выражение:

ΔR/R = const×8×π×ε×T×v×R2×ln(R1/R)×(Mmax2–q – Mmin2–q)/[(2–q)×M2].

На отрезках времени в сотни миллионов, а в нашу эпоху медленной эволюции Вселенной даже на отрезках в миллиарды лет многие параметры, входящие в эту модель (средняя хаотическая скорость звёзд, их максимальные и минимальные массы, закон распределения по массам и конкретные константы, входящие в него), меняются незначительно. Делая оценки с точностью до порядка величин, все эти полупостоянные параметры можно условно объединить в некую (квази)постоянную А, и тогда полученная формула примет вид:

ΔR/R ≈ А×Т×R2×ln(R1/R).


Конечно, все эти рассуждения и выводы были сделаны с большим числом упрощений, но качественную картину они дают. А задаваясь разными значениями исходных параметров задачи, можно (формально) строить зависимость R(T) и пытаться от качественной картины перейти хотя бы к полуколичественной.

Давайте примем в предпоследнем уравнении:

const = 2×10–37 кг0,23 (это в 100 млн. раз больше, чем в окрестностях Солнца, – предположительно, таково может быть значение в типичном галактическом ядре),

R1 = ~1014 м (= ~0,01 св. года, или ~0,003 парсека: тоже близко к типичным значениям для центров галактик)*

и q = 1,2 (это примерное значение в окрестностях Солнца),

ε = 0,0001 (просто произвольно),

v = 3×105 м/сек. (типичное значение для центров галактик),

Mmax = 6×1032 кг (300 M – рождение более массивных звёзд принято считать невозможным физически),

Mmin ≈ 0

и массу дыры M2 = 6×1031 кг (30 M, что близко к «младшей» дыре из пары, принесшей волну к детекторам LIGO). Тогда последняя формула станет такой:

ΔR/R ≈ 2×10–45×Т×R2×ln[1014/R].

_______

* Для этого значения я взял не число индивидуальных звёзд в единице объёма, а число тесных систем в единице объёма. В масштабах межзвёздных расстояний тесная система (двойная, тройная и т. д. звезда) практически неотличима от точки, а мы выше рассуждали в логике статистики точек. По той же причине среднюю массу я брал не для индивидуальных звёзд, а для «точек-систем» (она больше в ~1,5 раза), и на тот же поправочный коэффициент 1,5 делил константу в уравнении распределения звёзд по массам.


Исходное расстояние Rо между чёрными дырами нужно принимать в диапазоне от ~20 R (~1,4×1010 м или 14 млн. км) и ниже (это условие из УФН, с. 12). Если решить для этих условий последнее уравнение, то оказывается, что в центре типичной галактики за ~700 млн. лет пара таких чёрных дыр довольно монотонно (см. рис. ниже) сближается до расстояния ~10 млн. км, после чего, согласно формуле (в) Докучаева и Озерного, начинается быстрая релятивистская часть сценария слияния чёрных дыр.


динамика ньютоновского сближения черных дыр


Если рассчитывать время сближения по формуле (в) Докучаева и Озерного, выйдет для условий в центре типичной галактики ок. 0,5 млрд. лет. Эту очень близкую, но несколько более круглую оценку я и предпочту в дальнейшем*.

_______

* К примеру, который мы рассчитывали (две дыры массами порядка 30 M сближаются с расстояния 14 млн. км до 10 млн. км), можно ещё подойти с точки зрения его энергетики. Такое сближение требует, чтобы от двух дыр была отведена энергия, равная изменению их потенциальной (гравитационной) энергии:

ΔU = γxM1xM2x(R1 – R2)/(R1xR2) ≈ 7x1042 Дж.

Это очень немалая энергия! Даже если рассредоточить её на 70 эффективных сближений (а мы понимаем, что это Тришкин кафтан: увеличивать число эффективных сближений – это, фактически, понимать под ними всё более отдалённые, т. е. менее эффективные сближения; а во что превратится при этом наш фактор казино, – страшно даже думать, вспомните задачу про шахматную доску и зёрнышки!); но если всё-таки рассредоточить и полагать, что в каждом из них отдаётся в среднем ~1041 Дж, то и этой энергии хватило бы, чтобы швырнуть среднюю по массе звезду (~0,3 M) со скоростью ок. 600 км/сек. – вдвое больше типичных дисперсионных скоростей звёзд в ядрах галактик!



10. Выводы.


Теперь, запасшись всевозможными исходными данными, перейдём к выводам. Какова же статистика двойных чёрных дыр, способных к слиянию?


10.1. Шанс не быть (грузной) звездой-одиночкой.


Каждая примерно вторая звезда – двойная. Это значит, что вероятность для звезды родиться в паре равна примерно 2/3 (берём 1 одиночную и 1 двойную звезду: всего звёзд три, а в двойные входят две из трёх). Однако это данные для типичных звёзд, то есть маломассивных. А звёзды с массами существенно выше M рождаются двойными (и более кратными) практически в 100% случаев*.

_______

* Так пишет известный специалист в данном вопросе А. А. Токовинин [http://crydee.sai.msu.ru/Universe_and_us/2num/v2pap3.htm].


10.2. Шанс родиться достаточно упитанной звездой.


Порядка нескольких процентов звёзд (~8%, если q = 1,2; ~2%, если q = 1,5) рождаются с массами более 60 M*. Будем считать эту вероятность равной 0,05.

_______

* Если dN/dM = const×/Mq, и этот закон Солпитера применим в пределах от Мmin = 0,05×M до Мmax = 300×M, то доля звёзд с массой больше некоего Мx вычисляется интегрированием по N: в числителе интеграл берётся в пределах от Мx до Мmax, в знаменателе – от Мmin до Мmax; константа при делении сокращается и остаётся выражение:

α(M > Мx) = (Мx1–q – М max1–q)/(Мmin1–q – М max1–q).


10.3. Шанс иметь достаточно упитанного партнёра.


Считая, что массы членов пары случайны, можно, по правилам теории вероятностей, оценить долю звёзд, у которых оба члена пары имеют массу более 60 M, произведением отдельных вероятностей:

0,05×0,05 = ~0,003.

Возможно, предположение о случайности соотношения масс неверно. По данным, которые сейчас будут подробно анализироваться в п. 10.4, похоже, что пар, у которых массы отличаются более чем в 100 раз, практически нет; между тем, сами массы звёзд отличаются в десятки тысяч раз. Возможно, отсутствие пар с сильно различными по массе компонентами – просто несовершенство наших телескопов. Но может быть и так, что сами законы звёздообразования, не до конца пока нами понятые, содержат тенденцию к сближению масс двойных звёзд.

Я склоняюсь ко второму варианту, и вот почему. Считая, что равновероятны любые пары звёзд, мы должны были бы заведомо переклассифицировать очень много звёзд из одинарных в двойные (одинарными они кажутся лишь потому, что мы ещё не различаем слабо светящихся малых компонентов). Если и сейчас 2/3 звёзд – в составе двойных, то после такой переклассификации доля двойных должна была бы увеличиться заметно. В пределе оказалось бы, что почти все звёзды – двойные (а не только звёзды-тяжеловесы).

Но ведь есть небольшая (радиусом около 20–30 св. лет), зато очень хорошо изученная область вокруг Солнца. В ней мало лишь звёзд-гигантов, а остальные типы звёзд представлены адекватно. И мы видим, что доля двойных там – те же 2/3, как и везде. И не видим никаких причин, почему бы этой локальной области радикально отличаться от остальной Галактики.

К сожалению, статистики масс двойных звёзд пока настолько мало, что я даже в порядке умозрительной гипотезы не решаюсь искать её математическое выражение, а лишь интуитивно приму, что доля двояко-массивных двойных звёзд должна быть увеличена примерно на порядок. То есть буду считать, что таких звёзд ~3%.


10.4. Шанс иметь достаточно тесный союз.


Связи между массой двойной системы и размерами орбиты отчётливо не наблюдается. Этот вывод иллюстрирует типичное «звёздное небо» на рисунке в координатах «суммарная масса – большая полуось»:


массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2

1 астрономическая единица (а. е.) = 150 млн. км (примерно радиус орбиты Земли).

(Построено по данным таблиц 2–6 из работы: Henry A. Kobulnicky, Daniel C. Kiminki, Michael J. Lundquist, Jamison Burke, James Chapman, Erica Keller, Kathryn Lester, Emily K. Rolen, Eric Topel, Anirban Bhattacharjee, Rachel A. Smullen, Carlos A. Vargas Alvarez, Jessie C. Runnoe, Daniel A. Dale, Michael M. Brotherton. Toward Complete Statistics of Massive Binary Stars: Penultimate Results From the Cygnus OB2 Radial Velocity Survey (25 June 2014) [http://arxiv.org/pdf/1406.6655v1.pdf]. Значения масс более лёгкого компонента М2, оценённые авторами с очень высокой неопределённостью – до двух порядков – усреднялись по границам указанных в таблицах интервалов.)


10.4.1. Теснота уз и массы связаны?


Однако, если, воспользовавшись прекрасным онлайн-сервисом [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-mnk-i-regressionniy-analiz], поискать потенциальную закономерность в этом «звёздном небе» точек, она с трудом, но, возможно, находится.

У серьёзных людей принято считать, что закономерность наблюдается, если коэффициент корреляции больше 0,5. В данном случае это имеет место, если «подправить» одну (самую «нетипичную») точку. На последнем графике эта манипуляция показана цветом: красная линия построена так, как сказано выше (и для неё коэффициент корреляции r = 0,47). У точки, сдвиг которой влево обозначен стрелкой, переходящей из красного в зелёный цвет, оценка М2 в таблице 5 работы Кобульницкого и др. дана такая: 31÷2,0 M (и почти для всех пар М2 дана там с подобной же большой неопределённостью, так что стрелка показывает масштаб возможных смещений влево-вправо почти для всех точек по оси абсцисс). Красная линия показывает результат линейной аппроксимации, если, по общей методике, считать

М2 = (31 + 2)/2 = 16,5 M.

А зелёная – если в данной точке принять

М2 = 2,0 M

(по нижней границе интервала). Эта манипуляция повышает коэффициент корреляции до 0,53.

В сущности, разница между зелёной и красной линией не так уж велика, да и статистическая база тоже вовсе не велика (24 точки, все относящиеся к одному и тому же звёздному агрегату в созвездии Лебедя примерно в 4,7 тыс. св. лет от нас), хотя принятый в приличном обществе критерий надёжности (отношение числа точек к числу подбираемых коэффициентов больше 10) она обеспечивает.

Если уж и поверить в то, что масса двойной системы и расстояние между компонентами как-то связаны, то для грубой оценки с точностью до одного-двух порядков можно, наверное, применять выражение:

а [а. е.] ≈ 0,001×(МΣ/M)2, или:

(а/R) ≈ 0,2×(МΣ/M)2.

Близость степени при массе к двойке наводит на мысль, что, возможно, в истинной зависимости фигурирует произведение масс членов пары (жаль, что по причине крайне малой точности оценки масс более лёгких компонентов в работе Кобульницкого и др. бессмысленно искать по их данным такого рода закономерность). А сочетание М1×М2 – это нечто весьма похожее на гравитационную энергию двойной звезды (все орбиты в работе Кобульницкого и др. незначительно отличаются от круговых, лишь у двух пар из 24 отношение осей эллипсов выходит за пределы 0,8÷1). В такой гипотетической интерпретации уловленная регрессионными формулами закономерность означала бы, что эта энергия тяготеет к постоянному значению. Что явно лишено интуитивной поддержки: отчего бы энергии вести себя так?


10.4.2. Теснота уз и массы связаны по Гауссу??


Интуиция указывает на больший смысл другого подхода. Давайте условно примем, что найденная зависимость задаёт наиболее вероятное значение большой полуоси, а вокруг этой линии на графике (проведём её через точку среднегеометрических значений координат) расположено некое облако убывающей вероятности. Охватим зону представленных данных плавной линией (я построил овал с центром в той же точке среднегеометрических и ориентацией оси по линии наибольшей вероятности), разлинуем внутренность овала линиями, параллельными линии максимальной вероятности (физический смысл каждой такой линии – большая полуось, отличающаяся в Х раз от наиболее вероятного значения, а Х зависит от частоты линовки овала) и посчитаем число точек, оказавшихся внутри каждой «дольки», в расчёте на единицу площади «дольки». (На рисунке площади «долек» в процентах от общей площади овала указаны голубыми цифрами.)


массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2


Результат подобных упражнений показывает, что вероятностное распределение размеров больших полуосей массивных двойных звёзд и в меньшую и в бóльшую стороны от наиболее вероятного значения выглядит довольно похоже на типичный «колокол» нормального гауссовского распределения (результаты подсчёта по «долькам» показаны на рисунке ниже синими прямоугольниками, а голубая линия – наиболее адекватная им функция Гаусса; синие прямоугольники по физическому смыслу представляют собой интегралы этой функции, то есть площади соответствующих секторов под голубой линией, и даже на глаз видно, что не так уж плохо представляют; на следующем рисунке сопоставлены фактические и рассчитанные по функции Гаусса количества точек для каждой «дольки»).


массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2 массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2


Стандартный поиск параметров распределения обнаруживает, что линию наиболее вероятных значений полуоси мы напрасно провели через среднегеометрическую точку; лучше всего соответствует нашему «облаку» из 24 двойных звёзд уравнение, сдвинутое практически к тому значению, которое выше мы взяли просто ради круглого числа:

аver [а. е.] ≈ 0,00103×(МΣ/M)2.

Среднеквадратичное отклонение σ = 0,650 (оно характеризует быстроту спадения вероятности при отклонениях а от аver), а плотность вероятности (функция Гаусса) задаётся выражением:

dlnN/dlg(aver/a) ≈ 0,614×exp[–1,18×lg2(aver/a)].

Зная эту функцию, можно, интегрируя её, узнать, какая доля двойных звёзд будет иметь большие полуоси, отличающиеся во столько-то раз от наиболее вероятного значения. Вот как выглядит это распределение с шагом в полпорядка:


массы и орбиты двойных звезд из ассоциации Cygnus OB2


Как видим, за пределами интервала (0,01÷100)×аver находится менее 0,5% двойных звёзд. Это, кстати, весь интервал, в котором с относительной надеждой на «профпригодность» (не верой, а именно надеждой – для веры данных недостаточно!) можно применять все вышеприведённые рассуждения о распределениях расстояний в двойных звёздах. Те цифры, которые даны на краях «холма» для более удалённых областей, – это уже вовсе гадательные экстраполяции. Они слишком далеко уходят за границы исходных данных и очень легко могут оказаться миражом, обманкой. Я привёл их сугубо «про запас»: вдруг когда-нибудь понадобятся оценки именно для этих дальних областей, и за неимением эмпирических данных волей-неволей придётся уходить в эмпиреи гипотез. А гипотез, кроме этой, у нас нет. Но важно помнить, что на этом пути мы вступаем в область фантазии!


Однако к делу. Вспомним требования к массам и орбитальному размеру двойной звезды (УФН, с. 13):

MΣ > 120 M; Ro < 50 R.

В единицах солнечного радиуса, по нашей гипотезе:

аver ≈ 0,2×R×(МΣ/M)2.

Для нужных нам масс

аver > ~3000 R.

То есть Rоver < ~0,015.

Обращаясь к «холмику вероятностей» с последнего рисунка, прикинем, что в этой области находится около 0,3% двойных звёзд. (Хотя это на самом краю сравнительно надёжной части «холмика».)


10.5. Коллапс и шанс избежать развода.


Время жизни массивной звезды до коллапса оценивают выражением:

tж ≈ 40×(M/M)2 млрд. лет.

(Это по нему строились на рисунках в п. 3 кривые, отделяющие жизнь звёзд [на главной последовательности] от «послежизни» в малоизлучающих формах).

В двойных звёздах первой коллапсирует, естественно, более тяжёлая. Около половины её вещества выбрасывается и возвращается в рассеянное состояние и далее в новый цикл звёздообразования. Остальное (ядро), если масса звезды была подходящей (от ~40 до ~200 M) коллапсирует в чёрную дыру. Та практически всегда получает некоторый импульс, потому что взрыв сверхновой идёт несимметрично, вещество внешних слоёв звезды выбрасывается струйно, а не во все стороны. За счёт импульса отдачи (УФН, с. 12 и др.) чёрная дыра нередко приближается к младшей звезде своей пары, а не удаляется от неё, как следовало бы из простого соображения, что масса стала меньше и притяжение, соответственно, тоже. Но, в общем, изменение орбиты происходит не на порядки, а максимум в разы или того меньше.

В свой срок коллапсирует и вторая звезда, – всё происходит так же, как у первой.

Если в итоге образуется пара чёрных дыр, то ей суждено существовать, практически не меняясь и практически не излучая гравитационных волн, от полумиллиарда лет и выше.

Вероятность успешного образования двойной чёрной дыры из двойной массивной звезды довольно велика. Количественных оценок я не нашёл, но, думаю, можно считать её порядка 50%.

Итак, с учётом оценки, данной в п. 10.3, выходит, что примерно одна из 70 родившихся звёзд в конце своей звёздной стадии станет членом пары массивных (несколько десятков M) чёрных дыр.


10.6. Сведём все шансы воедино.


Теперь перемножим все полученные вероятности:

0,03 [из п. 3] × 0,003 [из п. 4] × 0,5 [из п. 5] ≈ 5×10–5.

То есть примерно одна из 20 тысяч родившихся звёзд будет большой, двойной с такой же большой, после двух коллапсов образует двойную чёрную дыру, и эта дыра будет достаточно компактной, чтобы сближения с примерно десятком звёзд за ~0,5 млрд. лет сблизили её до критического расстояния Rw, когда она начнёт всё сильнее излучать гравитационные волны и быстро сольётся в одну дыру.

Но это случится лишь в том случае, если звёзды около неё так тесно расположены, как бывает преимущественно в центрах галактик. То есть в зоне, где находится всего 10÷100 млн. звёзд. Уменьшим это число на вероятностный фактор 5×10–5 – и получим, что в центре типичной галактики есть порядка 1500 двойных чёрных дыр, реально способных слиться.

Кроме центров галактик подходящие по тесноте условия могут быть в шаровых скоплениях, которых существует в типичной галактике несколько десятков штук (правда, там редки массивные звёзды). Скажем, это добавит ещё около порядка к численности двойных чёрных дыр.

Если двойных чёрных дыр в тесном окружении звёзд в типичной галактике ~10 тысяч, а их характерный жизненный цикл – ~0,5 млрд. лет, значит, мы вправе ожидать, что в среднем в такой галактике каждые ~50 тыс. лет будет происходить слияние очередной пары чёрных дыр.

И если в сфере LIGO порядка 3000 галактик, то слияние в ней будет происходить в среднем раз в ~17 лет.

А мы имеем первое зарегистрированное событие за 12 лет наблюдений. Ошиблись на 0,2 порядка.


Столь хорошее совпадение, конечно, – чистая случайность. Мы строили рассуждения на таком большом числе гипотез, предположений, манипуляций и произвольных постулатов, что итоговую конструкцию впору сравнить с шаткими пирамидами из разнообразных предметов, какие поражают нас в цирковых номерах. Отчасти нас могло выручить то, что ошибки разных этапов рассуждений случайно могли оказаться разнонаправлены и при сложении несколько компенсировали друг друга. (Например, мы могли переоценить число слияний в шаровых скоплениях, но недооценить факторы частоты образования тяжёлых звёзд и однородности масс при образовании двойных звёзд, о чём говорилось в п.п. 10.2 и 10.3, и т. п.)


11. Послесловие. О статистике неслиянных дыр.


А что же остальные дыры?


Вспомним рисунки из п. 3. Что из них следует? Что мы можем видеть звёзды массой 30 M, родившиеся только в последние 45 млн. лет (уже после динозавров), массой 40 M – лишь последних 25 млн. лет рождения, и т. д. Все родившиеся раньше уже перешли черту между жизнью и послежизнью. Если посмотреть в сторону меньших масс, окажется, что звёзды массой 20 M мы видим не далее чем за последние 100 млн. лет, массой 10 M – за последние 400 млн. лет, массой 5 M – за 1,6 млрд. лет, а массой 2 M – за 10 млрд. лет.

Однако за последние 10 млрд. лет условия звёздообразования менялись во Вселенной не принципиально. Вселенная была примерно втрое меньше, чем сейчас, газ был более плотным и горячим, в нём было меньше тяжёлых элементов, чем в нашу эпоху. Но это макропараметры, которые больше влияют на галактики, чем на процессы внутри галактик. А там, с точностью до порядка, как обычно в наших рассуждениях, условия звёздообразования и пропорции родившихся звёзд тоже можно считать примерно постоянными.

Тогда для любой массы мы можем довольно просто оценить, сколько от общего числа звёздорождений такой массы за 10 млрд. лет ещё живёт, не успев уйти в «послежизнь»:

α(M) = tж/(10 млрд. лет) ≈ 4×(M/M)2.

А сколько их родилось? На это пока нет ответа. Однако данные о распределении по массам 374 ближайших к нам звёзд* практически дают этот ответ для области небольших масс (до ~2 M), потому что это как раз те звёзды, которые ещё не успели уйти в «послежизнь» и которые составляют подавляющее большинство выборки (только 20 звёзд из неё – белые карлики, реликты отгоревших звёзд тяжелее ~2 M). Можно ли продлевать зависимость, найденную группой RECONS, в область более массивных звёзд? Никто не знает, но почему бы не сделать это в качестве гипотезы?

_______

* http://www.chara.gsu.edu/~thenry/RECONS/mf.2009.0.html. По-русски материалы коллектива RECONS см. на нашем сайте: http://mir.k156.ru/astrasti/astrasti2.html.


Распределение солпитеровского типа

dN/dM = const/Mq

при q = 1,2 (по данным RECONS) говорит, что звёзд от 40 до 200 M рождается примерно 9% – значит, столько их и родилось от общего числа звёздорождений за 10 млрд. лет. А звёзд легче 2 M рождается примерно 63% – и эти звёзды и есть почти 100% нашего звёздного неба. Число же живущих звёзд более высоких масс нужно находить с учётом коэффициента α(M):

dNж/dM = α(M)×const/Mq = const'/Mq + 2.

Проинтегрировав последнее уравнение по всем массам от 2 до 300 M*, мы найдём, что 96% этих звёзд уже отгорели и лишь 4% ещё светят. (Это 96% и 4% от их количества, которое составляет 100% – 63% = 37% от всего числа родившихся звёзд; поэтому к населению небосвода они добавляют лишь 37%×4% = ~1%.) Итак, на небе мы видим: все 63% родившихся лёгких звёзд + 1% родившихся тяжёлых звёзд. Итого 64%. И не видим 36% тяжёлых звёзд, ушедших в «послежизнь».

_______

* Результат интегрирования: Nж/Nж+пж ≈ 21 – q×(q – 1)×(2–1 – q – 300–1 – q)/[(q + 1)×(300q – 1 – 2q – 1)].


Если, не мудрствуя лукаво, по-чапаевски разбить все звёзды на пять качественных групп по массам (это примитивнее истинной картины, но с точностью до порядка приемлемо), то по вышеприведённым формулам можно посчитать практически всё о живущих звёздах этих групп:

I) массой от 0,05 до 2 M – коричневые и красные карлики и все звёзды от оранжевых до жёлтых – светят в том же виде, в каком родились;

II) массой от 2 до 10 M – звёзды от жёлто-белого до бело-голубого классов – порядка 9/10 из них уже ушли в «послежизнь»: в основном, пройдя стадию красного гиганта, стали белыми карликами; небольшие количества из тех, что полегче, рассеялись целиком; а небольшие количества из тех, что потяжелее, взорвались как сверхновые и породили нейтронные звёзды; но мы эти маргинальные случаи проигнорируем и условно примем, что все они в «послежизни» стали белыми карликами; то есть, не ушли с небосвода: хотя белые карлики и светят в тысячи раз тусклее звезды-родительницы, но, например, оптики Хаббла хватило бы, чтобы заметить типичный белый карлик с расстояний до ~2–3 диаметров Млечного Пути, если бы кто-то потратил массу его ценного времени на подобную бессмысленную задачу;

III) массой от 10 до 40 M – звёзды бело-голубого класса и начала голубого – порядка 99% из них уже ушли в «послежизнь», став после вспышки сверхновой (а иногда без вспышки) нейтронными звёздами; в оптике их не видно (хотя Хаббл заметил бы с нескольких сот св. лет), видно в рентгеновском диапазоне;

IV) массой от 40 до 200 M – звёзды голубого класса – порядка 99,9% из них уже ушли в «послежизнь», став после вспышки сверхновой чёрными дырами;

V) массой выше 200 M – звёзды голубого класса – порядка 99,99% из них уже ушли в «послежизнь», после вспышки сверхновой полностью рассеявшись.


Чтобы довести нашу упрощённую модель до конца, нужно включить в неё и «послежизнь». На нашем сайте уже приводились данные Kalirai и др. о связи массы белого карлика Mwd с массой родительской звезды Mo:

Mwd ≈ 0,11×Mo + 0,43×M.

связь массы белого карлика с массой родительской звезды по данным El-Badry et al., 2018 (the relationship of the mass of the white dwarf with the mass of the parent star according to El-Badry et al., 2018

(23.02.2020: Почти такие же данные подтвердились и в измерениях проекта GAIA*, по ним получается уравнение, показанное линией на рис. справа:

Mwd ≈ 0,12×Mo + 0,36×M.

_______

* K. El-Badry, H.-W. Rix, D. R. Weisz. An Empirical Measurement of the Initial-Final Mass Relation with Gaia White Dwarfs. (Table 1) // 2018, ApJL, 860, L17 [https://arxiv.org/pdf/1805.05849.pdf].


Замечу, кстати, что величина 0,36×M весьма близка к средней массе звезды в окрестностях Солнца, хотя, вероятно, это лишь совпадение, а не какая-то генетическая связь.)


Массу нейтронных звёзд можно с точностью до порядка считать константой:

Mn ≈ 1,5×M.

Меньше всего известно о массе чёрных дыр. В УФН авторитеты вынуждены были варьировать отношение масс чёрной дыры и родительской звезды перед вспышкой сверхновой в очень широких пределах: от 0,1 до 1. А мы, за неимением лучшего, просто примем логарифмически-среднее значение:

Mчд ≈ 0,3×Mо.


Поинтегрировав этот набор простых, хотя порою громоздких (особенно для белых карликов) уравнений в указанных диапазонах масс при разных значениях q, получим такие зависимости:

число звезд и черных дыр

Число чёрных дыр по порядку сопоставимо, но несколько меньше числа белых карликов и нейтронных звёзд, но превосходит число звёзд массами больше 2 M. При всех значениях q от 1,2 до 1,6 чёрные дыры, белые карлики и нейтронные звёзды составляют несколько процентов от числа возникших звёзд (их доля снижается с ростом q, особенно у чёрных дыр – на порядок), а звёзды массами менее 2 M – порядка 60–90% (их доля возрастает с ростом q).

(Крупные стрелки здесь и на рис. ниже схематично показывают эволюционные связи: чтó во чтó превращается в конце жизни).


Вот как выглядит относительная численность разных групп звёзд и чёрных дыр для крайних и среднего значений q (звёзд групп III–V так мало, что они в масштабе этих диаграмм неразличимы):

число звезд и черных дыр


Это современная наличествующая численность. Естественно, из-за несовершенства нашей наблюдательной аппаратуры, мы не можем сегодня фиксировать 100% того, что есть на небе. Но, если верить нашим выкладкам, оно там всё равно есть, независимо от того, что мы можем видеть.

Если отобразить то же самое не в штуках, а в килограммах, то картина несколько изменится. Во-первых, мы сразу видим космическую истинность выражения «из праха в прах»: от 85 до 95% газа, когда-то сгустившегося в звёзды, – и заведомо в планеты при них, – и наверняка в многообразные формы жизни там и сям, – сегодня, пройдя ад невообразимого огня и абсолютного холода, выброшено обратно и безучастно взирает с логарифмической высоты графика на те 5–15% вещества, которое ещё не вернулось в свободу мировых пространств:

масса звезд и черных дыр


В массовом распределении звёзды II группы заметно выходят вперёд, а чёрные дыры оттеснены к минорным звёздам III группы. Правда, как мы выше говорили, это если наобум взять для них среднелогарифмическое значение «коэффициента утилизации» родительской массы. Мера его неточности показана на краях рисунка чёрными интервалами. Если в дыру схлопывается почти всё вещество звезды (это маловероятно), то массовая доля чёрных дыр может приблизиться к почти совпадающим долям белых карликов и нейтронных звёзд; если же «коэффициент утилизации» окажется около 10%, то вес чёрных дыр в пространстве будет меньше, чем у звёзд III группы.

Убрав из баланса масс газ, мы получим такие соотношения масс для звёзд и чёрных дыр (для последних, принимая «коэффициент утилизации» равным 0,3, как у линии на предыдущем графике):

масса звезд и черных дыр


средняя масса звезд и относительная численность черных дыр и нейтронных звезд по отношению к остальным звездам

Проделанные вычисления позволяют найти ещё несколько наглядных величин. Во-первых, мы можем узнать среднюю массу видимых сегодня звёзд. Она с ростом q уменьшается от ~0,7 до ~0,4 M. А по статистике околосолнечных звёзд, их средняя масса близка к ~0,3 M. С этой точки зрения q = 1,6 кажется более вероятным значением. Во-вторых, можно посчитать, сколько обычных звёзд (I–V групп + белые карлики) приходится на одну чёрную дыру и на одну нейтронную звезду – представителей слабозаметной части небесного сообщества. Это оказываются, особенно при увеличении q, десятки звёзд. И, наконец, зная эту кратность, можно посчитать, каков же вероятный радиус сферы, где находится ближайшая к Солнцу чёрная дыра. Он составляет от ~8 до ~18 световых лет, возрастая с ростом q. (И дыра, повторюсь, не обязана быть на краю сферы, она может находиться в любой её точке.)


расстояние до ближайшей черной дыры


_________


Конечно, у нас нет уверенности, что функция Солпитера адекватна во всём интервале звёздных масс; что входящие в неё константы (прежде всего показатель степени q) – действительно константы, а не параметры, зависящие от локальных условий; что так уж однородны были и есть условия звёздообразования во времени и пространстве разных галактик; и т. д., и т. п.


Нужна статистика. Нужно больше статистики! Этим и завершим.



7 марта 2016



12. Дополнение 1. О времени жизни звёзд на главной последовательности.


(С важными исправлениями и дополнениями в феврале 2020 года!)


Выше, как было вскользь замечено в начале п. 10.5, все расчёты и графики, где требовалось учитывать время жизни звёзд на главной последовательности, делались с помощью самой простой формулы:

tж ≈ 40×(M/M)2 млрд. лет.

(23.02.2020: Уже не помню, где я её взял в 2016 году, но вообще для диапазона масс 0,1–50 M традиционно применялась другая формула:

tж ≈ 10×(M/M)2,5 млрд. лет,

и на рис. ниже я теперь именно её представил розовой линией, а формулу со степенью 2,5 – голубой линией.)

Она считается неплохо применимой для массивных звёзд, но я распространил её (чтобы облегчить себе интегрирование) и в область звёзд массой вплоть до M. Там-то её худшая применимость и была замечена Лилией Шаройко. Для целей настоящей заметки о звёздной статистике и чёрных дырах я тем самым большой ошибки не внёс. Да, простая формула завышает время жизни звёзд, особенно в диапазоне от 1 до 2 M. Но доля этой узкой фракции звёзд в общей численности рождающихся звёзд не превышает 6–10% (в зависимости от принятого значения q), а все расчёты здесь делались с точностью в лучшем случае до порядка, так что ошибка невелика. Особенно если сравнить её с выигрышем в математической простоте.

Но как же на самом деле выглядит зависимость времени жизни звёзд на главной последовательности от их стартовой массы? Задавшись целью собрать данные по сравнительно новым источникам, я обнаружил в них некоторый разнобой, но в разумных пределах, и подобрал чисто эмпирическую формулу:

tж ≈ 6×(M/M + 0,14)4 млрд. лет,

которая неплохо (23.02.2020: нет, плохо!) этот разнобой описывает практически на всём диапазоне масс; по крайней мере, лучше, чем простая формула из п. 10.5 (см. рис. ниже):


время жизни звёзд разных начальных масс на главной последовательности и эпохи космологических распадов
Bремя жизни звёзд разных начальных масс на главной последовательности
и эпохи космологических распадов


Розовая линия простой формулы, оказывается, сильно занижает время жизни самых тяжёлых звёзд. Они, судя по теоретическим моделям, горят не менее нескольких млн. лет. При этом звёзды со стартовыми массами выше примерно 100–150 M даже в ходе водородного горения теряют огромное количество массы, буквально худеют в разы, и ко взрыву, заканчивающему их существование, подходят почти одинаковыми со звёздами массой 100–150 M. Это хорошо видно на рисунке:

время жизни сверхмассивных звёзд при разных параметрах моделирования по данным L. R. Yungelson et al., 2007
Bремя жизни сверхмассивных звёзд на главной последовательности при разных параметрах моделирования

По данным L. R. Yungelson et al., 2007 [http://www.aanda.org/articles/aa/full/2008/49/aa8345-07/aa8345-07.html].


Самокритично отмечу, что и камышового цвета кривая, представляющая подобранную эмпирическую формулу, не соответствует действительности в области малых начальных масс (красные и коричневые карлики и субкарлики). Она даёт этим звёздочкам времена жизни в триллионы и десятки триллионов лет. Но что будет во Вселенной в такие времена? В 2014 г. я это посчитал. Не буду приводить весь объёмистый материал соображений и расчётов (его когда-то надо будет поместить на сайте), а итог схематично показан в левой верхней части первого рисунка данного Дополнения.

Примерно через 20 млрд. лет наступит эра чёрного неба: за счёт расширения пространства Вселенной звёзды (кроме двойных и мультикратных) отдалятся настолько, что станут недоступны невооружённому глазу человека (как будто тогда ещё будут люди или невооружённые глаза! но тем не менее, для наглядности оставим эту веху полного мрака на всех небосводах миров);

– ещё через десяток-другой миллиардов лет начнут распадаться нити и стены галактик, а за ними, через сколько-то десятков или сотен млрд. лет, и ассоциации галактик (то, что мы выше называли «оладьями»);

через небольшое число сотен млрд. лет начнут разрушаться сами галактики;

– ко времени порядка триллиона лет от Большого взрыва начнут распадаться планетные системы звёзд;

– ещё через несколько сот млрд. лет начнут распыляться на молекулы крупные газовые планеты;

несколько сот млрд. лет спустя начнут разрушаться звёзды: сперва красные карлики, ещё через несколько сот млрд. лет белые карлики, а ещё через несколько сот млрд. лет и последние, нейтронные звёзды; в промежутке между белыми карликами и нейтронными звёздами распылятся на молекулы и твёрдые планеты;

– ко времени порядка трёх триллионов лет начнёт разрушаться вещество: сперва молекулы и близко по времени к ним атомы, через несколько сот млрд. лет ядра, а ещё через несколько сот млрд. лет и нуклоны.


Таким образом, какие бы цифры долголетия ни давала подобранная формула мини- и микрозвёздам, говорить о временах жизни звёзд более ~1,5–2 трлн. лет физически (космологически) бессмысленно, а антропоцентрически говорить бессмысленно даже об эпохе чёрного неба.


20 марта 2016



23.02.2020: В 2016 году источники для построения зависимости tж(M) я собрал наспех, и в области тех звёзд, которые вообще-то составляют большинство звёздного населения Галактики, то есть карликов с массами M < 0,5×M, данные почти отсутствовали. По случаю, собирая в начале 2020 года звёздную статистику для другой задачи, я вспомнил об этом пробеле и решил заодно его заполнить. Результат оказался неожиданно интересным, и я ниже изложу его довольно обстоятельно и даже на двух языках, потому что, к моему приятному удивлению, в минувшие два года обнаружилось, что наш сайт читают и за границей, а Гугл-переводчики с русского пока ещё нет-нет да и дают маху.


О времени жизни звёзд на главной последовательности.


Время жизни звёзд на главной последовательности – это время, когда в ядре звезды происходит квазистационарное «горение» водорода, то есть синтез гелия из водорода. Поэтому нередко это время обозначают tH. Квазистационарным этот режим можно назвать потому, что многие параметры при этом меняются не слишком сильно. Радиус звезды, температура поверхности, мощность излучаемой энергии (астрономы называют её светимостью, L) монотонно возрастают, и за всё очень долгое время tH (от миллионов лет у сверхтяжёлых звёзд до триллионов лет у сверхлёгких) вырастают всего лишь в несколько раз. А удельная мощность (светимость единицы поверхности звезды) меняется всего примерно в 1,1 раза.

По мере расходования водорода эти и другие физические параметры начинают меняться всё быстрее, и примерно тогда, когда их изменение начинает нарастать нелинейно, звезда сходит с главной последовательности и качественно меняется, как схематично изображалось выше. Водород при этом во внешних слоях звезды ещё есть и продолжает «гореть» – но уже за пределами того tH, которым нам предстоит заняться. (В период горения водорода удельная светимость растёт всё так же гораздо слабее других параметров.)

Единственным источником наших знаний о tH являются сложные расчёты термоядерных, конвекционных и лучистых процессов во всём объёме звезды. Занимаются этими расчётами всего несколько исследовательских коллективов в мире, а программных кодов для таких моделей существует порядка десятка. По мере расширения наших теоретических познаний эти коды совершенствуются.

Для данной заметки я сделал выборку данных из нескольких сравнительно свежих работ* (исходные данные приводятся в конце заметки). Они достаточно плотно покрывают почти весь теоретически возможный диапазон звёздных масс, от самых лёгких красных карликов с массами около 80 масс Юпитера (~0,08×M) и до гигантов, которые ещё несколько десятилетий назад считались невозможными (~1000×M). Более лёгкие звёзды известны, это коричневые карлики и субкарлики, но это не звёзды главной последовательности, у них нет стадии водородного горения и нельзя говорить о tH. А более тяжёлых звёзд либо в самом деле нет, либо их tH почти не сокращается с ростом массы.

_______

* F. C. Adams, P. Bodenheimer, G. Laughlin. M dwarfs: planet formation and long term evolution. (Fig. 2) // Astron. Nachr. / AN 326, No. 10, 913–919 (2005) [https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/asna.200510440];

L. R. Yungelson et al. On the evolution and fate of super-massive stars. (Table 1) // A&A 477, 223-237 (2008) [https://www.aanda.org/articles/aa/full/2008/49/aa8345-07/aa8345-07.html];

S. Ekström et al. Grids of stellar models with rotation. I. Models from 0.8 to 120 M at solar metallicity (Z = 0.014). (Table 2) // A&A 537, A146 (2012) [https://www.aanda.org/articles/aa/pdf/2012/01/aa17751-11.pdf];

N. Mowlavi et al. Stellar mass and age determinations. I. Grids of stellar models from Z = 0.006 to 0.04 and M = 0.5 to 3.5 M. (Fig. 11) // A&A 541, A41 (2012) [https://www.aanda.org/articles/aa/pdf/2012/05/aa17749-11.pdf];

K. Köhler. Massive stars on the main sequence (doctoral thesis), Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, 2016. (Eq. A.6, Table B.2, cf. sec. A.1.3, A.1.4) [https://astro.uni-bonn.de/~nlanger/thesis/karen.pdf];

A. Truitt, P. A. Young. Expanding the Catalog: Considering the Importance of Carbon, Magnesium, and Neon in the Evolution of Stars and Habitable Zones (2016). (Table 1) [https://arxiv.org/pdf/1612.03949.pdf].


Вышеприведённые простые формулы, связывающие tH с той или иной степенью начальной массы звезды, получены из здравых, хотя и несколько упрощённых соображений, что:

а) энергия E, которую звезда высвечивает, находясь на главной последовательности, пропорциональна массе водорода в ядре звезды, где идёт термоядерная реакция (1 кг водорода даёт при синтезе гелия ~6,3•1014 Дж энергии);

б) доля водорода в изначальном составе звезды с достаточной точностью у всех звёзд одинакова, порядка 3/4; а ядерным топливом в активном ядре звёзд массой близкой к солнечной и выше является ~10% исходного водорода (остальные ~90% до самого конца служат просто «шубой» вокруг ядерной топки); у более лёгких звёзд эта пропорция возрастает, и у карликов массой около 10% солнечной практически весь исходный водород перерабатывается в гелий; таким образом, энергия прямо пропорциональна массе «активного» водорода, Ma, а она есть некая функция начальной массы звезды Mо;

в) скорость высвечивания энергии, то есть мощность излучения звезды, называемая в астрономии светимостью L, связана с радиусом звезды R и абсолютной температурой её поверхности T через σ (постоянную Стефана – Больцмана): L = 4•π•R2•σ•T4; и радиус, и температура хорошо самостабилизированы и за время жизни звезды на главной последовательности меняются не слишком существенно, в пределах ~10÷20%;

г) астрономические наблюдения показали, что между светимостью и массой звезды есть определённая зависимость, обычно описываемая эмпирической функцией вида L = A•Ma, где A и a – величины, зависящие от M.

Из постулатов (а)–(в) следует, что время жизни звезды на стадии синтеза гелия, то есть на главной последовательности, более или менее точно равно E/L и пропорционально Ma/L, а с учётом постулатов (б) и (г) получается, что tH пропорционально некоторой функции от Mo, которую в разных диапазонах Mo обычно представляют в виде M1–a со своим значением a в каждом диапазоне. В Википедии приводятся такие значения:


Mo/M

Mo < 0,43•M

0,43•M < Mo < 2•M

2•M < Mo < 20•M

Mo > 20•M

1 – a

–1,3

–3

–2,5

0


Громоздкость такой зависимости (и явная неудовлетворительность последнего, нулевого, значения 1 – a) задолго до меня побуждали астрофизиков подбирать некие эмпирические формулы, которые могли бы описать tH во всём диапазоне начальных масс, или хотя бы в более широком, чем те, которые представлены в последней таблице.

Иногда эти усилия направлялись на время жизни звезды в более широком смысле, включающее время, когда после окончания водородного синтеза в звезде начинаются термоядерные реакции с участием гелия и более тяжёлых элементов. Такая послеводородная жизнь может добавлять к tH от процентов (у звёзд тяжелее Солнца в 1,5 раза и более) до десятков процентов (у звёзд легче Солнца). У Солнца эта добавка составит примерно 35% (ниже есть график, показывающий это соотношение, post-MS/MS, как функцию массы звезды). Такое время жизни в более широком понимании обозначим tH+.

tH+

На рис. справа* представлена функция, предложенная в 2007 году авторитетным парижским астрофизиком Никосом Пранцосом для описания tH+ (млн. лет) звёзд солнечного химического состава в диапазоне начальных масс от 0,8•M до 200•M. Как видим, функция (синяя линия) весьма неплохо описывает результаты моделирования, полученные в 1992 по моделям Geneva Г. Шаллером (G. Schaller) с сотрудниками (красные точки).

Зависимость времени жизни звёзд от их начальной массы по данным Schaller et al., 1992, аппроксимация по формуле Н. Пранцоса, 2007 (The dependence of the lifetime of stars on their initial mass according to Schaller et al., 1992, approximation by the formula of N. Prantzos, 2007)

tH+

In fig. on the left* the function proposed in 2007 by the reputable Parisian astrophysicist Nikos Prantzos to describe the tH+ (million years) of stars of solar chemical composition in the initial mass range from 0.8•M to 200•M is presented. As you can see, the function (blue line) describes quite well the modeling results obtained in 1992 for Geneva models by G. Schaller and coworkers (red dots).


tH+ = 11300•(M/Mo)3 + 600•(M/Mo)0,75 + 1,2.

_______

* N. Prantzos. An Introduction to Galactic Chemical Evolution. (Equ. 2.10, Fig. 1) // EAS Publications Series, vol. 32, pp. 311–356, January 2008 [https://www.researchgate.net/publication/232023725]; https://i.ytimg.com/vi/xuctLkb-ZBo/maxresdefault.jpg.


Однако Шаллер с сотр. этапы ядерных реакций после окончания водородной стадии моделировали не полностью*. Стадию гелиевого синтеза, следующую за водородной стадией, они моделировали только для масс более 1,7•M, а последующие стадии – только для масс более 7•M. Но как раз в областях этих масс их результаты моделирования существенно расходятся с результатами, полученными по той же модели Geneva, но с учётом новейших достижений астрофизики, 20 лет спустя**.

Зависимость времени жизни звёзд от их начальной массы по данным Schaller et al., 1992 (The dependence of the lifetime of stars on their initial mass according to Schaller et al., 1992)

However, the stages of nuclear reactions after the completion of the hydrogen stage were not fully simulated by Schaller et al.* They modeled the helium synthesis stage following the hydrogen stage only for masses above 1.7•M, and the subsequent stages only for masses above 7•M. But just in the areas of these masses, their modeling results significantly differ from the results obtained using the same Geneva model, but taking into account the latest achievements of astrophysics, 20 years later**.

_______

* G. Schaller et al. New grids of stellar models from 0.8 to 120 solar masses at Z = 0.020 and Z = 0.001 // Astronomy and Astrophysics Supplement Series (ISSN 0365-0138), vol. 96 (1992), No. 2, pp. 269–331. (Fig. 4) [http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1992A%26AS...96..269S/0000329.000.html].

** N. Mowlavi et al. Op. cit.; S. Ekström et al. Op. cit.


В модели 1992 года получилось, что послеводородные стадии продлевают ядерную жизнь звёзд тяжелее 7•M на 10÷34%, с ростом в сторону бóльших масс. А в моделях 2012 года послеводородные стадии у таких звёзд длились от нескольких процентов до долей процента и с тенденцией сокращения в сторону бóльших масс. Всё это вносит некоторые системные погрешности в формулу Пранцоса, которая, к тому же, описывает не tH, а tH+ (хотя в области масс менее 1,7•M она невольно переходит в описание tH). Поэтому давайте рассмотрим результаты моделирований tH разными научными коллективами по разным программам. В моделях чаще всего изучалось влияние трёх физических факторов, с которых и начнём.


3 фактора

В первом приближении вся судьба любой звезды (в том числе и величина её tH) предопределена при её рождении тремя основными факторами:

начальной массой протозвезды, от которой возникает реакция синтеза гелия, Mo;

химическим составом исходного протозвёздного вещества: массовыми долями водорода X, гелия Y и более тяжёлых элементов Zi (иногда оперируют с их суммой Z, нередко сравнивают эти параметры с солнечными значениями X = 0,7381, Y = 0,2485, Z = 0,0134);

● и начальной скоростью вращения звезды вокруг своей оси vo (достигающей сотен км/с).

Далее я в обратном порядке рассмотрю значимость этих факторов, особенно подробно влияние химического состава. Если вы не интересуетесь этими вопросами до степени фанатизма, можно спокойно пропустить длинные рассуждения и сразу перейти к итоговым выводам.

Фактор vo

Компьютерное моделирование показало, что, как правило, влияние vo (особенно до ~ 400 км/с) на tH невелико, порядка 10% (см. левый рис. ниже), что сопоставимо с разбросом результатов в разных моделях звёздной эволюции. (Например, в расчётах одинаковой звезды с M = 20 M, Z, v = 0 у шести разных коллективов получились значения tH от 7,82 до 9,1 млн. лет* с разбросом от –9% до +6% от среднего результата 8,55 млн. лет.) Можно принять, что скорости вращения до ~ 400 км/с не оказывают на tH значимого влияния (укладываются в пределы погрешностей моделирования), а звёзды со скоростями вращения выше 400 км/с составляют, по данным Википедии**, большую редкость даже в диапазоне масс > ~18 M, а чем меньше масса, тем типично меньше и когда-либо наблюдавшаяся скорость вращения (для околосолнечных масс и звёзд-карликов пределом является ~100 км/с).

3 factors

_______

* C. Charbonnel. Stellar evolution models in the Gaia sky // IAUS330 (2017) [https://iaus330.sciencesconf.org/data/pages/CCharbonnel_IAUS330_Nice2017.pdf].

** Вращение звёзд / Рузмайкина Т. В. // Физика космоса: Маленькая энциклопедия, 1986.


зависимость времени жизни массивных и сверхмассивных звёзд от скорости осевого вращения по данным K. Köhler, 2016 (dependence of the lifetime of massive and supermassive stars on the axial rotation speed according to K. Köhler, 2016)             зависимость времени жизни звёзд от содержания элементов тяжелее гелия (the dependence of the lifetime of stars on the content of elements heavier than helium)


Фактор Zo

Влияние Zo на tH в широких пределах изучалось, насколько я смог найти, всего в двух моделях. Это серия работ по женевской модели*, где оказались охвачены диапазоны Mo/M = 0,5÷120 и Zo= 0,0004÷0,04 (практически все звёзды всех эпох), и вычисления по модели TYCHO** с охватом Mo/M = 0,5÷1,2 и Zo/Z= 0,1÷1,5 (см. правый рис. выше). К сожалению, для модели TYCHO полная онлайн-база данных с 15-ю значениями Zo для каждой Mo более недоступна, а попытки связаться по электронной почте с авторами работы остались без ответа, и я мог располагать только трёхточечными сериями из таблицы в их статье.

_______

* N. Mowlavi et al. Op. cit. (2012) + grids database [http://obswww.unige.ch/~mowlavi/evol/denseGrids/];

S. Ekström et al. Op. cit. (2012);

C. Georgy et al. Populations of rotating stars. I. Models from 1.7 to 15M at Z = 0.014, 0.006, and 0.002 with Ω/Ωcrit between 0 and 1 // A&A, Volume 553, May 2013 [https://www.aanda.org/articles/aa/pdf/2013/05/aa20558-12.pdf];

C. Georgy et al. Grids of stellar models with rotation. III. Models from 0.8 to 120 M at a metallicity Z = 0.002. (Table 2) // Astronomy & Astrophysics, Volume 558 (October 2013) [https://arxiv.org/pdf/1308.2914.pdf];

J. H. Groh et al. Grids of stellar models with rotation. IV. Models from 1.7 to 120 M at a metallicity Z = 0.0004 // A&A, Volume 627 (July 2019) [https://arxiv.org/pdf/1904.04009.pdf].

** A. Truitt, P. A. Young. Op. cit. (2016).


Шкала этого рисунка охватывает практически весь возможный диапазон Zo, от 0 (из такого первичного газа рождались на заре времён самые первые звёзды) до Zо (max) ≈ 0,04 (по-видимому, большей концентрации послегелиевых элементов в межзвёздном газе ещё не наработано к нашей эпохе; во всяком случае, доля звёзд с Z > 0,04 стремится к нулю, что хорошо видно на рисунке справа, представляющем эту долю по наблюдательным данным*).

распределение числа звёзд по содержанию послегелиевых элементов по данным M. Haywood, 2006 (distribution of the number of stars according to the content of post-helium elements according to M. Haywood, 2006)

_______

* N. Prantzos. An Introduction to Galactic Chemical Evolution. (Fig. 19) // EAS Publications Series, vol. 32, pp. 311–356, January 2008 [https://www.researchgate.net/publication/232023725].


Из правого верхнего рисунка видно, что:

а) различия между моделями уменьшаются с ростом Mo и при Mo/M > ~0,8 становятся сопоставимы с разбросом данных внутри одной модели (например, для Zo = 0,014 ≈ Z различия в tH при Mo/M = 1,1 в почти одновременно опубликованных статьях S. Ekström et al. и N. Mowlavi et al. из одной и той же научной коллаборации достигают 32%, хотя это в общем локальная аномалия, см. рис. ниже);

б) различия TYCHO и Geneva также уменьшаются при Zo ─► 0 и, возможно, стремятся к нулю, т. к. у каждой пары кривых заметна тенденция сойтись если не в одной точке, то, по меньшей мере, очень близко;

в) все зависимости выглядят плавными, хорошо предсказуемыми, их вид напоминает полиномы степени выше 2.

Область максимального различия tH при v = 0, Zo = 0,014 в публикациях S. Ekström et al. (2012, синяя кривая) и N. Mowlavi et al. (2012, красная кривая) по модели Geneva. Также показаны результаты модели TYCHO по публикации A. Truitt, P. A. Young (2016, зелёная кривая).

зависимость времени жизни звёзд от их массы в разных расчётах по моделям Geneva и TYCHO (the dependence of the lifetime of stars on their mass in different calculations according to the Geneva and TYCHO models)

The region of maximum difference in tH values at v = 0, Zo = 0.014 in the publications of S. Ekström et al. (2012, blue curve) and N. Mowlavi et al. (2012, red curve) according to the Geneva model. The results of the TYCHO model by A. Truitt, P. A. Young (2016, green curve) are also shown.

В статье N. Mowlavi et al. приводились данные (см. там рис. 13), указывающие, что влияние Zo на tH максимально вблизи Mo/M ≈ 1,1, заметно снижаясь как при уменьшении, так и при увеличении Mo. Любопытно было сопоставить это с предсказаниями модели TYCHO, но непосредственно сравнить результаты этих двух моделей не было возможно, поскольку у них совпадало лишь одно значение Zo = 2%. Поэтому встала задача подобрать какую-то аналитическую аппроксимацию данных в виде tH ≈ f(Zo, Mo).

Изучение поведения частной производной искомой функции f(Zo, Mo) через близкие к ней отношения ΔtH/ΔZo требовало достаточно много точек и потому было возможно только для модели Geneva, да и там не вполне надёжно. В диапазоне масс Mo/M = 0,5÷3,0 проявилась хорошая линейность ΔtH/ΔZo при Zo > ~0,004, а отклонения от линейности хорошо описывались экспоненциальной функцией от Zo. Это позволяло искать f(Zo, Mo) в виде:

tH ≈ A + B×(Zo + C×Zo2 + D×eE×Zo),

причём коэффициенты A и B сильно зависели от Mo, а коэффициенты С, D, E внутри скобок зависели от Mo заметно слабее, так что (по грубой оценке) выражение в скобках было близко к квазиинварианту z:

A ≈ {0,74 + 0,21×[(Mo/M) – 1]2}×B;         B ≈ 4340/(Mo/M)3,34;
z ≈ Zo + 0,13×Zo2 + 0,19×e–2×Zo.

Уточнять эти оценки при столь малом числе точек смысла не было. И вообще выражение получилось неточным и слишком громоздким.

Аппроксимации полиномами тоже оказались неудачными, так как важные и для сопоставлений и сами по себе значения tH(Zo = 0) в модели Geneva были слишком чувствительны к произвольному параметру – старшей степени полинома, а в модели TYCHO, располагая для каждой начальной массы звезды всего тремя точками Zoi, можно было применять лишь «переобученные» квадратичные полиномы, которые получались нереалистичными, с резкими максимумами на кривых tH(Zo) около Zo ≈ 2÷2,5%.

Максимумы tH(Zo)

Между тем эти максимумы вообще парадоксальны. Элементы тяжелее гелия в сложной взаимосвязи процессов, происходящих в звезде в фазе горения водорода, выступают прежде всего как «пыль», экран для излучения внутренней энергии. И казалось бы, чем больше Zo, тем «темнее» экран, тем дольше энергия задерживается в звезде и тем дольше длится tH. Но всему, оказывается, есть предел, и выше некоторого критического значения Zo(max) рост Zo начинает (правда, довольно медленно) сокращать tH.

Максимумы на кривых tH(Zo) в модели Geneva явно проявились в двух треках при наименьших моделированных массах Mo/M = 0,5 (при Zo ≈ 0,026 по кубической аппроксимации) и Mo/M = 0,6 (при Zo ≈ 0,033 по кубической аппроксимации). А неявно для невооружённого глаза, но уловимо для метода наименьших квадратов максимумы присутствуют ещё как минимум в трёх треках, для масс Mo/M = 0,7 (при Zo ≈ 0,037 по кубической аппроксимации), Mo/M = 0,8 (при Zo ≈ 0,039 по кубической аппроксимации) и Mo/M = 0,9 (при Zo ≈ 0,040 по кубической аппроксимации). Как видим, с уменьшением Mo уменьшается и Zo, при котором проявляется максимум.

Те же кубические аппроксимации позволяют оценить, что максимумы довольно симметричны и плоски. Прочертив под максимумом горизонталь шириной в 1% по шкале Zo, мы во всех пяти упомянутых треках обнаружили бы, что Z-координата максимума всего на ~2÷5% ширины сдвинута от центра горизонтали в сторону меньших Zo, а снижение tH на краях горизонтали по сравнению с максимумом tH составляет доли процента. Правда, с ростом ширины горизонтали оба эти показателя должны расти.

Зависимость этих показателей от массы по данным пяти треков выглядит так, словно асимметрия пика и его плоскостность у вершины максимальны при Mo/M ≈ 0,6 (см. правый рис. ниже). Истинная ли это тенденция или прихоть случайного разброса точек, решить невозможно, мало статистики. Зато другой важный показатель, отношение максимального tH к tH при условно максимальном физически Zo = 0,04, закономерно (и весьма быстро!) растёт в сторону меньших масс звёзд. По данным пяти треков (см. зелёную линию на том же рисунке) его рост экспоненциален. На левом рис. ниже показан пример максимума для Mo/M = 0,6 и пояснены некоторые обозначения правого рисунка.


зависимость времени жизни звезды массой 0,6 солнечной от начального состава по модели Geneva (the dependence of the lifetime of a star with a mass of 0.6 solar on the initial composition according to the Geneva model)             зависимость времени жизни звёзд разной массы от начального состава по модели Geneva (dependence of the lifetime of stars of different masses on the initial composition according to the Geneva model)


Быстрый рост зелёной кривой в сторону малых масс звёзд побуждает узнать, что будет в этой статистически важной области, где находится порядка 3/4 всех звёзд Вселенной. Выше сказано, что через примерно два триллиона лет растяжение пространства начнёт разрывать звёзды, а по расчётам Адамса с сотрудниками водородное горение карликов массами менее ~0,18 солнечной должно было бы продолжаться дольше двух триллионов лет. Если оба предположения верны, то всем лёгким карликам не суждено догореть до конца, и говорить о их tH бессмысленно. Наш диапазон рассуждений должен кончаться на Mo/M ≈ 0,18. Но треки, моделирующие зависимость tH(Zo), останавливаются на Mo/M = 0,5, и неизученный интервал (его пустота представлена на правом рис. выше) слишком велик для надёжных экстраполяций. Но хотя бы на уровне гипотез кое-что предположить можно.

Нам надо знать зависимость точки максимума от начальной массы звезды, Zmax(Mo). Аппроксимации пяти треков кубическими полиномами по четырём точкам вблизи максимумов дают пять точек, хорошо представляющих Zmax(Mo) в диапазоне Mo/M = 0,5÷0,9. Чтобы продвинуться в зону меньших масс, можно воспользоваться хорошей симметричностью максимумов (см. синюю кривую на правом рис. выше).

Данные моделирования позволяют рассчитать отношения tH(Zoi)/tH(Zoj) как функцию Mo. Если это отношение равно единице, то есть при каких-то двух значениях Zoi и Zoj их tH совпадают, это должно означать, что максимум находится где-то между Zoi и Zoj (и чем он симметричнее – тем ближе к середине этого интервала Zс, а симметричность экстремумов большинства функций возрастает с уменьшением длины интервала). Отношения от tH(Zo=0,04)/tH(Zo=0,03) до tH(Zo=0,01)/tH(Zo=0,006) как функции Mo показаны на левом рис. ниже. Подпись типа «4/3» означает, что это отношение tH(Zo=0,04)/tH(Zo=0,03).


зависимость времени жизни звёзд разной массы от начального состава по модели Geneva (dependence of the lifetime of stars of different masses on the initial composition according to the Geneva model)             зависимость времени жизни звезды массой 0,6 солнечной от начального состава по модели Geneva (the dependence of the lifetime of a star with a mass of 0.6 solar on the initial composition according to the Geneva model)


Три левые точки на каждой зависимости аппроксимировались квадратной параболой и по ней экстраполировались к Mo/M = 0,38 (экстраполяции показаны пунктиром). Число 0,38 было взято из чисто формальных соображений, но можно отметить, что это – самые многочисленные звёзды Вселенной, на графике частоты встречаемости звёзд по массам пик лежит как раз в этой области. Пересечения линий с ординатой, равной единице (розовая линия на координатной сетке) давали значения Mo/M, а соответствующие им значения Zmax вычислялись по усреднённому значению kmax = 3%:


Mo/M = 0,399; 0,386; 0,405; 0,479; 0,623;
Zmax ≈ Zc – 0,03 = 0,77%; 1,17%; 1,67%; 2,47%; 3,47%.


На правом рис. выше точки, полученные этим расчётом, показаны синими квадратами (и их надёжность вниз уменьшается), а пять точек, полученных, как описано выше, интерполяцией кубических полиномов около максимумов, показаны красными ромбами. Профиль получившейся зависимости, показанный зелёным пунктиром, как будто, говорит о том, что около Mo/M = 0,4 максимум tH быстро смещается влево, ко всё меньшим Zo, и у карликов легче Mo/M ≈ 0,37 максимума в физически реальной области уже нет, то есть кривая tH(Zo) у них не возрастает, а убывает с ростом Zo.

Насколько сильно убывает – об этом мы не располагаем никакими данными. То, что выше формально-математически, без какого-либо обращения к физике процессов, извлекалось из треков, может оказаться не более чем математическим артефактом. У нас нет ни одного трека, где максимум tH(Zo) пришёлся бы хотя бы на середину интервала Zo, чтобы посмотреть, как ведёт себя правая ветвь кривой. На существующих треках с максимумами правая ветвь едва намечена. Заметно, что она спадает гораздо более полого, чем поднимается левая ветвь, но сохранится ли эта тенденция в области малых масс, да и будут ли там сами максимумы, мы не знаем.

Остаётся ждать, пока кто-то не пожалеет машинного времени на расчёт устрашающе долгих треков маломассивных карликов с разными Zo, и тогда, получив хотя бы ещё одну-две точки в области наших смелых экстраполяций, мы увидим, удалось ли нам математическими трюками угадать физические тенденции или нет. А до тех пор вернёмся к анализу тех треков, которыми мы располагаем.


Отказ от максимумов

В области Mo/M ≥ 0,5 (а это около четверти всех звёзд Вселенной) максимум tH(Zo) либо отсутствует, либо очень мал. Наибольшее падение tH после максимума (при Mo/M = 0,5) составило всего 2%, что в несколько раз меньше различий между разными моделями. Между тем отказ от воспроизведения максимума расширяет спектр возможностей аппроксимировать зависимость tH(Zo, Mo) (гиперболами, экспонентами и т. п. кривыми).

Выше мы остановились на том, что желательно сравнить данные моделей Geneva и TYCHO. Для TYCHO у нас всего по три значения tH(Zo) для каждой массы, а по трём точкам можно построить множество аппроксимаций, которые будут идеально совпадать со всеми тремя точками. Пример с параболами, гиперболой и экспонентой показан на левом рис. ниже. Ближе всего из них к формам профилей кривых tH(Zo) в модели Geneva, на мой взгляд, оказалась экспонента – коричневая кривая 3. Сравнение tH(Zo) разных моделей, при их заметных различиях, казалось не лучшей идеей. Более адекватным выглядело сравнение каких-то внутренних соотношений каждой модели. Например, уже знакомых нам отношений tH(Zoi)/tH(Z) как функций Mo. Результат показан ниже на правом рисунке.


зависимость времени жизни звёзд массой 0,5 солнечной от начального состава по модели TYCHO (the dependence of the lifetime of stars with a mass of 0.5 solar on the initial composition according to the TYCHO model)         зависимость времени жизни звёзд разной массы от начального состава по моделям Geneva и TYCHO (dependence of the lifetime of stars of different masses on the initial composition according to the Geneva and TYCHO models)


Левый рис.: четыре аппроксимирующие кривые, проходящие точно через три точки модели TYCHO (обозначены квадратами).

1 – квадратная парабола (а);

2 – кубическая парабола (b) с максимально правым для данных трёх точек положением левого максимума;

3 – экспонента (c);

4 – гипербола (d).

Во всех формулах tH дано в млн. лет, а Zo – в процентах.

(a)

tH ≈ −13349,5×Zo2 + 51941,6×Zo + 63858,5;

(b)

tH ≈ 3310,61×Zo3 −24883,63×Zo2 + 62344,56×Zo + 62663,67;

(c)

tH ≈ 117124,5 − 56899,8×e−1,499×Zo;

(d)

tH ≈ 126942 − 0487/(Zo + 0,4069).

Правый рис.: отношения tH(Zoi)/tH(Z) при разных Zoi в модели TYCHO (обозначены ромбами и зелёным цветом) и в модели Geneva (обозначены треугольниками и квадратами; пунктиром обозначены данные, полученные интерполяцией экспоненциальных аппроксимаций tH(Zo) к нужным Zoi и Z = 1,34%).

1 – TYCHO, Zoi = 2,01%;

2 – TYCHO, Zoi = 0,134%;

3 – Geneva, Zoi = 2%;

4 – Geneva, Zoi = 0,134%;

5 – Geneva, Zoi >> 4%;

6 – Geneva, Zoi = 0%.


Из правого рисунка видно, что кривые обеих моделей качественно схожи, имеют сложный характер с локальными экстремумами в окрестностях Mo/M = ~1, где отличия дробей tH(Zoi)/tH(Z) от единицы максимальны, а при удалении от Mo/M = ~1 как в бóльшую, так и в меньшую стороны дроби tH(Zoi)/tH(Z) начинают стремиться к единице.

Простая формула

Последнее обстоятельство побуждает, принеся ещё одну умеренную жертву точности, аппроксимировать зависимость tH(Zo, Mo) простой степеннóй формулой, в которой основанием степени будет параметр Zo/Z, а показатель степени n будет функцией только Mo.

Все доступные данные о tH(Zo, Mo) были разделены на группы по значениям Mo, а внутри каждой группы – на подгруппы по применявшимся в расчётах моделям. Показатели n вычислялись методом наименьших квадратов отдельно для трёх точек модели TYCHO, для шести точек модели Geneva по работе N. Mowlavi et al., 2012 (это самый представительный массив данных), для восьми, десяти и четырёх точек модели Geneva по другим работам и для совокупностей точек TYCHO и Geneva в двух вариантах полноты модели Geneva: только по работе N. Mowlavi et al., 2012 и по всем доступным работам.

Поскольку в коллаборации, работающей по модели Geneva, принято Z = 1,4%, для сопоставимости с более точным значением Z = 1,34% требовалось интерполирование функции tH(Zo, Mo) к Zо = 1,34%. Для точек работы N. Mowlavi et al., 2012, которые не показывали большого разброса, интеполяции делались кубическим полиномом по четырём ближайшим точкам (Zо = 0,6%; 1,0%; 1,4%; 2%). Если же в совокупность точек включались и другие данные, всегда имел место разброс точек (причём особенно заметный в области интеполирования), поэтому интеполяции кубическим полиномом делались по всему массиву, чтобы аппроксимация «чувствовала» влияние всех точек.

Полученные серии значений n(Mo) показаны на рисунках ниже. Левый рисунок охватывает массы до 1,8М, то есть более 90% всех звёзд Вселенной, а правый продолжает его до 20М (для удобства ось масс на правом рис. дана в логарифмическом масштабе). Ромбами разных цветов показаны данные для разных выборок моделей Geneva, треугольники остриями вправо обозначают данные TYCHO, треугольники остриями вверх и вниз – сводные данные по точкам моделей Geneva и TYCHO, а квадраты на правом рис. добавляют данные ещё одной работы*, где по модели MESA рассчитывалось влияние Zо не на tH, а на светимость звёзд массой и 20М, но светимость в первом приближении обратно пропорциональна tH, так что оценить n можно и по таким данным. На левом рис. розовая полоска в кружке на нулевой отметке n тоже даёт косвенную привязку. Полоска – это та область Mo/M ≈ 0,37÷0,38, где, судя по тенденции сдвига максимума функции Zmax(Mo), о которой говорилось чуть выше, график tH(Zo) из возрастающего превращается в убывающий на всём физическим диапазоне значений Zo. В таком случае n из положительного должен стать отрицательным. И произойти это пересечение нуля должно где-то в области полоски.


зависимость времени жизни звёзд массами 0,5-1,8 солнечной от начального состава по моделям Geneva и TYCHO (the dependence of the lifetime of stars with a mass of 0.5-1.8 solar on the initial composition according to the TYCHO and Geneva models)         зависимость времени жизни звёзд массами 1,8-20 солнечных от начального состава по моделям Geneva, TYCHO и MESA (the dependence of the lifetime of stars with a mass of 1.8-20 solar on the initial composition according to the TYCHO, Geneva and MESA models)

1 – Geneva 6 (Mowlavi et al., 2012);

2 – Geneva 10 (Mowlavi et al., 2012 + Ekström et al., 2012 + Georgy et al., 2013a, b + Groh et al., 2019);

3 – TYCHO 3 (Truitt, Young, 2016)

4 – Geneva 8 (Mowlavi et al., 2012 + Ekström et al., 2012 + Georgy et al., 2013a);

5 – Geneva 6 + TYCHO 3;

6 – Geneva 8 + TYCHO 3;

7 –         n = 0,45×m1,25/(0,5 + m2,5);             m = Mо/M – 0,37;

8 – Geneva 4 (Ekström et al., 2012 + Georgy et al., 2013a, b + Groh et al., 2019);

9 – MESA 2*;

10 –         n = 0,28 – 0,14×ln(m).

Числа после названий модели означают число точек в массиве данных tH(Zo), по которым вычислялось значение n.

_______

* F. Martins, A. Palacios. A comparison of evolutionary tracks for single Galactic massive stars // A&A, vol. 560, December 2013 [https://www.aanda.org/articles/aa/full_html/2013/12/aa22480-13/aa22480-13.html].


Заметно, что и в модели TYCHO и в модели Geneva точки образуют ложбинку или даже небольшой провал около Mo/M ≈ 1. В модели Geneva также заметен резкий обвал около Mo/M ≈ 1,5. Данные MESA очень сильно (на порядок) отличаются от Geneva, но это всё-таки не данные о tH. Впрочем, все эти нюансы нет смысла математизировать, так как для этого у нас слишком мало однородных точек.

Достаточную точность (по крайней мере, не худшую, чем различия между разными моделями) даёт простейшее эмпирическое приближение (7), показанное на графиках фиолетовым пунктиром. В нём пять подгоночных констант, и я не стал тратить усилия на их оптимизацию методом наименьших квадратов, так как при скудости и неоднородности массива аппроксимируемых точек это было бы профанацией. Четыре из численных значений, которые входят в (7), подобраны «на глазок» вручную, а пятое, величина 0,37 в формуле для m, заимствована из раздела о максимуме функции tH(Zo).

На правом верхнем рисунке, если не игнорировать данные MESA, фиолетовый пунктир кажется наилучшим компромиссом. Но без данных MESA заметна хорошая линейность точек, показанная оранжевым пунктиром (10). Линейность в логарифмических координатах проявляется и для меньших масс, как видно по рис. справа, на котором символы те же, что на предыдущих двух графиках, а пунктирные линии заданы уравнениями:

зависимость времени жизни звёзд массами 0,5-7 солнечных от начального состава по моделям Geneva, TYCHO и MESA (the dependence of the lifetime of stars with a mass of 0.5-7 solar on the initial composition according to the TYCHO, Geneva and MESA models)

n = 0,334 + 0,112×ln(m);             n = 0,283 – 0,140×ln(m).

Подобные ломаные графики хорошо аппроксимируются суммой гиперболы и прямой, т. е. функцией вида:

n ≈ A1 + A2×ln(m) ± {A3 + [A4 + A5×ln(m)]2 }0,5,

в которой все константы, кроме A4, задаются коэффициентами восходящей и нисходящей прямых-асимптот, а A4 задаёт «остроту» закругления графика под точкой пересечения асимптот: чем меньше A4, тем острее это закругление. В точке пересечения асимптот происходит и смена знака перед фигурной скобкой с плюса на минус. Добавив к этому выражению некую подходящую S-образную функцию, можно было бы смоделировать даже ложбинки, впадинки и резкие спады зависимости n(Mo), о которых говорилось выше.

Но этот вид формулы плох тем, что ln(m) не определён для отрицательных m, а у нас при массах Mo/M < ~0,37 неизбежно m будет отрицательным (при том, что в этом диапазоне масс сосредоточено порядка 60% всех звёзд Вселенной!).

Неудачно в логарифмической аппроксимации и то, что она при удалении от точки пересечения прямых (n ≈ 0,312; m ≈ 0,82; Mo/M ≈ 1,2) слишком резко уходит вниз. Это выглядит нефизично. Например, в области масс Mo/M > ~12 модель Geneva показывает возникновение максимумов функции tH(Zo), подобных тем, о которых выше мы говорили в области малых масс. Из-за скудности данных нельзя сказать, обусловлено ли это физикой или просто явилось артефактом при сведении данных из разных статей, но в любом случае, максимумы и при малых и при больших массах довольно плоские, а этого не было бы при сильно отрицательных n.

Поэтому я окончательно останавливаюсь на простой степенной аппроксимации (7). Она обеспечивает умеренно (как и нужно) отрицательные n при малых массах, вплоть до космологического предела (Mo/M = ~0,18) и даже до водородного предела (Mo/M = ~0,08). Правда, при больших массах она не даёт n < 0, но там нам и моделировать n нет стимула ввиду весьма слабой зависимости tH(Zo). А там, где эта зависимость наиболее сильна, функция (7) хорошо справляется с задачей приблизительной оценки.


Подведём итоги.

1) Зависимость tH(Zo), при нынешнем уровне достоверности моделирования, имеет смысл учитывать лишь в области начальных масс Mo/M = ~0,5÷3,5, где потенциальные различия в долгожительстве древних (с Zo = ~0) и молодых либо будущих звёзд (с Zo > ~0,04) могут достигать ~1,4÷3,5 раз, т. е. ~0,15÷0,5 десятичных порядков.

2) Эти различия максимальны в области Mo/M = ~0,8÷1,5, а в области меньших и больших масс угасают.

3) Для количественной оценки этих различий можно воспользоваться приблизительной эмпирической формулой, которая удовлетворительно работает во всём физическом диапазоне Mo и Zo:

tH(Zo, Mo) ≈ tH(Z, Mo)×(Zo/Z)n;             n = 0,45×m1,25/(0,5 + m2,5);             m = Mо/M – 0,37.

4) Зависимость tH(vo), при нынешнем уровне достоверности моделирования, можно не учитывать, если только речь не идёт об очень высоких скоростях вращения, более ~400 км/с, которые встречаются весьма редко.


Фактор Mo

Теперь мы можем ограничиться рассмотрением звёзд только солнечного состава и без вращения. А при необходимости сделать для звёзд иного состава корректировку по вышеприведённым формулам.

Сделав это для данных, приведённых в конце вставки, получаем такой график в билогарифмических координатах (по шкале tH значения даны в млн. лет; более жирные линии на координатной сетке отмечают значения: с буквой G – 1 млрд. лет, с буквой T – 1 трлн. лет):


время жизни звёзд разных начальных масс на главной последовательности (lifetime of stars of different initial masses on the main sequence)


Как видим, при удовлетворительной, в целом, схожести модельных данных разных авторов, на графике имеется досадный пробел в области начальных масс от 0,25 до 0,5 солнечной. Причём граничные данные слева и справа от пробела начинают даже в рамках своих серий как-то отклоняться от тенденции, а серии разных авторов всё хуже согласуются друг с другом. Возникает интрига: как же ведёт себя зависимость tH(Mo) на этом отрезке, где, между прочим, находится почти четверть всех звёзд Вселенной? Как «сшить» на этом участке данные слева с данными справа?

Тёмная энергия

Кстати, о данных слева здесь стоит поговорить ещё и с учётом космологии. На нашем сайте уже рассказывалось о том, что грядущее расширение Вселенной будет преодолевать гравитацию всё более малых объектов и при возрасте порядка триллион с хвостиком лет как раз доберётся до красных карликов. Оценки, которые там приводились, конечно, весьма приблизительны, они не касаются механизма процесса, не описывают его динамику, а просто примитивно сравнивают силу гравитационного притяжения частицы на поверхности звезды и квазисилу растяжения пространства в той же точке.

На самом деле пришлось бы потрудиться во много раз больше, чтобы проследить, как растяжение пространства ещё задолго до тех ориентировочных сроков, которые оценивались описанным способом, начинает вмешиваться в баланс сил гравитации и электромагнетизма. Если же не браться за эту непосильную для меня задачу, то можно хотя бы ограничиться качественным соображением: на самом деле космологическое разрушение любых объектов будет происходить раньше тех сроков, которые можно получить простейшим сравнением сил.

Для нашей задачи этого будет практически достаточно. Верхний предел времени, когда пространство начнёт отрывать вещество с поверхности звезды (tD, млрд. лет), в упомянутой публикации приводился, здесь формулу достаточно модифицировать в калиброванные по Солнцу величины массы и радиуса звезды:

tD ≈ 1040 + 17,7•ln(M/R3) = 1193 + 17,7•ln[(M/M)/(R/R)3].

Радиусы красных карликов, по расчётам Лафлина с сотрудниками, почти всё время их водородного горения остаются постоянными, но под конец начинают вести себя своеобразно: ненадолго сжимаются, а затем сильно возрастают для карликов с массами 0,25÷0,16•M (это как бы их попытка стать красными гигантами, как «большие» звёзды в конце водородной стадии). Около 0,14•M раздувание очень мало и быстро сменяется сжатием почти вдвое, а у ещё более лёгких карликов стадии расширения нет вовсе, зато сжатие становится всё сильнее. Это изображено на графике, открывающем сводку исходных данных ниже.

Если массы и радиусы с этого графика подставлять в формулу для tD, получается, что примерно на границе 0,25•M tD становится меньше времени жизни карлика. Так, карлик массой 0,2•M должен был бы прожить 1,610 трлн. лет. Однако при его начальном радиусе 0,267•R уже к возрасту Вселенной 1,236 трлн. лет тёмная энергия начнёт растаскивать атомы с его поверхности. Предположим, что в результате карлик на какой-то стадии геометрически уменьшится вдвое и потеряет порядка 10% массы (примерно такие порядки величин вытекают из его типичного градиента плотности). Такой рудимент начнёт растаскиваться тёмной энергией к возрасту Вселенной 1,356 трлн. лет. Ещё более малый рудимент массой вдвое меньше, а радиусом в сто раз меньше исходных начнёт растаскиваться к возрасту Вселенной 1,467 трлн. лет, и т. д.

Не забудем, что все эти возрастные оценки – верхние (и довольно грубые). В действительности всё должно происходить иначе и, несомненно, быстрее. Таким образом, из своих отпущенных 1,610 трлн. лет этот карлик проживёт не более ~70÷80%.

У карлика с начальными массой 0,25•M и радиусом 0,309•R и плановым tH ≈ 1,090 трлн. лет получается tD ≈ 1,231 трлн. лет. Казалось бы, с таким запасом «прочности на разрыв» он имеет шанс дожить до своих 1,090 трлн. лет, даже с учётом всех оговорок насчёт оценки tD. Однако примерно в возрасте 0,794 трлн. лет, миновав перед этим стадию некоторого сжатия, он начинает разбухать в попытке стать красным гигантом. К возрасту 1 трлн. лет его радиус достигает 0,364•R, уменьшая время космологического отрыва вещества с поверхности до tD ≈ 1,222 трлн. лет. К возрасту 1,086 трлн. лет его радиус достигает R, уменьшая время космологического отрыва вещества с поверхности до tD ≈ 1,168 трлн. лет. Через очень короткое время (видимо, менее 1 млрд. лет) радиус увеличиваеся более чем в 10 раз по сравнению с исходным, что влечёт сокращение времени космологического отрыва вещества с поверхности до tD < 1,1 трлн. лет. С нашей примитивностью оценок не решить, что же победит в этой гонке, но интуитивно мне кажется, что победит тёмная энергия: карлик начальной массой 0,25•M чуть-чуть не дотянет до расчётного срока своей жизни.

Можно как-то переопределить для таких особых случаев термин tH. Всё-таки, к моменту финального распухания звёзды львиная доля её водорода успела превратиться в гелий. Но это, в общем, отдельная тема. Ею лучше заняться после того, как появятся профессионально сделанные расчёты физики малых звёзд в условиях космологического расширения. Поэтому, возвращаясь к нашей задаче, ограничимся такими выводами:

● для Mо ≥ ~0,25•M время жизни на главной последовательности, полученное обычным астрофизическим моделированием, можно считать космологически достижимым;

● для Mо < ~0,25•M время жизни на главной последовательности, полученное обычным астрофизическим моделированием, вероятно, окажется космологически недостижимым: ранее достижения tH начнётся, из-за расширения пространства, прогрессирующий отрыв и рассеивание вещества звезды, начиная с её внешних слоёв (процесс полного рассеяния может занять несколько сот миллардов лет – сравнительно небольшую долю от tH таких звёзд, исчисляемого триллионами лет).

Более утилитарно это можно свести к тому, что искомая формула tH = f(Mo) должна соответствовать результатам астрофизических моделей хотя бы до масс Mo > ~(0,2÷0,25)•M. Таким образом, интрига с пробелом величин tH в диапазоне Mo = (0,25÷0,5)•M полностью остаётся в силе даже при учёте космологии.


Для разгадки интриги можно попытаться взглянуть не на данные моделирования, а на реальные астрофизические данные. В обзоре* Парсонса с сотрудниками приводятся физические параметры (в частности, массы, радиусы и эффективные температуры поверхности) для 96 звёзд спектрального класса М, у которых эти параметры наиболее достоверно измерены. Массы этих звёзд лежат между 0,12•M и 0,77•M, т. е. с хорошим захватом покрывают интересующий нас диапазон.

_______

* S. G. Parsons et al. The scatter of the M dwarf mass-radius relationship. Table A1. // MNRAS (2018) [https://arxiv.org/pdf/1808.07780.pdf].


Интересно оценить «склонность» этих 96 довольно разнородных M-карликов проявлять какие-то общие закономерности. Для такой оценки можно, например, рассмотреть взаимосвязь тех или иных параметров данных звёзд друг с другом (попутно мы оценим и уровень случайных погрешностей данных).

Для уменьшения «шума» случайных погрешностей я предварительно построил зависимости радиусов и эффективных температур этих звёзд от их массы, что и само по себе интересно. Для дополнительного подавления шумов я добавил к базам данных по М-карликам ещё две опорные точки: слева R – M- и T – M-зависимости М-карликов должны более или менее гладко переходить в аналогичные зависимости коричневых карликов, а справа – более или менее гладко стыковаться с данными Солнца.

Результаты с аппроксимациями кубическими полиномами (пунктирные линии) показаны на рис. ниже. Аппроксимация R – M-зависимости оказалась хорошей даже без добавки опорных точек: слева при нулевой массе формула даёт и практически нулевой радиус, справа при массе Солнца получается радиус 1,02 солнечного.

Аппроксимация T – M-зависимости без опорных точек (красный пунктир на правом графике и формула «a» ниже) давала хороший результат в области малых масс (температуры порядка сотен Кельвинов, как и должно быть у коричневых карликов). Однако в сторону Солнца она работала плохо, предсказав для поверхности нашего светила температуру 10625 К.

После добавления нулевой и солнечной опорных точек (фиолетовый и жёлтый кружки на графиках) и исключения из расчётной базы двух карликов с наиболее выбивающимися из ряда значениями поверхностных температур (это HD205403b с Т = 4651 К и KIC1571511b с Т = 4100 К, на графике их исключённые точки обведены синими окружностями) аппроксимация (коричневый пунктир на графике и формула «b»), сохранив реалистичный прогноз в сторону малых масс (сотни Кельвинов), смогла дать реалистичную температуру и для Солнца (6198 К, завышение на 7%).


Зависимость радиусов М-карликов от их масс (Dependence of the radii of M-dwarfs on their masses)         Зависимость температур поверхности М-карликов от их масс (Dependence of surface temperatures of M-dwarfs on their masses)

(R/R) ≈ 0,6837•(M/M)3 – 0,9577•(M/M)2 + 1,2959•(M/M) + 0,0026;
T[K] ≈ 39393,2•(M/M)3 – 51294,9•(M/M)2 + 22209,1•(M/M) + 317,8;             (a)
T[K] ≈ 18241,2•(M/M)3 – 28261,7•(M/M)2 + 15549,5•(M/M) + 669,0;             (b)


Правый график оставляет впечатление, что формула «a» лучше соответствует температурам самых лёгких М-карликов, а формула «b» – температурам самых тяжёлых. Можно условно провести границу между формулами на массе, при которой красная и коричневая кривые на правом графике пересекаются. Это M ≈ 0,39•M.

Одной из важнейших для астрофизиков является зависимость светимости L от массы звезды. Здесь в качестве дополнительных опорных точек я добавил данные расчётов Мавлави с сотр. для звёзд массой не выше солнечной (они на графике ниже показаны жёлтыми ромбиками). Возраст карликов в выборке Парсонса с сотр. указан редко и не очень точно, поэтому я из данных Мавлави с сотр. брал светимости звёзд в возрасте 5 млрд. лет. Пунктиром показана аппроксимация* по данным Парсонса и Мавлави с сотр., а голубой линией – расчёт по формуле Cuntz & Wang** 2018 года, приводимой в Википедии (эта формула работает в диапазоне масс (0,2÷0,85)•M):


Зависимость светимости М-карликов от их масс (Dependence of the luminosity of M-dwarfs on their masses)


* L/L ≈ 1,209•(M/M)z;         z = 7,9562 + 5,2428•ln(M/M) + 1,5431•ln2(M/M);
** L/L ≈ (M/M)α;         α = 0,215 + 33,29•(M/M) – 129,1•(M/M)2 + 232,4•(M/M)3
– 141,7•(M/M)4.


Можно заключить, что все три последних графика показывают вполне удовлетворительную «законопослушность» большинства членов выборки. (Некоторая тенденция зелёных точек на последнем графике устремиться вверх в области максимальных масс – это случайный артефакт. Дело в том, что карлики GJ 570A и GJ 892, которым принадлежат две выбивающиеся точки – это звёзды почтенного возраста, 10–11 млрд. лет, и их светимость, как будет видно из следующего графика ниже, и должна быть ощутимо выше, чем у звёзд усреднённого возраста 5 млрд. лет.)*

_______

* Другим артефактом, возможно, является наиболее отклонившаяся точка графика. Это младший член двойной системы 19c-3-08647b. Аппроксимация даёт для его массы, равной 0,244•M, светимость 0,0072•L, по данным же Парсонса с сотр. получается заметно больше, 0,0179•L. Источником данных указана работа Круз с сотр.**. Однако в таблице 5 этой работы светимость 19c-3-08647b указана в пределах (0,0089÷0,0195)•L, – нижняя граница, как видим, гораздо ближе к аппроксимации.

** P. Cruz et al. Low-mass eclipsing binaries in the WFCAM Transit Survey: the persistence of the M-dwarf radius inflation problem // MNRAS (2018) [https://arxiv.org/pdf/1803.00137.pdf].


Во вступительной части данной вставки излагались постулаты, принятые для оценки времени жизни звёзд на главной последовательности. Из них следует, что tH должно быть равно EMS/‹L› и пропорционально Ma/‹L›, где ‹L› – средняя светимость (суммарная мощность излучения звезды во всех диапазонах), EMS – энергия, выделенная за время жизни звезды на главной последовательности (горения водорода), а Ma – масса «активного», то есть реакционноспособного водорода, который превратится в гелий за время жизни звезды на главной последовательности.

Нам, конечно, работая с данными о реальных звёздах, вместо ‹L› удобнее иметь дело с L, а вместо Ma – с исходной массой звезды Mо (или просто с массой, поскольку на главной последовательности масса меняется мало). Но связи ‹L› с L и Ma с Mо мы можем искать только в данных моделирования. И затем переносить на реальные звёзды, уповая, что моделирование хорошо имитирует реальность.

Начнём со светимости. Для расчёта ‹L› надо иметь данные о динамике L в течение всего этапа главной последовательности.

В доступной онлайн-базе данных Мавлави с сотрудниками* есть динамика светимости моделируемых звёзд, L (астрономы измеряют её не в Ваттах, а в единицах светимости Солнца в нашу эпоху, L☉ 2020 ≈ 3,84•1026 Вт):

_______

* N. Mowlavi et al. (2012), grids database [http://obswww.unige.ch/~mowlavi/evol/denseGrids/].


На графике справа показана динамика мощности излучения Солнца L(t) на этапах главной последовательности и перехода к стадии красного гиганта после 8,54 млрд. лет. Проинтегрировав мощность за всё время первого этапа, получим выделенную энергию EMS, а поделив её на удельную энергию синтеза гелия (6,3•1014 Дж/кг), найдём Ma и далее Ma/Mо.

Эволюция мощности излучения Солнца (Evolution of the solar radiation power)

The graph on the left shows the dynamics of the solar radiation power L(t) at the stages of the main sequence and the transition to the stage of the red giant after 8.54 billion years. By integrating the power for the duration of the first stage, we obtain the released energy EMS, and dividing it by the specific energy of helium synthesis (6.3x1014 J/kg), we find Ma and then Ma/Mо.

Как видим, за время tH светимость Солнца возрастает почти вдвое. Так же ведут себя светимости и других звёзд. Если мы, не зная возраст звезды (а определение возраста звезды – очень сложная задача), но зная, что большинство звёзд нашей Галактики образовались в пределах последних 10 млрд. лет, будем условно принимать, что звезде 5 млрд. лет (примерная середина интервала возможных возрастов), то ошибка в её текущей светимости для звёзд массами около солнечной, как видно из последнего графика, может достигать ~ ±50%!

Однако чем меньше начальная масса звезды, тем дольше её tH. Если у звёзд, близких по массе к Солнцу, названная неопределённость возраста может быть одного порядка с величиной tH, то у звезды вдвое меньшей массы та же неопределённость возраста в 10 млрд. лет даёт неопределённость в tH лишь около 13% и неопределённость в светимости лишь около 4%: максимум настолько она может быть выше, чем в начале водородного горения.

А у звёзд из нашей пробельной зоны массы ещё меньше, и постоянство их светимостей ещё выше. Мы без большой ошибки вправе считать, что каков бы ни был их возраст, они светят так, будто только что родились. Это хорошее для нас обстоятельство. По массе карлика, как видно из последнего графика, можно довольно точно рассчитать величину L ≈ Lo.

Но есть и плохое. Следующим шагом нам нужно получить зависимость ‹L› от Lo. Её мы можем найти лишь в данных моделирований, а именно – в динамике светимости за время нахождения звезды на главной последовательности. К сожалению, этих данных почти никто не публикует в Сети. Кроме онлайн-базы Мавлави с сотр. я нашёл их лишь в ранней работе A. Трутт с сотр.* Они приведены не в табличной, а в графической форме (что вносит ошибку при измерениях координат на скриншотах графиков), а вдобавок, tH в них на 2÷28% меньше данных, опубликованных двумя главными авторами годом позже**.

_______

* A. Truitt, P. A. Young, A. Spacek, L. Probst, J. Dietrich. A Catalog of Stellar Evolution Profiles and the Effects of Variable Composition on Habitable Systems, fig. 3– 5 [https://repository.asu.edu/attachments/160461/content/HZ_paper_2015_accepted.pdf].

** A. Truitt, P. A. Young. Op. cit. (2016).


Следующий неприятный сюрприз преподнесло сравнение данных двух этих научных коллективов. Зависимости ‹L› от Mo и Lo от Mo у них совпадали вполне удовлетворительно (см. графики ниже) и достаточно правдоподобно экстраполировались в область пробела масс (от четверти до половины M) кубическими полиномами* (показаны пунктиром):


Зависимость средней светимости от исходной массы звезды (Average luminosity versus initial star mass)     Зависимость начальной светимости от исходной массы звезды (Dependence of the initial luminosity on the initial mass of the star)


* ln(‹L›/L) ≈ –3,381•(Mo/M)3 + 6,558•(Mo/M)2 + 1,690•(Mo/M) – 4,818;
ln(Lo/L) ≈ –2,031•(Mo/M)3 + 3,225•(Mo/M)2 + 4,376•(Mo/M) – 5,896.


Однако нужная нам зависимость ‹L›/Lo от Mo обнаружила куда меньшее совпадение, а в области пробела масс – даже противоположные тенденции то ли роста, то ли убывания (см. рис. справа, пунктиром там показано отношение ‹L›/Lo, полученное из аппроксимирующих формул под предыдущей парой графиков). Увы, надёжной такую экстраполяцию не назовёшь!

Зависимость отношения средней светимости к начальной светимости от исходной массы звезды (Dependence of the ratio of the average luminosity to the initial luminosity on the initial mass of the star)

However, the required dependence of ‹L›/Lo on Mo showed much less coincidence, and in the region of the gap in masses even opposite tendencies of either growth or decrease (see the figure on the left, the dotted line shows the ratio ‹L›/Lo obtained from approximating formulas under the previous pair of graphs). Alas, such an extrapolation cannot be called reliable!

В принципе, логика в ней есть. Чем меньше масса карлика, тем дольше он горит, и тем дольше, в частности, горит в фазе зрелости, при повышенных температурах. Это должно было бы приводить к росту ‹L›/Lo при уменьшении Mo. Но сколько других сложных и разнонаправленных факторов ядерного горения мы не учитываем при таком упрощённом взгляде? И где гарантия, что в каких-то диапазонах масс не возобладают какие-то противоположно действующие факторы?

Нет, умозрительно зависимость ‹L›/Lo от Mo не предскажешь. Возможно, честнее и проще положить, что у звёзд массой менее половины солнечной ‹L›/Lo ≈ const ≈ 1,5. Возможная при этом ошибка, как можно предположить, глядя на последний график, вероятно, не превысила бы нескольких десятков процентов. В логарифмической шкале, в которой будет строиться наш главный график tH(Mo), это не так уж много.

Примерно таков же порядок разброса точек на приведённом выше графике зависимости светимостей от масс красных карликов. Итак, сложив эмпирические и теоретические неточности и неопределённости, констатируем, что с погрешностью, видимо, не более полупорядка мы можем в пробельном диапазоне масс от половины до четверти солнечной предсказать по начальной массе звезды её начальную светимость.


Теперь перейдём к оценке активной массы водорода по начальной массе звезды. Эту зависимость мы также можем искать лишь в данных моделирований, и вновь сетевые данные ограничивают нас теми же двумя источниками: расчётами Мавлави и Трутт с сотр.

Проблемы, возникающие при попытке экстраполяции этих данных в пробельную область масс, практически те же, что в случае светимостей. Зависимости ведут себя по-разному у каждой группы исследователей и не обнаруживают внятной тенденции при движении в сторону уменьшения начальных масс.

На левом графике ниже показаны зависимости Ma, а на правом (в полулогарифмической шкале) – Ma/Mo от Mo/M (всюду аппроксимации и экстраполяции показаны пунктирными линиями):


зависимость массы реационноспособного водорода от начальной массы звезды (dependence of the mass of reactive hydrogen on the initial mass of the star)     зависимость массы реационноспособного водорода от начальной массы звезды (dependence of the mass of reactive hydrogen on the initial mass of the star)


Для данных Мавлави с сотр. красный пунктир – это экстраполяция трёх ближайших квадратных точек левого графика прямой линией*. Фиолетовый пунктир – такая же экстраполяция четырёх ближайших точек правого графика**. (Кстати, если бы мы на правом графике экстраполировали те же четыре точки не прямой линией, а квадратным или кубическим полиномами, то вместо фиолетовой прямой получилось бы нечто схожее с красным пунктиром.) Своя логика есть в каждом подходе, а результаты весьма различны: и какой прикажете выбрать?


* Ma/M = 0,0516 + 0,0645•Mо/M;         Ma/Mо = 0,0645 + 0,0516•M/Mо;

** Ma/Mo = 0,2419 – 0,1498•Mo/M;         Ma/M = 0,2419•Mo/M – 0,1498•(Mo/M)2.


Причудливый «синусоидальный» профиль данных Мавлави с сотр., особенно на левом графике, откровенно говоря, не внушает уверенности, что линейные или полиномиальные аппроксимации тут вообще уместны. Почему бы кривой, например, не продолжать колебаться? Или повести себя ещё как-нибудь непредсказуемо? Ведь физика ядерного «горения» водорода весьма чувствительна к процессам отвода тепла реакции, а эти процессы как раз в области масс от ~0,3•M до ~1,5•M несколько раз качественно меняются, как и ряд других важных деталей реакции.

Данные Трутт с сотр. ограничены тремя точками, и при такой скудости их можно экстраполировать самым разным образом. Три пунктирные линии – это их экстраполяции кубическими полиномами в предположении, что активная масса водорода у звезды с начальной массой Mо = 0,25•M составляет (0,05*; 0,06**; 0,07***)•M. Это предположение фактически даёт нам четвёртую точку в дополнение к трём, взятым из данных Трутт с сотр., и диапазон выбора величины активной массы в этой четвёртой точке не совсем произволен, как будет видно в следующем абзаце.


* Ma/Mо ≈ −0,06155•ln3(Mо/M) − 0,0702•ln2(Mо/M) − 0,04768•ln(Mо/M) + 0,1049;
** Ma/Mо ≈ −0,0881•ln3(Mо/M) − 0,0838•ln2(Mо/M) − 0,04433•ln(Mо/M) + 0,1049;
*** Ma/Mо ≈ −0,1146•ln3(Mо/M) − 0,09735•ln2(Mо/M) − 0,04098•ln(Mо/M) + 0,1049.


На этом распутье весьма кстати оказываются данные Лафлина с сотр. об остаточной доле водорода в оболочке звезды в конце его горения (см. первую табличку в своде исходных данных ниже). Вычтя остаточную долю XH(tH) из исходной, которая в их модели равнялась XH(0) = 0,7, получим оценку Ma/Mо для оболочки. В ядре, где происходит синтез гелия, остаточная доля водорода в конце этапа главной последовательности по определению практически равна нулю. Хотя соотношение масс ядра и оболочки в статье не приводится, оно заведомо велико, потому что в ядрах сосредоточена основная масса звёзд. Таким образом, для звезды в целом Ma/Mо должно быть ощутимо выше, чем для оболочки.

Красный квадратик на графиках показывает для Mо = 0,25•M нижний уровень, рассчитанный по оболочке звезды (0,0473•M); заметно более высокое значение для всей звезды на графиках символизирует стрелка, растущая из красного квадаратика. Эта стрелка ясно указывает нам, что экстраполяция для данных Мавлави не должна лежать ниже фиолетового пунктира. Видимо, она должна проходить близко к красному пунктиру. Эта же стрелка определила и диапазон величин активной массы водорода при добавлении четвёртой точки к данным Трутт с сотр.

Конечно, схождение экстраполяций из данных Мавлави и Трутт с сотр. примерно на острие стрелки нельзя считать аргументом в пользу значимости этих экстраполяций. Слишком уж различаются аппроксимации в остальном диапазоне масс, а в области экстраполяции они, как и в случае со светимостями, даже разнонаправлены. В такой ситуации лучше остановиться на простейшей линейной аппроксимации* (см. рис. справа).

зависимость массы реационноспособного водорода от начальной массы звезды (dependence of the mass of reactive hydrogen on the initial mass of the star)

Of course, the convergence of extrapolations from the data by Mowlavi et al. and by Truitt et al. roughly at the tip of the arrow cannot be considered an argument in favor of the significance of these extrapolations. The approximations in the rest of the mass range are too different, and in the extrapolation region, as in the case of luminosities, they are even counter-directed. In such a situation, it is better to limit ourselves to the simplest linear approximation * (see the figure on the left).


* Ma/M ≈ 0,0304•(Mо/M) + 0,0647.


Судя по графику, погрешность при использовании этой линейной формулы вряд ли превысит несколько десятков процентов.


Вооружившись формулами для расчёта ‹L› по Lo и Ma по Mо, можно по базе Парсонса с сотрудниками, которая содержит данные о L ≈ Lo и M ≈ Mо, оценить, как у красных карликов tH (млрд. лет) зависит от Mо:


tH = EMS/‹L› = 104•(Ma/M)/(‹L›/L) ≈ 104•[0,0304•(M/M) + 0,0647]/[1,5•L/L].


Далее можно пойти двумя путями: либо подставлять в эту формулу данные о массах и светимостях из сводки Парсонса с сотр., либо, воспользовавшись аппроксимацией зависимости светимости от массы, которая дана под графиком этой зависимости выше, свести формулу к зависимости только от массы:


tH ≈ 3,71•[1 + 0,470•(M/M)]/(M/M)z        z = 7,9562 + 5,2428•ln(M/M) + 1,5431•ln2(M/M).


На графике ниже первый вариант представлен зелёными точками, второй – пунктирной линией. Также нанесены данные моделирования для примыкающих областей исходных масс.

===

На рис. справа показана в билогарифмических координатах зависимость комплекса M/(R2•T4) (с техническими множителями) от массы звезды. Точки рассчитаны по табличным значениям радиусов и температур М-карликов, а красная и коричневая пунктирные кривые – по аппроксимированным значениям. На координатной сетке пунктиром показана граница областей предпочтительной применимости формул «a» и «b».

Зависимость времени жизни М-карликов от их масс (Dependence of the lifetime of M-dwarfs on their masses)

The figure on the left shows in bilogarithmic coordinates the dependence of the complex M/(R2•T4) (with technical factors) on the mass of the star. The points are calculated from tabular values of the radii and temperatures of M-dwarfs, and the red and brown dashed curves from the approximated values. The dotted line on the coordinate grid shows the boundary of the regions of preferred applicability of the formulas a and b.

Как видим, и точки и обе кривые в интересующем нас диапазоне масс (0,25÷0,5)•M предсказывают плавное, в билогарифмических координатах – близкое к линейному, изменение tH при изменении массы звезды.

Теперь объединим данные этого графика и графика сводных результатов моделирования для интересующего нас диапазона масс и его окрестностей. К данным Адамса с сотр., полученным для самых лёгких звёзд, я в дополнение к предыдущему графику помещаю на краях их серии две «альтернативные» точки: эти значения в статье Адамса с сотр. сообщены в тексте и отличаются от значений, представленных в той же статье на графике. Произвольный множитель к комплексу M/(R2•T4) я «на глазок» подобрал так, чтобы:

1) зелёные точки и пунктирные кривые расположились визуально ближе (или, вернее, компромисснее) всего к смежным сериям данных моделирования;

2) пунктирные линии для солнечной массы следовали логике формул «a» и «b»: обе эти формулы завышают температуру Солнца, соответственно, занижают его tH, но коричневая кривая – не слишком значительно, а красная – заметно больше.


Зависимость времени жизни лёгких звёзд от их масс (Dependence of the lifetime of light stars on their masses)


===










Расчёт показал, что в женевской модели отношение tH (max)/tH (min) проходит максимум порядка 4 при (например, до ~2,5 при Mo/M > ~1,5 и Mo/M < ~0,8). Наличие максимума при Mo/M ≈ 1,1 в проявлении влияния Zo на tH отмечалось .

В модели TYCHO максимум тоже есть, но более плоский, и его пик смещён к Mo/M ≈ 0,8, где tH (max)/tH (min) ≈ 3,2.

Чтобы точнее локализовать максимум, нужно экстраполяцией находить для каждой Mo величину tH (min) при Zo = 0. В женевской модели мы для экстраполяций имеем от 6 до 10 точек при каждой Mo/M = 0,5÷3,5 и по четыре точки для Mo/M = 4÷15 (а при Mo/M = 20÷120 точек по три, но в этой области влияние Zo на tH уже практически неощутимо).

В модели TYCHO полная онлайн-база данных с 15-ю значениями Zo для каждой Mo более недоступна, и я располагаю только тремя точками из таблицы в статье. По ним можно построить не более чем «переобученный» квадратичный полином, и он получается нереалистичным, с резким максимумом около Zo ≈ 2÷2,5%, тогда как в женевской модели максимумы кубических аппроксимаций с ростом Mo/M от 0,5 до 0,7 быстро смещаются от Zo ≈ 2,6% к Zo ≈ 3,9% и далее с ростом Mo/M до 1,2 либо продолжают возрастать, либо замещаются точками перегиба. Поэтому встала задача перейти к какой-то иной координате f(Zo), которая вблизи Zo = 0 стремилась бы к Zo (чтобы не внести систематической ошибки в экстраполяцию), а далее прогрессивно «поджимала» бы ось абсцисс, чтобы характер кривых больше напоминал параболы или прямые, особенно в области малых Zo. И, для учёта сближения моделей Geneva и TYCHO при Zo ─► 0, нужно на новую координату наложить ещё требование, чтобы полученные в ней аппроксимации при экстраполяции к Zo = 0 давали близкие значения tH (min) для обеих моделей.

, гиперболы, экспоненты и т. п. кривые

от 0,1 Z до 1,5 Z увеличивало в модели A. Truitt и P. A. Young tH звёзд с начальными массами 0,5÷1,2 M почти вдвое (с зависимостью вида tH ~ Z1/4, см. правый рис. ниже). Хотя в логарифмической шкале, на которой обычно представляют вид зависимости tH(Mo), разница почти вдвое – это менее трети одного десятичного разряда (одной клеточки на графике).

В другой (женевской) модели ранее были получены несколько иные результаты, представленные на левом рис. ниже. Из них видно, что влияние Z на tH, во-первых, имеет максимальный эффект около Мo ≈ 1,1×M, а у звёзд меньшей и большей массы в интервале 0,5 < Мo < 3,5 это влияние затухает, особенно в сторону карликов. Во-вторых же, и влияние Zo на охваченном интервале моделирования 0,43 < Zo/Z < 2,86 тоже затухает при отклонениях Zо от Z как в меньшую, так и в бóльшую стороны. В то же время зависимость вида tH ~ Zo1/4, которую я добавил на женевский график голубым пунктиром, не затухает, а, наоборот, ускоренно возрастает при Zo > Z.


зависимость времени жизни звёзд от содержания элементов тяжелее гелия по данным N. Mowlavi et al., 2012 (the dependence of the lifetime of stars on the content of elements heavier than helium according to N. Mowlavi et al., 2012)

зависимость времени жизни звёзд от содержания элементов тяжелее гелия по данным N. Mowlavi et al., 2012 и A. Truitt, P. A. Young, 2016 (the dependence of the lifetime of stars on the content of elements heavier than helium according to N. Mowlavi et al., 2012, and A. Truitt, P. A. Young, 2016)

зависимость времени жизни звёзд солнечной массы от содержания элементов тяжелее гелия по данным L. Amard et al., 2008–2019 (the dependence of the lifetime of solar mass stars on the content of elements heavier than helium according to L. Amard et al., 2008–2019)


На двух графиках вверху справа данные этих и ещё нескольких групп учёных представлены в двойных логарифмических координатах в виде tH(Mо/M, Zo/Z). Там же голубым и зелёным цветом показаны зависимости tH ~ Zo1/4, которые в этих координатах являются прямыми линиями под фиксированным углом наклона к осям. Заметно, что в области масс Mо > M голубые линии удовлетворительно соответствуют результатам моделирования, а в области меньших масс начинается разнобой, усиливающийся в сторону Zo > Z. Однако разнобой этот сравнительно невелик, примерно сопоставим с разбросом результатов разных моделей. И правее окончания голубых и зелёной линий ему усугубляться практически некуда, поскольку значения Zo/Z > 5 встречаются весьма редко, а Zo/Z > 7, по-видимому, если и встречаются, то в каких-то исключительных случаях.* Просто Вселенная ещё не успела накопить таких количеств послегелиевых элементов в межзвёздном газе, из которого образуются новые светила. Обычно в моделированиях ограничиваются примерно тем уровнем, которым кончается ось Zo на левом верхнем рис., т. е. Zo (max) ≈ 3.

_______

* X. Meng, X. Chen, Z. Han. Initial-final mass relationship for stars of different metallicities // Astronomy & Astrophysics (A&A) 487, 625–635 (2008) [https://www.aanda.org/articles/aa/pdf/2008/32/aa8841-07.pdf].


О степени разброса результатов моделирования даже для такой актуальной массы как солнечная можно судить по сводке, показанной на нижнем правом рис. по данным из статьи 2019 г.*, где авторы приводят обзор работ восьми разных коллективов и, соответственно, разных моделей за минувшее десятилетие. (Время жизни нашего светила на главной последовательности, рассчитанное методом наименьших квадратов по этой сводке и уравнению tH ~ Zo1/4, составило у меня не привычные 10 млрд. лет, а всего 8,2 млрд. лет. Да и простое среднеарифметическое из этих восьми величин даёт tH = 8,52 млрд. лет.)

_______

* L. Amard et al. First grids of low-mass stellar models and isochrones with self-consistent treatment of rotation. From 0.2 to 1.5 M at 7 metallicities from PMS to TAMS. (Table 4) // Astronomy & Astrophysics (A&A) 631, A77 (2019) [https://arxiv.org/pdf/1905.08516.pdf].


А влияние исходного элементного состава звезды на tH с той же незначимой погрешностью можно оценить множителем (Zо/Z)1/4 к величине tH для аналогичной по массе звезды солнцеподобного состава:

tH(Mо, Zо) ≈ (Zо/Z)0,25×tH(Mо, Z).

_______


Последняя формула, возможно, будет давать ошибку для звёзд-карликов с Mо < ~0,5×M, но доступных данных, чтобы судить об этой ошибке или как-то скорректировать формулу, я не нашёл*. Это позволяет объединить данные из указанных выше источников для звёзд близкого к Солнцу состава. Результаты представлены на графике ниже, исходные данные приводятся в конце заметки. Часть из них в оригиналах была в табличной форме, часть же пришлось определять графическими замерами рисунков из публикаций (эти рисунки также приведены в исходных данных).

_______

* Весьма вероятным представляется, что показатель степени в множителе Zо/Z, который мы в среднем приняли равным 0,25, на самом деле является функцией массы n(Мо). Так, если на верхнем правом рисунке, объединив данные 2012 и 2016 гг., найти для наборов точек, относящихся к каждой массе, величины n методом наименьших квадратов, полученные данные неплохо описываются таким эмпирическим уравнением (на графике оно показано пунктиром):

tH(Mо, Zо) ≈ (Zо/Z)n×tH(Mо, Z);
n = 0,545×m/(0,624 + m2);
m = Mо/M – 0,37.

В последнем уравнении подгоночный параметр 0,37 весьма близок к среднему значению M/M (пик вероятности в распределении звёзд по массам), а в предыдущем 0,624 = 0,5452. Но насколько можно продолжать пунктир за пределы интервала Mо/M = ~0,5÷3,5, где нет модельных данных? То, что n становится отрицательным при Mо/M < 0,37 (и у нижнего предела масс красных карликов Mо/M = 0,08 достигает –0,22), не выглядит убедительно, а то, что при Mо/M > 3,5 величина n→0 хорошо (даже количественно хорошо) подтверждается моделированием эволюции звезды с Mо/M = 20**. Оказалось, что в среднем снижение Z вдвое повышает светимость такой звезды на главной последовательности примерно на 1,2÷2,3% (и примерно на столько же должно сократить tH). Для звезды с Mо/M = 7 снижение Z в 2,5 раза повышало светимость на 26%. Это даёт n ≈ 0,017÷0,034 и n = 0,25, соответственно (красные ромбы на графике), а пунктирные значения для данных Mо составляют n = 0,0277 и n = 0,0811.

We have computed models for three different metallicities: the solar value (Z = 0.014) and the extreme values encountered in the Galaxy according to the study of HII regions by Balser et al. (2011) − Z = 1.5 Z and Z = 1/2.5 Z. (...) On average, a reduction of the metal content by a factor of two translates into an increase in luminosity by 0.005−0.010 dex on the main sequence (...)

A change in metallicity from solar to 1/2.5 solar corresponds to an increase in luminosity by 0.1 dex. Hotter temperatures are also obtained. The effect is larger than in the M = 20 M⊙ model.

(MESA model)

_______

** F. Martins, A. Palacios. A comparison of evolutionary tracks for single Galactic massive stars // A&A, vol. 560, December 2013 [https://www.aanda.org/articles/aa/full_html/2013/12/aa22480-13/aa22480-13.html].


===

Исходные данные:

Original data:


зависимость времени жизни маломассивных звёзд от их массы по данным F. C. Adams et al., 2005 (dependence of the lifetime of lower mass stars on its masses according to F. C. Adams et al., 2005)

Mo/M

tH, млрд. лет (Gyr)

XH(tH)

0,08

12200

0,1135

0,09

...

0,1521

0,10

6600

0,1840

0,12

4470

0,2420

0,13

...

0,2585

0,14

3400

0,2796

0,16

2740

0,3154

0,18

2020

0,3869

0,20

1610

0,4387

0,25

1090

0,5107

Источник (Source): G. Laughlin, P. Bodenheimer, F. C. Adams. The End of the Main Sequence. // The Astrophysical Journal, 482, pp. 420–432, 1997 June 10. Fig. 4, Table 2 [https://iopscience.iop.org/article/10.1086/304125/fulltext/35131.text.html]; Zо/Z = 1; v, км/с (km/s) = 0?; XH(0) = 0,7; код (code): Henyey code.

Примечания: Вторая колонка таблицы рассчитана по данным левого графика, третья взята из табл. 2 статьи и показывает конечную массовую долю водорода, когда его сгорание в звезде прекращается. В статье есть рис. 2, содержащий вставку с графиком tH(Mo), на которой значения tH оказываются несколько иными. В тексте несколько раз называются величины tH для тех или иных Mo, не совпадающие ни с одним из двух графиков. Объяснения этих расхождений в статье нет, по смыслу я предполагаю, что это просто округление величин. См. график-вставку ниже в другой статье тех же авторов, F. C. Adams et al., 2005.

О скорости вращения звёзд в статье не говорится, поэтому я делаю вывод, что v = 0.



зависимость времени жизни маломассивных звёзд от их массы по данным F. C. Adams et al., 2005 (dependence of the lifetime of lower mass stars on its masses according to F. C. Adams et al., 2005)     зависимость времени жизни звёзд от их массы по данным N. Mowlavi et al., 2012 (dependence of the lifetime of stars on its masses according to N. Mowlavi et al., 2012)


Mo/M

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,25

tH, млрд. лет (Gyr)

11000

6260

4250

3390

2770

2050

1620

1480

Источник (Source): F. C. Adams et al., 2005; Zо/Z = 1; v, км/с (km/s) = 0?; код (code): Henyey code.

Примечания: Величины tH измерены по левому графику, который без изменений воспроизводит результаты 1997 г. тех же авторов (см. выше у G. Laughlin et al., 1997). В тексте статьи для Mo/M = 0,08 и 0,25 названы tH = 12 трлн. лет и 1 трлн. лет, соответственно, что явно не совпадает с данными ни этого графика, ни графика 1997 г. О скорости вращения звёзд в статье не говорится, поэтому я делаю вывод, что v = 0.


tH, млрд. лет (Gyr):

Mo/M

Zo=0,006

Zo=0,01

(Zo=0,0134)

Zo=0,014

Zo=0,02

Zo=0,03

Zo=0,04

0,5

70235

74782

(77345)

77697

80032

80568

78978

0,6

44749

50024

(53166)

53619

56995

59227

59033

0,7

27064

31408,5

(34233)

34661

38034

40831

41230

0,8

16334

19218

(21234)

21550

24109

26427

26934

0,9

10049,5

11905

(13435)

13460

15195

16849

17296,5

1,0

6386

7533

(8398)

8538

9690

10843

11142

1,1

5433

6393

(7128)

7240

8322

9506

10040

1,2

3747

4478

(4968)

5046

5741

6533

6955

1,3

2859,5

3347

(3712)

3770

4307

4926

5233

1,4

2226

2589

(2863)

2909

3302

3763

4016

1,5

1806

2089

(2297)

2331

2632

2986

3180

1,6

1505

1731,5

(1898)

1925

2162

2447

2605

1,7

1353

1552

(1697)

1721

1925

2166

2297

1,8

1149

1314

(1434)

1453

1621

1816

1923

1,9

987,2

1125

(1224)

1241

1379

1541

1628

2,0

856,1

972,6

(1057)

1070

1189

1322

1393

2,1

749,1

848,3

(920,4)

932,1

1033

1143

1202

2,2

660,6

745,4

(807,6)

817,7

903,6

996,8

1046

2,3

586,6

659,8

(713,35)

722,0

795,8

874,5

915,8

2,4

523,7

581,2

(632,4)

641,0

705,0

772,4

807,2

2,5

470,2

525,8

(566,4)

573,0

628,2

686,1

715,2

2,6

426,2

475,1

(510,6)

516,3

565,0

615,2

640,4

2,7

386,6

429,8

(461,0)

466,0

508,3

552,4

573,7

2,8

352,2

390,3

(417,7)

422,1

459,2

498,0

516,2

2,9

322,0

356,0

(380,2)

384,1

416,6

450,7

466,6

3,0

295,6

325,8

(347,4)

350,85

379,5

409,6

423,4

3,1

272,4

299,4

(318,5)

321,5

347,0

373,7

385,5

3,2

251,6

275,8

(293,0)

295,7

318,3

342,0

352,1

3,3

233,2

255,0

(270,3)

272,7

293,1

314,0

322,8

3,4

216,6

236,4

(250,25)

252,4

270,6

289,1

296,8

3,5

201,9

219,7

(232,2)

234,1

250,6

267,1

273,5

Источник (Source): N. Mowlavi et al., 2012 [phase 30]; v, км/с (km/s) = 0?; код (code): Geneva models.

Примечания: О скорости вращения звёзд в статье не говорится, поэтому я делаю вывод, что v = 0. Значения в скобках для Zо = 0,0134 получены кубической интерполяцией tH(Zо) по четырём ближайшим Zо.


tH, млрд. лет (Gyr):

Mo/M

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

Z0 = 0,1•Z

70,579

41,228

23,089

13,741

8,778

5,914

4,154

2,996

Z0 = Z

109,490

72,763

45,853

26,691

16,123

10,363

6,902

5,029

Z0 = 1,5•Z

114,328

76,838

49,495

29,513

17,831

11,459

7,608

5,578

Источник (Source): A. Truitt, P. A. Young, 2016; v, км/с (km/s) = 0?; код (code): TYCHO + OPAL.

Примечание: О скорости вращения звёзд в статье не говорится, поэтому я делаю вывод, что v = 0.



Mo/M

0,8

0,9

1,0

1,1

1,25

1,35

1,5

1,7

tH, млрд. лет (Gyr)

21,552

13,461

8,540

5,465

4,353

3,222

2,242

1,634

Mo/M

2,0

2,5

3,0

4,0

5,0

7,0

9,0

12

tH, млн. лет (Myr)

1008,831

537,935

320,585

152,082

88,193

41,721

26,261

15,330

Mo/M

15

20

25

32

40

60

85

120

tH, млн. лет (Myr)

11,015

7,740

6,310

5,207

4,439

3,530

3,024

2,672

Источник (Source): S. Ekström et al., 2012; Zо/Z = 1; v, км/с (km/s) = 0; код (code): Geneva (EVOL).



Mo/M

0,8

0,9

1,0

1,1

1,25

1,35

1,5

1,7

tH, млрд. лет (Gyr)

11,575

7,316

5,492

3,796

2,600

1,986

1,446

1,054

Mo/M

2,0

2,5

3,0

4,0

5,0

7,0

9,0

12

tH, млн. лет (Myr)

667,03

374,19

240,31

124,375

77,356

39,945

25,471

15,100

Mo/M

15

20

25

32

40

60

85

120

tH, млн. лет (Myr)

10,996

7,888

6,449

5,294

4,507

3,555

3,024

2,653

Источник (Source): C. Georgy et al., 2012; Zо = 0,002; v, км/с (km/s) = 0; код (code): Geneva.



Mo/M

1,7

2,0

2,5

3,0

4,0

5,0

7,0

9,0

12,0

15,0

tH, млн. лет (Myr)

1284,5

805,8

440,91

276,224

137,775

83,169

41,395

25,992

15,310

11,097

Источник (Source): C. Georgy et al., 2013; Zо = 0,006; v, км/с (km/s) = 0; код (code): Geneva.



Mo/M

1,7

2,0

2,5

3,0

4,0

5,0

7,0

9,0

12,0

tH, млн. лет (Myr)

929,51

582,60

329,121

215,821

115,094

72,988

38,682

24,985

14,964

Mo/M

15,0

20,0

25,0

32,0

40,0

60,0

85,0

120,0

tH, млн. лет (Myr)

10,949

7,900

6,481

5,264

4,468

3,507

2,975

2,606

Источник (Source): J. H. Groh et al., 2019; Zо = 0,0004; v, км/с (km/s) = 0; код (code): Geneva.



Mo/M

5,0

7,0

9,0

12

15

20

25

32

tH(LMC), млн. лет (Myr)

80,129

42,141

26,507

16,034

11,187

7,417

5,672

4,463

tH(☉), млн. лет (Myr)

74,80

40,32

25,68

15,686

11,004

7,332

5,623

4,435

n = f(Mo/M)

0,0655

0,0421

0,0304

0,0209

0,0157

0,0109

0,0082

0,0060

Mo/M

40

45

60

100

150

200

300

500

tH(LMC), млн. лет (Myr)

3,781

3,527

3,373

2,648

2,313

2,140

1,979

1,885

tH(☉), млн. лет (Myr)

3,763

3,512

3,363

2,644

2,311

2,139

1,978

1,885

n = f(Mo/M)

0,0045

0,0039

0,0027

0,0014

0,0009

0,0006

0,0004

0,0002

Источник (Source): K. Köhler, 2016; Z = 0,0047 → Zо/Z = 1; v, км/с (km/s) = 0; код (code): Starmaker.

Примечания: Для масс Mo/M = 60÷500 величины tH(LMC) взяты из табл. B.2 для v = 0, а для Mo/M = 5÷45 – рассчитаны для v = 0 по формуле А.6 (см. ниже). Они относятся к Zo = 0,0047 (среднее для звёзд Большого Магелланова Облака). Отсюда Zo/Z = 0,0047/0,0134 = 0,35, и для перевода к Zo/Z = 1 исходные значения tH(LMC) умножались на 0,35–n, где n(Mo/M) рассчитывалось как описано выше. Пересчитанные величины обозначены tH(☉).

В работе также получены формулы для Zo, типичных для звёзд Малого Магелланова Облака и Млечного Пути (разделы А.1.3 и А.1.4), но, к сожалению, принятые автором значения Zo в этих случаях не указаны, а в литературе средние Z для этих галактик даются с существенным разбросом. В любом случае, для звёзд этих галактик обычно указывают ещё меньшее значение Z, и поэтому они менее надёжны при приведении данных к Zo/Z = 1.

(А.6, v = 0):             tH [106 лет (Myr)] = 1,939×[1,325 + 1000×(M/Mo)2]



Mo/M

60

120

200

500

598

844

1001

tH, млн. лет (Myr) α = 0,25

3,807

2,786

2,350

1,956

...

...

1,777

tH, млн. лет (Myr) α = 1

...

3,345

2,951

2,605

2,572

2,513

2,492

tH(☉), млн. лет (Myr) α = 0,25

3,426

2,507

2,115

1,760

...

...

1,599

tH(☉), млн. лет (Myr) α = 1

...

3,011

2,656

2,345

2,315

2,262

2,243

Источник (Source): L. R. Yungelson et al., 2008; Zо/Z = 1; v, км/с (km/s) = 0; код (code): Eggleton evolutionary code.

Примечания: Авторы принимают Z = 0,02. У нас же всюду принято Z = 0,0134. Формально нужна корректировка: Zo/Z = 0,02/0,0134 = 1,49, и для перевода к нашей шкале Zo/Z = 1 исходные значения tH надо умножать на 1,49–n. Однако в этом не было смысла, т. к. в данном диапазоне масс максимальная поправка составляет ~0,1% (см. n(Mo/M) в предыдущей таблице).

α – один из параметров модели, менявшийся от 0,25 до 1.



Год (Year)

Модель (Model)

Z

tH(Z), млрд. лет (Gyr)

tH(Z☉), млрд. лет (Gyr)*

1998

CLES

0,02

8,57

7,57

2008

DSEP

0,0189

8,81

7,92

2011

FRANEC

0,0138

9,13

9,05

2011

YREC

0,0163

8,16

7,68

2012

PARSEC

0,014

8,06

7,95

2015

BHAC15

0,0153

8,34

8,00

2016

MESA

0,0142

8,28

8,13

2019

STAREVOL

0,0134

8,77

8,77

Источник (Source): L. Amard et al. First grids of low-mass stellar models and isochrones with self-consistent treatment of rotation. From 0.2 to 1.5 M at 7 metallicities from PMS to TAMS. (Table 4) // Astronomy & Astrophysics (A&A) 631, A77 (2019) [https://arxiv.org/pdf/1905.08516.pdf]; Mo = M; v, км/с (km/s) = 0?

* tH(Z) = tH(Z)•(Z/Z)0,31;             n(M) = 0,45•(1 – 0,37)1,25/[0,5 + (1 – 0,37)2,5] = 0,31.

Примечания: В последней графе значения рассчитаны по формуле, приведённой в сноске. О скорости вращения звёзд в статье не говорится, поэтому я делаю вывод, что v = 0.



Модель (Model)

STERN

Geneva

FRANEC

Padova

MESA

STAREVOL

tH(Z☉), млн. лет (Myr)

8,17

7,82

9,09

9,10

8,60

8,54

Источник (Source): F. Martins, A. Palacios. A comparison of evolutionary tracks for single Galactic massive stars (2013) [https://arxiv.org/pdf/1310.7218.pdf]; Mo = 20•M; v, км/с (km/s) = 0?

Примечание: О скорости вращения звёзд в статье не говорится, поэтому я делаю вывод, что v = 0.

====



13. Дополнение 2. Об амплитуде гравитационной волны.


В § 16 книги Зельдовича и Новикова по гравитации* приводится выражение для амплитуды гравитационной волны (ГВ). Амплитуда ГВ h – это относительное изменение (колебание типа растяжение–сжатие) геометрии пространства, через которое проходит ГВ. Амплитуда зависит от физических констант (постоянной тяготения γ и скорости света с), и параметров ГВ (частоты ω и потока энергии F).

________

* Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. Теория тяготения и эволюция звёзд. М., Наука, 1971 [http://old.pskgu.ru/ebooks/zn_1/zn_1_gl01_16.pdf].


С оценочной точностью F можно выразить через энергию, перешедшую из массы в ГВ (ΔM•c2), характерное время Δt события, в результате которого излучились ГВ (или же через число витков сливающихся друг с другом тел n и характерную частоту ГВ, ω, поскольку ω ≈ n/Δt), и площадь сферы, на которую распространится ГВ, пройдя расстояние R до наблюдателя (S = 4•π•R2). Мы не внесём при этом грубых неточностей, поскольку, как показали первые регистрации ГВ, пиковая интенсивность ГВ в десятки и сотни раз превышает интенсивность до и после пика (то есть почти вся энергия ГВ именно в пиковом интервале и выделяется), а частота около пиковой области меняется не слишком резко, позволяя полагать, что её усреднение к некоему эффективному значению правомерно. Тогда:

F ≈ ΔM•c2/(S•Δt) = ΔM•c2•ω/(4•π•R2•n);

h = [(32•π•γ•F/c)0,5]/(c•ω) = [(8•π•γ•ΔM)/(n•ω)]0,5/R.


Как видим, амплитуда ГВ с расстоянием падает гораздо слабее, чем амплитуды излучения: обратно пропорционально не квадрату, а первой степени R. Это и позволяет детекторам на Земле ловить ГВ, излучённые за миллиарды световых лет. (Кстати, чтобы не забыть: а почему мы не регистрируем более близких событий? Ответ прост: потому что, если взять сферу радиусом 3 единицы и равномерно заполнить её событиями, то число событий во внутренней сфере радиусом в 1 единицу будет в 33 = 27 раз меньше, чем во всей сфере. Вот когда число регистраций ГВ достигнет двух-трёх десятков, тогда, вероятно, и зарегистрируют близкое слияние.)

Из последнего выражения оценим расстояние, на котором h ≈ 1, то есть сжатие-расширение линейных размеров за те доли секунды, пока через эту область проходит ГВ, достигает 100%. Это, возможно, зона катастрофического разрушения материи на субатомном уровне. А о целостности каких-либо молекул в ней заведомо говорить не приходится. Это расстояние:

R = [(8•π•γ•ΔM)/(n•ω)]0,5.

Данные из табличной сводки зарегистрированных ГВ показывают, что типичными и не слишком различающимися значениями являются:

ΔM ≈ 1,5•M = 3•1030 кг;     n ≈ 15;     ω ≈ 200 Гц.

Для этих значений расстояние 100%-ной амплитуды ГВ (h = 1) примерно равно:

R = [(8•π•6,6•10–11•3•1030)/(15•200)]0,5 = 7,3•108 м.

Это менее 1 млн. км. Оглянемся на предысторию слившихся чёрных дыр. Изначально они были двойной звездой, и должны были иметь на орбитах планеты, а за ними – облака малых тел. Затем более массивная звезда выгорела и сжалась в чёрную дыру, потеряв в ходе этой эволюции заметную часть массы. Планеты и малые тела от такого ослабления гравитационной привязи могли уйти на более далёкие орбиты, а часть гипотетически даже оторваться от системы в свободное плавание. Затем то же произошло со второй звездой, и аналогично ещё раз повлияло на оставшиеся планеты и малые тела.

В итоге, к моменту слияния чёрных дыр их планеты должны быть расположены не близко. По аналогии с Солнечной системой напрашиваются орбиты в сотни миллионов или миллиарды километров.

На таких расстояниях и h будет в сотни или тысячи раз меньше, то есть масштаб сжатия-растяжения там будет исчисляться долями процента.

Для квантовых облаков, коими являются молекулы, атомы и субатомные частицы, это, думается, ничто. Для жизни, если уж ей (что практически невероятно!) удалось бы некогда зародиться на планете в такой системе, а потом пережить массу смертельных передряг (изначальные нестабильности орбит, если не в катастрофическом смысле, то уж точно в смысле получаемой планетой энергии от своей звезды или от обеих звёзд; затем катаклизмы изменений орбит и убийственных излучений в ходе эволюции звёзд в чёрные дыры, и т. д. и т. п.) и где-то ещё теплиться, утилизируя остаточное тепло недр в бессолнечных условиях, – ну, для такой сверхстойкой жизни, думается, это тоже ничто. Для тектоники планеты? Не дам руку на отсечение, но интуиция говорит, что больших бед от такого краткого импульса искажений пространства на доли процента и в тектонике не случится.

Но в пределах миллиона или даже первого десятка миллионов километров от эпицентра, где материя представлена в основном остатками аккреционных дисков, расколбас будет нехилый! Я не знаю, как такую бурю выдержит эта несчастная материя, например, на кварковом уровне? Вот где простор для фантастов и теоретиков! Как повенчать ОТО с квантовой механикой?

А наблюдатели успокаивают нас в одном (но важном!) отношении: по крайней мере, материя не аннигилирует, ведь потоков излучения ни в каких частях спектра из областей слияния чёрных дыр приборы ни разу не зафиксировали.

Ну и на том спасибо!


19 ноября 2017



Высказаться

 

 

Яндекс.Метрика