Евг. Шиховцев
ВАКУУМНЫЙ
«АЭРОПЛАН»
А. ДЕ БОССЭ
Часть 3 из 10
К оглавлению
_______________
Eug. Shikhovtsev
VACUUM
«AEROPLANE»
by A. DE BAUSSET
Part 3 of 10
English Guide
+ Contents
_______________

Артюр де Боссэ (Arthur Charles Ferdinand de Bausset), авг. 1828 – 11 янв. 1905
vacuum air ship de Bausset

mir.k156.ru
costroma.k156.ru

 


ПРИЛОЖЕНИЯ (APPENDICES)


1.
О модели воздушного шара падре Бартоломеу 1709 года
On a model of a balloon made by padre Bartolomeo in 1709


Посвящается Маркизу,
который был чёрен, суров, самодержавен, мощен,
но внезапно истратил одну из своих девяти жизней
за пару дней до окончания сего Приложения.



Посмотрев на youtube несколько роликов об изготовлении и запуске воздушных фонариков разных конструкций, я убедился, что объём шара порядка 50 л обеспечивает подъём конструкции весом не более 20÷30 граммов, т. е. 1 л обладает подъёмной силой максимум около 0,5 г. Из газовых законов следует, что при пуске шара в стандартизованном по давлению и влажности воздухе с температурой 20°С температура газов в шаре T (°С) будет связана с удельной подъёмной силой F (г/л) примерной формулой:

T = (20 + 226F)/(1 – 0,83F).

Для достижения подъёмной силы 0,5 г/л средняя температура воздуха и продуктов сгорания внутри шара по этой формуле должна быть около 227°C. Поскольку во всех роликах устройство шара предусматривало горение внутри шара, то раскалённые продукты сгорания быстро заполняли его и вполне могли обеспечить там такую температуру. Но у падре Бартоломеу чаша горела ниже шара, и внутрь его попадали продукты горения, неизбежно разбавленные холодным и тяжёлым окружающим воздухом. Поэтому мне показалось, что для его случая лучше взять данные Британской Энциклопедии изд. 1830 г.*, где были обобщены данные о подъёмной силе шаров, заполнявшихся дымом примерно так же, как у Бартоломеу. Эти данные таковы: шар диаметром 10 футов имеет подъёмную силу в 12,5 фунтов. В наших единицах это соответствует подъёмной силе 0,20 г/л (и расчёт даёт для такой подъёмной силы среднюю температуру воздуха и продуктов сгорания внутри шара всего около 78°C).

________

* vol. 2, p. 182 [https://books.google.ru/books?id=PQTt9ybzQ50C].


Бартоломеу делал шар из плотной бумаги. Пусть это была бумага чуть плотнее стандартной офисной, скажем, 100 г/м2 (в середине XVIII в. такой могла быть, например, бумага марки grand-royal; видимо, и в начале века что-то похожее делали). Но достаточно ли это жёсткая бумага, чтобы держать форму шара диаметром в 1÷1,5 м? Сомнения есть, однако пока предположим, что бумага выдержит.* Тогда при диаметре D [м] шар Бартоломеу весил бы около 300D2 [г] + вес чашки со спиртом и её подвески (вряд ли менее 50÷100 г). А подъёмная сила шара была бы около 120D3 [г]. Решая уравнение 300D2 + 50÷100 = 120D3, находим D = 2,6 м. Если Бартоломеу добился подъёмной силы 0,4 г/л (нагрел воздух в шаре до 165°C, – а на это в его схеме работало то, что у спирта теплота сгорания вдвое выше, чем у лучших дров), то его шар мог ограничиться D = 1,6÷1,7 м. И лишь если Бартоломеу исхитрился достичь подъёмной силы 0,5 г/л, можно получить D = 1,3÷1,4 м.

________

* Я склоняюсь к версии, что шар имел внутри каркас, идею которого падре мог и сам изобрести и почерпнуть, например, в книге Ф. Лана 1886 года, если она была ему доступна. Это мог быть каркас из лёгкого деревянного шпона. Оценим экономию веса оболочки. Пусть каркас состоял из шести «меридиональных» обручей, схваченных поперёк «экватора» седьмым обручем (отверстие внизу, конечно, «откусывает» часть от каждого «меридионального» обруча, но зато его само нужно окантовать небольшим восьмым обручем: будем считать, что это взаимно компенсируется). Диаметр каждого обруча, естественно, совпадает с диаметром шара D, ширину шпона можно принять 0,5 см (0,005 м), толщину 1 мм (0,001 м), плотность сухой древесины лёгких пород 450 кг/м3 (4,5•105 г/м3). Тогда вес семи обручей составит: 7•πD•0,005•0,001•4,5•105 = 50•D [г]. При этом можно делать оболочку из лёгкой бумаги типа espagnol плотностью 68 г/м2, и по поверхности шара экономия на весе бумаги составит: πD2•(100 – 68) = 100•D2 [г]. Решая неравенство 100•D2 > 50•D (чтобы облегчение бумаги было больше веса дополнительного шпонового каркаса), находим, что при D > 0,5 м мы имеем экономию веса конструкции, не говоря о том, насколько проще технологически изготовить крупный шар с каркасом. Так, на шаре диаметром 1 м чистая экономия веса составила бы 50 г (16%), а на 1,5-метровом – 150 г. (21%). Но почему очевидец писал, что шар был из плотной бумаги? Я сомневаюсь, что этот свидетель ощупывал шар; он его только видел, так что о плотности бумаги его слова – скорее дедуктивное суждение, чем свидетельство. Это был каноник, не изобретатель, он интуитивно понимал, что большой шар из тонкой бумаги не склеишь (а про каркас не догадался), – значит, бумага должна была быть плотной. Но эта версия с моей стороны есть, конечно, тоже не более чем дедукция, так что далее я буду держаться консервативного варианта плотной 100-граммовой бумаги без каркаса.


Однако эти рассуждения носят довольно общий характер. Для первой оценки они годятся, но для окончательного вывода нужно рассмотреть всё более детально.


Начнём с веса конструкции. Это был бумажный шар диаметром D [м]. Под ним горел в чаше спирт. Спирта требовалось немного, а для ускорения нагрева лучше было бы, чтобы он горел на возможно большей площади, поэтому следовало делать дно плоским, то есть это было скорее блюдо, чем чаша. Если диаметр чаши был d [м], то для наилучшего улавливания продуктов сгорания (и во избежание воспламенения бумаги) в шаре, очевидно, было сделано над чашей отверстие несколько шире её, например, диаметром в 1,2d [м]. Значит, площадь поверхности шара πD22] уменьшится на площадь этого отверстия 1,44•πd2/4 = 0,36•πd22], что облегчит конструкцию.

Пропорции бумажной модели «Passarola» 1709 г.

При этом отверстие не должно составлять слишком заметную часть по сравнению с размерами шара, иначе бы шар выглядел заметно срезанным снизу, и очевидцы это, наверное, отметили бы. Из таких геометрических соображений кажется, что диаметр чаши не должен превышать 0,4÷0,5 от диаметра шара. (Забегая вперёд, скажу, что у нас обнаружится ещё более важное ограничение: если d > 0,39÷0,41•D, то бумага шара воспламенится, так как газы в ней разогреются выше температуры возгорания бумаги.) Образец шара с чашей, диаметры которых находятся в пропорции 1:0,4, показан на рис. справа, а часть, которую надо вырезать из шара, отмечена красным цветом. (Эта часть больше чаши на 20%, хотя глаз в этом немного сомневается.)

Вес оболочки при плотности бумаги 100 г/м2 будет равен:

100•π(D2 – 0,36•d2) [г].

Предчувствуя, что диаметр шара будет порядка метра (может, несколько больше, может, несколько меньше), мы ожидаем, что вес оболочки составит сотни граммов.

Чаша могла быть подвешена на трёх тонких проволочках к краям отверстия в шаре или чуть выше. Проволочки, пожалуй, должны были иметь длину порядка 35 см, чтобы обеспечить безопасное расстояние бумаги от спиртового пламени. Их толщина могла бы быть порядка 0,5 мм (вряд ли в начале XVIII в. умели делать более тонкую проволоку). Материалом могла быть медь плотностью ок. 8900 кг/м3. Тогда вес трёх таких проволочек составил бы:

3•35•(π•0,00052/4)•8900•103 ≈ 2 [г].

Чаша могла быть сделана из оловянной фольги плотностью 7280 кг/м3 и толщиной, допустим, 0,25 мм (выковать такую хороший мастер тех лет, наверное, мог), и в этом случае её вес был бы равен примерно 1,1•(πd2/4)•0,00025•7280•103 = 1570•d2 [г].

Предчувствуя, что диаметр чаши будет порядка одного или нескольких дециметров, мы ожидаем, что вес чаши составит десятки или под сотню граммов (не более трети от веса бумаги).

В чаше был налит спирт. Какой крепости и чистоты его умел получать падре Бартоломеу, мы не знаем, но можно реалистично предположить, что это был 90%-й спирт двойной перегонки, известный ещё с XIII в. Спирта нужно было немного. Время разогрева шара до рабочей температуры, как мы ниже увидим, измеряется обычно десятками секунд, и Бартоломеу из своих предварительных опытов должен был это знать. Предположим, он рассчитывал на τ секунд горения. Из Википедии можно узнать, что скорость сгорания спирта на воздухе равна 37 г/(м2•сек); однако в специальной литературе* указывается, что такая скорость выгорания характерна для вращающегося (смерчевидного) пламени, а при горении этанола в спокойной атмосфере (что и должно было иметь место в дворцовой зале) скорость выгорания заметно ниже – 14-18 г/(м2•сек). У Бартоломеу спирт был не таким крепким и чистым, как у современных исследователей, поэтому примем значение чуть ниже среднего, а именно 15 г/(м2•сек). При плотности 90%-ного спирта 0,818 г/мл (8,18•105 г/м3) это соответствует линейной скорости выгорания 15/(8,18•105) ≈ 2/105 м/сек ≈ 0,02 мм/сек. За τ сек. в чашке диаметром d [м] должно было сгореть 90%-ного спирта: (πd2/4)•τ•15/0,9 = 13•d2•τ [г]. Это слой толщиной порядка миллиметра. Но падре вовсе не нужно было скрупулёзно отмерять количество спирта сообразно запланированному времени горения. Он спокойно мог налить и избыток. Спирт просто «зря» горел бы, пока не выгорит этот избыток. Температура в шаре не росла бы, но и не снижалась, речь шла лишь о затяжке волнующего момента взлёта.

________

* А. Ю. Снегирёв, J. A. Marsden. Вращение естественно-конвективного пламени. // Труды 4-й Российской национальной конференции по теплообмену (РНКТ-4, 2006 г.), т. 3, с. 309 [http://рнкт.рф/year/2006/lib/3-308.pdf]. В этой работе спирт сжигался в стоящей на полу ёмкости диаметром 60 см.


Спирт всё время горит, и его вес почти линейно убывает со временем. За время горения t [сек] чашка полегчает на 13•d2•t [г], и к этому моменту вес спирта в ней составит:

13•d2•(τ – t) [г].

А вес всей модели (бумага, подвеска, чаша и спирт в ней) к моменту времени t будет равен:

G = 100•π(D2 – 0,36•d2) + 2 + 1570•d2 + 13•d2•(τ – t) [г].


Теперь разберём процесс нагрева шара. За 1 сек. у нас сгорает 100%-ного спирта:

(πd2/4)•15 = 11,8•d2 [г].

Горение происходит по реакции:

C2H5OH [1 г] + {0,25H2O [0,10 г]} + 3O2 [2,09 г] {+ 11,18N2 [6,81 г] + 0,13Ar [0,09 г]} =
= 2CO2 [1,91 г] + 3,25H2O [1,27 г] {+ 11,18N2 [6,81 г] + 0,13Ar [0,09 г]}.

Здесь в фигурных скобках помещены те компоненты, которые в реакции принимают участие не химически, а только физически: испаряется вода из 90%-ного спирта (в нём содержится примерно 1 молекула воды на 4 молекулы этанола, отсюда и возникает коэффициент 0,25 в уравнении реакции), а вместе с кислородом неизбежно соседствуют два его основных компаньона по земной атмосфере – азот и аргон (их количества в молях на 3 моля кислорода, вступающего в реакцию, рассчитаны по объёмным долям этих газов в воздухе). В квадратных скобках даны массы каждого компонента в расчёте на 1 г сгоревшего этанола (они рассчитаны по молярным массам). Конечно, тут не вся химия процесса: сгорали ещё и примеси, неизбежно содержавшиеся в тогдашнем спирте, но мы о них ничего не знаем и вынужденно игнорируем. Да и физика тоже не вся, потому что вместе с количеством воздуха, нужным для реакции, не могло не подсасываться в зону горения ещё некоторое избыточное количество воздуха. Увы, и об этом процессе количественных данных я не нашёл. В сущности, нам они и не нужны: с точки зрения энергии реакции, неважно, нагрела она внешний воздух, который с продуктами горения попал в шар, или точно такое же количество воздуха, бывшего в шаре, нагрелось от продуктов сгорания той же энергией реакции.

То, что написано в правой части уравнения, в виде раскалённой смеси газов поступает через отверстие в бумажный шар. Если в дворцовой зале не было сквозняков, то горячий поток поднимался вверх, слегка сужаясь под давлением окружающей более холодной атмосферы, и практически без потерь попадал внутрь шара, а по периметру более широкого отверстия из шара истекал вытесняемый более холодный воздух (защищая края бумаги от возгорания). Бумага, вопреки ошибке Рэя Бредбери, загорается при 451 градусе не по Фаренгейту, а по Цельсию. (Это, конечно, усреднённая цифра, реально каждый сорт вспыхивает при своей температуре, но мы ничего не знаем о бумаге падре Бартоломеу, поэтому остановимся на средней цифре.)

Температура горения спирта, как сообщает Википедия, не превышает 900°C. В просмотренных мною научных статьях о горении этанола обычно отмечаются и более высокие температуры, доходящие даже до 1900°C, но эти максимальные значения фиксируются внутри пламени, а в поверхностном его слое толщиной около 1 мм, который и формирует внешнее излучение, наблюдается резкое падение температуры до комнатной; по-видимому, оценка 900°C неплохо характеризует среднюю эффективную температуру пламени с точки зрения энергии его излучения.

Теплота сгорания этанола там же указана в размере 30 МДж/кг.

Эта теплота расходуется на:

а) нагрев и испарение воды, содержавшейся в спирте;

б) разогрев полученной газовой смеси (правой части химического уравнения) до 900°C;

в) тепловое излучение пламени.

Первое слагаемое в этом перечне пренебрежимо мало: 1 г сгоревшего этанола выделяет 30 кДж энергии, а на разогрев 0,1 г балластной воды от 20°C до 100°C и последующее её испарение уходит всего 0,26 кДж, или менее 1% энергии. При нашей точности оценок учитывать такую малость нет смысла.

Излучение происходит с весьма переменной и трудноопределимой площади пламенного горения, имеющей разную температуру в разных зонах. Чтобы хоть как-то оценить его долю, воспользуемся имеющимися экспериментальными данными* (близкими, кстати, к условиям опыта падре Бартоломеу). В опытах Рыжова спирт сжигался в противнях радиусом 0,24 и 0,46 м, стоящих в центре помещения. Первый вариант (противень на полу) считался моделью горения с избытком кислорода, второй (противень на высоте 1,5 м) – с избытком спирта. В первом случае принималось, что на излучение уходит 20% энергии реакции, во втором – 50%. По-видимому, нам ближе первый случай. Может быть, теоретически стоило бы взять не самое крайнее значение 20%, а 25% или 30%. Но нам ведь важно учесть излучение, не участвующее в полезном нагреве. Значит, правильнее будет занижать его долю, так как часть реального излучения через отверстие попадает внутрь шара, а снаружи облучает его оболочку, – и тем самым участвует в полезном нагреве. Не забудем и того, что спирт у Бартоломеу был более разбавленным, чем в современных опытах, температура его горения должна была быть ниже, и это также должно было снижать долю химической энергии, переходящую в излучение. Исходя из этого и примем потери на излучение в размере 20%.

________

* А. М. Рыжов. Математическое моделирование пожаров в помещениях с учётом горения в условиях естественной конвекции. // Физика горения и взрыва, 1991, № 3, с. 43 [http://www.sibran.ru/upload/iblock/0f2/0f28f262f0cb5f83489a08a8ec29fecf.pdf].


Зная, что 1 г сгоревшего этанола выделяет 30 кДж энергии, а у нас (см. выше) сгорает этанола 11,8•d2 [г/сек], мы перемножением этих величин находим мощность энерговыделения реакции:

Wхим = 354•d2 [кВт],

а полезные 80% мощности, идущие на нагрев газов в шаре (и его бумажной оболочки), составят:

Wнагрев = 0,8•354•d2 = 283•d2 [кВт].

Дж. Блэк (Joseph Black, 1728–1799), гравюра James Heath по портрету Henry Raeburn

Мощность, помноженная на время, даёт тепло, а тепло, приложенное к веществу, повышает его температуру. Насколько повышает, это зависит от массы вещества и его теплоёмкости; правда, веществ у нас два, сопоставимых по массе: это воздух внутри шара и бумага, из которой шар склеен (её температура практически равна температуре воздуха внутри). Математически это выразил (через полвека после опытов падре Бартоломеу) шотландский химик Дж. Блэк (Joseph Black, 1728–1799)*:

Wнагрев•dt = (Cp газ•Mгаз + Cp бум•Mбум)•dT,

где dt [сек] и dT [K или °C] – малые интервалы, соответственно, времени нагрева и прироста температуры, M [кг] с соответствующими индексами – массы нагреваемого газа внутри шара и бумажной оболочки, а Cp [кДж/(кг•К)] с такими же индексами – их теплоёмкости.

________

* См. справа на гравюре James Heath по портрету Henry Raeburn [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/94/Black_Joseph.jpg].


Теплоёмкость газа в шаре зависит от температуры и от состава газовой смеси (а мы видели, что по мере заполнения шара потоком газов, идущих от пламени, химический состав газовой смеси в шаре будет меняться). Посчитав по теплоёмкостям газов, входящих в правую часть химического уравнения, и их массовым долям величину теплоёмкости газов в восходящем потоке, можно увидеть, что она стабильно выше теплоёмкости воздуха на 7-8%, а в температурном интервале от комнатной температуры до 400°C обе теплоёмкости возрастают на 2-3%. Иначе говоря, вначале в шаре воздух с теплоёмкостью ок. 1 кДж/(кг•К), а в конце – смесь продуктов реакции и воздуха, причём чем выше температура, там больше доля продуктов реакции. В пределе, при температурах, близких к точке возгорания бумаги, теплоёмкость возрастёт примерно на 10%. Можно считать, что в среднем теплоёмкость газовой смеси в шаре линейно зависит от собственной температуры Tш [K]:

Cp газ = 0,959 + 0,00015•Tш [кДж/(кг•К)].

Теплоёмкость бумаги в разных источниках приводят разную, что и понятно, т. к. бумага бывает разных видов и разной влажности. У сухой бумаги это 1,34 кДж/(кг•К), у не слишком сухой доходит и до 1,5 кДж/(кг•К). Бумага, из которой склеил свой шар падре Бартоломеу, скорее всего, изготовлена была по стандартной тогдашней технологии, из льняного тряпья, гидролизованного известковым молоком, и затем слегка проклеена желатином, теплоёмкость которого более 4 кДж/(кг•К). В составе такой бумаги была велика доля целлюлозы, у которой теплоёмкость равна 1,55 кДж/(кг•К). К тому же хорошо сушить бумагу тогда не умели, её просто на первой стадии отжимали прессом, а дальше по технологической цепочке операций она сохла естественным образом. Исходя из этого, думается, нужно принять её теплоёмкость равной:

Cp бум = 1,5 [кДж/(кг•К)].

Масса газа внутри шара, при постоянстве объёма шара и давления в нём (или, что то же, в окружающей его атмосфере), выражается в основном газовом законе через абсолютную температуру газа Tш [K]:

Mгаз = Mo•To/Tш,

где индексы «0» относятся к массе и температуре в начале нагрева. Модель падре Бартоломеу взлетела на 6-7 м, и на таком малом перепаде высот мы можем спокойно пренебречь изменением давления и пользоваться приведённой формулой. Запуск происходил в августе в Лиссабоне, в дворцовой зале, и можно без большой ошибки принять, что температура To там была около 20°C (293 К), и давление с влажностью были близки к нормальным. При таких условиях плотность воздуха равна примерно 1210 г/м3, и, умножив её на объём шара, мы узнаем исходную массу воздуха в нём:

Mo = 1210•πD3/6 = 633•D3 [г].

Подставив значение To и выражение для Mo в исходную формулу, получим рабочее выражение для расчёта текущей массы воздуха в шаре Mгаз:

Mгаз = 1,86•105•D3/Tш [г].

Как видно из него, с ростом температуры масса газов в шаре уменьшается, а разница масс и составит подъёмную силу F [г], которая должна превзойти вес конструкции, чтобы модель взлетела:

F = Mo – Mгаз = 633•(1 – 293/Tш)•D3 > G.

Правда, в этих рассуждениях мы кое-чего пока не учли. Мы не записали никаких выражений для процесса остывания шара, а ведь практически никакой теплоизоляции у него нет: бумага толщиной в доли миллиметра – это ничто.

Ж.-Б. Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830)
Ж.-Б. Фурье**
Jean Baptiste Joseph Fourier
1768–1830

Ж.-Б. Биó (Jean-Baptiste Biot, 1774–1862)
Ж.-Б. Биó*
Jean-Baptiste Biot
1774–1862


Рассмотрим процесс остывания шара. Как только газ внутри шара становится более горячим, чем окружающий воздух, тотчас начинается процесс остывания его через бумажную оболочку. Он идёт параллельно разными способами (о которых падре знать не мог, потому что наука об этом была заложена Биó и Фурье лишь сто лет спустя после демонстрации полёта бумажной «Пассаролы», а затем развивалась многими великими умами в течение всего XIX в. и даже с заходом в XX в.):

________

* [http://epizodsspace.no-ip.org/reyt-all/19/gay-lussac-bio.jpg] (для этой главы в целом стоит отметить, что Биó как раз в то время, когда развивал теорию теплообмена, в 1804 г., совершил полёт на воздушном шаре с Гей-Люссаком в научных целях).

** [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Fourier2.jpg].


Л. Больцман (Ludwig Eduard Boltzmann, 1844–1906)
Л. Больцман**
Ludwig Eduard Boltzmann
1844–1906

Й. Стефан (Joseph Stefan, 1835–1893)
Й. Стефан*
Joseph Stefan
1835–1893


а) излучением с поверхности, мощность которого Wохл изл [кВт], по закону Стефана–Больцмана 1879–1884 гг., зависит от площади поверхности шара S = πD22], некоторого поправочного коэффициента ε, учитывающего отличие данного материала от абсолютно чёрного тела, и четвёртой степени абсолютной температуры Tш. Правда, в данном случае следует брать разницу тепловых потоков: от атмосферы к шару и от шара к атмосфере:

Wохл изл = 5,67•10–11•πD2•(εш•Tш4 – εатм•Tатм4);

________

* [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/Jozef_Stefan.jpg].

** [http://c7.alamy.com/comp/B42PWM/boltzmann-ludwig-2021844-591906-austrian-physicist-portrait-19th-century-B42PWM.jpg].


б) теплоотдачей с поверхности к молекулам воздуха (этот механизм называется конвекцией). Существует очень добротная работа С. Варламова*, в которой исследованы эти два процесса охлаждения воздушного шара. С. Варламов последовательно задался двумя альтернативными гипотезами: что преимущественно шар остывает за счёт излучения, и за счёт конвекции. Обе они привели к противоречиям. Отсюда автор делает справедливый вывод, что вклады обоих механизмов по величине сопоставимы. Там же он оценивает εш ≈ εатм ≈ 0,5. Учтя это и приняв, что во дворце была комнатная температура (Tатм = 293 K), получим:

Wохл изл = 8,9•10–11•D2•(Tш4 – 2934).

________

* С. Варламов. Когда выгоднее путешествовать на воздушном шаре? [http://internat.msu.ru/wp-content/uploads/Когда-выгоднее-путешествовать-на-воздушном-шаре.pdf].


За неимением лучшей оценки, примем, что

Wохл = Wохл изл + Wохл конв ≈ 2•Wохл изл = 1,78•10–10•D2•(Tш4 – 2934).

Получив выражение для Wохл, мы теперь, сочетав его с ранее полученным выражением для Wнагрев, можем составить «настоящий» тепловой баланс для газа внутри шара:

(Wнагрев – Wохл)•dt = (Cp газ•Mгаз + Cp бум•Mбум)•dTш.

Я поставил ироничные кавычки, чтобы нам не забыть, сколько мы сделали всяких упрощений и произвольных (интуитивных) предположений по ходу предыдущих рассуждений. Но, с другой стороны, мы делали их не наобум, а каждый раз руководствуясь какой-то здравой логикой. И то, что их много, может быть не минусом, а даже плюсом: разнонаправленные ошибки порою друг друга компенсируют.

Из последнего уравнения можно сравнительно просто найти максимальную температуру, которую может приобрести газ внутри шара. Если Wнагрев = Wохл, то их разность в скобках обратится в нуль, а правая часть может быть нулём, лишь если dTш = 0, т. е. рост температуры прекратился. Wнагрев и Wохл у нас выше выражены в конечном счёте через три параметра: D, d и Tш, так что Tmax [K] можно выразить через D и d:

Tmax = (2934 + 1,59•1012•d2/D2)0,25 ≈ 1123•(d/D)0,5.

Максимальная температура разогрева воздушного шара в зависимости от отношения диаметра чаши с горящим спиртом к диаметру шара

Приближённое выражение даёт несколько заниженные значения, особенно при малых диаметрах чаши (при d/D < 0,25 ошибка зашкаливает за 10 градусов, а при d/D = 0,1 достигает 35 градусов, как видно из диаграммы справа), но зато оно проще в работе, а это иногда важно.

Температура газов в бумажном шаре, конечно, не должна превышать температуру возгорания бумаги (451°C = 724 К, а с разумным запасом безопасности лучше бы на 10-20 градусов пониже, скажем, 707 К). Из условия Tmax < 707 следует, что:

d < 0,39•D.

Мы помним, что падре работал на грани риска: две первых его модели сгорели. Либо размер его чаши был весьма близок к предельно допустимому, либо чаша была подвешена слишком близко к шару. Начнём с первой версии. Приняв, что в его случае d = 0,38•D, мы сможем избавиться от параметра d, и две другие важные для нас величины будут выражаться лишь через диаметр шара D [м], текущее и полное время горения спирта t и τ [сек], и текущую температуру газов в шаре Tш [K]:

вес конструкции:

G = [(524 + 1,88•(τ – t)]•D2 + 2 [г];

подъёмная сила:

F = (633 – 1,86•105/Tш)•D3 [г].

Эти уравнения могут кое-что поведать нам о том моменте, когда в чаше догорит спирт. При этом, по определению, t = τ, а Tш = Tmax, которую мы, зная отношение d/D = 0,38, можем вычислить по приведённой выше формуле. В итоге мы сможем и G, и F, и, что самое главное, их разность, выразить через единственное неизвестное D:

G – F = 524•D2 + 2 – 370•D3.

Чтобы шар в этот момент (или ранее) взлетел, нам нужно, чтобы выражение в правой части уравнения стало меньше ноля, т. е. чтобы подъёмная сила горячего воздуха в шаре F превысила вес модели G. На сколько именно превысила, это зависит от наших амбиций. Дело в том, что в первых километрах высоты атмосферы плотность воздуха с высотой меняется почти линейно, а именно, уменьшается на 0,12 г/м3 на каждый метр высоты. Если мы хотим, чтобы шар взлетел на H [м], нам надо, чтобы плотность в нём была на 0,12•H г/м3 меньше, чем в окружающем воздухе. А эту «нехватку плотности», или плавучесть шара, мы можем выразить через отношение F – G к объёму шара πD3/6; отсюда получаем:

F – G = 0,12•H/(πD3/6) = 0,0628•H/D3 [г].

Модель «Пассаролы» взлетела на 20 футов, как на глазок определил очевидец; но, скажем, падре Бартоломеу имел амбицию, чтобы она взлетала на H > 10 м. В таком случае, нужно, чтобы в момент полного выгорания спирта:

F – G > 0,628/D3 [г],

и для нахождения диаметра шара, при котором это случится, нужно решить следующее неравенство:

524•D2 + 2 – 370•D3 < –0,628/D3.

Решением этого неравенства будет:

D > 143,1 см.

Параметры модели «Пассаролы», при которых она могла взлететь

Далее можно заметить, что, задаваясь любым иным отношением d/D (лишь бы в пожаробезопасной области, т. е. не более 0,39÷0,41), мы будем получать похожие кубические неравенства с несколько иными коэффициентами (потому что коэффициенты сами зависят от величины d/D), а решая эти неравенства, будем находить для каждого d/D минимальный диаметр шара, при котором взлёт на высоту 10 м становится возможен. Проделав всё это, мы обнаружим, что самый малый диаметр, обеспечивающий такой взлёт, достигается при отношении d/D = 0,26, и диаметр этот не так уж мал:

Dmin = 131,7 см.

При всех других значениях d/D минимальный взлётный диаметр больше, и чем дальше d/D отстоит от 0,26, тем быстрее возрастает Dmin*. Это наглядно видно на рисунке справа, где область диаметров, обеспечивающих возможность взлёта, закрашена голубым, а в серой области, сколько ни жги спирт, шар не взлетит.

________

* Варьирование планируемой высоты взлёта H тоже влияет на коэффициент в правой части неравенства и, следовательно, на минимальный взлётный диаметр. Чем выше H, тем больше будет и Dmin. Но это влияние не слишком сильное: меняя H на метры, мы изменяем Dmin на миллиметры или даже доли мм.

В общем виде, для произвольного δ = d/D, коэффициенты неравенства имеют вид:

«524» = 314 + 1457•δ2; «370» = 633•[1 – (1 + 216•δ2)–0,25]; «0,628» = 0,0628•H. И только 2 = const.


А сколько, кстати, его жечь? Для ответа на этот вопрос нужно вернуться к уравнению «настоящего» теплового баланса и, пользуясь выписанными выше выражениями, подстановками избавиться в нём от всех величин, кроме двух параметров (D и d, или вместо d более удобное безразмерное отношение δ = d/D) и двух переменных (t и Tш). Получится несколько громоздкое дифференциальное уравнение:

dTш/dt = [(1,59•δ2 – 10–12•(Tш4 – 2934)]/[(1/Tш + 0,0001567)•D + 0,00265•(1 – 0,36•δ2)],

решением которого будет ещё более громоздкое и совершенно непрактичное в пользовании выражение. Вместо него я просто приведу график, полученный численным решением дифференциального уравнения для оптимального случая (δ = 0,26; D = 1,317 м; d = 0,34 м):

Процесс разогрева бумажного шара диаметром 1,317 м от спирта, горящего в блюде диаметром 34 см

Мы видим, что температура газов в шаре растёт вначале быстро, но уже после 30-й секунды её рост приметно замедляется. В этот момент она отличается от Tmax всего на 10 градусов, но подъёмной силе не хватает ещё 58 г, чтобы шар взлетел, хотя бóльшая часть веса конструкции (751 г из 809 г, или 93%) уже покрыта достигнутой подъёмной силой. Тем не менее на преодоление оставшихся 7% уходит столько же времени, и лишь впритык к 60-й секунде шар взлетит. А Tmax, строго говоря, никогда не будет достигнута, к ней лишь можно бесконечно приближаться. Математическая природа нашего дифференциального уравнения такова, что на финише процесса разница Tmax – Tш ведёт себя экспоненциально, что хорошо видно на левом нижнем графике, где в полулогарифмическом масштабе показано, как ведёт себя dTш/dt (точнее, прирост ΔTш за 0,25 сек) в зависимости от времени после 40-й секунды нагрева.

Нам, в общем, нет смысла до бесконечности жечь спирт, сокращая разрыв с Tmax на всё более ничтожную долю градуса. Вполне достаточно считать задачу выполненной, когда шар взлетел и получил запас подъёмной силы для достижения нужной высоты. Если ограничиться этим временем, считая, что оно и есть τ, то получается картина продолжительности нагрева в зависимости от параметра δ = d/D (при Dmin), показанная на правом нижнем графике. Там же показана величина расхода спирта за время горения τ. Как видим, при δ > 0,23 время сгорания спирта τ постоянно и равно 1 минуте; при меньших δ оно начинает всё быстрее возрастать, достигая почти 2,5 мин. при δ = 0,15. Расход спирта оказывается минимален в окрестностях δ = 0,21, там он составляет 73-74 г. При отклонении от этой области значений δ расход спирта начинает всё быстрее возрастать, достигая 268 г при δ = 0,4.

Процесс разогрева бумажного шара диаметром 1,317 м от спирта, горящего в блюде диаметром 34 см

Количество и время выгорания спирта для разогрева бумажного шара минимального диаметра при разных диаметрах блюда, где горит спирт

Эти графики относятся к шарам с минимальными диаметрами для данных значений δ, то есть к узкой красной пограничной линии на графике, где голубым и серым цветом показаны области возможности и невозможности взлёта. Разумеется, ни знать этот график, ни тем более попасть строго в красную линию при изготовлении шара падре Бартоломеу не мог. Но раз его шар взлетел, значит, он попал куда-то в голубую зону (то есть попросту его диаметр был больше Dmin). Поэтому нам бы следовало посмотреть, какие закономерности действуют в этой голубой зоне.

Время разогрева бумажных шаров разных диаметров D от спирта, горящего в блюде диаметром в 0,26D

Оказывается, что время разогрева τ там очень чувствительно к размеру шара, особенно вблизи Dmin. Если при d/D = 0,26 у шара с минимальным диаметром D = 1,317 м τ = 60 сек, то достаточно увеличить диаметр на 1%, и время разогрева сокращается почти вдвое: при D = 1,330 м τ = 33,5 сек. А при D = 1,400 м τ = 23 сек. В общем, как видно из графика справа, превышение минимального диаметра на считаные сантиметры даёт выигрыш в скорости нагрева в 2-3 раза. В эту область, очевидно, и пришёл методом проб и ошибок падре Бартоломеу. И его аудитории ждать чудесного взлёта пришлось всего 20-30 сек. Или несколько дольше, если он сильно переборщил со спиртом.


Минимальный диаметр шара, для которого удалось бы разогреть газ внутри до температуры подъёма, по нашим рассуждениям, лежит в районе 1,4 м, и то, если падре Бартоломеу благодаря удаче или кропотливому перебору вариантов попал в голубой зоне не очень близко и не очень далеко от красной линии и не очень далеко от оптимального d/D = 0,26. У меня вызывает большие сомнения, реально ли было склеить такой изрядный шар из бумаги, даже и плотностью 100 г/м2, без каркаса. Давайте посчитаем, что может дать каркас.

Вес шара G уменьшится на 100•D2 и прибавится на 50•D (как эти оценки получены, см. выше в сноске к третьему абзацу Приложения). Это изменит выражение для того неравенства, с помощью которого мы находим красную линию, делящую «плоскость диаметров» на голубую и серую зоны возможности/невозможности полёта. Неравенство примет вид:

(214 + 1457•δ2)•D2 + 50•D + 2 – 633•[1 – (1 + 216•δ2)–0,25]•D3 < –0,628/D3.

Допустимые размеры бумажных шаров и чаш для спирта, обеспечивающие взлёт шара

Результат его решения показан на графике справа, только для большей наглядности по оси абсцисс отложена не величина δ, как на предыдущем графике такого рода, а просто диаметр чаши d, который рассчитывается по δ и D. (В прежних координатах график качественно выглядит аналогично, только минимум смещён с δ = 0,26 на δ = 0,24÷0,25.) Как и следовало ожидать, этот вариант выглядит гораздо реалистичнее. Есть достаточно приемлемая зона около «дна» красной кривой, где диаметр шара порядка 1,2 м, а чаши – порядка 25-35 см. Такую конструкцию из лёгкой бумаги со шпоновым каркасом технологически не так сложно изготовить, даже кустарными средствами, и она не кажется заведомо самообрушающейся. И такая чаша (или, скорее, плоское блюдо) из оловянной фольги толщиной 0,25 мм не кажется фантастикой: такое, пожалуй, можно сформовать и из пищевой алюминиевой фольги, у которой толщина составляет сотые доли мм.


Не нужно переоценивать истинность всех полученных выше значений, при том количестве условностей и упрощений, которые мы делали в исходных постулатах и рассуждениях. В реальности и численные коэффициенты, и сам вид многих уравнений наверняка был иным. Лучшее, на что можно надеяться, – это на то, что мы установили некоторые общие закономерности:

– падре Бартоломеу Лоуренсу мог изготовить бумажный шар (скорее всего, на внутреннем каркасе), нагреваемый от горящего в плоскодонной чаше спирта;

– диаметр шара был, очевидно, порядка 1÷1,5 метров, а чаша была в 3÷4 раза меньше;

– разогрев занимал несколько десятков секунд, а высота подъёма могла бы составить как минимум десятки метров;

– расход спирта был невелик, порядка десятков граммов;

– к размерам шара и чаши и весу спирта изобретатель, очевидно, пришёл путём проб и ошибок; возможно, интуиция помогла ему сократить этот тернистый путь.


Падре Бартоломеу было куда труднее, чем мне. Он не имел практически никаких теоретических путей решения своих проблем (в лучшем случае он мог кое-что методическое и конструктивное почерпнуть в книге Ф. Лана, но она к началу XVIII в. уже была редким и подзабытым изданием; впрочем, у иезуитов была отлично развита система пропаганды книг своих авторов). К услугам падре Бартоломеу не было ни результатов научных открытий последующих трёх веков, ни всевозможных справочных данных из Сети, ни компьютера с Open Office, легко решающего сложные уравнения и строящего графики. И всё-таки падре победил! Не сплоховал и художник Перейра, изобразивший в просвещённом, но многое забывшем XX веке как раз примерно метровый шар (правда, зря нагрузив его металлическим обручем) и как раз примерно 40-сантиметровую чашу (правда, сделав её чересчур выпуклой, тогда как нужна была плоскодонка, чтобы спирт растёкся по всей площади). Он не забыл и бутыль со спиртом, из которой где-то как раз на три пуска и отлито спирта, а книга, лежащая рядом с расчётами и угольником, возможно, и есть сочинение Ф. Лана.